复数的乘除运算
双基限时练(十一)
1．在复平面内，复数z ＝1
2＋i 对应的点位于( )
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
解析 z ＝12＋i ＝2－i 5＝25－15i ，∵点(25，－1
5)在第四象限．∴复数
z 对应的点在第四象限．
答案 D
2．复数3
(1－i )2的值是( )
A.32i B ．－3
2i C ．i D ．－i
解析
3(1－i )2
＝3－2i
＝3
2i. 答案 A 3.2－3i 3＋2i 等于( ) A ．－15i B.15i C ．－i
D ．i
解析 2－3i 3＋2i ＝(2－3i )(3－2i )(3＋2i )(3－2i )＝6－13i －632＋22＝－i.
答案 C
4.(1－i )(1＋2i )1＋i 等于( )
A ．－2－i
B ．－2＋i
C ．2－i
D ．2＋i
解析 (1－i )(1＋2i )1＋i
＝(1－i )(1＋2i )(1－i )(1＋i )(1－i )
＝
－2i (1＋2i )
2
＝－i(1＋2i) ＝2－i. 答案 C
5．i 是虚数单位，若1＋7i
2－i ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则乘积ab 的值是
( )
A ．－15
B ．－3
C ．3
D ．15
解析
1＋7i 2－i ＝(1＋7i )(2＋i )
(2－i )(2＋i )
＝－1＋3i ＝a ＋b i ，
∴a ＝－1，b ＝3，∴ab ＝－3. 答案 B
6．投掷两颗骰子，得到其向上的点数分别为m 和n ，则复数(m ＋n i)(n －m i)为实数的概率为( )
A.1
3 B.1
4 C.16
D.112
解析 (m ＋n i)(n －m i)＝2mn ＋(n 2－m 2)i ，由此复数为实数得n 2
－m 2＝0，即n ＝±m ，故所求的概率为P ＝
66×6
＝1
6.
答案 C
7．复数z 满足方程z i ＝1－i ，则z ＝________.
解析 z ·i ＝1－i ，∴z ＝1－i i ＝(1－i )i
i·i ＝－i(1－i)＝－1－i ，∴z ＝－1＋i.
答案 －1＋i
8．若21－i ＝a ＋b i(i 为虚数单位，a ，b ∈R )，则a ＋b ＝________.
解析 a ＋b i ＝2
1－i ＝1＋i ，
∴a ＋b ＝1＋1＝2. 答案 2
9．若z 1＝1＋i ，z 2＝a －i ，其中i 为虚数单位，且z 1·z 2∈R ，则实数a ＝________.
解析 ∵z 1·z 2＝(1＋i)·(a ＋i)＝a －1＋(a ＋1)i ∈R ， ∴a ＋1＝0，a ＝－1. 答案 －1 10．若z ＝
2
1－i
，则z 100＋z 50＋1的值是________． 解析 ∵z ＝2
1－i ＝2(1＋i )2＝1＋i 2， ∴z
100
＋z 50
＋1＝?
????1＋i 2100＋? ??
??1＋i 250
＋1 ＝? ????2i 250＋? ??
??2i 225
＋1 ＝i 50＋i 25＋1＝－1＋i ＋1＝i. 答案 i
11．定义运算??
????a c b d ＝ad －bc ，复数z 满足??????
z i 1 i ＝1＋i ，求z . 解 由题意知，????
??z i 1 i ＝i·z －i ＝1＋i ，∴i z ＝1＋2i ，∴z ＝1＋2i
i ＝2－i.
12．已知复数z 1＝－1＋2i ，z 2＝1－i ，z 3＝3－4i ，它们在复平面上所对应的点分别为A 、B 、C ，若O C →
＝λOA →＋μOB →
(λ，μ∈R )，求λ＋μ的值．
解 由题意知，A ，B ，C 三点在复平面内的坐标分别为(－1,2)，(1，－1)，(3，－4)，
∵O C →
＝λOA →＋μOB →
，
∴(3，－4)＝λ(－1,2)＋μ(1，－1)．
∴????? －λ＋μ＝3，2λ－μ＝－4，解得?????
λ＝－1，μ＝2.
∴λ＋μ＝1.
13．已知复数z 满足|z |＝2，z 2的虚部为2. (1)求复数z ；
(2)设z ，z 2，z －z 2在复平面上的对应点分别为A ，B ，C ，求△ABC 的面积．
解 (1)设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )．
由已知条件得a 2＋b 2＝2，z 2＝a 2－b 2＋2ab i ， ∴2ab ＝2.解得a ＝b ＝1或a ＝b ＝－1. ∴z ＝1＋i 或z ＝－1－i.
(2)当z ＝1＋i 时，z 2＝(1＋i)2＝2i ，z －z 2＝1－i. ∴A (1,1)，B (0,2)，C (1，－1)．
∴S △ABC ＝12|AC |×1＝1
2×2×1＝1. 当z ＝－1－i 时，z 2＝2i. z －z 2＝－1－3i.
∴A (－1，－1)，B (0,2)，C (－1，－3)． S △ABC ＝12|AC |×1＝1
2×2×1＝1. 综上可知△ABC 的面积为1.
14．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，设复数z ＝cos A ＋isin A ，且满足|z ＋1|＝1.
(1)求复数z ；
(2)求b －c
a cos (60°＋c )的值．
解 (1)∵z ＝cos A ＋isin A ， ∴z ＋1＝1＋cos A ＋isin A . ∴|z ＋1|＝(1＋cos A )2＋sin 2A ＝2＋2cos A ＝1.∴2＋2cos A ＝1， cos A ＝－1
2，∴A ＝120°. ∴sin A ＝32，复数z ＝－12＋32i.
(2)由正弦定理，得：a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C (R 为△ABC 外接圆的半径)．
∴b －c a cos (60°＋c )＝sin B －sin C sin A ·cos (60°＋C ). ∵B ＝180°－A －C ＝60°－C ，
∴原式＝sin (60°－C )－sin C
sin120°·cos (60°＋C )＝32cos C －32sin C 3
2cos (60°＋C )＝
cos C －3sin C cos (60°＋C )＝2cos (60°＋C )cos (60°＋C )＝2.即b －c
a cos (60°＋c )
＝2.
