2020届湖南雅礼中学新高考原创考前信息试卷(二)理科数学
C
2020届湖南雅礼中学新高考原创考前信息试卷（二）
理科数学
★祝考试顺利★ 注意事项：
1、考试范围：高考范围。
2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。
3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。
4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
6、主观题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。
7、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。 8、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
第Ⅰ卷（选择题 满分60分）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请在答题卷的相应区域答题．．．．．．．．．．．．.） 1. 已知复数z 满足i z i -=?+3)1(,则=|z | A. 5 B. 3 C. 5 D. 3 2. 设U ＝R ，A ＝}|{042<-x x x ，B ＝}|{1≤x x ，则()U A C B I ＝ A ．{}40≤ A ．b c a << B ．b a c << C ．c a b << D ．c b a << 4. 函数cos sin 2 x x y =的大致图象为 契以兔子繁殖为例子引入，故又称为“兔子数列”，在数学上裴波那契数列被以下递推方 法定义：数列｝｛n a 满足：121==a a ，12+++=n n n a a a ，现从该数列的前40项中随机 抽取一项，则能被3整除的概率是 A.41 B. 31 C. 21 D. 32 6．将向量(1,1)OA =u u u r 绕原点O 顺时针方向旋转75°得到OB uuu r ，则OB uuu r ＝ A ．???? ??-2226, B ．???? ??-2622, C ．???? ??-2226, D ．??? ? ??-2622, 7. 已知数列{}n a 满足2* 1222...2()n n a a a n n N +++=∈，数列2211 log log n n a a +? ?? ???的前n 项和为n S ，则2019S = A ．20202019 B ．20191 C ．20201 D ．2019 2018 8. 已知函数()f x 在R 上满足()()x x x f x f 52242+-=-，则曲线()y f x =在点(2,(2))f 处的 切线方程是 A ．y x =- B ．4y x =- C ．38y x =- D ．512y x =- 9. 函数()06sin >??? ? ?+=ωπωx y 在?? ? ??-22ππ,内单调递增，且图象关于直线π-=x 对称，则ω的值为 A. 1 4 B. 35 C. 32 D. 3 1 10.如图，半径为6的球的两个内接圆锥有公共的底面，若两个圆 锥的体积之和为球的体积的38 ，则这两个圆锥高之差的绝对值 为 A ．2 B ．4 C ．6 D ．8 11.已知函数3 ()ln 2 f x x a x =-+ 有4个零点，则实数a 的取值范围是 A ．( ) 2 0e , B ．()2 e ,∞- C ．???? ??210e , D ． ??? ? ??+∞-,21e 12.如图，1(,0)F c -,2(,0)F c 分别为双曲线22 22:1(,0)x y a b a b Γ-=>的左、右焦点，过点1F 作 直线l ，使直线l 与圆222 ()x c y r -+=相切于点P ,设直线l 交双曲线Γ的左右两支分 别于A 、B 两点（A 、B 位于线段1F P 上），若1||:||:||2:2:1F A AB BP =,则双曲线Γ的离心率为 A. 5 265 C. 2623 D. 263第Ⅱ卷（非选择题 满分90分） 1 A 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．请在答题卷的相应区域答题 ．．．．．．．．．．．． .）13. 已知函数 () ? ? ? ? ? > - ≤ - ? ? ? ? ? = , ln 2 ,1 2 1 2x x x x x f x 则() ()= -1 f f . 14. 已知实数y x,满足约束条件 ? ? ? ? ? ≥ ≤ - + ≥ - 1 4 y y x y x ，则y x z+ - =2 2的最大值为 . 15. 函数1 12+ - =x y与函数)2 (- =x k y的图象有两个不同 的公共点,则实数k的取值范围是 . 16. 如图，在棱长为 1 的正方体1111 ABCD A B C D -中，点M是 AD的中点，动点P在底面正方形ABCD内（不包括边界）， 若1// B P平面 1 A BM，则 1 C P长度的取值范围是． 