高三复习数学(圆锥曲线学生用书)
一．考情分析
高考分值圆锥曲线内容在高考卷中所占的分值一般为15分左右，约占全卷分数的10%
考查方式1．近几年高考对圆锥曲线的考查，主要考查圆锥曲线的的定义、标准方程、几何性质，以及直线与圆锥曲线的位置关系和求轨迹方程等内容．以圆锥曲线为载体在知识
网络的交汇点处设计问题也是近几年高考的一大特点．圆锥曲线的知识综合性强，在
解题中几乎处处涉及函数与方程、不等式、三角及直线等内容．计算量大，要求学生
有较高的计算水平和较强的计算能力．
2．以圆锥曲线为载体的解答题设计中，重点是求曲线的方程和直线与讨论圆锥曲线
的位置关系．解答题的题型设计主要有三类：一是圆锥曲线的有关元素计算．关系证
明或范围的确定；二是涉及与圆锥曲线平移与对称变换、最值或位置关系的问题；三
是求平面曲线(整体或部分)的方程或轨迹．预测2012年高考的命题趋势是：将加强
对于圆锥曲线的基本概念和性质的考查，加强对于分析和解决问题能力的考查．因此，
教学中要注重对圆锥曲线定义、性质、以及圆锥曲线基本量之间关系的掌握和灵活应
用．有1 至 2 道考察圆锥曲线概念和性质客观题，主要是求值问题．
二．知识回顾
1．椭圆的定义
(1)第一定义：平面内与两个定点F1、F2 的距离之和为常数2a(2a>|F1F2|)的动点P 的轨迹叫椭圆，其中两个定点F1、F2 叫椭圆的焦点．
当|PF1|＋|PF2|＝2a>|F1F2|时，P 的轨迹为椭圆；
当|PF1|＋PF2|＝2a<|F1F2|时，P 的轨迹不存在；
当|PF1| ＋|PF2| ＝2a ＝|F1F2| 时，P 的轨迹为
以F1、F2 为端点的线段
(2)第二定义：平面内到定点F 与定直线l(定点F 不在定直线l 上)的距离之比是常数e(0 2．椭圆的方程与几何性质 1．双曲线的定义 (1)第一定义：当||PF1|－|PF2||＝2a<|F1F2|时，P 的轨迹为双曲线； 当||PF1|－|PF2||＝2a>|F1F2|时，P 的轨迹不存在； 当|| PF1| －| PF2|| ＝ 2 a ＝| F1F2| 时，P 的轨迹为以F1、F2 为端点的两条射线。 (2)第二定义：平面内到定点F 与定直线l(定点F 不在定直线l 上)的距离之比是常数e(e>0)的点的轨迹为双曲线。 2．双曲线的标准方程与几何性质 1．抛物线的定义 平面上到定点的距离与到定直线 l (定点不在直线 l 上)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点为抛物线的焦点，定直线为抛物线的准线． 2．抛物线的标准方程、类型及其几何性质(p >0) 标准方程 y 2＝2px y 2＝－2px x 2＝2py x 2＝－2py 图形 焦点 F ? ?? ???p 2，0 F ? ?? ??? －p 2，0 F ? ?? ???0，p 2 F ? ?? ???0，－p 2 准线 x ＝－p 2 x ＝p 2 y ＝－p 2 y ＝p 2 范围 x ≥0，y ∈R x ≤0，y ∈R x ∈R ，y ≥0 x ∈R ，y ≤0 对称轴 x 轴 y 轴 顶点 (0,0) 三．重点突破 典例解析 1．已知椭圆x 2 a 2＋y 2 b 2＝1(a >b >0)，过焦点F 1的弦AB 的长是2，另一焦点为F 2，则△ABF 2的周长 是 ( ) A ．2a B ．4a －2 C ．4a D ．4a ＋4 解析：△ABF 2的周长＝|AF 1|＋|AF 2|＋|BF 1|＋|BF 2|＝4a . 答案：C 2．已知椭圆C 的短轴长为6，离心率为4 5，则椭圆C 的焦点F 到长轴的一个端点的距离为 ( ) A ．9 B ．1 C ．1或9 D ．以上都不对 解析：由题意知b ＝3，又e ＝ a 2－ b 2 a 2 ＝ 1－9a 2＝4 5 ，得a ＝5. ∴c ＝a 2－b 2＝4， ∴焦点F 到长轴的一个端点的距离为1或9. 答案：C 3.已知椭圆x 25＋y 2m ＝1的离心率e ＝10 5，则m 的值为________． 解析：若5>m ，则 5－m 5 ＝10 5，∴m ＝3. 若5 ＝105，∴m ＝25 3. 答案：3或 25 3 4．已知P 是以F 1，F 2为焦点的椭圆x 2a 2＋y 2 b 2＝1(a >b >0)上的一点，若1PF ·2 PF ＝0，tan ∠ PF 1F 2＝1 2，则此椭圆的离心率为________． 解析：如图，令|PF 1|＝m ，|PF 2|＝n ， 则n m ＝1 2 ，∴m ＝2n . 又????? m ＋n ＝2a m 2＋n 2＝4c 2，∴e ＝c a ＝53. 答案： 5 3 学 习 心 得 5. (2011·徐州模拟)（1）已知F 1、F 2是椭圆C ：x 2a 2＋y 2 b 2＝1 (a ＞b ＞0)的两个焦点，P 为椭圆C 上的一点，且1PF ⊥2PF .若△PF 1F 2的面积为9，则b ＝________. (2)已知椭圆x 2a 2＋y 2 b 2＝1(a >b >0)的长轴的一个端点是A (2,0)．直线l 经过椭圆的中心O 且与椭圆相 交于B 、C 两点，AC ·BC ＝0，|OC －OB |＝2|BC －BA |，则椭圆的方程为________________． 解析：（1）设|PF 1|＝r 1，|PF 2|＝r 2，则????? r 1＋r 2＝2a ， r 21＋r 22 ＝4c 2 ， ∴2r 1r 2＝(r 1＋r 2)2－(r 21＋r 22)＝4a 2－4c 2＝4b 2 ， ∴S △PF 1F 2＝1 2 r 1r 2＝b 2＝9，∴b ＝3. (2)由已知得a ＝2，又AC ·BC ＝0，|OC －OB |＝2|BC －BA | 所以AC ⊥BC ，BC ＝2·AC ，而OB ＝OC ， 所以CO ＝CA ，即△COA 是等腰直角三角形， 又OA ＝2，于是可以求得C (1,1)或C (1，－1)， 代入椭圆方程可求得b 2 ＝43，故椭圆的方程为x 24＋y 2 4 3 ＝1. [答案] (1)3 (2)x 24＋y 2 4 3 ＝1 6.已知椭圆x 216＋y 2 4＝1的焦点为F 1、F 2，P 点椭圆上一点且 ∠F 1PF 2＝60°，求△F 1PF 2的面积． 解：在△F 1PF 2中由余弦定理得 |PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1|·|PF 2|·cos60°＝|F 1F 2|2 即|PF 1|2＋|PF 2|2－|PF 1|·|PF 2|＝48 ① 由椭圆的定义：|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝8 ∴|PF 1|2＋|PF 2|2＋2|PF 1|·|PF 2|＝64 ② ①－②得 3|PF 1|·|PF 2|＝16，∴|PF 1||PF 2|＝163 ∴S △F 1PF 2＝12|PF 1|·|PF 2|·sin60°＝12×163×32＝43 3 . 7. 已知椭圆：x 2a 2＋y 2 b 2＝1(a ＞b ＞0)的两个焦点分别为F 1、F 2，斜率为k 的直线l 过左焦点F 1且 与椭圆的交点为A 、B ，与y 轴交点为C ，若B 为线段CF 1的中点，若|k |≤ 14 2 求椭圆离心率e 的取值范围． 解析：设F 1(－c,0)，则直线l 的方程为y ＝k (x ＋c )． 令x ＝0得y ＝kc ，∴点C 的坐标为(0，kc )，从而点B 的坐标为 (－c 2，kc 2)． ∵点B 在椭圆上， ∴c 24a 2＋k 2c 2 4b 2＝1， 即c 24a 2＋k 2c 24(a 2－c 2)＝1，即e 2＋k 2e 21－e 2＝4. ∴k 2 ＝(4－e 2)(1－e 2)e 2 . 又|k |≤14 2，∴(4－e 2)(1－e 2)e 2≤72， 即2e 4－17e 2＋8≤0，解得1 2≤e 2≤8. 又0 2≤e <1. 8. (2010·天津高考)已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率e ＝3 2 ，连接椭圆的四个顶点得到的 菱形的面积为4. (1)求椭圆的方程； (2)设直线l 与椭圆相交于不同的两点A ，B .已知点A 的坐标为(－a,0)． ①若|AB |＝ 42 5 ，求直线l 的倾斜角； ②若点Q (0，y 0)在线段AB 的垂直平分线上，且QA ·QB ＝4.求y 0的值． 解析 (1)由e ＝c a ＝3 2，得3a 2＝4c 2. 再由c 2＝a 2－b 2，解得a ＝2b . 由题意可知1 2 ×2a ×2b ＝4，即ab ＝2. 解方程组? ???? a ＝2 b ， ab ＝2，得a ＝2，b ＝1. 所以椭圆的方程为x 24 ＋y 2 ＝1. (2)(ⅰ)由(1)可知点A 的坐标是(－2,0)，设点B 的坐标为(x 1，y 1)， 直线l 的斜率为k .则直线l 的方程为y ＝k (x ＋2)． 于是A 、B 两点的坐标满足方程组????? y ＝k (x ＋2)，x 2 4＋y 2 ＝1.消去y 并整理， 得(1＋4k 2)x 2＋16k 2x ＋(16k 2－4)＝0. 由－2x 1＝16k 2－41＋4k 2，得x 1＝2－8k 2 1＋4k 2 . 从而y 1＝ 4k 1＋4k 2 . 所以|AB |＝ (－2－2－8k 21＋4k 2)2＋(4k 1＋4k 2)2＝41＋k 2 1＋4k 2 . 