例4 快速更改任意多边形或曲线的形状

曲线与方程(轨迹方程)

高二数学第二章曲线与方程学案 学习目标： 1、理解平面直角坐标中“曲线的方程”和“方程的曲线”的含义； 2、掌握求曲线的方程的方法及一般步骤； 学习重点：理解曲线和方程的概念，掌握求曲线的方程的方法及一般步骤； 学习难点：曲线和方程概念的理解； 学习过程： 完成教学目标1：理解平面直角坐标中“曲线的方程”和“方程的曲线”的含义； 新授知识：曲线的方程与方程的曲线的概念 一般地，在直角坐标系中，如果其曲线C 上的点与一个二元方程f (x ,y )=0的实数解建立了如下的关系：（1）曲线上的点的坐标都是这个方程的解； （2）以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点； 那么，这个方程叫做曲线的方程；这条曲线叫做方程的曲线. 例1、判断下列结论的正误并说明理由 （1）过点A （3，0）且垂直于x 轴的直线为x=3 ； （2）到x 轴距离为2的点的轨迹方程为y=2 ； （3）到两坐标轴距离乘积等于1的点的轨迹方程为xy=1 ； 练习：1、到两坐标轴距离相等的点组成的直线方程是0=-y x 吗？ 2、已知等腰三角形三个顶点的坐标是)3,0(A ，)0,2(-B ，)0,2(C ，中线O AO (为原点）的 方程是0=x 吗？为什么？ 3、若曲线C 上的点的坐标满足方程(,)0f x y =，则下列说法正确的是（ ） A.曲线C 的方程是(,)0f x y = B.方程(,)0f x y =的曲线是C C.坐标不满足方程(,)0f x y =的点都不在曲线C 上 D.坐标满足方程(,)0f x y =的点都在曲线C 上 例2、已知方程252 2=+by ax 的曲线经过点)3 5,0(A 和点)1,1(B ，求a 、b 的值。 练习：已知方程 2 2 25x y +=表示的曲线C 经过点)A m ，求m 的值。 完成教学目标2：掌握求曲线的方程的方法及一般步骤； 类型一：待定系数法求轨迹方程（设出标准方程，根据题意求出a ，b ，p ） 例1：已知A,B,C 是长轴长为4的椭圆上的三点，点A 是长轴的一个顶点，BC 过椭圆的中心O ， 且0=?,||2||=,求椭圆的方程。 练习：已知椭圆C 的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，椭圆C 上的点到焦点距离的最大值为3，最小值为1．求椭圆C 的标准方程； 类型二：直接法求轨迹方程（根据题目条件，直译为关于动点的几何关系，即把这种关系“翻译”成含x ,y 的等式就得到曲线的轨迹方程了。注意：是否应该建立适当的坐标系） 例2：已知点Ｆ（１，０），直线ｌ：x ＝－１，Ｐ为平面上的动点，过点Ｐ作直线ｌ的垂线，垂 足为点Ｑ，且FQ FP QF QP ?=?,求动点Ｐ的轨迹Ｃ的方程； **练习：已知动点M 到定点A （1,0）与到定直线l ：x=3的距离之和等于4，求动点M 的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线？

经济学知识：消费者的无差异曲线具有以下特点 理论考试试题及答案

1.消费者的无差异曲线具有以下特点（BCDE ） A.具有正斜率 B.斜率递减 C.任何两条无差异曲线都不相交 2.在LM曲线不变的情况下，IS曲线的弹性大，则（）。 A 财政政策的效果好 B 货币政策的效果好 3.假定某商品的价格从10美元下降到9美元，需求量从70增加到75，则需求为( B )。 A 缺乏弹性； B 富有弹性； 4.商品的边际效用随着商品消费量的增加而：( ) A.递增 B。递减 C.先减后增 D．先增后减 5. 保持所有其它因素不变，某种商品的价格下降将导致（） A、失业 B、有用性资源增加或技术进步 6.效用是消费者从商品和劳务中获得的满足程度。由于其因人因时因地而异，一种理论认为不同商品的效用可以计量并加和求总，另一种认为不可加和求总，但可用第一、第二的顺序排列表示哪一种商品的效用大小。后一种称为，（） a.基数效用论 b.序数效用论 c.总效用 d.边际效用 7.垂直的需求曲线是（）弹性。 A、完全有 B、富有 C、完全无 8. 下列几组商品的交叉价格弹性为正向（大于0）的有（） A．汽油和汽车 B．大豆和大米 C．苹果和自行车 D．猪肉和牛肉 9. 等产量线凹向原点的经济含义是指（） A．两种投入既可以相互替代，又不可以完全替代的 10. 短期平均成本曲线呈U型,是因为（） A.外部经济问题 B.内部经济问题 11.消费者的预算线反映了（ A ） A.消费者的收入约束 B.消费者的偏好 C.消费的需求 D.消费者的效用最大化状态 12.边际成本曲线与平均成本曲线的相交点是（） A 边际成本曲线的最低点 B平均成本曲线的最低点

13.经济学可定义为（） A、政府对市场制度的干预 B、企业取得利润的活动 14.在得出某种商品的供给曲线时，下列因素除哪种外均保持常量？（） A、技术水平 15.供给弹性（）点弹性和弧弹性的区分。 A、有 B、没有 C、不确定 16. 下列几组商品的交叉价格弹性为正向（大于0）的有（） A．汽油和汽车 B．大豆和大米 C．苹果和自行车 D．猪肉和牛肉 17.仅有劳动要素(L)可变的短期生产中，当MPL=APL的时候，有( )。 A．APL最大 B．APL处于上升阶段 18.若MRSxy递减，MUx和MUy必定（） A、递增 B、递减 19.互补性商品的无差异曲线的形状是（）。 A． B． C． D． 20.边际成本曲线与平均成本曲线的相交点是（） A 边际成本曲线的最低点 B平均成本曲线的最低点 21.在一般情况下，供给曲线( ) A．向左上方倾斜 B．向右下方倾斜 C．斜率为正 D．斜率为负 22.假定某耐用消费品的需求函数Qd = 400 - 5P 时的均衡价格为50 ，当需求函数变为Qd = 600 - 5P 时，（供给不变）均衡价格将BD A．低于50 B．高于50 C．等于50 D．上升 23.根据简单的凯思斯主义模型，引起国内生产总值减少的原因是：( ) A．消费减少 B．储蓄减少 C.消费增加 D．总供给减少