复数代数形式的乘除运算教案
复数代数形式的乘除运算教案 教学目标： 1 知识与技能：理解并掌握复数的代数形式的乘法与除法运算法则，深刻理解它是乘法运算的逆运算 2 过程与方法：理解并掌握复数的除法运算实质是分母实数化类问题 3 情感、态度与价值观：复数的几何意义单纯地讲解或介绍会显得较为枯燥无味，学生不易接受，教学时，我们采用讲解或体验已学过的数集的扩充的，让学生体会到这是生产实践的需要从而让学生积极主动地建构知识体系。 教学重点：复数代数形式的除法运算。 教学难点：对复数除法法则的运用。 课型:新知课 教具准备：多媒体 教学过程： 复习提问： 已知两复数z1=a+bi, z2=c+di（a,b,c,d是实数） 加法法则：z1+z2=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i. 减法法则：z1-z2=(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i. 即:两个复数相加(减)就是 实部与实部,虚部与虚部分别相加(减) (a+bi )±(c+di) = (a±c) + (b±d)i
复数的加法运算满足交换律: z1+z2=z2+z1. 复数的加法运算满足结合律: (z1+z2)+z3=z1+(z2+z3) 讲解新课： 一．复数的乘法运算规则： 规定复数的乘法按照以下的法则进行： 设z1=a+bi，z2=c+di(a、b、c、d∈R)是任意两个复数，那么它们的积(a+bi)(c+di)=(ac－bd)+(bc+ad)i. 其实就是把两个复数相乘，类似两个多项式相乘，在所得的结果中把i2换成－1，并且把实部与虚部分别合并.两个复数的积仍然是一个复数. 探究: 复数的乘法是否满足交换律、结合律? 乘法对加法满足分配律吗? 二.乘法运算律： (1)z1(z2z3)=(z1z2)z3 证明：设z1=a1+b1i，z2=a2+b2i，z3=a3+b3i(a1，a2，a3，b1，b2，b3∈R). ∵z1z2=(a1+b1i)(a2+b2i)=(a1a2-b1b2)+(b1a2+a1b2)i， z2z1=(a2+b2i)(a1+b1i)=(a2a1-b2b1)+(b2a1+a2b1)i. 又a1a2-b1b2=a2a1-b2b1，b1a2+a1b2=b2a1+a2b1. ∴z1z2=z2z1. (2)z1(z2+z3)=z1z2+z1z3
3.2.2 复数代数形式的乘除运算教学设计
《复数代数形式的乘除运算》的教学设计
i 2换成－1，并且把实部与虚部分别合并.两个复数的积仍然是一个复数. 例1 计算( )()12i i + ()()()2123i i -+ 例2 计算 (1-2i)(3+4i)(-2+i) 练习1 计算 )1)(23)(2()23)(1)(1(i i i i +--+ )]2)(1)[(21)(4() 2)](1)(21)[(3(i i i i i i ++-++- 2．复数乘法的运算律 对任意复数z 1、z 2、z 3∈C ，有 (1)z 1(z 2z 3)=(z 1z 2)z 3 (2)z 1(z 2+z 3)=z 1z 2+z 1z 3 (3)z 1(z 2+z 3)=z 1z 2+z 1z 3. 练习2 计算：（1）(3+4i) (3-4i) ； （2）（1+ i)2. 3.共轭复数 当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫 做互为共轭复数虚部不等于0的两个共轭复数也叫做共轭虚数。 通常记复数z 的共轭复数为z 。 3．复数除法 满足(c+di)(x+yi)=(a+bi)的复数x+yi(x,y ∈R)叫复数a+bi 除以复数c+di 的 商，记为：(a+bi)÷(c+di)或者di c bi a ++. 除法法则 22 ()()[()]()()()a bi a bi c di ac bi di bc ad i c di c di c di c d ++-+?-+-==++-+ 222222 ()()ac bd bc ad i ac bd bc ad i c d c d c d ++-+-==++++. ∴(a +bi )÷(c +di )= i d c ad bc d c bd ac 2 222+-+++. 利用(c +di )(c －di )=c 2+d 2.于是将di c bi a ++的分母有理化得： 例3 计算(12)(34)i i +÷- 四、考点突破 由不同的小组完成相应的对照组，强化学生对复数的乘除运算法则的理解和掌握，同时与多项式乘法类比， 复数代数形式的乘法也满足相应的运算律及乘法公式。 [来源:学.科.网] 理解共轭复数的定义，了解共轭复数的一些性质，并会应用待定系数方法，方程思想解决复数问题。 类比已有的无理分式化简即分母有理化思想方法，(c +di )·(c －di )=c 2+d 2是正实数.所以可以分母实数化. 把这种方法叫做分母实数化法 强化巩固
复数 教案(绝对经典)
复 数 复数的基本概念、复数相等的充要条件以及复数的代数运算是高考的热点，并且一般在前三题的位置，主要考查对复数概念的理解以及复数的加减乘除四则运算，难度较小． 【复习指导】 1．复习时要理解复数的相关概念如实部、虚部、纯虚数、共轭复数等，以及复数的几何意义． 2．要把复数的基本运算作为复习的重点，尤其是复数的四则运算与共轭复数的性质等．因考题较容易，所以重在练基础。 基础梳理 1．复数的有关概念 (1)复数的概念 形如a ＋b i (a ，b ∈R )的数叫作复数，其中a ，b 分别是它的实部和虚部．若b ＝0，则a ＋b i 为实数，若b ≠0，则a ＋b i 为虚数，若a ＝0且b ≠0，则a ＋b i 为纯虚数． (2)复数相等：a ＋b i ＝c ＋d i ?a ＝c 且b ＝d (a ，b ，c ，d ∈R )． (3)共轭复数：a ＋b i 与c ＋d i 共轭?a ＝c ，b ＝－d (a ，b ，c ，d ∈R )． (4)复平面 建立直角坐标系来表示复数的平面，叫作复平面．x 轴叫作实轴，y 轴叫作虚轴．