由|AB |＝42 5，得41＋k 21＋4k 2 ＝425. 整理得32k 4－9k 2－23＝0，即(k 2－1)(32k 2＋23)＝0，解得k ＝±1. 所以直线l 的倾斜角为π4或3π 4 . (ⅱ)设线段AB 的中点为M ，由(ⅰ)得M 的坐标为(－8k 21＋4k 2，2k 1＋4k 2)． 以下分两种情况： ①当k ＝0时，点B 的坐标是(2,0)，线段AB 的垂直平分线为y 轴，于是QA ＝(－2，－y 0)，QB ＝(2，－y 0)．由QA ·QB ＝4，得y 0＝± 2 2. ②当k ≠0时，线段AB 的垂直平分线方程为y －2k 1＋4k 2＝－1k (x ＋8k 21＋4k 2)． 令x ＝0，解得y 0＝－ 6k 1＋4k 2 . 由QA ＝(－2，－y 0)，QB ＝(x 1，y 1－y 0)，QA ·QB ＝－2x 1－y 0(y 1－y 0)＝－2(2－8k 2)1＋4k 2＋6k 1＋4k 2 (4k 1＋4k 2＋6k 1＋4k 2)＝4(16k 4＋15k 2－1)(1＋4k 2)2 ＝4，整理得7k 2＝2.故k ＝±147.所以y 0＝±2145. 综上，y 0＝±22或y 0＝±214 5 . 四．课堂搭配练习 1．设P 是椭圆x 225＋y 2 16＝1上的点．若F 1、F 2是椭圆的两个焦点，则|PF 1|＋|PF 2|等于( ) A ．4 B ．5 C ．8 D ．10 2．(2010·广东高考)若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是( ) A.45 B.35 C.25 D.15 3．“m ＞n ＞0”是“方程mx 2＋ny 2＝1表示焦点在y 轴上的椭圆”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 4．(2011·长沙模拟)已知焦点在x 轴上的椭圆的离心率为1 2，且它的长轴长等于圆C ：x 2＋y 2－2x －15 ＝0的半径，则椭圆的标准方程是( ) A.x 24＋y 2 3＝1 B.x 216＋y 2 12＝1 C.x 24 ＋y 2 ＝1 D.x 216＋y 2 4 ＝1 5．若椭圆上存在点P ，使得点P 到两个焦点的距离之比为2∶1，则此椭圆离心率的取值范围是( ) A ．[14，1 3] B ．[13，12] C ．(1 3 ，1) D ．[1 3 ，1) 6．过椭圆x 26＋y 2 5＝1内的一点P (2，－1)的弦，恰好被P 点平分，则这条弦所在的直线方程是( ) A ．5x －3y －13＝0 B ．5x ＋3y －13＝0 C ．5x －3y ＋13＝0 D ．5x ＋3y ＋13＝0 7．已知椭圆G 的中心在坐标原点，长轴在x 轴上，离心率为3 2 ，且G 上一点到G 的两个焦点的距离之和为12，则椭圆G 的方程为________________． 8．已知椭圆的中心在原点，焦点在y 轴上，若其离心率为1 2，焦距为8，则该椭圆的方程是 ____________． 9．(2010·湖北高考)已知椭圆C ：x 22＋y 2＝1的两焦点为F 1，F 2，点P (x 0，y 0)满足0＜x 202＋y 2 0＜1，则 |PF 1|＋|PF 2|的取值范围为________，直线 x 0x 2 ＋y 0y ＝1与椭圆C 的公共点个数为________． 10．已知椭圆的一个顶点为A (0，－1)，焦点在x 轴上，若右焦点到直线x －y ＋22＝0的距离为3. (1)求椭圆的方程； (2)设直线l ：y ＝x ＋m ，是否存在实数m ，使直线l 与(1)中的椭圆有两个不同的交点M 、N ，使|AM |＝|AN |，若存在，求出m 的值，若不存在，请说明理由． 11．已知椭圆C 的中心在原点，一个焦点为F (－2,0)，且长轴长与短轴长的比是2∶ 3. (1)求椭圆C 的方程； (2)设点M (m,0)在椭圆C 的长轴上，点P 是椭圆上任意一点．当|MP |最小时，点P 恰好落在椭圆的 右顶点，求实数m 的取值范围． 12．(2010·全国新课标)设F 1，F 2分别是椭圆E ：x 2a 2＋y 2 b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，过F 1斜率为1的 直线l 与E 相交于A ，B 两点，且|AF 2|，|AB |，|BF 2|成等差数列． (1)求E 的离心率； (2)设点P (0，－1)满足|PA |＝|PB |，求E 的方程． 五．错题记录 错题题号 错误原因 错误知识点小结 课堂练习 课后作业 三．重点突破 典例解析 1．已知双曲线x 2a 2－y 2 b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线为y ＝kx (k ＞0)，离 心率e ＝5k ，则双曲线方程为 ( ) A.x 2a 2－y 24a 2＝1 B.x 2a 2－y 2 5a 2＝1 C.x 24b 2－y 2b 2＝1 D.x 25b 2－y 2 b 2＝1 解析：由题意知，k ＝b a ， ∵e ＝5k ＝5·b a ，即c a ＝5b a ， ∴c ＝5b ，c 2＝5b 2，∴a 2＝c 2－b 2＝4b 2. 答案：C 2．设双曲线x 2a 2－y 2 b 2＝1的一条渐近线与抛物线y ＝x 2＋1只有一个公共点， 则双曲线的离心率为 ( ) A.5 4 B ． 5 C. 5 2 D. 5 解析：设双曲线的渐近线方程为y ＝kx ，这条直线与抛物线y ＝x 2＋1相切，联立 学习心得 ????? y ＝kx y ＝x 2＋1 ，整理得x 2－kx ＋1＝0，则Δ＝k 2－4＝0. 解得k ＝±2，即b a ＝2，故e ＝c a ＝ c 2a 2＝ a 2＋b 2 a 2 ＝ 1＋(b a )2＝ 5. 答案： D 3．过双曲线x 24－y 2 3＝1左焦点F 1的直线交双曲线的左支于M ，N 两点，F 2为其右焦 点，则|MF 2|＋|NF 2|－|MN |的值是________． 解析：|MF 2|＋|NF 2|－|MN |＝|MF 2|＋|NF 2|－|MF 1|－|NF 1| ＝(|MF 2|－|MF 1|)＋(|NF 2|－|NF 1|)＝4a ＝8. 答案：8 4．设双曲线x 29－y 2 16＝1的右顶点为A ，右焦点为F ，过点F 作平行双曲线的一条渐近 线的直线与双曲线交于点B ，则△AFB 的面积为________． 解析：由题意知，A (3,0)，F (5,0)，渐近线斜率k ＝±4 3， 则直线方程为y ＝4 3(x －5)， 代入x 29－y 216＝1，得x ＝175， ∴y ＝－ 3215，即B (175，－32 15 )， ∴S △AFB ＝12×2×3215＝32 15. 答案： 3215 5.(2010·浙江高考)设F 1、F 2分别为双曲线x 2a 2－y 2 b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点．若在双 曲线右支上存在点P ，满足|PF 2|＝|F 1F 2|，且F 2到直线PF 1的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的渐近线方程为 ( ) A ．3x ±4y ＝0 B ．3x ±5y ＝0 C ．4x ±3y ＝0 D ．5x ±4y ＝0 如图，过F 2作PF 1的垂线，垂足为Q ， ∵|PF 2|＝|F 1F 2|， ∴Q 为PF 1的中点， 在Rt △F 1QF 2中， |F 1Q |2＝|F 1F 2|2－|QF 2|2＝(2c )2－(2a )2＝4b 2. ∴|F 1Q |＝2b .∴|PF 1|＝4b . ∵|PF 1|－|PF 2|＝2a ， ∴4b －2c ＝2a ， 即2b －c ＝a .∴2b －a ＝c . 两边平方得4b 2－4ab ＋a 2＝c 2＝a 2＋b 2. ∴3b 2＝4ab .∴b a ＝43，即渐近线的斜率k ＝±4 3 . [答案] C 6.(1)(2010·全国新课标)中心在原点，焦点在x 轴上的双曲线的一条渐近线经过点(4，－2)，则它的离心率为 ( ) A. 6 B.5 C. 62 D.5 2 (2)(2011·南京模拟)已知抛物线y 2 ＝2px (p >0)的焦点F 恰好是双曲线x 2a 2－y 2 b 2＝1的右焦 点，且双曲线过点(3a 2p ，2b 2 p )，则该双曲线的渐近线方程为________________． 解析：(1)设双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)，所以其渐近线方程为y ＝± b a x ，因为点(4，－2)在渐近线上，所以 b a ＝12，根据 c 2＝a 2＋b 2 ，可得c 2－a 2a 2＝14，解得e 2 ＝54，e ＝5 2 . (2)抛物线y 2 ＝2px 的焦点为(p 2，0)，双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的右焦点为(a 2＋b 2，0)，∴p 2 ＝ a 2 ＋b 2 ，即p 2 ＝4(a 2 ＋b 2 )．因为双曲线过点(3a 2p ，2b 2p )，所以9a 4a 2p 2－4b 4 b 2p 2＝1，即 9a 2－4b 2p 2 ＝1，∴9a 2－4b 2＝p 2＝4(a 2＋b 2)，∴8b 2＝5a 2，∴b a ＝±10 4，渐近线方程为y ＝± 10 4 x . [答案] (1)D (2)y ＝± 104 x 7．