精品高中数学第一讲不等式和绝对值不等式一不等式1不等式的基本性质学案含解析新人教A版选修4_5

高中数学第一讲不等式和绝对值不等式一不等式1不等式的基本性质学案含解析新人教A版选修4_5

1．实数大小的比较(1)数轴上的点与实数一一对应，可以利用数轴上点的左右位置

关系来规定实数的大小．在数轴上，右边的数总比左边的数大．(2)如果a－b＞0，则a＞b；如果a－b＝0，则a＝b；如果a－b

＜0，则a＜b.

(3)比较两个实数a与b的大小，归结为判断它们的差与0的大小；比较两个代数式的大小，实际上是比较它们的值的大小，而这又

归结为判断它们的差与0的大小．

2．不等式的基本性质

由两数大小关系的基本事实，可以得到不等式的一些基本性质：(1)如果a＞b，那么b＜a；如果b＜a，那么a＞b.即a＞b?b＜

a.

(2)如果a＞b，b＞c，那么a＞c.即a＞b，b＞c?a>c.

(3)如果a＞b，那么a＋c>b＋c.

(4)如果a＞b，c>0，那么ac>bc；如果a>b，c<0，那么ac

(5)如果a>b>0，那么an>bn(n∈N，n≥2)．

(6)如果a>b>0，那么>(n∈N，n≥2)．

3．对上述不等式的理解

使用不等式的性质时，一定要清楚它们成立的前提条件，不可强

化或弱化它们成立的条件，盲目套用，例如：(1)等式两边同乘一个数仍为等式，但不等式两边同乘同一个数

c(或代数式)结果有三种：①c＞0时得同向不等式；②c＝0时得等式；

③c<0时得异向不等式．

(2)a＞b，c＞d?a＋c>b＋d，即两个同向不等式可以相加，但不

可以相减；而a>b>0，c>d>0?ac>bd，即已知的两个不等式同向且两

边为正值时，可以相乘，但不可以相除．(3)性质(5)(6)成立的条件是已知不等式两边均为正值，并且

n∈N，n≥2，否则结论不成立．而当n取正奇数时可放宽条件，

a>b?an>bn(n＝2k＋1，k∈N)，a>b?>(n＝2k＋1，k∈N*)．

和n的大小．

m－n＝＋－＝－＝＝，

∵x，y均为正数，

∴x>0，y>0，xy>0，x＋y>0，(x－y)2≥0.

∴m－n≥0，即m≥n(当x＝y时，等号成立)．

比较两个数(式子)的大小，一般用作差法，其步骤是：作差—变形—判断差的符号—结论，其中“变形”是关键，常用的方法是分解

因式、配方等．1．已知a，b∈R，比较a4＋b4与a3b＋ab3的大小．

解：因为(a4＋b4)－(a3b＋ab3)

＝a3(a－b)＋b3(b－a)

＝(a－b)(a3－b3)

＝(a－b)2(a2＋ab＋b2)

＝(a－b)2≥0.

当且仅当a＝b时，等号成立，