图3—23 无差异曲线

34．答：（1）无差异曲线是用来表示消费者偏好相同的两种商品的所有组合的。或者说，它是表示能给消费者带来相同效用水平或满足程度的两种商品的所有组合。相对应的效用函数为：U=f（x1，x2），其中X1和X2分别是商品1和商品2的数量。如图3—23所示，横轴与纵轴分别代表A、B两种商品，它们有四种不同的组合，其坐标点分别为Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ。I表示由1个单位A商品与6个单位B商品组合；Ⅱ表示由2个单位A商品与3个单位B 商品组合，等等。连接I，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ形成的曲线L便是无差异曲线。 图3—23 无差异曲线 （2）无差异曲线具有以下三个基本特点：①由于通常假定效用函数是连续的，所以，在同一坐标平面上的任何两条无差异曲线之间，可以有无数条无差异曲线。所有这些无差异曲线之间的相互关系是：离原点越远的无差异曲线代表的效用水平越高，离原点越近的无差异曲线代表的效用水平越低。②在同一坐标平面图上的任何两条无差异曲线不会相交。图3—24中，两条无差异曲线相交于a点，这种画法是错误的。其理由在于：根据无差异曲线的定义，由无差异曲线I1可得a、b两点的效用水平是相等的，由无差异曲线I2可得a、b 两点的效用水平是相等的。于是，根据偏好可传递性的假定，必定有b和c这两点的效用水平是相等的。但是，观察和比较图中b和c这两点的商品组合，可以发现c组合中的每一种商品的数量都多于b组合，于是，根据偏好的非饱和性假定，必定c有点效用水平大于b 点的效用水平。这样一来，矛盾产生了：该消费者在认为b点和c点无差异的同时，又认为c点要优于b点，这就违背了偏好的完全性假定。由此证明：对于任何一个消费者来说，两条无差异曲线相交的画法是错误的。③无差异曲线是凸向原点的。这就是说，无差异曲线不仅向右下方倾斜，即无差异曲线的斜率为负值，而且，无差异曲线是以凸向原点的形状向右下方倾斜的，即无差异曲线的斜率的绝对值是递减的。这取决于商品的边际替代率递减规律。 图3—24 违反偏好假定的无差异曲线

曲线和方程典型例题

典型例题一 例1 如果命题“坐标满足方程()0=y x f ，的点都在曲线C 上”不正确，那么以下正确的命题是 （A ）曲线C 上的点的坐标都满足方程()0=y x f ，． （B ）坐标满足方程()0=y x f ，的点有些在C 上，有些不在C 上． （C ）坐标满足方程()0=y x f ，的点都不在曲线C 上． （D ）一定有不在曲线C 上的点，其坐标满足方程()0=y x f ，． 分析：原命题是错误的，即坐标满足方程()0=y x f ，的点不一定都在曲线C 上，易知答案为D ． 典型例题二 例2 说明过点)1,5(-P 且平行于x 轴的直线l 和方程1=y 所代表的曲线之间的关系． 分析：“曲线和方程”的定义中所列的两个条件正好组成两个集合相等的充要条件，二者缺一不可．其中“曲线上的点的坐标都是方程0),(=y x f 的解”，即纯粹性；“以方程的解为坐标的点都是曲线上的点”，即完备性．这是我们判断方程是不是指定曲线的方程，曲线是不是所给方程的曲线的准则． 解：如下图所示，过点P 且平行于x 轴的直线l 的方程为1-=y ，因而 在直线l 上的点的坐标都满足1=y ，所以直线l 上的点都在方程1=y 表示的曲线上．但是以1=y 这个方程的解为坐标的点不会都在直线l 上，因此方程1=y 不是直线l 的方程，直线l 只是方程1=y 所表示曲线的一部分． 说明：本题中曲线上的每一点都满足方程，即满足纯粹性，但以方程的解为坐标的点不都在曲线上，即不满足完备性． 典型例题三 例3 说明到坐标轴距离相等的点的轨迹与方程x y =所表示的直线之间的关系． 分析：该题应该抓住“纯粹性”和“完备性”来进行分析． 解：方程x y =所表示的曲线上每一个点都满足到坐标轴距离相等．但是“到坐标轴距离相等的点的轨迹”上的点不都满足方程x y =，例如点)3,3(-到两坐标轴的距离均为3，但它不满足方程x y =．因此不能说方程x y =就是所有到坐标轴距离相等的点的轨迹方程，到坐标轴距离相等的点的轨迹也不能说是方程x y =所表示的轨迹． 说明：本题中“以方程的解为坐标点都在曲线上”，即满足完备性，而“轨迹上的点的坐标不都满足方程”，即不满足纯粹性．只有两者全符合，方程才能叫曲线的方程，曲线才能叫方程的曲线． 典型例题四 例4 曲线4)1(2 2=-+y x 与直线4)2(+-=x k y 有两个不同的交点，求k 的取值范围．有一个交点呢？无交点呢？ 分析：直线与曲线有两个交点、一个交点、无交点，就是由直线与曲线的方程组成的方程组分

无差异曲线

无差异曲线 无差异曲线是一条表示能够给消费者带来相同满足程度的两种商品的所有组合的曲线。无差异曲线：消费者满足程度无差异、偏好无差异。 教材14页图l-7 教材14页图1-8：在同一个平面直角坐标系中，可以绘制出无数条无差异曲线，每一条都代表不同水平的偏好。

