2数列求和的方法

数列求和的基本方法和技巧

一、利用常用求和公式求和

利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法. 1、 等差数列求和公式：d n n na a a n S n n 2

)

1(2)(11-+=+=

2、等比数列求和公式：?????≠--=--==)

1(11)1()1(111

q q q a a q

q a q na S n n

n

3、 )1(211

+==∑=n n k S n

k n 4、)12)(1(6112

++==∑=n n n k S n

k n

5、 21

3

)]1(21[+==

∑=n n k S n

k n [例1] 已知3

log 1log 23-=

x ，求???++???+++n

x x x x 32的前n 项和. 解：由2

1

2log log 3log 1log 3323=?-=?-=

x x x

由等比数列求和公式得 n n x x x x S +???+++=32 （利用常用公式）

＝x

x x n

--1)1(＝

2

11)

21

1(21--n ＝1－n 21 [例2] 设S n ＝1+2+3+…+n ，n ∈N *,求1

)32()(++=

n n

S n S n f 的最大值.

解：由等差数列求和公式得 )1(21+=n n S n ， )2)(1(2

1

++=n n S n （利用常用公式） ∴ 1)32()(++=

n n

S n S n f ＝64

342++n n n

＝

n

n 64341+

+＝

50

)8(12+-

n

n 50

1≤

∴ 当

8

8

-

n ，即n ＝8时，501)(max =n f

题1.等比数列的前ｎ项和S ｎ＝2ｎ－１，则＝

题2．若12+22+…+(n -1)2=an 3+bn 2+cn ，则a = ,b = ,c = .

解： 原式=

答案：

二、错位相减法求和

这种方法是在推导等比数列的前n 项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列{a n · b n }的前n 项和，其中{ a n }、{ b n }分别是等差数列和等比数列.

[例3] 求和：132)12(7531--+???++++=n n x n x x x S ………………………①

解：由题可知，{1)12(--n x n }的通项是等差数列{2n －1}的通项与等比数列{1

-n x

}的通项之积

设n n x n x x x x xS )12(7531432-+???++++=………………………. ② （设制错位） ①－②得 n n n x n x x x x x S x )12(222221)1(1432--+???+++++=-- （错位相减）

再利用等比数列的求和公式得：n n n x n x

x x S x )12(1121)1(1

----?

+=-- ∴ 2

1)1()

1()12()12(x x x n x n S n n n -+++--=+

[例4] 求数列

??????,2

2,,26,24,2232n n

前n 项的和. 解：由题可知，{n n 22}的通项是等差数列{2n}的通项与等比数列{n 21

}的通项之积

设n n n

S 2

226242232+???+++=…………………………………①

14322

226242221++???+++=n n n

S ………………………………② （设制错位） ①－②得14322

22222222222)211(+-+???++++=-n n n n

S （错位相减）

1122212+---=n n n

∴ 12

2

4-+-=n n n S

练习题1 已知 ，求数列｛a n ｝的前n 项和S n .

答案：

练习题2 的前n 项和为____

答案：

三、反序相加法求和

这是推导等差数列的前n 项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到n 个)(1n a a +.

[例5] （选做题）求证：n n n n n n n C n C C C 2)1()12(53210+=++???+++

证明： 设n

n

n n n n C n C C C S )12(53210++???+++=………………………….. ① 把①式右边倒转过来得

113)12()12(n

n n n n n n C C C n C n S ++???+-++=- （反序） 又由m

n n

m n C C -=可得 n n

n n n n n C C C n C n S ++???+-++=-1103)12()12(…………..…….. ② ①+②得 n n n n n n n n n C C C C n S 2)1(2))(22(2110?+=++???+++=- （反序相加）

∴ n n n S 2)1(?+=

[例6] 求

89sin 88sin 3sin 2sin 1sin 2

2

2

2

2++???+++的值

解：设

89sin 88sin 3sin 2sin 1sin 2

2

2

2

2

++???+++=S …………. ①

将①式右边反序得

1s i n 2s i n 3s i n 88sin 89sin 2

2

2

2

2

+++???++=S …………..② （反序） 又因为 1cos sin ),90cos(sin 22=+-=x x x x

①+②得 （反序相加）

)89cos 89(sin )2cos 2(sin )1cos 1(sin 2222222 ++???++++=S ＝89

∴ S ＝44.5

题1 已知函数 （1）证明：

；

（2）求

的值.