已知曲线C ：x 2－y 2＝1及直线l ：y ＝kx －1. (1)若l 与C 有两个不同的交点，求实数k 的取值范围； (2)若l 与C 交于A 、B 两点，O 是坐标原点，且△AOB 的面积为2， 求实数k 的值． 解析：(1)双曲线C 与直线l 有两个不同的交点， 则方程组? ???? x 2－y 2＝1 y ＝kx －1有两个不同的解， 代入整理得(1－k 2)x 2＋2kx －2＝0. ∴? ???? 1－k 2 ≠0，Δ＝4k 2＋8(1－k 2 )>0， 解得－2 故当－2 (2)设交点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，直线l 与y 轴交于点D (0，－1)． ∴??? x 1 ＋x 2 ＝－2k 1－k 2 ，x 1x 2 ＝ －2 1－k 2 . 当A ，B 在双曲线的一支上且|x 1|>|x 2|时， S △OAB ＝S △OAD －S △OBD ＝12(|x 1|－|x 2|)＝1 2|x 1－x 2|； 当A ，B 在双曲线的两支上且x 1>x 2时， S △OAB ＝S △OAD ＋S △OBD ＝1 2(|x 1|＋|x 2|) ＝1 2 |x 1－x 2|. ∴S △OAB ＝1 2|x 1－x 2|＝2， ∴(x 1－x 2)2＝(22)2， 即(－2k 1－k 2)2＋81－k 2＝8，解得k ＝0或k ＝±62. 又∵－2 6 2 时，△AOB 的面积为 2. 四．课堂搭配练习 1．“ab <0”是“方程ax 2＋by 2＝c 表示双曲线”的( ) A ．必要但不充分条件 B ．充分但不必要条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 2．(2010·西城模拟)若点P (2,0)到双曲线x 2a 2－y 2 b 2＝1的一条渐近线的距离为2，则双曲线的离心率为 ( ) A. 2 B. 3 C ．2 2 D ．2 3 3．已知点F 1(－2，0)，F 2(2，0)，动点P 满足|PF 2|－|PF 1|＝2，当点P 的纵坐标是1 2时，点P 到坐 标原点的距离是( ) A.6 2 B.32 C. 3 D ．2 4．(2010·辽宁高考)设双曲线的一个焦点为F，虚轴的一个端点为B，如果直线FB与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为() A. 2 B. 3 C.3＋1 2 D. 5＋1 2 5．在平面直角坐标系xOy中，已知△ABC的顶点A(－5,0)和C(5,0)，顶点B在双曲线x2 16－ y2 9＝1上， 则 sin B |sin A－sin C| 为() A. 3 2 B. 2 3 C. 5 4 D. 4 5 6．(2010·全国新课标)已知双曲线E的中心为原点，F(3,0)是E的焦点，过F的直线l与E相交于A， B两点，且AB的中点为N(－12，－15)，则E的方程为() A.x2 3－ y2 6＝1 B. x2 4－ y2 5＝1 C.x2 6－ y2 3＝1 D. x2 5－ y2 4＝1 7．(2010·福建高考)若双曲线x2 4－ y2 b2＝1(b＞0)的渐近线方程为y＝± 1 2x，则b等于________． 8．(2010·北京高考)已知双曲线x2 a2－ y2 b2＝1的离心率为2，焦点与椭圆 x2 25＋ y2 9＝1的焦点相同，那么双 曲线的焦点坐标为________；渐近线方程为________． 9．P为双曲线x2－y2 15＝1右支上一点，M、N分别是圆(x＋4) 2＋y2＝4和(x－4)2＋y2＝1上的点，则 |PM|－|PN|的最大值为________． 10．已知双曲线关于两坐标轴对称，且与圆x2＋y2＝10相交于点P(3，－1)，若此圆过点P的切线与双曲线的一条渐近线平行，求此双曲线的方程． 11．设双曲线y2 a2－ x2 3＝1的两个焦点分别为F1、F2，离心率为2. (1)求此双曲线的渐近线l1、l2的方程； (2)若A、B分别为l1、l2上的点，且2|AB|＝5|F1F2|，求线段AB的中点M的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线． 12．(2011·广州模拟)如图，在以点O为圆心，AB为直径的半圆中，D为半圆弧的中点，P为半圆弧上一点，且AB＝4，∠POB＝30°，双曲线C以 A、B为焦点且经过点P. (1)建立适当的平面直角坐标系，求双曲线C的方程； (2)设过点D的直线l与双曲线C相交于不同两点E、F，若△OEF的面积不小于22，求直线l的斜率的取值范围． 五．错题记录 错题题号 错误原因 错误知识点小结 课堂练习 课后作业 三．重点突破 典例解析 1.过抛物线y 2＝4x 的焦点作直线交抛物线于A (x 1，y 1)， B (x 2，y 2)两点，若x 1＋x 2＝6，那么|AB |等于 ( ) A ．10 B ．8 C ．6 D ．4 解析：因线段AB 过焦点F ，则|AB |＝|AF |＋|BF |. 又由抛物线的定义知|AF |＝x 1＋1，|BF |＝x 2＋1， 故|AB |＝x 1＋x 2＋2＝8. 答案：B 2.(2010·重庆高考)已知过抛物线y 2＝4x 的焦点F 的直线交 该抛物线于A 、B 两点，|AF |＝2，则|BF |＝________. 解析：设点A ，B 的横坐标分别是x 1，x 2，则依题意有焦点F (1，0)，|AF |＝x 1＋1＝2，x 1＝1，直线AF 的方程是x ＝1，此时弦AB 为抛物线的通径，故|BF |＝|AF |＝2. 答案：2 3.已知抛物线C 的顶点为坐标原点，焦点在x 轴上，直线y ＝x 与抛物线C 交于A ，B 两点．若P (2,2)为AB 的中点，则抛物线C 的方程为________________． 解析：设抛物线方程为y 2＝ax .A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则y 1＋y 2＝4，y 21＝ax 1， ① y 22＝ax 2， ② ∴①－②得y 21－y 22＝a (x 1－x 2)， ∴(y 1＋y 2)·y 1－y 2x 1－x 2＝a ， ∴a ＝4×1＝4，∴y 2＝4x . 学习心得 答案：y 2＝4x 4.设P 是抛物线y 2＝4x 上的一个动点． (1)求点P 到点A (－1,1)的距离与点P 到直线x ＝－1的距离 之和的最小值； (2)若B (3,2)，求|PB |＋|PF |的最小值． 解析：(1)如图，易知抛物线的焦点为 F (1,0)，准线是x ＝－1. 由抛物线的定义知：点P 到直线x ＝－1的 距离等于点P 到焦点F 的距离． 于是，问题转化为：在曲线上求一点P ，使点P 到点A (－1,1)的距离与点P 到F (1,0)的距离之和最小． 显然，连结AF 交曲线于P 点，则所求的最小值为 |AF |，即为 5. (2)如图，自点B 作BQ 垂直准线于Q ，交抛物线于点P 1，则|P 1Q |＝|P 1F |.则有|PB |＋|PF |≥|P 1B |＋|P 1Q |＝|BQ |＝4.即|PB |＋|PF |的最小值为4. 注：若将本例(2)中的B 点坐标改为(3，4)，则如何求|PB |＋|PF |的最小值. 解：由题意可知点(3,4)在抛物线的外部． |PB |＋|PF |的最小值即为B 、 F 两点间的距离． ∴|PB |＋|PF |≥|BF |＝ 42＋22＝16＋4＝2 5. 5. (1)(2011·天津模拟)设斜率为2的直线l 过抛物线y 2＝ax (a ≠0)的焦点F ，且和y 轴交于点A .若△OAF (O 为坐标原点)的面积为4，则抛物线方程为 ( ) A ．y 2＝±4x B ．y 2＝±8x C ．y 2＝4x D ．y 2＝8x (2)(2010·浙江高考)设抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，点A (0,2)．若线段FA 的中点B 在抛物线上，则B 到该抛物线准线的距离为________． 解析：(1)不论a 值正负，抛物线的焦点坐标都是(a 4，0)， 故直线l 的方程为y ＝2(x －a 4)， 令x ＝0得y ＝－a 2 ， 故△OAF 的面积为12×|a 4|×|－a 2|＝a 2 16 ＝4，故a ＝±8. (2)抛物线的焦点F 的坐标为(p 2，0)，线段FA 的中点B 的坐标为 (p 4，1)，代入抛物线方程得1＝2p ×p 4， 解得p ＝2，故点B 的坐标为(2 4 ，1)，故点B 到该抛物线准线的 距离为 24＋22＝32 4 . [答案] (1)B (2)32 4 6、(2010·湖北高考)已知一条曲线C 在y 轴右边，C 上每一点到点F (1,0)的距离减去它到y 轴距离的差都是1. (1)求曲线C 的方程； (2)是否存在正数m ，对于过点M (m,0)且与曲线C 有两个交点A ，B 的任一直线，都有 FA · FB ＜0？若存在，求出m 的取值范围；若不存在，请说明理由． 解析：(1)设P (x ，y )是曲线C 上的任意一点，那么点P (x ，y )满足：(x －1)2＋y 2－x ＝1(x ＞0)． 