无差异曲线的特征： （1）离原点越远的无差异曲线，代表消费者的偏好程度越高。离原点越近，代表消费者的偏好程度越低。 （2）任意两条无差异曲线都不能相交。 （3）无差异曲线从左向右下倾斜，凸向原点。这是由商品边际替代率递减规律决定的。 商品边际替代率，就是指在效用水平不变的条件下，消费者增加一单位某商品时必须放弃的另一种商品的数量。 如果用MRS表示商品边际替代率，公式为： 15页图1-10：从A到B，消费者愿意放弃6个单位衣服以获得额外1个单位食品，边际替代率为6；从B到D，只

愿意用4个单位衣服来换取1个单位食品，边际替代率为4。 当商品数量变化趋于无穷小时，上述公式可以表示为： 边际商品替代率是无差异曲线的斜率。无差异曲线是凸向原点的，是因为边际商品替代率递减。 边际商品替代率递减规律：在维持效用水平不变的前提下，随着一种商品的消费数量的连续增加，消费者为得到

一单位的这种商品所需要放弃的另一种商品的消费量是递减的。 【例题1·单选题】无差异曲线的位置和形状取决于（）。 A.消费者的偏好 B.消费者的收入 C.商品的价格 D.效用的大小 [答疑编号911020103：针对该题提问] 【答案】A 【例题2·单选题】当边际替代率沿着无差异曲线递减时，一个前提条件是（）。 A.无差异曲线斜率为负值 B.无差异曲线斜率为正值 C.无差异曲线是凹的 D.无差异曲线凸向原点 [答疑编号911020104：针对该题提问] 【答案】D 【例题3·多选题】无差异曲线的

曲线和方程教案

《课堂教学设计》 课题：曲线和方程（1） 一：教学目标 ?知识与技能目标 （1）了解曲线上的点与方程的解之间的一一对应关系； （2）初步领会“曲线的方程”与“方程的曲线”的概念； （3）学会根据已有的情景资料找规律，培养学生分析、判断、归纳的逻辑思维能力与抽象思维能力，同时强化“形”与“数”一致并相互转化的思想方法。 ?过程与方法目标 （1）通过直线方程的复习引入，加强学生对方程的解和曲线上的点的一一对应关系的直观认识； （2）在形成曲线和方程概念的过程中，学生经历观察，分析，讨论等数学活动过程，探索出结论并能有条理的阐述自己的观点； （3）能用所学知识理解新的概念，并能运用概念解决实际问题，从中体会转化化归的思想方法，提高思维品质，发展应用意识。 ?情感与态度目标 （1）通过概念的复习引入，从特殊到一般，让学生感受事物的发展规律； （2）通过本节课的学习，学生能够体验几何问题可以转化成代数问题来研究，真正认识到数学是解决实际问题的重要工具； （3）学生通过观察、分析、推断可以获得数学猜想，体验到数学活动充满着探索性和创造性。 二：教材分析 1、教学分析：因为学生已有了用方程（有时用函数式的形式出现）表示曲线的感性认识（特别是二元一次方程表示直线），现在要进一步研究平面内的曲线和含有两个变数的方程之间的关系，是由直观表象上升到抽象概念的过程。所以本节课采用了复习引入课题，从特殊到一般的方法让学生易于接受。在概念的探索过程中采用了举反例的方法来揭示概念的内涵。在概念的应用即例题的设计方面，着重巩固对概念的两个条件的认识。 2、教学重点 “曲线的方程”与“方程的曲线”的概念。

无差异曲线名词解释

1、无差异曲线（Indifference curve） 无差异曲线是一条表示线上所有各点两种物品不同数量组合给消费者带来的满足程度相同的线。 是用来表示消费者偏好相同的两种商品的所有组合。或者说它是表示能够给消费者带来相同的效用水平或满足程度的两种商品的所有组合的。 2、股市用语。 无差异曲线是对一个特定的投资者而言，根据他对期望收益率和风险的偏好态度，按照期望收益率对风险补偿的要求，得到的一系列满意程度相同的（无差异）证券组合在均值方差（或标准差）坐标系中所形成的曲线。 3、无差异曲线的特征 1)无差异曲线是一条向右下方倾斜的线，斜率是负的。表明为实现同样的满足程度，增加一种商品的消费，必须减少另一种商品的消费。 2）在同一个平面上可以有无数条无差异曲线。同一条曲线代表相同的效用，不同的曲线代表不同的效用。 3）无差异曲线不能相交。否则无差异曲线的定义会和它的第二特征发生矛盾。 4）无差异曲线凸向原点。 所谓无差异曲线就是表示能给消费者带来同等程度满足的

两种商品的不同数量组合的点的轨迹。 因为同一条无差异曲线上的每一个点所代表的商品组合所提供的总效用是相等的，所以无差异曲线也叫做等效用线。 不同消费者的无差异曲线图，反映着他们不同的偏好。如果消费者A的无差异曲线相对于消费者B的无差异曲线来说比较陡峭，这意味着 若同样减少一单位商品x，要保持原来的满足程度不变，消费者A需要增加的商品y的数量要大于消费者B。从这一点来看，相对于商品x而言 商品y对于消费者A不如对于消费者B重要，或者说，在x 与y两种商品之间，消费者A比消费者B更偏爱商品x，消费者B比消费者A更偏爱商品y. 无差异曲线主要有以下四个特征; 第一，假定每个商品都被限定为多了比少了好，那么无差异曲线一定向右下方倾斜，就是说，其斜率一定为负。只是在特殊情况下，即当 某种商品为中性物品或令人讨厌的物品时，无差异曲线才表现为水平的或者垂直的，甚至是向右上方倾斜，即斜率为正。 第二，在每种商品都不被限定为多了比少了好的前提下，无差异曲线图中位置越高或距离原点越远的无差异曲线所代表的消费者的满足程度越高。