解：（1）先利用指数的相关性质对函数化简，后证明左边=右边 （2）利用第（1）小题已经证明的结论可知，

两式相加得：

所以.

练习、求值：

练习。已知()x f 满足21,x x ∈R ,当121=+x x 时,()()2

1

21=

+x f x f ,若=n S ()()11210f n n f n f n f f +??

? ??-++??

?

??+

??

?

??+ N n ∈,,求.n S 解答：=

n S )1(41

+n .由()()2

121=+x f x f 知只要自变量121=+x x 即成立,又知=+101111=-+?

n

n n ,…,则易求.n S 四、分组法求和

有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可. [例7] 求数列的前n 项和：231

,,71,41,

1112-+???+++-n a a a n ，… 解：设)231

()71()41()11(12-++???++++++=-n a

a a S n n

将其每一项拆开再重新组合得

)23741()1

111(12-+???+++++???+++

=-n a

a a S n n （分组） 当a ＝1时，2)13(n n n S n -+=＝2)13(n

n + （分组求和）

当1≠a 时，2)13(1111n n a

a S n

n -+--=＝2)13(11n n a a a n -+--- [例8] 求数列{n(n+1)(2n+1)}的前n 项和.

解：设k k k k k k a k ++=++=2332)12)(1( ∴ ∑=++=

n k n k k k S 1

)12)(1(＝)32(23

1

k k k

n

k ++∑=

将其每一项拆开再重新组合得

S n ＝k k k n

k n k n

k ∑∑∑

===++1

2

1

3

1

32

（分组）

＝)21()21(3)21(2222333n n n +???++++???++++???++

＝2)1(2)12)(1(2)1(22++++++n n n n n n n ＝2

)

2()1(2++n n n 五、裂项法求和

这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用. 裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的. 通项分解（裂项）如：

（1）)()1(n f n f a n -+= （2）

n n n n tan )1tan()

1cos(cos 1sin -+=+ （3）111)1(1+-=+=n n n n a n （4）)1

21

121(211)12)(12()2(2+--+=+-=n n n n n a n

（5）])

2)(1(1

)1(1[21)2)(1(1++-+=+-=

n n n n n n n a n

(6) n n

n n n n n n S n n n n n n n n n a 2)1(1

1,2)1(12121)1()1(221)1(21+-=+-?=?+-+=?++=

-则 （7）)1

1(1))((1C

An B An B C C An B An a n +-+-=++=

（8

）n a =

= [例9] 求数列???++???++,1

1,,321,

2

11n n 的前n 项和.

解：设n n n n a n -+=++=

111 （裂项）

则 1

13

212

11+++???+++

+=

n n S n （裂项求和）

＝)1()23()12(n n -++???+-+- ＝11-+n [例10] 在数列{a n }中，11211++???++++=

n n n n a n ，又1

2+?=n n n a a b ，求数列{b n }的前n 项的和. 解： ∵ 211211n n n n n a n =++???++++=

∴ )111(82122+-=+?=n n n n b n

∴ 数列{b n }的前n 项和

)]111(

)4

13

1()3

12

1()2

11[(8+-+???+-+-+-=n n S n ＝)111(8+-n ＝ 1

8+n n [例11] 求证：

1sin 1cos 89cos 88cos 12cos 1cos 11cos 0cos 12=+???++

解：设

89cos 88cos 1

2cos 1cos 11cos 0cos 1+???++=

S

∵

n n n n tan )1tan()

1cos(cos 1sin -+=+ （裂项） ∴

89cos 88cos 1

2cos 1cos 11cos 0cos 1+???++=

S （裂项求和） ＝]}88tan 89[tan )2tan 3(tan )1tan 2(tan )0tan 1{(tan 1

sin 1

-+-+-+- ＝

)0tan 89(tan 1sin 1 -＝

1cot 1sin 1?＝ 1

sin 1cos 2 ∴ 原等式成立 例 求证

!131?+

!1001021

!351!241?++?+? <2

1 此为分数数列求和问题,仍然用裂项求和法,难点在于分母出现了阶乘,为此,需将数列的第k 项作一些恒等变形,以便将其分裂为两项之差.

解 因为)!

2(1

)!1(1)!2(1!)2(1+-+=++=?+k k k k k k （=k 100,,2,1 ）

所以

!131?+

!