实轴上的点都表示实数；除原点外，虚轴上的点都表示纯虚数；各象限内的点都表示非纯虚数． (5)复数的模 向量OZ →的模r 叫作复数z ＝a ＋b i 的模，记作__|z |__或|a ＋b i|，即|z |＝|a ＋b i|＝a 2＋b 2. 2．复数的几何意义 (1)复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )的模|z |＝a 2＋b 2，实际上就是指复平面上的点Z 到原点O 的距离；|z 1－z 2|的几何意义是复平面上的点Z 1、Z 2两点间的距离． (2)复数z 、复平面上的点Z 及向量OZ → 相互联系，即z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )?Z (a ，b )?OZ → . 3．复数的四则运算 设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i(a ，b ，c ，d ∈R )，则 (1)加法：z 1＋z 2＝(a ＋b i)＋(c ＋d i)＝(a ＋c )＋(b ＋d )i ； (2)减法：z 1－z 2＝(a ＋b i)－(c ＋d i)＝(a －c )＋(b －d )i ； (3)乘法：z 1·z 2＝(a ＋b i)·(c ＋d i)＝(ac －bd )＋(ad ＋bc )i ； (4)除法：z 1z 2 ＝a ＋b i c ＋d i ＝(a ＋b i )(c －d i )(c ＋d i )(c －d i )＝(ac ＋bd )＋(bc －ad )i c 2＋d 2(c ＋d i ≠0)．
复数乘除法公开课优秀教案
§3.2.2复数代数形式的乘除运算 【学习目标】 1.理解并掌握复数的代数形式的乘法与除法运算法则，深刻理解它是乘法运算的逆运算； 2.理解并掌握复数的除法运算实质是分母实数化类问题； 【重点难点】 重点：复数代数形式的除法运算. 难点：对复数除法法则的运用. 【学法指导】 复数乘法运算是按照多项式与多项式相乘展开得到，在学习时注意将2 i 换成1-；除法是乘法的逆运算，所以复数的除法运算可由乘法运算推导获得，但是也可由互为共轭复数的两个复数的乘积为实数，先将复数的分母实数化，再化简可得，学习时注意体会第二种方法的优势和本质. 【知识链接】 1.复数1z 与2z 的和的定义：()()()()i d b c a di c bi a z z +++=+++=+21； 2.复数1z 与2z 的差的定义：()()()()i d b c a di c bi a z z -+-=+-+=-21； 3.复数的加法运算满足交换律:1221z z z z +=+； 4.复数的加法运算满足结合律: ()()321321z z z z z z ++=++； 5.复数()R b a bi a z ∈+=,的共轭复数为bi a z -=. 【问题探究】 探究一、复数的乘法运算 引导1:乘法运算规则 设bi a z +=1、di c z +=2()R d c b a ∈,,,是任意两个复数，规定复数的乘法按照以下的法则进行： =?21z z 其实就是把两个复数相乘，类似两个多项式相乘，在所得的结果中把2 i 换成－1，并且 把实部与虚部分别合并.两个复数的积仍然是一个复数. 引导2:试验证复数乘法运算律 （1）1221z z z z ?=?
复数的三角形式及乘除运算
复数的三角形式及乘除运算 一、主要内容: 复数的三角形式，模与辐角的概念及几何意义，用三角形式进行复数乘除运算及几何意义. 二、学习要求: 1．熟练进行复数的代数形式与三角形式的互化，会求复数的模、辐角及辐角主值. 2．深刻理解复数三角形式的结构特征，熟练运用有关三角公式化复数为三角形式. 3．能够利用复数模及辐角主值的几何意义求它们的范围（最值）. 4．利用复数三角形式熟练进行复数乘除运算，并能根据乘除运算的几何意义解决相关问题. 5．注意多种解题方法的灵活运用，体会数形结合、分类讨论等数学思想方法. 三、重点: 复数的代数形式向三角形式的转换，复数模及复数乘除运算几何意义的综合运用. 四、学习建议: 1．复数的三角形式是彻底解决复数乘、除、乘方和开方问题的桥梁，相比之下，代数形式在这些方面显得有点力不从心，因此，做好代数形式向三角形式的转化是非常有必要的. 前面已经学习过了复数的另两种表示.一是代数表示，即Z=a+bi(a,b ∈R).二是几何表示，复数Z 既可以用复平面上的点Z(a,b)表示，也可以用复平面上的向量 来表示.现在需要学习复数的三角表示.既用复数Z 的 模和辐角来表示，设其模为r ，辐角为θ，则Z=r(cosθ+isinθ)(r≥0). 既然这三种方式都可以表示同一个复数，它们之间一定有内在的联系并能够进行互化. 代数形式r= 三角形式 Z=a+bi(a,b ∈R) Z=r(cosθ+isinθ)(r≥0) 复数三角形式的结构特征是:模非负，角相同，余弦前，加号连.否则不是三角形式.三角形式中θ应是复数Z 的一个辐角，不一定是辐角主值. 五、基础知识 1）复数的三角形式 ①定义：复数z=a+bi （a,b ∈R ）表示成r （cos θ+ i sin θ）的形式叫复数z 的三角形式。即z=r （cos θ + i sin θ） 其中z r = θ为复数z 的辐角。 ②非零复数z 辐角θ的多值性。 始边，向量oz → 所在的射线为终边的角θ叫复数z=a+bi 的辐角 以ox 轴正半轴为因此复数z 的辐角是θ+2k π（k ∈z ） ③辐角主值 表示法；用arg z 表示复数z 的辐角主值。 2π）的角θ叫辐角主值 02≤ 3.2.2 复数地代数形式地乘除运算 授课人：姚晓燕授课班级：2014级14班 教学要求：掌握复数地代数形式地乘、除运算. 教学重点：复数地代数形式地乘除运算及共轭复数地概念 教学难点：乘除运算 教学过程： 一、知识回顾 复数地加/减运算法则：________________________________________________. 加法运算规律：对任意z 1,z 2,∈C.有交换律_____________________________. 加法运算规律：对任意z 1,z 2,z 3∈C.有结合律___________________________________. 1. 复数乘法运算：我们规定，复数乘法法则如下： 2. 