化简得y 2＝4x (x ＞0)． (2)设过点M (m,0)(m ＞0)的直线l 与曲线C 的交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，l 的方程为x ＝ty ＋m ， 由? ???? x ＝ty ＋m ，y 2＝4x ，得y 2－4ty －4m ＝0，Δ＝16(t 2＋m )＞0， 于是? ???? y 1＋y 2＝4t ，y 1y 2＝－4m . ① 又FA ＝(x 1－1，y 1)，FB ＝(x 2－1，y 2)， FA ·FB ＜0?(x 1－1)(x 2－1)＋y 1y 2＝x 1x 2－(x 1＋x 2)＋1＋y 1y 2＜0， ② 又x ＝y 2 4 ，于是不等式②等价于 y 214·y 224＋y 1y 2－(y 214＋y 22 4 )＋1＜0 ?(y 1y 2)216＋y 1y 2－14[(y 1＋y 2)2－2y 1y 2]＋1＜0， ③ 由①式知不等式③等价于 m 2－6m ＋1＜4t 2， ④ 对任意实数t,4t 2的最小值为0，所以不等式④对于一切t 成立等价于m 2－6m ＋1＜0，即3－22＜m ＜3＋2 2. 由此可知，存在正数m ，对于过点M (m,0)且与曲线C 有两个交点A ，B 的任一直线，都有FA ·FB ＜0，且m 的取值范围是(3－22，3＋22)． 7.(2010·山东高考)已知抛物线y 2＝2px (p ＞0)，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A 、B 两点，若线段AB 的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为( ) A ．x ＝1 B ．x ＝－1 C ．x ＝2 D ．x ＝－2 解析：抛物线的焦点F (p 2，0)，所以过焦点且斜率为1的直线方程为y ＝x －p 2，即x ＝y ＋p 2，将其代入得：y 2＝2px ＝2p (y ＋p 2)＝2py ＋p 2，所以y 2－2py －p 2＝0，所以y 1＋y 22＝p ＝2，所以抛物线的方程为y 2＝4x ，准线方程为x ＝－1. [答案] B 四．课堂搭配练习 1．已知抛物线的顶点在原点，焦点在y 轴上，抛物线上的点P (m ，－2)到焦点的距离为4，则m 的值为( ) A ．4 B ．－2 C ．4或－4 D ．12或－2 2．(2010·陕西高考)已知抛物线y 2＝2px (p ＞0)的准线与圆(x －3)2＋y 2＝16相切，则p 的值为( ) A.12 B ．1 C ．2 D ．4 3．已知抛物线C 与双曲线x 2－y 2＝1有相同的焦点，且顶点在原点，则抛物线C 的方程是( ) A ．y 2＝±22x B ．y 2＝±2x C ．y 2＝±4x D ．y 2＝±42x 4．(2010·辽宁高考)设抛物线y 2＝8x 的焦点为F ，准线为l ，P 为抛物线上一点，PA ⊥l ，A 为垂足．如果直线AF 的斜率为－3，那么|PF |＝( ) A ．4 3 B ．8 C ．8 3 D ．16 5．若双曲线x 23－16y 2 p 2＝1的左焦点在抛物线y 2＝2px 的准线上，则p 的值为( ) A ．2 B ．3 C ．4 D. 2 6．已知过抛物线y 2＝6x 焦点的弦长为12，则此弦所在直线的倾斜角是( ) A.π6或5π 6 B.π4或3π4 C.π3或2π3 D.π2 7．抛物线2x 2＋y ＝0的焦点坐标是________． 8．(2011·南京模拟)已知点A (－2,1)，y 2＝－4x 的焦点是F ，P 是y 2＝－4x 上的点，为使|PA |＋|PF |取得最小值，P 点的坐标是________． 9．(2010·湖南高考)过抛物线x 2＝2py (p >0)的焦点作斜率为1的直线与该抛物线交于A ，B 两点，A ，B 在x 轴上的正射影分别为D ，C .若梯形ABCD 的面积为122，则p ＝________. 10．已知点A (0，－2)，B (0,4)，动点P (x ，y )满足PA ·PB ＝y 2－8. (1)求动点P 的轨迹方程； (2)设(1)中所求轨迹方程与直线y ＝x ＋2交于C ，D 两点，求证：OC ⊥OD (O 为原点)． 11．(2010·福建高考)已知抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)过点A (1，－2)． (1)求抛物线C 的方程，并求其准线方程； (2)是否存在平行于OA (O 为坐标原点)的直线l ，使得直线l 与抛物线C 有公共点，且直线OA 与l 的距离等于 5 5 ？若存在，求直线l 的方程；若不存在，说明理由． 12.已知椭圆C 1：y 2a 2＋x 2 b 2＝1(a ＞b ＞0)的右顶点为A (1,0)，过C 1的焦点且垂直长轴的弦长为1. (1)求椭圆C 1的方程； (2)设点P 在抛物线C 2：y ＝x 2＋h (h ∈R)上，C 2在点P 处的切线与C 1交于点M ，N .当线段AP 的中点与MN 的中点的横坐标相等时，求h 的最小值． 五．错题记录 错题题号 错误原因 错误知识点小结 课堂练习 课后作业 2020高考虽然延期，但是每天练习一定要跟上，加油！ 圆锥曲线 一． 选择题： 1.（福建卷11)又曲线22 221x y a b ==（a ＞0,b ＞0）的两个焦点为F 1、 F 2,若P 为其上一点，且|PF 1|=2|PF 2|,则双曲线离心率的取值范围为B A.(1,3) B.(]1,3 C.(3,+∞) D.[)3,+∞ 2.（海南卷11）已知点P 在抛物线y 2 = 4x 上，那么点P 到点Q （2， －1）的距离与点P 到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P 的坐标为（ A ） A. （4 1 ，－1） B. （4 1，1） C. （1，2） D. （1，－2） 3.(湖北卷10)如图所示，“嫦娥一号”探月卫星沿地月转移轨道飞向月球，在月球附近一点P 轨进入以月球球心F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行，之后卫星在P 点第二次变轨进入仍以F 为一个焦点 的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行，最终卫星在P 点第三次变轨进入以F 为圆心的圆形轨道Ⅲ绕月飞行，若用12c 和22c 分别表示椭轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距，用12a 和22a 分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴的长，给出下列式子： ①1122a c a c +=+; ②1122a c a c -=-; ③1212c a a c >; ④ 1 1 c a ＜2 2 c a . 其中正确式子的序号是B A. ①③ B. ②③ C. ①④ D. ②④ 4.（湖南卷8）若双曲线22221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）上横坐标为32 a 的点 到右焦点的距离大于它到左准线的距离，则双曲线离心率的取值范围是( B ) A.(1,2) B.(2,+∞) C.(1,5) D. (5,+∞) 5.（江西卷7）已知1F 、2F 是椭圆的两个焦点，满足120MF MF ?=u u u u r u u u u r 的点M 总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是C A ．(0,1) B ．1 (0,]2 C ．(0, 2 D ．,1)2 6.（辽宁卷10）已知点P 是抛物线22y x =上的一个动点，则点P 到点（0，2）的距离与P 到该抛物线准线的距离之和的最小值为（ A ） A B ．3 C D ．92 7.（全国二9）设1a >，则双曲线22 22 1(1)x y a a - =+的离心率e 的取值范围是（ B ） A ． B ． C ．(25)， D ．(2 8.（山东卷(10)设椭圆C 1的离心率为 13 5 ，焦点在X 轴上且长轴长为 A B C D - 圆锥曲线 一、知识结构 1.方程的曲线 在平面直角坐标系中，如果某曲线C(看作适合某种条件的点的集合或轨迹 )上的点与一个二元方程f(x,y)=0的实数解建立了如下的关系： (1)曲线上的点的坐标都是这个方程的解； (2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点.那么这个方程叫做曲线的方程；这条曲线叫做方程的曲线. 点与曲线的关系若曲线C的方程是f(x,y)=0，则点P0(x0,y0)在曲线C上?f(x0,y 0)=0； 点P0(x0,y0)不在曲线C上?f(x0,y0)≠0 两条曲线的交点若曲线C1，C2的方程分别为f1(x,y)=0,f2(x,y)=0,则 f1(x0,y0)=0 点P0(x0,y0)是C1，C2的交点? f2(x0,y0) =0 方程组有n个不同的实数解，两条曲线就有n个不同的交点；方程组没有实数解，曲线就没有交点. 2.圆 圆的定义：点集：｛M ｜｜OM ｜=r ｝，其中定点O 为圆心，定长r 为半径. 