1001021

!351!241?++?+? =)!102

1

!1011()!51!41()!41!31()!31!21(-++-+-+- =!1021!21-<21.

练习题1.

答案：

.

练习题2。

=答案：

六、分段求和法（合并法求和）

针对一些特殊的数列，将某些项合并在一起就具有某种特殊的性质，因此，在求数列的和时，可将这

些项放在一起先求和，然后再求S n .

[例12] 求cos1°+ cos2°+ cos3°+···+ cos178°+ cos179°的值.

解：设S n ＝ cos1°+ cos2°+ cos3°+···+ cos178°+ cos179°

∵ )180cos(cos n n --= （找特殊性质项） ∴S n ＝ （cos1°+ cos179°）+（ cos2°+ cos178°）+ （cos3°+ cos177°）+···

+（cos89°+ cos91°）+ cos90° （合并求和） ＝ 0

[例13] 数列{a n }：n n n a a a a a a -====++12321,2,3,1，求S 2002.

解：设S 2002＝2002321a a a a +???+++

由n n n a a a a a a -====++12321,2,3,1可得,2,3,1654-=-=-=a a a

,2,3,1,2,3,1121110987-=-=-====a a a a a a

……2,3,1,2,3,1665646362616-=-=-====++++++k k k k k k a a a a a a

∵ 0665646362616=+++++++++++k k k k k k a a a a a a （找特殊性质项） ∴ S 2002＝2002321a a a a +???+++ （合并求和） ＝)()()(66261612876321++++???+++???+???+++???+++k k k a a a a a a a a a a

2002200120001999199819941993)(a a a a a a a +++++???+++???+

＝2002200120001999a a a a +++＝46362616+++++++k k k k a a a a ＝5

[例14] 在各项均为正数的等比数列中，若103231365log log log ,9a a a a a +???++=求的值.

解：设1032313log log log a a a S n +???++=

由等比数列的性质 q p n m a a a a q p n m =?+=+ （找特殊性质项） 和对数的运算性质 N M N M a a a ?=+log log log 得

)log (log )log (log )log (log 6353932310313a a a a a a S n ++???++++= （合并求和）

＝)(log )(log )(log 6539231013a a a a a a ?+???+?+? ＝9log 9log 9log 333+???++ ＝10

练习、求和：

练习题1 设

，则

＝___答案：2

.

练习题2 ．若S n =1-2+3-4+…+(-1)n -1·n ，则S 17+S 33＋Ｓ50等于 ( ) A .1 B .-1 C .0 D .2

解：对前n 项和要分奇偶分别解决，即： S n = 答案：A

练习题 3 1002-992+982-972+…+22-12的值是 A .5000 B .5050 C .10100 D .20200

解：并项求和，每两项合并，原式=(100+99)+(98+97)+…+(2+1)=5050.答案：B 七、利用数列的通项求和

先根据数列的结构及特征进行分析，找出数列的通项及其特征，然后再利用数列的通项揭示的规律来求数列的前n 项和，是一个重要的方法. [例15] 求

1

1111111111个n ???+???+++之和. 解：由于)110(91999991111111

-=????=???k

k k

个个 ∴ 1

1111111111个n ???+???+++ ＝

)110(9

1

)110(91)110(91)110(91321-+???+-+-+-n （分组求和） ＝)1111(91)10101010(911

321 个n n

+???+++-+???+++＝9110)110(1091n n ---? ＝

)91010(81

1

1n n --+ [例16] 已知数列{a n }：∑∞

=+-+++=1

1))(1(,)3)(1(8

n n n n a a n n n a 求的值.

解：∵ ])

4)(2(1

)3)(1(1)[

1(8))(1(1++-+++=-++n n n n n a a n n n （找通项及特征）

＝])

4)(3(1

)4)(2(1[

8+++++?n n n n （设制分组）

＝)4

1

31(8)4121(

4+-+++-+?n n n n （裂项）

∴ ∑∑∑∞=∞

=∞

=++-+++-+=-+1111)41

3

1(8)4121(4))(1(n n n n n n n n n a a n （分组、裂项求和）

＝418)4131(4?