设z 1=a+bi z 2=c+di 是任意两个复数，那么它们地乘积为：(a+bi )(c+di)=_____________. 想一想：复数地乘法与多项式地乘法有何不同？___________________________________._______________________________________________. 注意：两个复数地积是一个确定地复数 3. 应用举例1 计算 (3+4i)(-2-3i) 变式1：(1)若复数(1＋b i)(2＋i)是纯虚数(i 是虚数单位，b 是实数)，则b 等于() A ．2B.12C ．－12 D ．－2 变式2：计算 ⑴(1+i)2⑵(3+4i)(3-4i) 3.共轭复数 定义_____________________________________________________________. 记法：复数z=a+b i 地共轭复数记作______________________________________. 口答：说出下列复数地共轭复数 ⑴z=2+3i⑵z= -6i⑶z= 3 思考 :若z1 , z2是共轭复数，那么 ⑴在复平面内，它们所对应地点有怎样地位置关系？ ⑵z1.z2是一个怎样地数？ (3)z1与z2地模有何关系？ 4.探究：复数地乘法是否满足交换律，结合律以及乘法对加法地分配律？ 对任意复数z1=a+bi,z2=c+di,z3=m+ni 则z1·z2=(a+bi)(c+di)= 而z2·z1= (c+di)(a+bi)= ∴z1·z2= 同理可得： 5.乘法运算律 对任意z1 , z2 , z3∈C. 有 z1·z2=(交换律) (z1·z2)·z3= (结合律) z1(z2+z3)=(分配律) 6.复数地除法法则 探究：我们规定复数地除法是乘法地逆运算，试探究复数除法地法则. (a+bi) (c+di)=____________________________________________________(c+di≠0) 步骤————————————————————————————————— 复数的乘除法运算练习题（教师版） 1． i 为虚数单位，1i ＋1i 3＋1i 5＋1i 7等于( A ) A ．0 B ．2i C ．－2i D ．4i 2． 若a ，b ∈R ，i 为虚数单位，且(a ＋i)i ＝b ＋i ，则( D ) A ．a ＝1，b ＝1 B ．a ＝－1，b ＝1 C ．a ＝－1，b ＝－1 D ．a ＝1，b ＝－1 3． 在复平面内，复数i 1＋i ＋(1＋3i)2对应的点位于( B ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 4． 设复数z 的共轭复数是z ，若复数z 1＝3＋4i ，z 2＝t ＋i ，且z 1·z 2是实数，则实数t 等于( A ) A.34 B.43 C ．－43 D ．－34 5． 若z ＝1＋2i i ，则复数z 等于( D ) A ．－2－i B ．－2＋I C ．2－i D ．2＋i 6.复数11z i =-的共轭复数是（ B ） A ．i 2121+ B ．i 2121- C ．i -1 D ．i +1 7. 若复数z 1＝1＋i ，z 2＝3－i ，则z 1·z 2等于( A ) A ．4＋2i B ．2＋i C ．2＋2i D ．3＋i 8.设复数z 满足,2)1(i z i =-则z ＝（ A ） （A ）i +-1 （B ）i --1 （C ）i +1 （D ）i -1 9.若复数z 满足24iz i =+，则在复平面内，z 对应的点的坐标是( C ) A.(2,4) B.(2,-4) C.(4,-2) D.(4,2) 10.复数的11 Z i =-模为( B ) （A ）12 （B ）2 （C （D ）2 11.()3=( A ) （A ）8- （B ）8 （C ）8i - （D ）8i 12． i 是虚数单位，3(1)(2)i i i -++等于 （ D ） A ．1＋i B ．－1－i C ．1＋3i D ．－1－3i 13.已知复数512i z i =+（i 是虚数单位），则_________z =14.若bi a i i +=++)2)(1(，其中,,a b R i ∈为虚数单位，则a b += 4 学之导教育中心教案 学生: 梁庭苇授课时间: 课时: 2 年级: 高二教师：廖 课题复数乘除法、极坐标 教学构架 一、知识回顾 二、错题再现 三、知识新授 四、知识小结 教案内容 一、知识回顾 1、几何证明选讲 二、错题再现 1、如图ABC中，D是AB的三等分点，// DE BC，// EF BC，2 AF=，则AB=__________ F E D A B C 2、如图，在ABC中，AD是BC边上中线，AE是BC边上的高，DAB DBA ∠=∠ ,18 AB=,12 BE=,则CE=__________. 本次内容掌握情况总结 教师签字 学生签字 E B D C A 3、如图所示，圆O 的直径AB=6，C 圆周上一点，BC=3，过C 作圆的切线l ，过A 作l 的垂线AD AD 分别与直线l 、圆交于点D 、E ，则∠DAC ＝ __，线段AE 的长为 __. 4、如图所示，从圆O 外一点A 引圆的切线AD 和割线ABC ，已知AD=23，AC=6，圆O 的半径为3， 则圆心O 到AC 的距离为________. . 5、如图所示,圆O 上一点C 在直径AB 上的射影为D ，CD=4，BD=8，则圆O 的半径等于 ． 6、如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，BC 是直径，MN 切⊙O 于A ，∠MAB=250，则∠D= ___ . 7.如图，AB 是圆O 的直径，直线CE 和圆O 相切于点C ，AD ⊥CE 于D ，若AD=1，∠ABC=300， 则圆O 的面积是______. 8.如图，⊙O 的割线PAB 交⊙O 于A 、B 两点，割线PCD 经过圆心O ，PE 是⊙O 的切线。已知PA=6， AB=3 1 7，PO=12，则PE=____ ⊙O 的半径是_______. A D B C E O A B C O D A B O D C O B A D C M N O B A D C E C O A B P D E 复数的乘法及其几何意义教案 教学目标 1．