曲线与方程,圆的方程

曲线与方程、圆的方程 江苏 郑邦锁 1．曲线C 的方程为:f(x,y)=0?曲线C 上任意一点P （x 0,y 0）的坐标满足方程f(x,y)=0，即f （x 0,y 0）=0；且以f(x,y)=0的任意一组解（x 0,y 0）为坐标的点P （x 0,y 0）在曲线C 上。 依据该定义：已知点在曲线上即知点的坐标满足曲线方程；求证点在曲线上也只需证点的坐标满足曲线方程。求动点P(x,y)的轨迹方程即求点P 的坐标(x,y)满足的方程（等式）。求动点轨迹方程的步骤：①建系，写（设）出相关点的坐标、线的方程，动点坐标一般设为(x,y)，②分析动点满足的条件，并用等式描述这些条件，③化简，④验证：满足条件的点的坐标都是方程的解，且以方程的解为坐标的点都满足条件。 [举例1] 方程04)1(22=-+-+y x y x 所表示的曲线是： （ ） A B C D 解析：原方程等价于：???≥+=--4 0122y x y x ，或422=+y x ； 其中当01=--y x 需422-+y x 有意义，等式才成立，即422≥+y x ，此时它表示直 线01=--y x 上不在圆422=+y x 内的部分，这是极易出错的一个环节。选D 。 [举例2] 已知点A （－1，0），B （2，0），动点M 满足2∠MAB=∠MBA ，求点M 的轨迹方程。 解析：如何体现动点M 满足的条件2∠MAB=∠MBA 是解决本题的关键。用动点M 的坐标体现2∠MAB=∠MBA 的最佳载体是直线MA 、MB 的斜率。 设M （x ，y ），∠MAB=α，则∠MBA=2α，它们是直线 MA 、MB 的倾角还是倾角的补角，与点M 在x 轴的上方 还是下方有关；以下讨论： ① 若点M 在x 轴的上方, ,0),90,0(00>∈y α 此时，直线MA 的倾角为α，MB 的倾角为π-2α， ,2 )2tan(,1tan -=-+==∴x y x y k MA απα （2090≠α） ,2tan )2tan(ααπ-=- ,)1(11222 2+-+?=--∴x y x y x y 得： 132 2 =-y x ，∵1,>∴>x MB MA ．

无差异曲线名词解释

无差异曲线 无差异曲线是经济学里消费者选择理论中用来描述消费者偏好的工具，表示消费者面对两种或两组商品构成的组合时的喜好态度。无差异曲线又名“等效用曲线”，是给消费者带来同等效用的两种或两组商品所构成的差异性数量组合的集合。无差异曲线理论的形成和发展均是基于效用理论。 1.效用理论 效用理论是用来描述和分析消费者选择行为和投资决策的一门理论，当消费者消费某一单位的有价值的物品时，消费者将获得一定程度的满足，在经济学中，将这种通过消费有价值的物品所获得的满足称作“效用”。 “效用”极可能为正，也可能为负，例如，当消费者消费一个苹果时，苹果给消费者带来了正的满足，故通过消费一个苹果带来的效用为正；当消费者对某种物品持有厌恶态度，在消费某一单位该种物品时，将给消费者带来负的满足，所带来的效用为负。 从效用理论的角度分析消费者行为，有基数效用理论和序数效应理论两种方法。 基数效应理论：通过消费物品所获得的效用可以测量，且物品的边际效用递减。 序数效用理论：通过消费物品所获得的效用不能具体测量，但是能比较；无法确定每一个消费的物品所带来的效用，但可以知道消费第n个单位的物品所带来的效用与消费第n+1个物品所带来的效用的相对大小。 根据消费者消费的第n个物品和第n+1个物品获得的效用的相对大小，边际效用可以大致分为三类：单调递减型、不变型、单调递增型。图1 是常见的收益损失型效用曲线，投资中收益损失的效用特点与消费者消费物品所获得的效用特点相同。

图1 收益损失型效用曲线 单调递减型：从n 个收益所获得的效用大于第n+1个收益所获得的效用，尽管随着收益的增长，总体的效用水平增加，但边际效用水平服从递减规律，该类特征的投资者一般厌恶风险；一般物品的消费复合该类曲线的效用特征。 单调递增型：从第n 个收益所获得的效用小于第n+1个收益所获得的的效用，随着收益的增长，总体的效用水平不断增加，且边际效用水平递增，该类型的投资者一般喜好风险；在消费者行为中，部分支出性质的物品消费符合该类曲线特征，例如，等待公交车的过程，等待的第10至20分钟的时间所带来的负的效应比等待的前10分钟所带来的负的效用的绝对值大。 不变型：从第n 个收益所获得的的效用等于第n+1个收益所获得的的效用，边际效用水平保持不变；在消费行为中，部分特征不明显的物品会采用此种效用形式。 2. 无差异曲线 假设有两种物品，为便于理解，将两种物品设定为土豆和可乐；消费者消费土豆和可乐所获得的效用符合效用理论的三种类型特征：现有两种组合可供消费者选择；第一种组合是由a 1单位的土豆和b 1单位的可乐构成，第二种组合是由 a 2单位的土豆和 b 2单位的可乐构成。 为便于表述，用Z （a,b ）来表示土豆和可乐的组合，a 表示土豆的数量，b 表示可乐的数量，第一种组合即可表示为Z 1（a 1,b 1），第二种组合表示为Z 2（a 2，