++? ＝3

13

提高练习：

1．已知数列{}n a 中，n S 是其前n 项和，并且1142(1,2,

),1n n S a n a +=+==，

⑴设数列),2,1(21 =-=+n a a b n n n ，求证：数列{}n b 是等比数列； ⑵设数列),2,1(,2

==

n a c n n

n ，求证：数列{}n c 是等差数列； 八、组合数法求和

原数列各项可写成组合数形式,则可利用公式m

n m n m n C C C 11+-=+求解.

例5（参考）求n +++++++ 321,,321,21,1的和. 由()=+=

++++12

1321n n n 2

1+n C 知可利用“组合数法”求和. 解 ()()()n S n +++++++++++= 321321211

+

++=6312

)1(+n n =2

1242322+++++n C C C C =21

242333++++n C C C C =…=3

2+n C =)2)(1(6

1++n n n . 九 待定归纳法

例9求数列221?,423?,625?,…,22)12(-n n 的前n 项和n S .

因为数列的通项公式为n n n n n a n 288)12(2232+-=-=它是关于n 的多项式,与之类似的数列求和问题我们熟悉的有（1）()212531n n =-++++

（2）1)2)(1(31)1(322++=+++?+?n n n n n （3）223333)1(4

1

321+=++++n n n

以上各式中，左端的通项公式及右端的和展开后都是关于n 的多项式,对其次数进行比较

便可得到这样的结论:若数列{}n a 的通项公式是关于n 的多项式,则其前n 项和是比通项公式高一次的多项式.对本题来讲,因为通项公式

n n n n n a n 288)12(2232+-=-=

是关于n 的三次多项式,所以我们猜想该数列的前n 项和n S 是关于n 的四次多项式,故可设

=n S E Dn Cn Bn An ++++234.

解 令=n S E Dn Cn Bn An ++++234满足数学归纳法的各个步骤, 即1,,1+===k n k n n 时上式均成立,有

211==++++=a E D C B A S ①E Dk Ck Bk Ak S k ++++=234

E k D k C k B k A S k ++++++++=+)1()1()1()1(2341

)()234()36()4(234E D C B A k D C B A k C B A k B A Ak ++++++++++++++=② 又因为11+++=k k k a S S )1(2)1(8)1(823234+++-++++++=k k k E Dk Ck Bk Ak )2()10()16()8(234++++++++=E k D k C k B Ak ③比较②、③两式同类项系数可得

?????

????+=+++++=++++=+++=++.

2,

10234,1636,84,

E E D C B A D D C B A C C B A B B A A A 解方程得.31,1,34,2-=-===D C B A 代入①式有0=E ,

故n n n n S n 31342234--+

= )126)(1(3

1

2--+=n n n n 例10求数列5,6,9,16,31,62,…的前n 项和.n S 考虑数列的各差数列: 原数列:5,6,9,16,31,62,…

一阶差数列:1,3,7,15,31,…二阶差数列:2,4,8,16,…

由于二阶差数列是等比数列,可用逐差法求数列的通项,然后再求其前n 项和.n S 解 设原数列为{}n a ,一阶差数列为{}n b ,二阶差数列为{}n c

那么,112c b b =- ,223c b b =- ,334c b b =- … .11--=-n n n c b b 以上1-n 个式子相加,有13211-++++=-n n c c c c b b 1

2

16842-+++++=n 2

1)

21(21--=

-n 22-=n . 因为11=b ,所以12122-=+-=n n n b .

又 ,112b a a =-,223b a a =-,334b a a =- … .11--=-n n n b a a 所以13211-++++=-n n b b b b a a ∑-==1

1

n m m b ∑-=-=1

1

)12(n m m

)1(21

1

--=∑-=n n m m 12--=n n . 因为51=a ,所以512+--=n a n n 42+-=n n .

数列{}n a 的前n 项和为 =

n S ∑=+-n

m m

m 1

)42

(n m n

m n m m 421

1

+-=∑∑==

n n n n 42

)