掌握用复数的三角形式进行乘法运算的法则及其推导过程． 2．掌握复数乘法的几何意义． 3．让学生领悟到“转化”这一重要数学思想方法． 4．培养学生探索问题、分析问题、解决问题的能力． 教学重点与难点 重点：复数的三角形式是本节内容的出发点，复数的乘法运算． 难点：复数乘法运算的几何意义，不易为学生掌握． 教学过程设计 师：前面我们学习了复数的代数形式的运算和复数的三角形式，请大家用5分钟的时间，完成以下两道题的演算． （利用投影仪出示） 1．（1-2i）（2+i）（4+3i）； （5分钟后） 师：第1题检查了复数乘法运算，答案是25，第2题检查了复数的 请同学们再考虑下面一个问题： 如果把复数z1，z2分别写成 z1=r1（cosθ1+isinθ1），z2=r2（cosθ2+isinθ2）． z1·z2这乘法运算怎样进行呢？ 想出算法后，请大家在笔记本上演算，允许同学之间交换意见． （教师在教室里巡视，稍过几分钟，请一位已经做完的同学在黑板上写出推导过程） 学生板演： z1·z2=r1（cosθ1+isinθ1）·r2（cosθ2+isinθ2） =（r1cosθ1+ir1sinθ1）·（r2cosθ2+ir2sinθ2） =（r1r2cosθ1cosθ2-r1r2sinθ1sinθ2）+i（r1r2sinθ1cosθ2+r1r2cosθ1sin θ2） =r1r2[（cosθ1cosθ2-sinθ1sinθ2）+i（sinθ1cosθ2+cosθ1sinθ2] =r1r2[cos（θ1+θ2）+isin（θ1+θ2）]． 师：很好，你是怎样想出来的？为什么这样想？ 生：我们已经学过复数的代数形式运算，因此把三角形式化为代数形式，按着代数形式的乘法运算法则就可以完成运算．根据数学求简的原则，运用三角公式把结果化简． 在已知的基础上发展和探索未知的东西，解题时，把未知转化成已知，这是重要的思想方法．我是根据这个思想才想出来的． 师：观察这个问题的已知和结论，同学们能发现有什么规律吗？ 生：两个复数相乘，积的模等于各复数模的积，积的复角等于各复数的辐角的和． 师：利用这个结论，请同学们计算： 大家把计算过程写在笔记本上． 陈仓高级中学高二数学备课组集体教案 课题 §3.2.2复数代数形 式的乘除运算 撰写人 三维目标 1.知识与技能目标 理解并掌握复数的代数形式的乘法与除法运算法则，深刻理解它是乘法运算的逆运算；并掌握复数的除法运算实质是分母实数化类问题； 2.过程与方法目标 通过学习使学生进一步理解算理，提高对运算法则合理性的认识。 3.情感态度价值观 培养学生严密的推理能力，周到细密的计算能力. 重难点 重点: 复数代数形式的除法运算 难点: 对复数除法法则的运用. 课件名称 复数代数形式的乘除运算 上课时间 教学过程 【知识链接】 1.复数1z 与2z 的和的定义：()()()()i d b c a di c bi a z z +++=+++=+21； 2.复数1z 与2z 的差的定义：()()()()i d b c a di c bi a z z -+-=+-+=-21； 3.复数的加法运算满足交换律:1221z z z z +=+； 4.复数的加法运算满足结合律: ()()321321z z z z z z ++=++； 5.复数()R b a bi a z ∈+=,的共轭复数为bi a z -=. 【问题探究】 探究一、复数的乘法运算 引导1:乘法运算规则 设bi a z +=1、di c z +=2()R d c b a ∈,,,是任意两个复数，规定复数的乘法按照以下的法则进行： =?21z z 其实就是把两个复数相乘，类似两个多项式相乘，在所得的结果中把2i 换成－1，并且 把实部与虚部分别合并.两个复数的积仍然是一个复数. 引导2:试验证复数乘法运算律 （1）1221z z z z ?=? （2）()()321321z z z z z z ??=?? （3）()3121321z z z z z z z ?+?=+? 点拨：两个复数相乘，类似两个多项式相乘，在所得的结果中把2i 换成－1，并且把实部与虚部分别合并.两个复数的积仍然是一个复数. 探究二、复数的除法运算 引导1：复数除法定义： 满足()()()bi a yi x di c +=++的复数()R y x yi x ∈+,叫复数bi a +除以复数di c + 的商，记为：()()di c bi a +÷+或者 di c bi a ++()0≠+di c . 引导2：除法运算规则： 利用()()22d c di c di c +=-+.于是将di c bi a ++的分母有理化得： 原式=22 ()()[()]()()()a bi a bi c di ac bi di bc ad i c di c di c di c d ++-+?-+-==++-+ 222222 ()()ac bd bc ad i ac bd bc ad i c d c d c d ++-+-==++++. ∴(a +bi )÷(c +di )=i d c a d bc d c bd ac 2222+-+++. 点拨：利用初中我们学习的化简无理分式时，都是采用的分母有理化思想方法，而复数di c +与复数di c -，相当于我们初中学习的23+的对偶式23-，它们之积为1是有理数，而()()2 2d c di c di c +=-+是正实数.所以可以分母实数化. 把这种方法叫做分母实数化法 【典例分析】 例1计算()()()i i i +-+-24321 引导:可先将前两个复数相乘，再与第三个复数相乘. 点拨：在复数的乘法运算过程中注意将2 i 换成－1. 例2计算：（1）()()i i 4343-+ ； （2）() 21i +. 引导:按照复数乘法运算展开即可. 点拨：注意体会互为共轭复数的两个复数的乘积是一个实数，记住一些特殊形式代数式的运算结果，便于后续学习的过程中的化简、代换等. 复数乘除法公开课优 秀教案 §3.2.2复数代数形式的乘除运算 【学习目标】 1.理解并掌握复数的代数形式的乘法与除法运算法则，深刻理解它是乘法运算的逆运算； 2.