圆的方程： (1)标准方程 圆心在c(a,b)，半径为r 的圆方程是 (x-a)2 +(y-b)2 =r 2 圆心在坐标原点，半径为r 的圆方程是 x 2 +y 2 =r 2 (2)一般方程 当D 2 +E 2 -4F ＞0时，一元二次方程 x 2 +y 2 +Dx+Ey+F=0 叫做圆的一般方程，圆心为(-2D ,-2 E ），半径是 2 4F -E D 22+.配方，将方程 x 2 +y 2 +Dx+Ey+F=0化为 (x+2D )2+(y+2 E )2=44 F -E D 22+ 当D 2 +E 2 -4F=0时，方程表示一个点 (-2D ,-2 E ); 当D 2 +E 2-4F ＜0时，方程不表示任何图形. 点与圆的位置关系 已知圆心C(a,b),半径为r,点M 的坐标为(x 0,y 0)，则 ｜MC ｜＜r ?点M 在圆C 内，｜MC ｜=r ?点M 在圆C 上，｜MC ｜＞r ?点M 在圆C 内， 其中｜MC ｜=2 02 0b)-(y a)-(x +. (3)直线和圆的位置关系 ①直线和圆有相交、相切、相离三种位置关系 直线与圆相交?有两个公共点 直线与圆相切?有一个公共点 直线与圆相离?没有公共点 ②直线和圆的位置关系的判定 (i)判别式法 (ii)利用圆心C(a,b)到直线Ax+By+C=0的距离d= 2 2 C Bb Aa B A +++与半径r 的大小关系来判 定. (2019全国1)10.已知椭圆C 的焦点为)0,1(1-F ，)0,1(2F ，过2F 的直线与C 交于A ，B 两点.若||2||22B F AF =， ||||1BF AB =，则C 的方程为（ ） A.1222=+y x B. 12322=+y x C.13422=+y x D.14 522=+y x 答案： B 解答： 由椭圆C 的焦点为)0,1(1-F ，)0,1(2F 可知1=c ，又Θ||2||22B F AF =，||||1BF AB =，可设m BF =||2，则 m AF 2||2=，m AB BF 3||||1==，根据椭圆的定义可知a m m BF BF 23||||21=+=+，得a m 2 1 = ，所以a BF 21||2=，a AF =||2，可知),0(b A -，根据相似可得)21,23(b B 代入椭圆的标准方程122 22=+b y a x ，得32=a ， 22 22=-=c a b ，∴椭圆C 的方程为12 32 2=+ y x . (2019全国1)16.已知双曲线C:22 221(0,0)x y a b a b -=>>的左、右焦点分别为12,F F ，过1F 的直线与C 的 两条渐近线分别交于,A B 两点.若112,0F A AB F B F B =?=u u u r u u u r u u u r u u u r ，则C 的离心率为 . 答案： 2 解答： 由112,0F A AB F B F B =?=u u u r u u u r u u u r u u u r 知A 是1BF 的中点，12F B F B ⊥uuu r uuu r ，又O 是12,F F 的中点，所以OA 为中位线且1OA BF ⊥，所以1OB OF =，因此1FOA BOA ∠=∠，又根据两渐近线对称，12FOA F OB ∠=∠，所以260F OB ∠=?，221()1tan 602b e a =+=+?=. 规范练(五) 圆锥曲线 1．已知圆M ：x 2＋(y －2)2＝1，直线l ：y ＝－1，动圆P 与圆M 相外切，且与直线l 相切．设动圆圆心P 的轨迹为E . (1)求E 的方程； (2)若点A ，B 是E 上的两个动点，O 为坐标原点，且O A →·O B → ＝－16，求证：直线AB 恒过定点． (1)解 设P (x ，y )，则x 2＋(y －2)2＝(y ＋1)＋1，∴x 2＝8y .∴E 的方程为x 2＝8y . (2)证明 设直线AB ：y ＝kx ＋b ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)． 将直线AB 的方程代入x 2＝8y 中得x 2－8kx －8b ＝0，所以x 1＋x 2＝8k ，x 1x 2＝－8b . O A →·O B → ＝x 1x 2＋y 1y 2＝x 1x 2＋x 21x 2264＝－8b ＋b 2＝－16，∴b ＝4，所以直线AB 恒过定点(0,4)． 2．如图，已知点A (1，2)是离心率为22的椭圆C ：y 2a 2＋x 2 b 2＝1(a ＞b ＞0)上的一点，斜率为2的直线BD 交椭圆C 于B 、D 两点，且A 、B 、D 三点互不重合． (1)求椭圆C 的方程； (2)求证：直线AB 、AD 的斜率之和为定值． (1)解 由题意，可得e ＝c a ＝22，将(1，2)代入y 2a 2＋x 2b 2＝1，得2a 2＋1b 2＝1，又 a 2＝ b 2＋ c 2， 解得a ＝2，b ＝2，c ＝2， 所以椭圆C 的方程为y 24＋x 2 2＝1. (2)证明 设直线BD 的方程为y ＝2x ＋m ，又A 、B 、D 三点不重合，所以m ≠0. 高考数学试题分类详解——圆锥曲线 一、选择题 1.设双曲线22 221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）的渐近线与抛物线y=x 2 +1相切，则该双曲线的离心率等于( C ) （A （B ）2 （C （D 2.已知椭圆2 2:12 x C y +=的右焦点为F ,右准线为l ，点A l ∈，线段AF 交C 于点B ，若3F A F B =,则||AF = (A). (B). 2 (D). 3 3.过双曲线22 221(0,0)x y a b a b -=>>的右顶点A 作斜率为1-的直线，该直线与双曲线的两条渐近线 的交点分别为,B C ．若1 2 AB BC =，则双曲线的离心率是 ( ) A B C D 4.已知椭圆22 221(0)x y a b a b +=>>的左焦点为F ，右顶点为A ，点B 在椭圆上，且BF x ⊥轴， 直 线AB 交y 轴于点P ．若2AP PB =，则椭圆的离心率是（ ） A B ．2 C ．13 D ．12 5.点P 在直线:1l y x =-上，若存在过P 的直线交抛物线2 y x =于,A B 两点，且 |||PA AB =，则称点P 为“ 点”，那么下列结论中正确的是 （ ） A ．直线l 上的所有点都是“点” B ．直线l 上仅有有限个点是“点” C ．直线l 上的所有点都不是“ 点” D ．直线l 上有无穷多个点（点不是所有的点）是“ 点” 6.设双曲线12222=-b y a x 的一条渐近线与抛物线y=x 2 +1 只有一个公共点，则双曲线的离心率为 ( ). A. 4 5 B. 5 C. 25 D.5 7.设斜率为2的直线l 过抛物线2 (0)y ax a =≠的焦点F,且和y 轴交于点A,若△OAF(O 为坐标原点) 攻克圆锥曲线解答题的策略 摘要:为帮助高三学生学好圆锥曲线解答题，提高成绩，战胜高考，可从四个方面着手：知识储备、方法储备、思维训练、强化训练。 关键词：知识储备 方法储备 思维训练 强化训练 第一、知识储备： 1. 直线方程的形式 （1）直线方程的形式有五件：点斜式、两点式、斜截式、截距式、一般式。 （2）与直线相关的重要内容 ①倾斜角与斜率tan ,[0,)k ααπ=∈ ②点到直线的距离d = ③夹角公式：2121 tan 1k k k k α-= + （3）弦长公式 直线y kx b =+上两点1122(,),(,)A x y B x y 间的距离：12AB x =- =或12AB y =- （4）两条直线的位置关系 ①1212l l k k ⊥?=-1 ② 212121//b b k k l l ≠=?且 2、圆锥曲线方程及性质 (1)、椭圆的方程的形式有几种（三种形式） 标准方程：22 1(0,0)x y m n m n m n + =>>≠且 2a = 参数方程：cos ,sin x a y b θθ== (2)、双曲线的方程的形式有两种 标准方程：22 1(0)x y m n m n + =?< 距离式方程：2a = (3)、三种圆锥曲线的通径你记得吗 22 222b b p a a 椭圆：；双曲线：；抛物线： (4)、圆锥曲线的定义你记清楚了吗 如：已知21F F 、是椭圆13 42 2=+y x 的两个焦点，平面内一个动点M 满足221=-MF MF 则动点M 的轨迹是（ ） A 、双曲线； B 、双曲线的一支； C 、两条射线； D 、一条射线 (5)、焦点三角形面积公式：122tan 2 F PF P b θ ?=在椭圆上时，S 122cot 2 F PF P b θ ?=在双曲线上时，S （其中222 1212121212||||4,cos ,||||cos |||| PF PF c F PF PF PF PF PF PF PF θθθ+-∠==?=?） (6)、记住焦半径公式：（1）00;x a ex a ey ±±椭圆焦点在轴上时为焦点在y 轴上时为，可简记为“左 加右减，上加下减”。 （2）0||x e x a ±双曲线焦点在轴上时为 （3）11||,||22 p p x x y + +抛物线焦点在轴上时为焦点在y 轴上时为 (6)、椭圆和双曲线的基本量三角形你清楚吗 第二、方法储备 1、点差法（中点弦问题） 设 () 11,y x A 、()22,y x B ，()b a M ,为椭圆13 42 2=+y x 的弦AB 中点则有 1342 12 1=+y x ，1342 22 2=+y x ；两式相减得( )()03 4 2 2 2 1 2 2 21=-+-y y x x ? ()() ()() 3 4 21212121y y y y x x x x +-- =+-?AB k =b a 43- 2、联立消元法：你会解直线与圆锥曲线的位置关系一类的问题吗经典套路是什么如果有两个参数 怎么办 设直线的方程，并且与曲线的方程联立，消去一个未知数，得到一个二次方程，使用判别式 0?