曲线和方程知识要点

曲线和方程的概念 【知识要点】 定义 一般地，如果曲线C 与方程0),(=y x F 之间有以下两个关系：(1)曲线C 上的点的坐标都是方程0),(=y x F 的解；(2)以方程0),(=y x F 的解为坐标的点都在曲线C 上. 我们就把0),(=y x F 叫做曲线C 的方程，曲线C 叫做方程0),(=y x F 的曲线. 注意：要建立曲线与方程间的对应关系，仅有条件“曲线C 上的点的坐标都是方程0),(=y x F 的解”是不够的，因为可能有满足方程0),(=y x F 的点不在曲线C 上；仅有条件“以方程0),(=y x F 的解为坐标的点都在曲线C 上”也是不够的，因为曲线C 上可能有不满足方程0),(=y x F 的点.只有同时具备这两个条件时，才能说方程0),(=y x F 是曲线C 的方程，曲线C 是方程0),(=y x F 的曲线. 求曲线的方程 【知识要点】 1 求曲线的方程的步骤： ①建立适当的直角坐标系(如果已给出，本步骤省略). ②设曲线上任意一点的坐标为),(y x ，写出已知点的坐标，设出相关点的坐标. ③根据曲线上点所适合的条件，写出等式. ④用坐标表示这个等式(方程)，并化简. ⑤证明以化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点(在本教材不作要求). (6)检验，该说明的要说明. 2 求曲线方程的常用方法：定义法、直接法、代入法、参数法等. (1)定义法：根据题意可以得出或推出动点的轨迹是直线或圆或椭圆或双曲线或抛物线.根据所学知识可以写出或求出轨迹方程.若方程形式知道，往往用待定系数法求. (2)直接法：根据题设条件直接写出动点的坐标),(y x 所满足的关系式，即方程0),(=y x F . (3)相关点法(代入法)：是所求轨迹上的动点),(y x P 随着另一个已知曲线上的动点),(11y x M 的运动而运动时，一般用代入法求动点P 的轨迹方程.其方法是根据题设条件求得两动点坐标),(y x 与),(11y x 之间的关系式，从中解出),(),,(11y x g y y x f x ==，由于),(11y x M 在已知曲线上，故),(11y x M 满足已知曲线方程，将11,y x 的表达式代入已知曲线方程，从而求得动点P 的轨迹方程. (4)参数法：根据题意得出动点P 的坐标y x ,用其他点的坐标或长度、角、斜率、时间等参

曲线和方程_1

曲线和方程 教学目标（1）了解用坐标法研究几何问题的方法，了解解析几何的基本问题． （2）理解曲线的方程、方程的曲线的概念，能根据曲线的已知条件求出曲线的方程，了解两条曲线交点的概念． （3）通过曲线方程概念的教学，培养学生数与形相互联系、对立统一的辩证唯物主义观点． （4）通过求曲线方程的教学，培养学生的转化能力和全面分析问题的能力，帮助学生理解解析几何的思想方法． （5）进一步理解数形结合的思想方法． 教学建议教材分析（1）知识结构曲线与方程是在初中轨迹概念和本章直线方程概念之后的解析几何的基本概念，在充分讨论曲线方程概念后，介绍了坐标法和解析几何的思想，以及解析几何的基本问题，即由曲线的已知条件，求曲线方程；通过方程，研究曲线的性质．曲线方程的概念和求曲线方程的问题又有内在的逻辑顺序．前者回答什么是曲线方程，后者解决如何求出曲线方程．至于用曲线方程研究曲

线性质则更在其后，本节不予研究．因此，本节涉及曲线方程概念和求曲线方程两大基本问题．（2）重点、难点分析①本节内容教学的重点是使学生理解曲线方程概念和掌握求曲线方程方法，以及领悟坐标法和解析几何的思想．②本节的难点是曲线方程的概念和求曲线方程的方法．教法建议（1）曲线方程的概念是解析几何的核心概念，也是基础概念，教学中应从直线方程概念和轨迹概念入手，通过简单的实例引出曲线的点集与方程的解集之间的对应关系，说明曲线与方程的对应关系．曲线与方程对应关系的基础是点与坐标的对应关系．注意强调曲线方程的完备性和纯粹性．（2）可以结合已经学过的直线方程的知识帮助学生领会坐标法和解析几何的思想，学习解析几何的意义和要解决的问题，为学习求曲线的方程做好逻辑上的和心理上的准备．（3）无论是判断、证明，还是求解曲线的方程，都要紧扣曲线方程的概念，即始终以是否满足概念中的两条为准则．（4）从集合与对应的观点可以看得更清楚：设表示曲线上适合某种条件的点的集合；表示二元方程的解对应的点的坐标的集合．可以用集合相等的概念来定义“曲线的方程”和“方程的曲线”，即（5）在学习求曲线方程的方法时，应从具体实例出发，引导学生从曲线的几何条件，一步步地、自然而然地过渡到代数方程(曲线的方程)，这

无差异曲线的特征

无差异曲线的特征： （1）离原点越远的无差异曲线，代表消费者的偏好程度越高。离原点越近，代表消费者的偏好程度越低。 （2）任意两条无差异曲线都不能相交。 （3）无差异曲线从左向右下倾斜，凸向原点。这是由商品边际替代率递减规律决定的。 （掌握）商品边际替代率，就是指在效用水平不变的条件下，消费者增加一单位某商品时必须放弃的另 一种商品的数量。

如果用MRS表示商品边际替代率，公式为： 15页图1-10：从A到B，消费者愿意放弃6个单位衣服以获得额外1个单位食品，边际替代率为6；从B 到D，只愿意用4个单位衣服来换取1个单位食品，边际替代率为4。

当商品数量变化趋于无穷小时，上述公式可以表示为： 边际商品替代率是无差异曲线的斜率。无差异曲线是凸向原点的，是因为边际商品替代率递减。 边际商品替代率递减规律：在维

持效用水平不变的前提下，随着一种商品的消费数量的连续增加，消费者为得到一单位的这种商品所需要放弃的另一种商品的消费量是递减的。 【例题1·单选题】无差异曲线的位置和形状取决于（）。 A.消费者的偏好 B.消费者的收入 C.商品的价格 D.效用的大小 [答疑编号911020103：针对该题提问] 【答案】A 【例题2·单选题】当边际替代率沿着无差异曲线递减时，一个前提