理解并掌握复数的除法运算实质是分母实数化类问题； 【重点难点】 重点：复数代数形式的除法运算. 难点：对复数除法法则的运用. 【学法指导】 复数乘法运算是按照多项式与多项式相乘展开得到，在学习时注意将2i 换成1-；除法是乘法的逆运算，所以复数的除法运算可由乘法运算推导获得，但是也可由互为共轭复数的两个复数的乘积为实数，先将复数的分母实数化，再化简可得，学习时注意体会第二种方法的优势和本质. 【知识链接】 1.复数1z 与2z 的和的定义：()()()()i d b c a di c bi a z z +++=+++=+21； 2.复数1z 与2z 的差的定义：()()()()i d b c a di c bi a z z -+-=+-+=-21； 3.复数的加法运算满足交换律:1221z z z z +=+； 4.复数的加法运算满足结合律: ()()321321z z z z z z ++=++； 5.复数()R b a bi a z ∈+=,的共轭复数为bi a z -=. 【问题探究】 探究一、复数的乘法运算 引导1:乘法运算规则 设bi a z +=1、di c z +=2()R d c b a ∈,,,是任意两个复数，规定复数的乘法按照以下的法则进行： =?21z z 其实就是把两个复数相乘，类似两个多项式相乘，在所得的结果中把2i 换成－1，并且 把实部与虚部分别合并.两个复数的积仍然是一个复数. 引导2:试验证复数乘法运算律 （1）1221z z z z ?=? （2）()()321321z z z z z z ??=?? （3）()3121321z z z z z z z ?+?=+? 点拨：两个复数相乘，类似两个多项式相乘，在所得的结果中把2i 换成－1，并且把实部与虚部分别合并.两个复数的积仍然是一个复数. 探究二、复数的除法运算 引导1：复数除法定义： 满足()()()bi a yi x di c +=++的复数()R y x yi x ∈+,叫复数bi a +除以复数di c + 的商，记为：()()di c bi a +÷+或者 di c bi a ++()0≠+di c . 引导2：除法运算规则： 利用()()22d c di c di c +=-+.于是将di c bi a ++的分母有理化得： 原式=22 ()()[()]()()()a bi a bi c di ac bi di bc ad i c di c di c di c d ++-+?-+-==++-+ 222222 ()()ac bd bc ad i ac bd bc ad i c d c d c d ++-+-==++++. ∴(a +bi )÷(c +di )=i d c a d bc d c bd ac 2222+-+++. 点拨：利用初中我们学习的化简无理分式时，都是采用的分母有理化思想方法，而复数di c +与复数di c -，相当于我们初中学习的23+的对偶式23-，它们之积为1是有理数，而()()22d c di c di c +=-+是正实数.所以可以分母实数化. 把这种方法叫做分母实数化法 双基限时练(十一) 1．在复平面内，复数z ＝1 2＋i 对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 解析 z ＝12＋i ＝2－i 5＝25－15i ，∵点(25，－1 5)在第四象限．∴复数 z 对应的点在第四象限． 答案 D 2．复数3 (1－i )2的值是( ) A.32i B ．－3 2i C ．i D ．－i 解析 3(1－i )2 ＝3－2i ＝3 2i. 答案 A 3.2－3i 3＋2i 等于( ) A ．－15i B.15i C ．－i D ．i 解析 2－3i 3＋2i ＝(2－3i )(3－2i )(3＋2i )(3－2i )＝6－13i －632＋22＝－i. 答案 C 4.(1－i )(1＋2i )1＋i 等于( ) A ．－2－i B ．－2＋i C ．2－i D ．2＋i 解析 (1－i )(1＋2i )1＋i ＝(1－i )(1＋2i )(1－i )(1＋i )(1－i ) ＝ －2i (1＋2i ) 2 ＝－i(1＋2i) ＝2－i. 答案 C 5．i 是虚数单位，若1＋7i 2－i ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则乘积ab 的值是 ( ) A ．－15 B ．－3 C ．3 D ．15 解析 1＋7i 2－i ＝(1＋7i )(2＋i ) (2－i )(2＋i ) ＝－1＋3i ＝a ＋b i ， ∴a ＝－1，b ＝3，∴ab ＝－3. 答案 B 6．投掷两颗骰子，得到其向上的点数分别为m 和n ，则复数(m ＋n i)(n －m i)为实数的概率为( ) A.1 3 B.1 4 C.16 D.112 解析 (m ＋n i)(n －m i)＝2mn ＋(n 2－m 2)i ，由此复数为实数得n 2 －m 2＝0，即n ＝±m ，故所求的概率为P ＝ 66×6 ＝1 6. 复数代数形式的四则运算 —乘除运算 授课人：霍阳郜格陈丹董秀清宋广东 指导教师：黄海鹏 一、教学目标：1、理解复数代数形式的四则运算法则 2、能运用运算律进行复数的四则运算 3、培养类比思想和逆向思维 4、培养学生探索精神和良好的自学习惯 二、教学重点：复数的加减运算、乘除运算 三、教学难点：灵活准确地进行复数代数形式的四则运算及类比思想 四、教学方式：学生自主探究教师指导学习 五、教学用具：多媒体 六、教学过程 （一）知识回顾 1、复数的乘法运算 设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)是任意两个复数， 则它们积为z1?z2＝(a＋bi) (c＋di)＝(ac－bd)＋(bc＋ad)i 复数的积仍然为一个复数，复数的乘法与多项式的乘法相似。 复数乘法满足(1)交换律：z1?z2＝z2?z1； (2)结合律(z1?z2)?z3＝z1?(z2?z3)； (3)分配律z1 (z2＋z3)＝z1z2＋z1z3 2、共轭复数 实部相等而虚部互为相反数的两个数。复数z的共轭复数用z表示。 