三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．请． 在答题卷的相应区域答题 ．．．．．．．．．．． .） 17.（本小题满分12分） 已知在ABC ?中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且 c a b A B A C + = - - sin sin sin sin , （1）求角C的大小; （2）若3 = c,求b a+的取值范围. 田忌赛马是《史记》中记载的一个故事,说的是齐国大将军田忌经常与齐国众公子赛马,孙膑发现田忌的马和其他人的马相差并不远,都分为上、中、下三等。于是孙膑给田忌将军献策:比赛即将开始时,他让田忌用下等马对战公子们的上等马,用上等马对战公子们的中等马,用中等马对战公子们的下等马,从而使田忌赢得了许多赌注。假设田忌的各等级马与某公子的各等级马进行一场比赛，田忌获胜的概率如下表所示: 上等马 中等马 下等马 上等马 0.5 0.8 1 中等马 0.2 0.5 0.9 下等马 0 0.05 0.4 比赛规则规定:一次比赛由三场赛马组成,每场由公子和田忌各出一匹马参赛,结果只有胜和负两种,并且毎一方三场赛马的马的等级各不相同,三场比赛中至少获胜两场的一方为最终胜利者. （1）如果按孙膑的策略比赛一次,求田忌获胜的概率; （2）如果比赛约定,只能同等级马对战,每次比赛赌注1000金,即胜利者赢得对方1000金,每月比赛一次,求田忌一年赛马获利的数学期望. 19．（本小题满分12分） 已知C 是以AB 为直径的圆周上一点，3 π =∠ABC ，⊥PA 平面ABC （1）求证：平面⊥PAC 平面PBC ； （2）若异面直线PB 与AC 所成的为 3 π ，求二面角A PB C --的余弦值。 公 子 的 马 获 胜 的 概 率 田忌的马 已知椭圆:C )0(12222>>=+b a b y a x 的焦距为2，过点)22 ,1(-。 （1）求椭圆C 的标准方程； （2）设椭圆的右焦点为F ，定点P )0,2(，过点F 且斜率不为零的直线l 与椭圆交于A ， B 两点，以线段AP 为直径的圆与直线2=x 的另一个交点为Q ，证明：直线BQ 恒过一定 点，并求出该定点的坐标。 21．（本小题满分12分） 函数x x a ax x f ln )1(2 1)(2 --+= ， （1）求)(x f 的单调区间； （2）在函数)(x f 的图象上取),(11y x A ，),(22y x B 两个不同的点，令直线AB 的斜率 为k ，则在函数的图象上是否存在点),(00y x P ，且2 210x x x +=，使得)(0' x f k =？若存 在，求A ，B 两点的坐标，若不存在，说明理由。 考生注意：请在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一个题目计分. 作答时，请用2B 铅笔在答题卡上将所选题目后的方框涂黑． 22.（本小题满分10分）选修4―4：坐标系与参数方程 在直角坐标系xOy 中，l 是过定点)1,1(P 且倾斜角为α的直线。以坐标原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为θρcos 4=。 （1）求直线l 的参数方程与曲线C 的直角坐标方程； （2）若曲线C 与直线l 相交于M ，N 两点，求PN PM +的取值范围. 23.（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲 已知函数212)(-++=x x x f （1）解不等式5)( 3 3)(2 --≥a a x f 恒成立,求a 的取值范围. 高三数学（理科）参考答案及评分标准 一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分) 1.C 2.D 3.D 4.A 5.A 6.C 7.A 8.B 9.C 10.C 11.C 12.B 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分) 13. 2 14. 5.0 15. ]1,3 4 (-- 16. )2,530[ 三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. （本小题满分12分） 解: （1）由 c a b A B A C +=--sin sin sin sin 则c a b a b a c += -- ?ab c b a =-+222 …………………………………………………………3分 所以2122cos 222==-+= ab ab ab c b a C 而),0(π∈C 故3 π=C ………………6分 （2）由ab c b a =-+2 2 2 且3=c ?ab ab b a =--+92)(2 ?2 2)2 ( 339)(b a ab b a +≤=-+ ?36)(2≤+b a 所以6≤+b a (10) 分 又3=>+c b a 所以b a +的取值范围是]6,3( (12) 分 18. （本小题满分12分） 解： （1）记事件A ：按孙膑的策略比赛一次，田忌获胜， 对于事件A ，三场比赛中，由于有一场比赛田忌必输，另两场都胜， 故72.09.08.0)(=?