≥，以及根与系数的关系，代入弦长公式，设曲线上的两点1122(,),(,)A x y B x y ，将这两点代入曲线方程得到○1○2两个式子，然后○1-○2，整体消元······，若有两个字母未知数，则要找到它们的联系，消去一个，比如直线过焦点，则可以利用三点A 、B 、F 共线解决之。若有向量的关系，则寻找坐标之间的关系，根与系数的关系结合消元处理。一旦设直线为y kx b =+，就意味着k 存在。 全国高考理科数学试题分类汇编9：圆锥曲线 一、选择题 1 （高考江西卷（理）） 过点引直线l 与曲线y A,B 两点,O 为坐标原 点,当?AOB 的面积取最大值时,直线l 的斜率等于 （ ） A ．y E B B C CD =+ +3 B ．3 C ．3 ± D ． B 2 （福建数学（理）试题）双曲线2 214 x y -=的顶点到其渐近线的距离等于 （ ） A ． 25 B ． 45 C D C 3 （广东省数学（理）卷）已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为()3,0F ,离心率等于3 2, 在双曲线C 的方程是 （ ） A ．2214x = B ．221 45x y -= C ．22 125x y -= D ．22 12x =*B 4 （高考新课标1（理））已知双曲线C :22221x y a b -=(0,0a b >>) 则C 的 渐近线方程为 （ ） A ．1 4y x =± B ．13 y x =± C ．12 y x =± D ．y x =±*C 5 （高考湖北卷（理））已知04 π θ<<,则双曲线22 122: 1cos sin x y C θθ-=与22 2222 :1sin sin tan y x C θθθ -=的 （ ） A ．实轴长相等 B ．虚轴长相等 C ．焦距相等 D ．离心率相等*D 6 （高考四川卷（理））抛物线2 4y x =的焦点到双曲线2 2 13 y x -=的渐近线的距离是 （ ） A ． 12 B C ．1 D B 7 （浙江数学（理）试题）如图,21,F F 是椭圆14 :22 1=+y x C 与双曲线2C 的公共焦点,B A ,分别是1C ,2C 在第二、四象限的公共点.若四边形21BF AF 为矩形,则2C 的离心率是 （ ） A ．2 B ．3 C ． 2 3 D ． 2 6 *D 8 （天津数学（理）试题）已知双曲线22 221(0,0)x y a b a b -=>>的两条渐近线与抛物线 22(0)px p y =>的准线分别交于A , B 两点, O 为坐标原点. 若双曲线的离心率为2, △ AOB 则p = （ ） A ．1 B ． 3 2 C ．2 D ．3*C 9 （大纲版数学（理））椭圆22 :143 x y C +=的左、右顶点分别为12,A A ,点P 在C 上且直线2PA 的斜率的取值范围是[]2,1--,那么直线1PA 斜率的取值范围是 （ ） A ．1324 ?????? ， B ．3384 ?????? ， C ．112?? ???? ， D ．314?? ???? ，*B 10（大纲版数学（理））已知抛物线2 :8C y x =与点()2,2M -,过C 的焦点且斜率为k 的直 线与C 交于,A B 两点,若0MA MB =,则k = （ ） A ． 1 2 B ． 2 C D ．2*D 11（高考北京卷（理））若双曲线22 221x y a b -=,则其渐近线方程为 （ ） 高三文科数学圆锥曲线综合复习讲义 一、基础知识【理解去记】 1．椭圆的定义，第一定义：平面上到两个定点的距离之和等于定长（大于两个定点之间的距离）的点的轨迹，即|PF 1|+|PF 2|=2a (2a>|F 1F 2|=2c). 第二定义：平面上到一个定点的距离与到一条定直线的距离之比为同一个常数e(0 高中数学知识点大全—圆锥曲线 一、考点（限考）概要： 1、椭圆： （1）轨迹定义： ①定义一：在平面内到两定点的距离之和等于定长的点的轨迹是椭圆，两定点是焦点，两定点间距离是焦距，且定长2a大于焦距2c。用集合表示为： ； ②定义二：在平面内到定点的距离和它到一条定直线的距离之比是个常数e，那么这个点的轨迹叫做椭圆。其中定点叫焦点，定直线叫准线，常数e是离心率。 用集合表示为： ； （2）标准方程和性质： 注意：当没有明确焦点在个坐标轴上时，所求的标准方程应有两个。 （3）参数方程：（θ为参数）； 3、双曲线： （1）轨迹定义： ①定义一：在平面内到两定点的距离之差的绝对值等于定长的点的轨迹是双曲线，两定点是焦点，两定点间距离是焦距。用集合表示为： ②定义二：到定点的距离和它到一条定直线的距离之比是个常数e，那么这个点的轨迹叫做双曲线。其中定点叫焦点，定直线叫准线，常数e是离心率。 用集合表示为： （2）标准方程和性质： 注意：当没有明确焦点在个坐标轴上时，所求的标准方程应有两个。 4、抛物线： （1）轨迹定义：在平面内到定点和定直线的距离相等的点的轨迹是抛物线，定点是焦点，定直线是准线，定点与定直线间的距离叫焦参数p。用集合表示为 ： （2）标准方程和性质： ①焦点坐标的符号与方程符号一致，与准线方程的符号相反； ②标准方程中一次项的字母与对称轴和准线方程的字母一 致； ③标准方程的顶点在原点，对称轴是坐标轴，有别于一元二次函数的图像； 二、复习点睛： 1、平面解析几何的知识结构： 2、椭圆各参数间的关系请记熟“六点六线，一个三角形”，即六点：四个顶点，两个焦点；六线：两条准线，长轴短轴，焦点线和垂线PQ；三角形：焦点三角形。则椭圆的各性质（除切线外）均可在这个图中找到。 【2018高三数学各地优质二模试题分项精品】 一、单选题 1．【2018黑龙江大庆高三二模】已知分别是双曲线的左、右焦点，为双曲线右支上一点，若,，则双曲线的离心率为( ) A. B. C. D. 2 【答案】A 点睛：本题考查了双曲线的几何性质——离心率的求解，其中根据条件转化为圆锥曲线的离心率的方程是解答的 关键．求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出，代入公式；②只需要根据一个条件得到关于的齐次式，转化为的齐次式，然后转化为关于的方程(不等式)，解方程(不等式)，即可得(的取值范围)． 2．【2018广东惠州高三4月模拟】已知F是抛物线2x4y =的焦点，P为抛物线上的动点，且点A的坐标为 () 0,1-，则PF PA 的最小值是（） A. 14 B. 1 2 C. 22 D. 3 【答案】C 设切点() 2,P a a ，由214y x =的导数为1 2y x '=，则PA 的斜率为1222a a a ?== . ∴1a =，则()2,1P . ∴2PM =， 22PA =∴2 sin 2 PM PAM PA ∠== 故选C ． 点睛：本题主要考查抛物线的定义和几何性质，与焦点、准线有关的问题一般情况下都与拋物线的定义有关，解决这类问题一定要注意点到焦点的距离与点到准线的距离的转化， 这样可利用三角形相似，直角三角形中的锐角三角函数或是平行线段比例关系可求得距离弦长以及相关的最值等问题. 3．【2018河南郑州高三二模】如图，已知抛物线1C 的顶点在坐标原点，焦点在x 轴上，且过点()24，，圆 222:430C x y x +-+=,过圆心2C 的直线l 与抛物线和圆分别交于,,,P Q M N ,则4PN QM +的最小值为 ( ) 原创理科数学专题卷 专题 圆锥曲线与方程 考点40：椭圆及其性质(1-5题，13,14题) 考点41：双曲线及其性质（6-10题，15题） 考点42：抛物线及其性质（11,12题） 考点43：直线与圆锥曲线的位置关系（17-22题） 考点44：圆锥曲线的综合问题（16题，17-22题） 考试时间：120分钟 满分：150分 说明：请将选择题正确答案填写在答题卡上，主观题写在答题纸上 第I 卷（选择题） 一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．【来源】2017届湖南省长沙市高三上学期统一模拟考试 考点40 易 椭圆E 的焦点在x 轴上，中心在原点，其短轴上的两个顶点和两个焦点恰为边长是2的正方形的顶点，则椭圆E 的标准方程为（ ） A. 2212x += B. 22 12x y += C. 22142x y += D. 22142y x += 2．【2017课标3，理10】 考点40 易 已知椭圆C ：22 2 21x y a b +=，（a >b >0）的左、右顶点分别为A 1，A 2，且以线段A 1A 2为直径的 圆与直线20bx ay ab -+=相切，则C 的离心率为（ ） A ． B ． C ． D ．13 3．【来源】重庆市第一中学2016-2017学年高二月考 考点40 中难 已知椭圆 2 21(0)1 x y m m +=>+的两个焦点是12,F F ， E 是直线2y x =+与椭圆的一个公共点，当12EF EF +取得最小值时椭圆的离心率为（ ） A. 2 3 4．