若z＝a＋bi，则z＝a－bi (a，b∈R) z z＝a2＋b2z+z=2a z-z=2bi 3、复数的除法运算(乘法的逆运算) 复数a ＋bi 除以复数c ＋di 的商是指 满足(c ＋di) (x ＋yi)＝a ＋bi 的复数x ＋yi ，记作 di c bi a ++ (c ＋di ≠0) 根据复数相等的定义：di c bi a ++＝22 d c bd ac ++＋22d c a d bc +-i 利用共轭复数性质： di c bi a ++＝))(())((di c di c di c bi a -+-+＝22)()(d c a d bc bd ac +--+＝22d c bd ac ++＋22d c ad bc +-i （二） 习题讲解 例1、 已知复数)(,)31()1)(31(R a ai z w i i i i z ∈+=+--+-=，当2≤z w 时， 求a 的取值范围。 思路：先根据四则运算法则算化简z ，然后得w ，然后球的 z w ，进而求其模，解不等式。 例2、已知复数z 满足5=z 且z i ?-)43(是纯虚数，则z =___________ 思路：先求z 在代入模的运算，进而用共轭得出 例3、已知复数1121)12(,2z i i z z i z -++=+=（1）求2z （2）在ABC ?的三个内角C B ，，A 依次成等差数列，且2 cos 2cos 2C i A u +=，求2z u +的取值范围。 思路：（1）将1z 代入式子求2z （2）利用三角形内角和、等差数列性质求得B ，再利用二倍角公式求得u 的最简解析式，进而利用三角函数的值域求范围。 七、 小结 复数的乘除法运算 练习 1．计算（1）(32)(23)i i -÷+ （2）(12)(32)i i +÷-+ 2．（1） 232(12)i i -+ （2）23(1)1i i -+- 3.设z =3+i ,则 z 1=_______________ 4. ai b bi a ai b bi a +-+-+=_________________ 5.已知z 1=2－i ,z 2=1+3i ,则复数 521z z i +的虚部为______________ 6.设 i y i i x -+-=+1231 (x ∈R ,y ∈R ),则x =___________,y =___________. 7.已知复数z 满足 i z i z z 682-=?+?，求复数z. 8.复数,bi a z +=b a ,R ∈且0≠b ,若24z bz -是实数，则有序实数对),(b a 可以 是 .(写出一个有序实数对即可) 9.设z 的共轭复数是z ，若z +z =4,z ·z ＝8，则 z z =_______________ 10.计算复数22(1)12i i i +-- -=_______________ 11. Z ∈C ，若12z z i -=- 则 43i z +的值是__________________ 12.已知复数122i,13i =-=-z z ，则复数21i 5+z z = . 13.若复数12i =-z ，则?+z z z = ． 14．若复数z 满足i(2)=-z z (i 是虚数单位)，则=z ． 15．设复数z 满足(23i)=6+4i -z （其中i 为虚数单位），则z 的模为_______． §３.2.2复数代数形式的乘除运算 【学习目标】 1。理解并掌握复数的代数形式的乘法与除法运算法则,深刻理解它是乘法运算的逆运算； ２.理解并掌握复数的除法运算实质是分母实数化类问题; 【重点难点】 重点:复数代数形式的除法运算. 难点:对复数除法法则的运用。 【学法指导】 复数乘法运算是按照多项式与多项式相乘展开得到,在学习时注意将2 i 换成1-;除法是乘法的逆运算,所以复数的除法运算可由乘法运算推导获得,但是也可由互为共轭复数的两个复数的乘积为实数,先将复数的分母实数化，再化简可得，学习时注意体会第二种方法的优势和本质. 【知识链接】 1。复数1z 与2z 的和的定义：()()()()i d b c a di c bi a z z +++=+++=+21; 2。复数1z 与2z 的差的定义:()()()()i d b c a di c bi a z z -+-=+-+=-21； ３。复数的加法运算满足交换律：1221z z z z +=+; 4。复数的加法运算满足结合律: ()()321321z z z z z z ++=++; 5。复数()R b a bi a z ∈+=,的共轭复数为bi a z -=。 【问题探究】 探究一、复数的乘法运算 引导１：乘法运算规则 设bi a z +=1、di c z +=2()R d c b a ∈,,,是任意两个复数，规定复数的乘法按照以下的法则进行: =?21z z 其实就是把两个复数相乘,类似两个多项式相乘，在所得的结果中把2i 换成－1,并且 把实部与虚部分别合并。两个复数的积仍然是一个复数。 引导２:试验证复数乘法运算律 （1)1221z z z z ?=? 322复数代数形式的乘除运算 、教学目标: 1、 知识与技能：掌握复数代数形式的乘除运算的法则，熟练进行复数的乘法和除法运算；理 解复数乘法的交换律、结合律、分配律；了解共轭复数的定义及性质?过程与方法： 2、 过程与方法：运用类比方法，经历由实数系中的乘除法到复数系中乘除法的过程 ；培养学 生发散思维和集中思维的能力，以及问题理解的深刻性、全面性. 3、 情感、态度与价值观：通过实数的乘、除法运算法则及运算律，推广到复数的乘、除法， 使同学们对运算的发展历史和规律，以及连续性有一个比较清晰完整的认识，同时培养学生的科学 思维方法. 二、 重点难点： 重点：掌握复数代数形式的乘除运算的法则，熟练进行复数的乘法和除法运算. 难点：复数除法的运算法则. 三、 教学过程 【知识链接】 1.复数Z i 与Z 2的和的定义： Z i Z 2 a bi c di a c b d i ； 2?复数Z i 与Z 2的差的定义： Z 1 Z 2 a bi c di a c b d i ； 3.复数的加法运算满足交换律 :Z i Z 2 Z 2 Z i ； 4.复数的加法运算满足结合律 Z i Z 2 Z 3 Z Z 2 Z 3 ； 5?复数z a bi a,b R 的共轭复数为z a bi ? 