1(21)21(2++---=

.22)7(21---=+n n n

(完整版)数列求和常见的7种方法

数列求和的基本方法和技巧 一、总论：数列求和7种方法： 利用等差、等比数列求和公式 错位相减法求和 反序相加法求和 分组相加法求和 裂项消去法求和 分段求和法（合并法求和） 利用数列通项法求和 二、等差数列求和的方法是逆序相加法，等比数列的求和方法是错位相减法， 三、逆序相加法、错位相减法是数列求和的二个基本方法。 数列是高中代数的重要内容，又是学习高等数学的基础. 在高考和各种数学竞赛中都占有重要的地位. 数列求和是数列的重要内容之一，除了等差数列和等比数列有求和公式外，大部分数列的求和都需要一定的技巧. 下面，就几个历届高考数学和数学竞赛试题来谈谈数列求和的基本方法和技巧. 一、利用常用求和公式求和 利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法. 1、 等差数列求和公式：d n n na a a n S n n 2 ) 1(2)(11-+=+= 2、等比数列求和公式：?????≠--=--==) 1(11)1()1(111 q q q a a q q a q na S n n n 3、 )1(211+==∑=n n k S n k n 4、)12)(1(611 2 ++==∑=n n n k S n k n 5、 21 3)]1(21[+== ∑=n n k S n k n [例1] 已知3 log 1log 23-= x ，求???++???+++n x x x x 32的前n 项和. 解：由2 1 2log log 3log 1log 3323=?-=?-= x x x

由等比数列求和公式得 n n x x x x S +???+++=32 （利用常用公式） ＝x x x n --1)1(＝ 2 11)211(21--n ＝1－n 21 [例2] 设S n ＝1+2+3+…+n ，n ∈N *,求1 )32()(++= n n S n S n f 的最大值. 解：由等差数列求和公式得 )1(21+=n n S n ， )2)(1(2 1 ++=n n S n （利用常用公式） ∴ 1)32()(++= n n S n S n f ＝64 342++n n n ＝ n n 64341+ +＝ 50 )8(12+- n n 50 1≤ ∴ 当 8 8- n ，即n ＝8时，501)(max =n f 二、错位相减法求和 这种方法是在推导等比数列的前n 项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列{a n · b n }的前n 项和，其中{ a n }、{ b n }分别是等差数列和等比数列. [例3] 求和：1 32)12(7531--+???++++=n n x n x x x S ………………………① 解：由题可知，{1 )12(--n x n }的通项是等差数列{2n －1}的通项与等比数列{1 -n x }的通项之积 设n n x n x x x x xS )12(7531432-+???++++=………………………. ② （设制错位） ①－②得 n n n x n x x x x x S x )12(222221)1(1432--+???+++++=-- （错位相减） 再利用等比数列的求和公式得：n n n x n x x x S x )12(1121)1(1 ----? +=-- ∴ 2 1)1() 1()12()12(x x x n x n S n n n -+++--=+ [例4] 求数列 ??????,2 2,,26,24,2232n n 前n 项的和. 解：由题可知，{n n 22}的通项是等差数列{2n}的通项与等比数列{n 2 1 }的通项之积

几种常见数列求和方法的归纳

几种常见数列求和方法的归 纳 -标准化文件发布号：（9556-EUATWK-MWUB-WUNN-INNUL-DDQTY-KII

几种常见数列求和方法的归纳 1．公式法：即直接用等差、等比数列的求和公式求和。主要适用于等差，比数列求和。 （1）等差数列的求和公式：d n n na a a n S n n 2 ) 1(2)(11-+=+= （等差数列推导用到特殊方法：倒序相加） （2）等比数列的求和公式??? ??≠--==) 1(1)1()1(11q q q a q na S n n （切记：公比含字母时一定 要讨论） （3）222221(1)(21) 1236n k n n n k n =++=++++=∑（不作要求，但要了解） 例：（1）求=2+4+6+ (2) （2）求=x+++…+(x ) 2．倒序相加：适用于：数列距离首尾项距离相同的两项相加和相同。 例：（1）求证：等差数列{}的前n 项和d n n na a a n S n n 2 ) 1(2)(11-+=+= （2）222 2sin 1sin 2sin 3sin 89+++ + . 3.分组求和法：把数列的每一项分成若干项，使其转化为等差或等比数列，再求和。 例：（1）求和：(1) 个 n n S 111111111++++= 81 10 9101--+n n （2）2 2222)1 ()1()1(n n n x x x x x x S ++++++=

