2020版试吧高中全程训练计划数学理天天练10
天天练 10 导数在函数中的综合应用
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一、选择题
1．[2019·山东陵县月考]已知函数f (x )＝x 2e x ，当x ＝[－1,1]时，不等式f (x ) A.??????1e ，＋∞ B.? ?? ??1e ，＋∞ C ．[e ，＋∞) D ．(e ，＋∞) 答案：D 解析：由f ′(x )＝e x (2x ＋x 2)＝x (x ＋2)e x ，得当－1 2．函数f (x )＝ln x ＋a x (a ∈R )在区间[e －2，＋∞)上有两个零点，则 a 的取值范围是( ) A.??????2e 2，1e B.???? ??2e 2，1e C.? ????2e 2，1e D.???? ??1e 2，2e 答案：A 解析：令f (x )＝ln x ＋a x ＝0，x ∈[e －2，＋∞)，得－a ＝x ln x .记H (x ) ＝x ln x ，x ∈[e －2，＋∞)，则H ′(x )＝1＋ln x ，由此可知H (x )在[e －2，e －1]上单调递减，在(e －1，＋∞)上单调递增，且H (e －2)＝－2e －2，H (e －1)＝－e －1，当x →＋∞时，H (x )→＋∞，故当2e 2≤a <1e 时，f (x )在[e －2，＋∞)上有两个零点，选A. 3．函数f (x )的导函数f ′(x )的图象如图所示，那么f (x )的图象最有可能的是( ) 答案：A 解析：根据f ′(x )的图象知，函数y ＝f (x )的极小值点是x ＝－2， 极大值点为x ＝0，结合单调性知，选A. 4．[2019·河南息县中学段测]函数f (x )＝x 3－3x －1，若对于区间(－3,2]上的任意x 1，x 2，都有|f (x 1)－f (x 2)|≤t ，则实数t 的最小值是( ) A ．20 B ．18 C ．3 D ．0 答案：A 解析：对于区间(－3,2]上的任意x 1，x 2，都有|f (x 1)－f (x 2)|≤t ，等价于在区间(－3,2]上，f (x )max －f (x )min ≤t . ∵f (x )＝x 3－3x －1，∴f ′(x )＝3x 2－3＝3(x －1)(x ＋1)． ∵x ∈(－3,2]，∴函数f (x )在[－3，－1]，[1,2]上单调递增，在[－1,1]上单调递减，∴f (x )max ＝f (2)＝f (－1)＝1，f (x )min ＝f (－3)＝－19，∴f (x )max －f (x )min ＝20，∴t ≥20，即实数t 的最小值是20. 5．[2019·江西阶段性检测]函数f (x )＝e x 2－2x 2的图象大致为 ( ) 答案：A 解析：∵f (x )＝f (－x )，当x >0时，f ′(x )＝e x 2·2x －4x ，令f ′(x )＝0，则2x (e x 2－2)＝0?x ＝ln2∈(0,1)，且f (ln2)＝2－2ln2>0，∴当x >0时，f (x )>0，且只有一个极值点，∴排除B ，C ，D.故选A. 6．[2019·四川双流中学必得分训练]若f (x )＝x 3－ax 2＋1在(1,3)上单调递减，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，3] B.???? ??92，＋∞ C.? ?? ??3，92 D ．(0,3) 答案：B 解析：因为函数f (x )＝x 3－ax 2＋1在(1,3)上单调递减，所以f ′(x ) ＝3x 2－2ax ≤0在(1,3)上恒成立，即a ≥32x 在(1,3)上恒成立．因为32<92， 所以a ≥92.故选B. 解析：因为g (x )＝x 2f (x )，所以g ′(x )＝x 2f ′(x )＋2xf (x )＝x [xf ′(x )＋2f (x )]，由题意知，当x >0时，xf ′(x )＋2f (x )>0，所以g ′(x )>0，所以g (x )在(0，＋∞)上单调递增，又f (x )为偶函数，则g (x )也是偶函数， 所以g (x )＝g (|x |)，由g (x ) 则x ∈(－ 1,0)∪(0,1)．故选D. 6．[2019·河北内丘月考]设函数f (x )的导函数为f ′(x )，若f (x )为偶函数，且在(0,1)上存在极大值，则f ′(x )的图象可能为( ) 答案：C 解析：根据题意，f (x )为偶函数，则其导数f ′(x )为奇函数，结合函数图象可以排除B ，D.又由于函数f (x )在(0,1)上存在极大值，则其导数图象在(0,1)上存在零点，且零点左侧导数值符号为正，右侧导数值符号为负，结合选项可以排除A ，只有C 选项符合题意，故选C. 7．[2019·辽宁鞍山一中模拟]已知函数f (x )＝x 3－3x －1，在区间[－3,2]上的最大值为M ，最小值为N ，则M －N ＝( ) A ．20 B ．18 C ．3 D ．0 答案：A 解析：对函数求导得f ′(x )＝3x 2－3＝3(x －1)(x ＋1)，所以f (x )在x ＝－1两侧先增后减，f (x )在x ＝1两侧先减后增，分别计算得f (－3)＝－19，f (－1)＝1，f (1)＝－3，f (2)＝1，所以M ＝1，N ＝－19，则M －N ＝1－(－19)＝20.故选A. 8．设f (x )＝|ln x |，若函数g (x )＝f (x )－ax 在区间(0,4)上有三个零点，则实数a 的取值范围是( ) A.? ????0，1e B.? ?? ??ln22，e