2016-2017(1)概率统计A解答
课 程：概率论与数理统计（48学时） 考 试 形 式：闭卷考试
学院:___________ 专业班级:__________ 学号:____________ 姓名:___________
一、选择题（每小题3分，总计15分） 1．设A 和B 是任意两个概率不为零的不相容事件，则下列结论中正确的是（ D ）. （A ）A 与B 不相容 （B ）A 与B 相容 （C ）P (AB )=P (A )P (B ) （D ）P (B A -)=P (A )
2．设随机变量2~(,4)N ξμ，2~(,5)N ημ，而1{4}p P ξμ=≤-，2{5}p P ημ=≥+，则（ A ）.
(A) 对任何实数μ，都有12p p = (B) 对任何实数μ，都有12p p < (C) 只对μ的个别值，才有12p p = (D) 对任何实数μ，都有12p p >
3．设连续型随机变量X 的概率密度为
,
01,()2,12,0,x x f x x x ≤≤??
=-<≤???
其它,
则随机变量X 落在区间 (0.4，1.2) 内的概率为（ B ）. (A) 0.64 (B) 0.6 (C) 0.4 (D) 0.42
4．设随机变量~(3,1)X N -，~(2,1)Y N ，且X 与Y 相互独立，令27Z X Y =-+，则~Z （ A ）.
（A ）(0,5)N （B ）(0,3)N （C ）(0,46)N （D ）(0,54)N
5．离散型随机变量X 的分布律为
{}(1,2,)k P X k b k λ===
的充分必要条件是（ D ）.
（A ）0b >且01λ<< （B ）1b λ=-且01λ<<
（C ）11b λ=-且1λ< （D ）1
1b
λ=+且0b >
二、填空题（每空3分，总计15分）
1．设P (A )=0.35，P (A ∪B )=0.80，那么
（1）若A 与B 互不相容，则P (B )= 0.45 ； （2）若A 与B 相互独立，则P (B )= 9/13 .
2．将英文字母C,C,E,E,I,N,S 随机地排成一行，那么恰好排成英文单词SCIENCE 的概率为 4/7！ .
3．设随机变量ξ的概率密度为
1
,04,
()8
0,x x f x ?<
对ξ独立观察3次，记事件{2ξ≤}出现的次数为η，则D η= 9/16 .
4．若随机变量ξ在(0，5)上服从均匀分布，则方程24420t t ξξ+++=有实根的概率是 3/5 . 三、（本题满分8分）
某工厂有两个车间生产同型号家用电器，第1车间的次品率为0.15，第2车间的次品率为0.12. 两个车间生产的成品都混合堆放在一个仓库中，假设1、2车间生产的成品比例为2：3，今有一客户从成品仓库中随机提台产品，求该产品合格的概率. 解：设事件B 为“从仓库随机提出的一台是合格品”，事件i A 为“提出的一台是第i
车间生产的”（1,2i =），则
12()5P A =，23
()5
P A =，12(|)0.85,(|)0.88P B A P B A ==，------3分
由全概率公式
1122()()(|)()(|)P B P A P B A P A P B A =+------6分
23
0.850.880.86855
=??=＋.------8分 四、（本题满分10分）
已知甲、乙两箱装有同种产品，其中甲箱中装有3件合格品和3件次品，乙箱中仅装有3件合格品，从甲箱中任取3件产品放入乙箱后，求乙箱中次品件数的分布律
及分布函数)(x F .
解：设用X 表示乙箱中次品件数，则X 的分布律为
0333361(0)20C C P X C ===，12
333
69
(1)20
C C P X C ===， 2133369(2)20C C P X C ===，30333
61
(3)20
C C P X C ===.------6分 X 的分布函数)(x F 为
0,
01
,01201
(),12219
,23201,
3x x F x x x x
≤?? ------10分
五、（本题满分10分）
已知随机变量ξ只取 -1，0，1，2 四个值，相应的概率依次为
c 21，c 43，c 85，c
167
，确定常数c ，并计算}0|1{≠<ξξP 和ξE .
解：由于c 2134c +58c +7116c
+=，因此1637=c .------3分
{1,0}{1}
{1|0}0.32{0}{0}
P P P P P ξξξξξξξ<≠=-<≠===≠≠，------6分
37113716167285143021)1(=
???? ?
?
?+?+?+?-=ξE .------10分 六、（本题满分10分）
设连续型随机变量ξ的分布函数为
??
???≤>+=-
.0,0,0,)(2
2
x x Be A x F x 若若
试求（1）系数A 及B ；（2）随机变量ξ的概率密度；（3）随机变量ξ落在区间
(9ln ,4ln )内的概率. 解：（1）由2
2
lim()0x x A Be
-→+=，得0A B +=，
又由22
lim ()1x x A Be
-
→+∞
+=，得1A =，从而1B =-.------4分
（2）ξ的概率密度为
2
2
,0,()0,
0.x xe x f x x -??>=??≤?若若------7分
（3
）
ln9
ln 42
2
1
(1)(1)6
p
F
F
e
e
ξ-
-
≤≤=-=---=
.---10分 七、（本题满分12分）
设二维随机变量(,)X Y 的联合密度函数
6,01,
(,)0,x x y f x y <<
?其他.
（1）求,X Y 的边缘密度函数；（2）问,X Y 是否相互独立？（3）求X 的数学期望. 解：（1）当01x <<时，1
()66(1)X x f x xdy x x ==-?，故
6(1)01()0X x x x f x -<
，
其他.------3分
当01y <<时，20
()63y
Y f y xdx y ==?，故
2
301()0Y y y f y ?<
，其他.
------6分
（2）因)()(),(y f x f y x f Y X ≠，故,X Y 不独立.------8分
（3） 1201
()()6(1)2
X E X xf x dx x x dx +∞-∞==-=??.------12分
八、（本题满分10分）
计算机在进行加法运算时每个加数取整数（最为接近于它的整数），设所有的取整
误差是独立的，且它们都在(0.5,0.5)-上服从均匀分布. 若将1500个数相加，问误差总和的绝对值超过15的概率为多少？
(已知()1.340.909,(1.645)0.95Φ=Φ=，其中)(x Φ是标准正态分布函数)
解：设每个加数的误差为i X (1500,2,1 =i )，由题设知i X 独立且都服从(0.5,0.5)
-上的均匀分布，所以1
0,12
i i EX DX ==.------3分
记X ＝∑=1500
i i X ，
近似服从(0,1)N ，------5分
故
{}{}{}1515115115≤≤--=≤-=>X P X P X P
1P =-≤≤
()22 1.340.1802≈-Φ=.
误差总和的绝对值超过15的概率为0.1802.------10分 九、（本题满分10分）
设总体X 服从0-1分布(1,)b p ，12,,,n x x x 是来自总体X 的一组样本观察值，求参数p 的最大似然估计值. 解：X 的分布律为
1()(1),0,1x x P X x p p x -==-=，------2分
似然函数为
11()(1)i i n
x x i L p p p -==-∏，------4分
1
1
ln ()ln (1)ln(1)n n
i i i i L p x p x p ===+--∑∑，------6分
11
1d ln ()d 1n n i i
i i x x L p p p p ==-=--∑∑
，------8分 令
d ln ()
0d L p p
=，求得参数p 的最大似然估计值为 1
1?n
i i p
x x n ===∑.------10分