【来源】湖南省湘潭市2017第三次高考模拟 考点40 难 如图， 12,A A 为椭圆22 195 x y +=长轴的左、右端点， O 为坐标原点， ,,S Q T 为椭圆上不同于12,A A 的三点，直线12,,,QA QA OS OT 围成一个平行四边形OPQR ，则 全国卷高考数学圆锥曲线大题集大全 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN 高考二轮复习专项：圆锥曲线大题集 1. 如图，直线l 1与l 2是同一平面内两条互相垂直的直线，交点是A ，点B 、D 在直线l 1上(B 、D 位于点A 右侧)，且|AB|=4，|AD|=1，M 是该平面上的一个动点，M 在l 1上的射影点是N ，且|BN|=2|DM|. (Ⅰ) 建立适当的坐标系，求动点M 的轨迹C 的方程． (Ⅱ)过点D 且不与l 1、l 2垂直的直线l 交(Ⅰ)中的轨迹C 于E 、F 两点；另外平面上的点G 、H 满足： (R); AG AD λλ=∈2; GE GF GH +=0.GH EF ?= 求点G 的横坐标的取值范围． 2. 设椭圆的中心是坐标原点，焦点在x 轴上，离心率 23 = e ，已知点)3,0(P 到 这个椭圆上的点的最远距离是4，求这个椭圆的方程. 3. 已知椭圆)0(1:22221>>=+b a b y a x C 的一条准线方程是 , 425=x 其左、右顶点分别 B A D M B N l 2 l 1 是A、B；双曲线 1 : 2 2 2 2 2 = - b y a x C 的一条渐近线方程为3x－5y=0. （Ⅰ）求椭圆C1的方程及双曲线C2的离心率； （Ⅱ）在第一象限内取双曲线C2上一点P，连结AP交椭圆C1于点M，连结PB并延长交椭圆C1于点N，若AM=. 求证：.0 = ?AB MN 4. 椭圆的中心在坐标原点O,右焦点F（c,0）到相应准线的距离为1，倾斜角为45°的直线交椭圆于A，B两点.设AB中点为M，直线AB与OM的夹角为αa. （1）用半焦距c表示椭圆的方程及tanα; （2）若2 高中数学圆锥曲线解题 技巧总结 Company number：【WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998】 解圆锥曲线问题的常用方法大全 1、定义法 （1）椭圆有两种定义。第一定义中，r 1+r 2=2a 。第二定义中，r 1=ed 1 r 2=ed 2。 （2）双曲线有两种定义。第一定义中，a r r 221=-，当r 1>r 2时，注意r 2的最小值为c-a ：第二定义中，r 1=ed 1，r 2=ed 2，尤其应注意第二定义的应用，常常将 半径与“点到准线距离”互相转化。 （3）抛物线只有一种定义，而此定义的作用较椭圆、双曲线更大，很多抛物线问题用定义解决更直接简明。 2、韦达定理法 因直线的方程是一次的，圆锥曲线的方程是二次的，故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题，最终转化为一元二次方程问题，故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一，尤其是弦中点问题，弦长问题，可用韦达定理直接解决，但应注意不要忽视判别式的作用。 3、解析几何的运算中，常设一些量而并不解解出这些量，利用这些量过渡使问题得以解决，这种方法称为“设而不求法”。设而不求法对于直线与圆锥曲线相交而产生的弦中点问题，常用“点差法”，即设弦的两个端点A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),弦AB 中点为M(x 0,y 0)，将点A 、B 坐标代入圆锥曲线方程，作差后，产生弦中点与弦斜率的关系，这是一种常见的“设而不求”法，具体有： （1）)0(122 22>>=+b a b y a x 与直线相交于A 、B ，设弦AB 中点为M(x 0,y 0)，则有 020 20=+k b y a x 。 （2）)0,0(122 22>>=-b a b y a x 与直线l 相交于A 、B ，设弦AB 中点为M(x 0,y 0)则有02 020 =-k b y a x （3）y 2=2px （p>0）与直线l 相交于A 、B 设弦AB 中点为M(x 0,y 0),则有2y 0k=2p,即y 0k=p. 【典型例题】 例1、(1)抛物线C:y 2=4x 上一点P 到点A(3,42)与到准线的距离和最小,则点 P 的坐标为______________ (2)抛物线C: y 2=4x 上一点Q 到点B(4,1)与到焦点F 分析：（1）A 在抛物线外，如图，连PF ，则PF PH =现，当A 、P 、F 三点共线时，距离和最小。 椭圆与双曲线的性质 椭 圆 1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角. 2. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长 轴的两个端点. 3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相离. 4. 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切. 5. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=上，则过0P 的椭圆的切线方程是00221x x y y a b +=. 6. 若000(,)P x y 在椭圆22 221x y a b +=外 ，则过Po 作椭圆的两条切线切点为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的直线 方程是00221x x y y a b +=. 7. 椭圆22 221x y a b += (a ＞b ＞0)的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为椭圆上任意一点12F PF γ∠=，则椭圆 的焦点角形的面积为122 tan 2 F PF S b γ ?=. 8. 椭圆22 221x y a b +=（a ＞b ＞0）的焦半径公式： 10||MF a ex =+,20||MF a ex =-(1(,0)F c - , 2(,0)F c 00(,)M x y ). 9. 设过椭圆焦点F 作直线与椭圆相交 P 、Q 两点，A 为椭圆长轴上一个顶点，连结AP 和AQ 分别交相应 于焦点F 的椭圆准线于M 、N 两点，则MF ⊥NF. 10. 过椭圆一个焦点F 的直线与椭圆交于两点P 、Q, A 1、A 2为椭圆长轴上的顶点，A 1P 和A 2Q 交于点M ，A 2P 和A 1Q 交于点N ，则MF ⊥NF. 11. AB 是椭圆22221x y a b +=的不平行于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB 的中点，则2 2OM AB b k k a ?=-， 即020 2y a x b K AB -=。 12. 若000(,)P x y 在椭圆22 221x y a b +=内，则被Po 所平分的中点弦的方程是2200002222x x y y x y a b a b +=+. 13. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=内，则过Po 的弦中点的轨迹方程是22002222x x y y x y a b a b +=+. 双曲线 1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的内角. 2. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的内角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除 去长轴的两个端点. 3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相交. 4. 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切.（内切：P 在右支；外切：P 在左支） 高考二轮复习专项：圆锥曲线大题集 1. 如图，直线l 1与l 2是同一平面内两条互相垂直的直线，交点是A ，点B 、D 在直线l 1上 (B 、D 位于点A 右侧)，且|AB|=4，|AD|=1，M 是该平面上的一个动点，M 在l 1上的射影点是N ，且|BN|=2|DM|. (Ⅰ) 建立适当的坐标系，求动点M 的轨迹C 的方程． (Ⅱ)过点D 且不与l 1、l 2垂直的直线l 交(Ⅰ)中的轨迹C 于E 、F 两点；另外平面上的点G 、H 满足： ①(R);AG AD λλ=∈②2;GE GF GH +=③0.GH EF ?= 求点G 的横坐标的取值范围． 2. 设椭圆的中心是坐标原点，焦点在x 轴上，离心率23 = e ，已知点)3,0(P 到这个椭圆 上的点的最远距离是4，求这个椭圆的方程. 3. 