当1±≠x 时， n x x x x S n n n n 2) 1()1)(1(2 2222+-+-=+ 当n S x n 4,1=±=时 4．裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差、正负相消剩下首尾若干项。（分式求和常用裂项相消） 常见的拆项公式： 111)1(1+-=+n n n n ，) 121 121(21)12)(12(1+--=+-n n n n ， 1111 ()(2)22 n n n n =-++， ) 12)(12(1 1)12)(12()2(2+-+=+-n n n n n ， 2= 例：（1）求和：111 1 ,,,,, 132435 (2) n n ???+ . （2）求和)12)(12()2(5343122 22+-++?+?=n n n S n 1 2)1(2++= n n n S n 5．错位相减法：比如{}{}.,,2211的和求等比等差n n n n b a b a b a b a +++ (适用于：等差数列乘以等比数列的通项求和) 例：求和：23,2,3, ,, n a a a na

数列求和的常用方法

数列求和的常用方法 永德二中 王冬梅 数列是高中数学的重要内容，又是学习高等数学的基础。在高考和各种数学竞赛中都占有重要的地位。数列求和是数列的重要内容之一，除了等差数列和等比数列有求和公式外，大部分数列的求和都需要一定的技巧。 下面，简单介绍下数列求和的基本方法和技巧。 第一类：公式法 利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法。 1、等差数列的前n 项和公式 2 )1(2)(11d n n na a a n S n n -+=+= 2、等比数列的前n 项和公式 ?? ???≠--=--==)1(11)1()1(111q q q a a q q a q na S n n n 3、常用几个数列的求和公式 （1）、)1(213211 += +?+++==∑=n n n k S n k n （2）、)12)(1(6132122221 2++= +?+++==∑=n n n n k S n k n （3）、233331 3)]1(21[321+=+?+++==∑=n n n k S n k n 第二类：乘公比错项相减（等差?等比） 这种方法是在推导等比数列的前n 项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列}{n n b a ?的前n 项和，其中}{n a ，}{n b 分别是等差数列和等比数列。 例1：求数列}{1-n nq (q 为常数)的前n 项和。 解：Ⅰ、若q =0， 则n S =0 Ⅱ、若q =1，则)1(2 1321+= +?+++=n n n S n Ⅲ、若q ≠0且q ≠1， 则12321-+?+++=n n nq q q S ① n n nq q q q qS +?+++=3232 ② ①式—②式：n n n nq q q q q S q -+?++++=--1321)1(

数列求和7种方法(方法全,例子多)

数列求和的基本方法和技巧（配以相应的练习） 一、总论：数列求和7种方法： 利用等差、等比数列求和公式 错位相减法求和 反序相加法求和 分组相加法求和 裂项消去法求和 分段求和法（合并法求和） 利用数列通项法求和 二、等差数列求和的方法是逆序相加法，等比数列的求和方法是错位相减法， 三、逆序相加法、错位相减法是数列求和的二个基本方法。 数列是高中代数的重要内容，又是学习高等数学的基础. 在高考和各种数学竞赛中都占有重要的地位. 数列求和是数列的重要内容之一，除了等差数列和等比数列有求和公式外，大部分数列的求和都需要一定的技巧. 下面，就几个历届高考数学和数学竞赛试题来谈谈数列求和的基本方法和技巧. 一、利用常用求和公式求和 利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法. 1、 等差数列求和公式：d n n na a a n S n n 2 ) 1(2)(11-+=+=

2、等比数列求和公式：??? ??≠--=--==) 1(11)1()1(111 q q q a a q q a q na S n n n 3、 )1(211+==∑=n n k S n k n 4、)12)(1(611 2 ++==∑=n n n k S n k n 5、 21 3 )]1(21[+== ∑=n n k S n k n [例1] 已知3 log 1 log 23-= x ，求???++???+++n x x x x 32的前n 项和. 解：由2 1 2log log 3log 1log 3323=?-=?-= x x x 由等比数列求和公式得 n n x x x x S +???+++=32 （利用常用公式） ＝x x x n --1)1(＝2 11) 21 1(2 1--n ＝1－n 21 [例2] 设S n ＝1+2+3+…+n ，n ∈N *,求1 )32()(++= n n S n S n f 的最大值. 解：由等差数列求和公式得 )1(21+= n n S n ， )2)(1(2 1 ++=n n S n （利用常用公式） ∴ 1)32()(++= n n S n S n f ＝64 342++n n n

数列求和的8种常用方法(最全)