条件是（）。 A.无差异曲线斜率为负值 B.无差异曲线斜率为正值 C.无差异曲线是凹的 D.无差异曲线凸向原点 [答疑编号911020104：针对该题提问] 【答案】D 【例题3·多选题】无差异曲线的特征有（）。 A.无差异曲线凸向原点 B.任意两条无差异曲线都可以相交 C.任意两条无差异曲线都不能相交

无差异曲线和边际替代率

无差异曲线 1、无差异曲线（Indifference curve） 无差异曲线是一条表示线上所有各点两种物品不同数量组合给消费者带来的满 足程度相同的线。 2、股市用语。 无差异曲线是对一个特定的投资者而言，根据他对期望收益率和风险的偏好态度，按照期望收益率对风险补偿的要求，得到的一系列满意程度相同的（无差异）证券组合在均值方差（或标准差）坐标系中所形成的曲线。 3、无差异曲线的特征 1)无差异曲线是一条向右下方倾斜的线，斜率是负的。表明为实现同样的满足程度，增加一种商品的消费，必须减少另一种商品的消费。 2）在同一个平面上可以有无数条无差异曲线。同一条曲线代表相同的效用，不同的曲线代表不同的效用。 3）无差异曲线不能相交。否则无差异曲线的定义会和它的第二特征发生矛盾。 4）无差异曲线凸向原点。 所谓无差异曲线就是表示能给消费者带来同等程度满足的两种商品的不同数量 组合的点的轨迹。 因为同一条无差异曲线上的每一个点所代表的商品组合所提供的总效用是相等的，所以无差异曲线也叫做等效用线。 不同消费者的无差异曲线图，反映着他们不同的偏好。如果消费者A的无差异曲线相对于消费者B的无差异曲线来说比较陡峭，这意味着 若同样减少一单位商品x，要保持原来的满足程度不变，消费者A需要增加的商品y的数量要大于消费者B。从这一点来看，相对于商品x而言 商品y对于消费者A不如对于消费者B重要，或者说，在x与y两种商品之间，消费者A比消费者B更偏爱商品x，消费者B比消费者A更偏爱商品y. 无差异曲线主要有一下四个特征; 第一，假定每个商品都被限定为多了比少了好，那么无差异曲线一定向右下方倾斜，就是说，其斜率一定为负。只是在特殊情况下，即当 某种商品为中性物品或令人讨厌的物品时，无差异曲线才表现为水平的或者垂直的，甚至是向右上方倾斜，即斜率为正。

曲线与方程教案(详细)

2.1曲线与方程 2.1.1曲线与方程2.1.2求曲线的轨迹方程 一、教学目标 (一)知识教学点 使学生掌握常用动点的轨迹以及求动点轨迹方程的常用技巧与方法．(二)能力训练点 通过对求轨迹方程的常用技巧与方法的归纳和介绍，培养学生综合运用各方面知识的能力．(三)学科渗透点 通过对求轨迹方程的常用技巧与方法的介绍，使学生掌握常用动点的轨迹，为学习物理等学科打下扎实的基础． 二、教材分析 1．重点：求动点的轨迹方程的常用技巧与方法． (解决办法：对每种方法用例题加以说明，使学生掌握这种方法．)2．难点：作相关点法求动点的轨迹方法． (解决办法：先使学生了解相关点法的思路，再用例题进行讲解．) 教具准备：与教材内容相关的资料。 教学设想：激发学生的学习热情，激发学生的求知欲，培养严谨的学习态度，培养积极进取的精神． 三、教学过程 学生探究过程： (一)复习引入 大家知道，平面解析几何研究的主要问题是： (1)根据已知条件，求出表示平面曲线的方程； (2)通过方程，研究平面曲线的性质． 我们已经对常见曲线圆、椭圆、双曲线以及抛物线进行过这两个方面的研究，今天在上面已经研究的基础上来对根据已知条件求曲线的轨迹方程的常见技巧与方法进行系统分析．(二)几种常见求轨迹方程的方法 1．直接法 由题设所给(或通过分析图形的几何性质而得出)的动点所满足的几何条件列出等式，再用坐标代替这等式，化简得曲线的方程，这种方法叫直接法． 例1(1)求和定圆x2+y2=k2的圆周的距离等于k的动点P的轨迹方程； (2)过点A(a，o)作圆O∶x2+y2=R2(a＞R＞o)的割线，求割线被圆O截得弦的中点的轨迹．对(1)分析： 动点P的轨迹是不知道的，不能考查其几何特征，但是给出了动点P的运动规律：|OP|=2R 或|OP|=0． 解：设动点P(x，y)，则有|OP|=2R或|OP|=0． 即x2+y2=4R2或x2+y2=0． 故所求动点P的轨迹方程为x2+y2=4R2或x2+y2=0． 对(2)分析： 题设中没有具体给出动点所满足的几何条件，但可以通过分析图形的几何性质而得出，即圆心与弦的中点连线垂直于弦，它们的斜率互为负倒数．由学生演板完成，解答为： 设弦的中点为M(x，y)，连结OM， 则OM⊥AM．∵k OM·k AM=-1，