已知椭圆)0(1:22221>>=+b a b y a x C 的一条准线方程是 , 425=x 其左、右顶点分别 B A D M B N l 2 l 1 是A、B；双曲线 1 : 2 2 2 2 2 = - b y a x C 的一条渐近线方程为3x－5y=0. （Ⅰ）求椭圆C1的方程及双曲线C2的离心率； （Ⅱ）在第一象限内取双曲线C2上一点P，连结AP交椭圆C1于点M，连结PB并延长交椭圆C1于点N，若MP AM=. 求证：.0 = ?AB MN 4. 椭圆的中心在坐标原点O,右焦点F（c,0）到相应准线的距离为1，倾斜角为45°的直线交椭圆于A，B两点.设AB中点为M，直线AB与OM的夹角为αa. （1）用半焦距c表示椭圆的方程及tanα; （2）若2 2014年高考文科数学圆锥曲线试题汇编 一、选择题 1.（2014全国大纲卷）已知椭圆C ：22 221(0)x y a b a b +=>>的左右焦点为F 1,F 2离心率为 3 ，过F 2的直线l 交C 与A 、B 两点，若△AF 1B 的周长为C 的方程为( ) A. 22132x y += B. 22 13x y += C. 221128x y += D. 221124 x y += 2.（2014全国新课标2）设F 为抛物线2 :+3C y x 的焦点，过F 且倾斜角为30?的直线交 C 于A ,B 两点，则 AB = （A ） 3 （B ）6 （C ）12 （D ）3.（2014全国新课标1）已知双曲线)0(13 2 22>=- a y a x 的离心率为2，则=a A. 2 B. 26 C. 2 5 D. 1 4.（2013全国大纲卷）已知 ()()1221,0,1,0,F F C F x -是椭圆的两个焦点过且垂直于轴的直线交于A B 、两点，且3AB =，则C 的方程为 （A ）22 12x y += （B ）22132x y += （C ）22143x y += （D ）22154 x y += 5.（2013全国新课标1）已知双曲线22 22:1x y C a b -=(0,0)a b >>的离心率为2，则C 的渐近线方程为（ ） （A ）1 4 y x =± （B ）13 y x =± （C ）12 y x =± （D ）y x =± 6.（2013全国新课标2）设椭圆C ：22 22=1x y a b +(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 是C 上的点，PF 2⊥F 1F 2，∠PF 1F 2＝30°，则C 的离心率为( )． A ．6 B ．13 C ．1 2 D ．3 7.（2012全国大纲卷）椭圆的中心在原点，焦距为4，一条准线为4x =-，则该椭圆的方 程为 A ． 2211612x y += B ．221128x y += C ．22184x y += D ．22 1124 x y += 8.（2012全国新课标卷）设F 1、F 2是椭圆E ：x 2a 2＋y 2 b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，P 为直线 x =3a 2上一点，△F 1PF 2是底角为30°的等腰三角形，则E 的离心率为（ ） （A ）12 （B ）23 （C ）34 （D ）45 9.（2014广东卷）若实数k 满足05k <<，则曲线 221165x y k -=-与曲线22 1165 x k y --=的 A.实半轴长相等 B.虚半轴长相等 C.离心率相等 D.焦距相等 10.（2014重庆卷）设21F F ，分别为双曲线)0,0(122 22>>=-b a b y a x 的左、右焦点， 双曲 线上存在一点P 使得,3|)||(|2 2 21ab b PF PF -=+则该双曲线的离心率为（ ） A.2 B.15 C.4 D.17 11.（2014浙江卷）已知圆02222=+-++a y x y x 截直线02=++y x 所得弦的长度为4，则实数a 的值为（ ） A.2- B. 4- C. 6- D.8- 12.（2014天津卷）已知双曲线22 221x y a b -=()0,0a b >>的一条渐近线平行于直线l ： 210y x =+，双曲线的一个焦点在直线l 上，则双曲线的方程为（ ） 圆锥曲线专题 【考纲要求】 一、直线 1.掌握直线的点方向式方程、点法向式方程、点斜式方程,认识坐标法在建立形与数的关 系中的作用； 2.会求直线的一般式方程,理解方程中字母系数表示斜率和截距的几何意义：懂得一元二 次方程的图像是直线； 3.会用直线方程判定两条直线间的平行或垂直关系（方向向量、法向量）； 4.会求两条相交直线的交点坐标和夹角,掌握点到直线的距离公式. 二、圆锥曲线 1.理解曲线的方程与方程的曲线的意义,并能由此利用代数方法判定点是否在曲线上,以 及求曲线交点； 2.掌握圆、椭圆、双曲线、抛物线的定义,并理解上述曲线在直角坐标系中的标准方程的 推导过程； 3.理解椭圆、双曲线、抛物线的有关概念及简单的几何特性,掌握求这些曲线方程的基本 方法,并能根据曲线方程的关系解决简单的直线与上述曲线有两个交点情况下的有关问题； 4.能利用直线和圆、圆和圆的位置关系的几何判定,确定它们之间的位置关系,并能利用解 析法解决相应的几何问题. 【知识导图】【精解名题】 一、弦长问题 例1 如图,已知椭圆 2 21 2 x y +=及点B(0, -2),过点B引椭圆的割线（与椭圆相交的直线）BD 与椭圆交于C、D两点 （1）确定直线BD斜率的取值范围 （2）若割线BD过椭圆的左焦点 12 , F F是椭圆的右焦点,求 2 CDF ?的面积 y x B C D F1F2 O 二、轨迹问题 例2 如图,已知平行四边形ABCO,O 是坐标原点,点A 在线段MN 上移动,x=4,y=t (33)t -≤≤上移动,点C 在双曲线 22 1169 x y -=上移动,求点B 的轨迹方程 三、对称问题 例3 已知直线l ：22 2,: 1169 x y y kx C =++=,问椭圆上是否存在相异两点A 、B,关于直线l 对称,请说明理由 四、最值问题 例4 已知抛物线2 :2()C x y m =--,点A 、B 及P(2, 4)均在抛物线上,且直线PA 与PB 的倾斜角互补 （1）求证：直线AB 的斜率为定值 （2）当直线AB 在y 轴上的截距为正值时,求ABP ?面积的最大值 五、参数的取值范围 例 5 已知(,0),(1,),a x b y → → == ()a → +⊥()a → - （1）求点P （x, y ）的轨迹C 的方程 （2）直线:(0,0)l y kx m k m =+≠≠与曲线C 交于A 、B 两点,且在以点D （0,-1）为圆心 的同一圆上,求m 的取值范围 六、探索性问题 例6 设x, y ∈R,,i j →→ 为直角坐标平面内x, y 轴正方向上的单位向量,若向量 (2)a x i y j → →→=++,且(2)b x i y j →→→=+-且8a b →→ += （1）求点M （x, y ）的轨迹方程 （2）过点(0,3)作直线l 与曲线C 交于A 、B 两点,设OP OA OB → → → =+,是否存在这样的直线l,使得四边形OAPB 是矩形？若存在,求出直线l 的方程；若不存在,请说明理由 圆锥曲线 9.已知双曲线中心在原点且一个焦点为(7F ，0)，直线1y x =-与其相交于M N 、两 点，MN 中点的横坐标为23 -，则此双曲线的方程是 A.14322=-y x B.13 42 2=-y x C.12522=-y x D.15 22 2=-y x 21.（本小题满分14分） 已知常数0a >，向量(0)c a = ，，(1i = ，0)，经过原点O 以c i λ+ 为方向向量的直线与经过定点(0)A a ，以2i c λ- 为方向向量的直线相交于点P ，其中R λ∈.试问：是否存在两个定点E F 、，使得||||PE PF +为定值.若存在，求出E F 、的坐标；若不存在，说明理由. 4.设P 是双曲线192 22=-y a x 上一点，双曲线的一条渐近线方程为320x y -=，1F 、2F 分别是双曲线的左、右焦点，若3||1=PF ，则=||2PF A.1或5 B.6 C.7 D.9 22．（本小题满分14分） 椭圆的中心是原点O ，它的短轴长为22，相应于焦点(F c ，0)(0)c >的准线l 与x 轴相交于点A ，||2||OF FA =，过点A 的直线与椭圆相交于P 、Q 两点. ⑴求椭圆的方程及离心率； ⑵若0OP OQ ?= ，求直线PQ 的方程； ⑶设AP AQ λ= （1>λ），过点P 且平行于准线l 的直线与椭圆相交于另一点M ，证明：FM FQ λ=- . 5.设双曲线以椭圆19 252 2=+y x 长轴的两个端点为焦点，其准线过椭圆的焦点，则双曲线的渐近线的斜率为 A.2± B.34± C.21± D.43± 21.（本小题满分14分） 抛物线C 的方程为)0(2<=a ax y ，过抛物线C 上一点0(P x ，00)(0)y x ≠作斜率为1k ，2k 的两条直线分别交抛物线C 于1(A x ，1)y 、2(B x ，2)y 两点(P 、A 、B 三点互不相同)，且满足)10(012-≠≠=+λλλ且k k . ⑴求抛物线C 的焦点坐标和准线方程； ⑵设直线AB 上一点M ，满足MA BM λ=，证明线段PM 的中点在y 轴上； ⑶当1λ=时，若点P 的坐标为(1，1)-，求PAB ∠为钝角时点A 的纵坐标1y 的取值范围.2020高考数学圆锥曲线试题(含答案)
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