【问题探究】 探究一、复数的乘法运算 引导1：乘法运算规则 设 z i a bi 、Z 2 c di a,b,c,d 规定复数的乘法按照以下的法则进行: R 是任意两个复数, 其实就是把两个复数相乘，类似两个多项式相乘，在所得的结果中把i2换成-1,并且把实部与虚部分别合并?两个复数的积仍然是一个复数 引导2:试验证复数乘法运算律 (1)乙Z2 Z2 乙 (2)乙Z2 Z3 Z1 Z2 Z3 (3)Z i Z2 Z3 Z1 Z2 Z1 Z3 点拨：两个复数相乘，类似两个多项式相乘，在所得的结果中把 合并?两个复数的积仍然是一个复数? i2换成-1,并且把实部与虚部分别 探究二、复数的除法运算 引导1：复数除法定义： 满足c di x yi a bi的复数x yi x, y R叫复数a bi除以复数c di的商, 记为： a bi c di或者 a bi c c di di 0 . 引导 2： 除法运算规则： 利用c di c di c2d2 a ?于是将 Ki 的分母有理化 得 c di ，”、八 a 原式=—bi di (a bi)(c di) (c di )(c di) [ac bi ( di)] (be ad)i c2 d2 (ac bd) (be ad)i c2 d2ac bd be ad . c2 d2 c2 d2i §3.2.2复数代数形式的乘除运算 一.教学目标： 1.知识与技能：理解并掌握复数的代数形式的乘法与除法运算法则，深刻理解它是乘法运算 2. 3.情感、态度与价值观：复数的几何意义单纯地讲解或介绍会显得较为枯燥无味，学生不易接受，教学时，我们采用讲解或体验已学过的数集的扩充的，让学生体会到这是生产实践的需要从而让学生积极主动地建构知识体系。 二.教学重难点: 重点：复数代数形式的乘除法运算。 难点：对复数除法法则的运用。 三.教具准备：多媒体、实物投影仪。 四.教学设计过程： (一)复习巩固,问题引入 已知z 1 =a +bi (a 、b ∈R ), z 2 ﹦c +di (c 、d ∈R ) 复数和的定义：z 1+z 2=(a +bi )+(c +di )=(a +c )+(b +d )i . 复数差的定义：z 1-z 2=(a +bi )-(c +di )=(a -c )+(b -d )i . 复数的加法运算满足交换律: z 1+z 2=z 2+z 1. 复数的加法运算满足结合律: (z 1+z 2)+z 3=z 1+(z 2+z 3) 复数z =a +bi 的共轭复数: z =a -bi 问题:复数乘除法的定义是什么?复数的乘法是否也满足交换律和结合律? (二)讲解新课： １．复数乘法运算规则： 规定复数的乘法按照以下的法则进行： 设z 1=a +bi ，z 2=c +di (a 、b 、c 、d ∈R )是任意两个复数，那么它们的积(a +bi )(c +di )=(ac －bd )+(bc +ad )i . 其实就是把两个复数相乘，类似两个多项式相乘，在所得的结果中把i 2换成－1，并且把实部与虚部分别合并.两个复数的积仍然是一个复数. 2. 复数乘法运算律： (1) 复数的乘法运算满足交换律z 1z 2=z 2z 1 (2) 复数的乘法运算满足结合律z 1(z 2z 3)=(z 1z 2)z 3 (3) 复数的乘法运算满足分配律z 1(z 2+z 3)=z 1z 2+z 1z 3. 例1计算 (1) (1﹢2i)(3-4i) (2)(1-2i)(3+4i)(-2+i) （3）（1+i)2. （4）（2-i)2. 例2动手算一算,你发现了什么? (1)i, i 2 ,i 3 ,i 4 ,i 5 ,i 6 ,i 7 , i 8 (2)(3+4i) (3-4i) ； 结论:互为共轭复数的两个复数相乘后得到的是一个实数 3.复数除法定义：满足(c+di)(x+yi)=(a+bi)的复数x+yi(x,y ∈R)叫复数a+bi 除以复数 c+di 的商，记为：(a+bi)÷(c+di)或者di c bi a ++ 4.复数除法运算规则： 利用(c +di )(c －di )=c 2+d 2.于是将 di c bi a ++的分母实数化得： 【新教材】7.2.2 复数的乘除运算 教学设计（人教A版） 复数四则运算是本章的重点，复数代数形式的乘法与多项式乘法是类似的，不同的是即必须在所得结果中把i2换成－1，再把实部、虚部分别合并．复数的除法运算法则是通过分子分母同时乘分母的共轭复数，将分母实数化转化为乘法运算而得出的.渗透了转化的数学思想方法，使学生体会数学思想的素材. 课程目标： 1.掌握复数代数形式的乘法和除法运算； 2.理解复数乘法的交换律、结合律和乘法对加法的分配律; 3.理解且会求复数范围内的方程根. 数学学科素养 1.数学抽象：复数乘法、除法运算法则; 2.逻辑推理：复数乘法运算律的推导; 3.数学运算：复数四则运算; 4.数学建模：结合实数范围内求根公式和复数四则运算，解决复数范围内的方程根问题. 重点：复数代数形式的乘法和除法运算． 难点：求复数范围内的方程根. 教学方法：以学生为主体，小组为单位，采用诱思探究式教学，精讲多练. 教学工具：多媒体. 一、情景导入 前面学习了复数的加法、减法运算，根据多项式的乘法、除法运算法则猜测复数的乘法、除法满足何种运算法则？ 要求：让学生自由发言，教师不做判断。而是引导学生进一步观察.研探. 二、预习课本，引入新课 阅读课本77-79页，思考并完成以下问题 1、复数乘法、除法的运算法则是什么？ 2、复数乘法的多项式运算与实数的多项式运算法则是否相同？如何应用共轭复数解决问题？ 要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。 三、新知探究 1．复数代数形式的乘法法则 已知z1＝a＋b i，z2＝c＋d i，a，b，c，d∈R，则z1·z2＝(a＋b i)(c＋d i)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i. [提示]复数的乘法与多项式乘法是类似的，有一点不同即必须在所得结果中把i2换成－1，再把实部、复数的代数形式的乘除运算优秀教案
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