无差异曲线

无差异曲线是西方经济学中的一个概念，它是指这样一条曲线，在它上面的每一点，商品的组合是不同的，但是，它表示人们从中得到的满足程度却是相同的。 无差异曲线是一条表示线上所有各点两种物品不同数量组合给消费者带来的满足程度相同的线。IC={（y1,y2）~(x1,x2)}。是用来表示消费者偏好相同的两种商品的所有组合。或者说它是表示能够给消费者带来相同的效用水平或满足程度的两种商品的所有组合。 无差异曲线的描述 所谓无差异曲线就是表示能给消费者带来同等程度满足的两种商品的不同数量组合的点的轨迹。 因为同一条无差异曲线上的每一个点所代表的商品组合所提供的总效用是相等的，所以无差异曲线也叫做等效用线。 不同消费者的无差异曲线图，反映着他们不同的偏好。如果消费者A的无差异曲线相对于消费者B的无差异曲线来说比较陡峭，这意味着 若同样减少一单位商品x，要保持原来的满足程度不变，消费者A需要增加的商品y 的数量要大于消费者B。从这一点来看，相对于商品x而言 商品y对于消费者A不如对于消费者B重要，或者说，在x与y两种商品之间，消费者A比消费者B更偏爱商品x，消费者B比消费者A更偏爱商品y 无差异曲线的基本性质 (1)由于通常假定效用函数是连续的，所以，在同一坐标平面上的任何两条无差异曲线之间，可以有无数条无差异曲线。所有这些无差异曲线之间的相互关系是：离原点越远的无差异曲线代表的效用水平越高，离原点越近的无差异曲线代表的效用水平越低。 （2）在同一坐标平面图上的任何两条无差异曲线不会相交。两条无差异曲线相交于a 点，这种画法是错误的。其理由在于：根据无差异曲线的定义，由无差异曲线1，可得a、b 两点的效用水平是相等的，由无差异曲线2，可得a、c两点的效用水平是相等的。于是，根据偏好可传递性的假定，必定有b和c这两点的效用水平是相等的。但是，观察和比较图中b和C这两点的商品组合，可以发现C组合中的每一种商品的数量都多于b组合，于是，根据偏好的非饱和性假定，必定有C点效用水平大于b点的效用水平。这样一来，矛盾产生了：该消费者在认为b点和C点无差异的同时，又认为c点要优于b点，这就违背了偏好的完全性假定。由此证明：对于任何一个消费者来说，两条无差异曲线相交的画法是错误的。

曲线与方程教案

曲线与方程 一：教学目标 ?知识与技能目标 （1）了解曲线上的点与方程的解之间的一一对应关系； （2）初步领会“曲线的方程”与“方程的曲线”的概念； （3）培养学生分析、判断、归纳的逻辑思维能力与抽象思维能力?过程与方法目标 （1）直线方程的引入，加强学生对方程的解和曲线上的点的一一对应关系的直观认识； （2）学生经历观察，分析，讨论等数学活动，探索出结论并能有条理的阐述自己观点； ?情感与态度目标 通过本节课的学习，学生通过观察、分析、推断可以获得数学猜想，体验到数学活动充满着探索性和创造性。 二、教学重点、难点 “曲线的方程”与“方程的曲线”的概念。 怎样利用定义验证曲线是方程的曲线、方程是曲线的方程。一、学生活动，分析特例归纳定义： （1）求第一、三象限里两轴间夹角平分线的坐标满足的关系. （2）方程y＝ax2的解与y＝ax2图像上点有什么关系？ （3）说明过A（2，0）平行于y轴的直线与方程︱x︱＝2的关系

问题4 用下列方程表示如图所示的曲线C ，对吗？为什么？ 二、数学建构 1.定义：曲线的方程，方程的曲线 给定曲线C 与二元方程f （x ，y ）＝0，若满足 （1）曲线上的点坐标都是这个方程的解 （2）以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点． 那么这个方程f （x ，y ）＝0叫做这条曲线C 的方程 这条曲线C 叫做这个方程的曲线． 2．两者间的关系： 如果曲线C 的方程是f （x ，y ）＝0，那么点 在曲线C 上的充要条件是 三、数学运用 例1 判断下列结论的正误并说明理由 （1）过点A （3，0）且垂直于x 轴的直线为x ＝3； （2）到x 轴距离为2的点的轨迹方程为y ＝2； （3）到两坐标轴距离乘积等于1的点的轨迹方程为xy ＝1． （1）22 0－＝x y （2） 0 －＝x y （3） 00()0 ，＝f x y

无差异曲线有什么特征

简答题 1、无差异曲线有什么特征？ ①无差异曲线是一条向右下方倾斜的线，斜率是负的。表明为实现同样的满足程度，增加一种商品的消费，必须减少另一种商品的消费。 ②在同一个平面上可以有无数条无差异曲线。同一条曲线代表相同的效用，不同的曲线代表不同的效用。 ③无差异曲线不能相交。否则无差异曲线的定义会和它的第二特征发生矛盾。 ④无差异曲线凸向原点。 所谓无差异曲线就是表示能给消费者带来同等程度满足的两种商品的不同数量组合的点的轨迹。 2、什么是边际报酬递减？ 是指在其他条件不变的情况下，如果一种投入要素连续地等量增加，增加到一定产值后，所提供的产品的增量就会下降，即可变要素的边际产量会递减。这就是边际报酬递减。 3、什么是需求规律？ 在影响需求的其他因素既定的条件下，商品的需求量与其价格之间存在着的反向的依存关系：即商品价格上升，需求量减少；商品价格下降，需求量增加。 4、完全竞争市场厂商的需求曲线为什么是一条水平的？ 在完全竞争市场上，厂商按照既定的市场价格可以卖掉他所有的产品。因此，厂商所面临的需求曲线是几乎与横轴平行一条水平线。它与横轴之间的距离等于商品的价格。 5、简述核算国民收入的主要方法？ 收入法：用要素收入从企业生产成本核算国内生产总值。 GDP=工资+利息+租金+利润+间接税和企业转移支付+折旧 支出法：指经济社会在一定时期内消费、投资、政府购买和出口几方面的支出总和。GDP=C+I+G+(X-M) C-----消费 I------投资 G-----政府购买 (X-M)--净出口 生产法：从生产角度出发，吧所有单位投入的生产要素用新创造出来的产品和劳务市场上的销售价值按产业部门分类汇总而成进行核算GDP的方法。 6、简述LM曲线所描述的宏观经济含义？ LM曲线是一条描述货币市场达到宏观均衡时即L=M时国民收入和利率之间关系的曲线。在货币市场上，利率提高，国民收入水平趋于增加;利率下降，国民收入水平趋于减少。LM曲线上任何一点利率和国民收入的组合都表明货币市场上宏观均衡的组合。而在LM 曲线以外的任何一点利率和国民收入组合都是货币市场失衡。 LM曲线移动主要取决于货币的交易需求，投机需求和货币供给。在货币需求比较稳定的情况下，LM曲线的移动主要由货币供给的变动引起，货币供给增加使LM曲线右移;货币供给减少使LM曲线左移。