=A P ……………………………………………………………………4分 （2）设田忌在每次比赛中所得的奖金为随机变量ξ（金），则ξ的取值为1000-和1000。 若在某月的比赛中田忌获胜，则三场比赛中，田忌输赢的分布为：胜胜胜，负胜胜，胜负胜，胜胜负 (6) 分 设在该月的比赛中田忌获胜的概率为P ，则 45.04.05.05.04.05.05.06.05.05.04.05.05.0=??+??+??+??=P (8) 分 100100011000--=+-=p p E ）（）（ξ (10) 分 因此田忌一年赛马获利的数学期望为120012100-=?-（金） (12) 分 19.（本小题满分12分） （1）证明：因为AB 为圆的直径，所以BC AC ⊥， 又⊥PA 平面ABC ，而?BC 平面ABC ，所以BC PA ⊥， 又A PA AC =?,所以⊥BC 平面PAC ， 而?BC 平面PBC ，所以平面⊥PBC 平面PAC (5) 分 （2）解法1：建系如图所示，令t AB 2=，而3 π = ∠ABC ，则6 π = ∠BAC ,t AC 3=， 则)0,0,0(A ，） ，（0,20t B ,）（0,2 3,23t t C ，令),0,0(h P (>h 所以),2,0(h t BP -=，)0,2 3,23( t t =， 因为异面直线PB 与AC 所成的角为 3 π ， 故2 1 3433 cos 222 = += = t h t t π ，解得t h 22= 令平面PBC 的一个法向量为),,1(z y n =， 而)0,2 ,23( t t BC -=，）（t t 22,2,0-= 由0=?BC n ,02 23=-y t t ,所以3=y 由0=?BP n ，02232-=+tz t 所以2 6 =z ，即)26,3,1(=n 而平面PAB 的一个法向量为)0,0,1 (= 所以11 221122 3 3111 cos == + +?= = θ 解法2：过B 作AC 的平行线BM 交圆于M ，连接PM ，AM ，所以直线PB 与AC 所成的角即为PB 与BM 所成的角， 因为AB 为圆的直径，所以BM AM ⊥， 又⊥PA 平面ABC ，而?BM 平面ABC ，所以BM PA ⊥ 又A PA AM =?,所以⊥BM 平面PAM 而?PM 平面PAM ，所以PM BM ⊥，则3 π =∠PBM 令t AB 2=，且3 π = ∠ABC 所以t BM AC 3==，t BC AM == t t PM 33 tan 3=?=π ，t t t PA 22322 =-=）（， t t t PB 32)2()22(22=+=,t t t PC 11)3()22(22=+= 过A 作PC AN ⊥交PC 于N ，过A 作PB AQ ⊥交PB 于Q ,连接QN ，由三垂线定理知PB QN ⊥， 所以AQN ∠即为二面角A PB C --的平面角 (8) 分 36232222=?=?= t t t PB AB PA AQ ，1166 211322= ?=?=t t t PC AC PA AN sin 11AN AQN AQ ∠=== ， 1122cos =∠AQN 即为二面角A PB C --的余弦值为11 22 (12) 分 20. （本小题满分12分） 解： （1）由题知?????=+=1211122b a c 解得22=a ，12=b ， 所以椭圆C 的方程为12 22 =+y x …………………………………………………………4分 （2）设),(11y x A ，),(22y x B 因为直线l 的斜率不为零，令l 的方程为：1+=my x 由?????=++=12 12 2y x my x 得012)2(22=-++my y m 则22221+-=+m m y y ，2 1 221+-=?m y y ， (6) 分 因为以AP 为直径的圆与直线2=x 的另一个交点为Q ,所以PQ AQ ⊥，则),2(1y Q 则2212--= x y y k BQ ，故BQ 的方程为：)2(2 21 2 1---=-x x y y y y (8) 分 由椭圆的对称性，则定点必在x 轴上，所以令0=y ，则 22)1(2)2(1 21 2112211221+-+-=+---=+---= y y y y my y y my y y y x y x 而22221+-=+m m y y ，2 1 2 21+-=?m y y ，22121y y y my +-=- 所以2 322122121 21=+-=+-++-=y y y y y x 故直线BQ 恒过定点，且定点为)0,2 3 ( (12) 分 21.（本小题满分12分） 解： （1）由题知定义域为） ，（∞+0， x x ax x x a ax x a ax x f ) 1)(1(1)1(11)(2' -+=--+=--+= (1) 分