高中数学曲线与方程

9.9 曲线与方程 一、填空题 1．方程(x －y )2＋(xy －1)2＝0表示的是________． 解析 (x －y )2 ＋(xy －1)2 ＝0??? ? x －y ＝0， xy －1＝0， ∴??? x ＝1，y ＝1 或?? ? x ＝－1，y ＝－1. 故此方程表示两个点． 答案 两个点 2．方程|y |－1＝1－ x － 2 表示的曲线是________． 解析 原方程等价于??? |y |－1≥01－(x －1)2 ≥0 (|y |－1)2＝1－(x －1)2 ???? |y |－1≥0(x －1)2＋(|y |－1)2 ＝1 ???? y ≥1(x －1)2＋(y －1)2＝1或??? y ≤－1(x －1)2＋(y ＋1)2＝1 答案 两个半圆 3. 动点P 到点F(2,0)的距离与它到直线x+2=0的距离相等,则点P 的轨迹方程为_______． 解析 考查抛物线定义及标准方程,知P 的轨迹是以F(2,0)为焦点的抛物线,p=2,所以其方程为28y x =. 答案 28y x = 4．设P 为圆x 2＋y 2＝1上的动点，过P 作x 轴的垂线，垂足为Q ，若PM →＝λMQ →(其中λ为正常数)，则点M 的轨迹为________． 解析 设M (x ，y )，P (x 0，y 0)，则Q (x 0,0)， 由PM →＝λMQ →得??? x －x 0＝λ(x 0－x )，y －y 0＝－λy (λ＞0)，

∴??? x 0＝x ，y 0＝(λ＋1)y . 由于x 20＋y 20＝1，∴x 2＋(λ＋1)2y 2＝1，∴M 的轨迹为椭圆． 答案 椭圆 5.设P 为双曲线2214 x y -=上一动点,O 为坐标原点,M 为线段OP 的中点,则点M 的轨迹方程是 . 解析 设M(x,y),则P(2x,2y)代入双曲线方程即得 答案 2241x y -= 6．如图所示，一圆形纸片的圆心为O ，F 是圆内一定点，M 是圆周上一动点，把 纸片折叠使M 与F 重合，然后抹平纸片，折痕为CD ，设CD 与OM 交于点P ，则点 P 的轨迹是________． 解析 由条件知PM ＝PF . ∴PO ＋PF ＝PO ＋PM ＝OM ＝R >OF . ∴P 点的轨迹是以O 、F 为焦点的椭圆． 答案 椭圆 7．若△ABC 的顶点A (－5,0)、B (5,0)，△ABC 的内切圆圆心在直线x ＝3上，则顶点C 的轨迹方程是________． 解析 如图AD ＝AE ＝8，BF ＝BE ＝2，CD ＝CF ，所以CA －CB ＝8－2＝6. 根据双曲线定义，所求轨迹是以A 、B 为焦点，实轴长为6的双曲线的右支，方程为x 29－y 2 16 ＝1(x >3)． 答案 x 29 － y 216 ＝1(x >3) 8．对于曲线C ： x 24－k ＋ y 2k －1 ＝1，给出下面四个命题：

无差异曲线

微观经济学 第二节无差异曲线 一、选择题 1.在维持效用水平不变的前提下，消费者每增加一单位某种商品的消费数量时需要( C )另一种商品的消费数量。 A.增加 B.维持不变 C.减少 D.不做理会 2.无差异曲线上的某一点的边际替代率是无差异曲线在该点的( D ) A.斜率 B.倒数 C.相反数 D.斜率的绝对值 3.两种商品之间的替代比例固定不变是指( C ) A.普通商品 B.完全互补品 C.完全替代品

4.无差异曲线的形状取决于( B ) A.消费者收入 B.消费者偏好 C.生产者供应量 D.消费者比较 5.序数效用论认为商品给消费者带来的效用大小是可以( B ) A.加总 B.排序 C.衡量 D.相减 二、名词解释 偏好:指消费者对任意两个商品组合所做的一个排序。 无差异曲线:指用来表示消费者偏好相同的两种商品的所有组合的。或说它是表示能够给消费者带来相同的效用水平或满足程度的两种商品的所有组合的。 效用函数:表示某一商品组合给消费者所带来的效用水平。 商品的边际替代率递减规律:指在维持效用水平不变的前提下，

随着一种商品的消费数量的连续增加，消费者为得到每一单位的这种商品所需要放弃的另一种商品的消费数量是递减的。 三、简答题 1.简述序数效用论关于消费者偏好的三个基本的假定。 答案:第一个假定是偏好的完全性，指消费者总是可以比较和排列所给出的不同商品组合。 第二个假定是偏好的可传递性，指对于任何三个商品组合A、B 和C，如果消费者对A的偏好大于对B的偏好，对B的偏好大于对C的偏好，那么，在A、C这两个组合中，消费者必定有对A 的偏好大于对C的偏好。偏好的可传递性假定保证了消费者偏好的一致性，因而也是理性的。 第三个假定是偏好的非饱和性，指如果两个商品组合的区别仅在于其中一种商品的数量不相同，那么，消费者总是偏好于含有这种商品数量较多的那个商品组合，即消费者对每一种商品的消费都没有达到饱和点。或者说，对于任何一种商品，消费者总是认为数量多比数量少好。 2.简述无差异曲线的基本特征。 答案:无差异曲线具有以下三个基本特征。 第一个特征，离原点越远的无差异曲线代表的效用水平越高，离原点越近的无差异曲线代表的效用水平越低。