求数列前n 项和的8种常用方法 一.公式法（定义法）： 1.等差数列求和公式： 11()(1)22 n n n a a n n S na d ++==+ 特别地，当前n 项的个数为奇数时，211(21)k k S k a ++=+?，即前n 项和为中间项乘以项数。这个公式在很多时候可以简化运算； 2.等比数列求和公式： （1）1q =，1n S na =； （2）1q ≠，( )111n n a q S q -= -，特别要注意对公比的讨论； 3.可转化为等差、等比数列的数列； 4.常用公式: （1）1 n k k ==∑1 2 123(1)n n n ++++=+L ； （2）21n k k ==∑222211 63 1123(1)(21)()(1)2 n n n n n n n ++++=++==++L ； （3）31n k k ==∑33332(1)2 123[ ]n n n +++++=L ； （4）1 (21)n k k =-=∑2135(21)n n ++++-=L . 例1 已知3log 1 log 23-= x ，求23n x x x x ++++ 的前n 项和. 解：由21 2log log 3log 1log 3323=?-=?-=x x x 由等比数列求和公式得 23n n S x x x x =++++L ＝x x x n --1)1(＝2 11)211(2 1--n ＝1－n 2 1 例2 设123n S n =++++ ，*n N ∈,求1 )32()(++=n n S n S n f 的最大值. 解：易知 )1(21+=n n S n ， )2)(1(2 1 1++=+n n S n ∴ 1)32()(++=n n S n S n f ＝64 342++n n n ＝n n 64341++＝50 )8(1 2+-n n 50 1≤ ∴ 当 8 8 -n ，即8n =时，501)(max =n f . 二.倒序相加法:如果一个数列{}n a ，与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一常数，那么求这个数列的前n 项和即可用倒序相加法。如：等差数列的前n 项和即是用此法推导的，就是

求数列通项公式和前n项和的常用方法(含高考题精选)

求数列通项公式和前n 项和的常用方法 一、求数列通项公式的常用方法 1.公式法：等差数列或等比数列的通项公式。 2.归纳法：由数列前几项猜测出数列的通项公式，再用数学归纳法证明其正确性。 3.累乘法:利用3 21 121 (0,2)n n n n a a a a a a n a a a -=???≠≥型如: 1()n n a g n a += 4.构造新数列: 类型1累加法 )(1n f a a n n +=+ 类型2 累乘法 n n a n f a )(1=+ 类型3 q pa a n n +=+1（其中p ，q 均为常数，)0)1((≠-p pq ）。解法（待定系数法）：把原递 推公式转化为：)(1t a p t a n n -=-+，其中p q t -=1，转化为等比数列求解。 类型4 n n n q pa a +=+1（其中p ，q 均为常数，)0)1)(1((≠--q p pq ） 。 （或1n n n a pa rq +=+,其中p ，q, r 均为常数） 解法：先在原递推公式两边同除以1 +n q ，得：q q a q p q a n n n n 111+?=++引入辅助数列{}n b （其中n n n q a b =），得：q b q p b n n 1 1+=+再待定系数法解决。 类型5 递推公式为n S 与n a 的关系式。(或()n n S f a =) 解法：1.利用?? ?≥???????-=????????????????=-) 2() 1(11n S S n S a n n n 2.升降标相减法 二、数列求和的常用方法 1.直接或转化等差、等比数列的求和公式求和 （1）等差数列求和公式：d n n na a a n S n n 2 ) 1(2)(11-+=+= （2）等比数列求和公式：?????≠--=--==) 1(11)1()1(111q q q a a q q a q na S n n n 2.错位相减法 设数列{}n a 的等比数列，数列{}n b 是等差数列，则求数列{}n n b a 的前n 项和n S 。 3.裂项求和法 （1）1 1 1)1(1+- =+=n n n n a n （2）)121121(211)12)(12()2(2+--+=+-=n n n n n a n 等。4.分组求和法：对一类既不是等差数列，也不是等比数列的数列，若将这类数列适当拆开，可分为 几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并。 5.逆序相加法 把数列正着写和倒着写再相加（即等差数列求和公式的推导过程的推广）

数列求和常见的7种方法

数列求与得基本方法与技巧 一、总论:数列求与7种方法: 利用等差、等比数列求与公式 错位相减法求与 反序相加法求与 分组相加法求与 裂项消去法求与 分段求与法(合并法求与) 利用数列通项法求与 二、等差数列求与得方法就是逆序相加法,等比数列得求与方法就是错位相减法, 三、逆序相加法、错位相减法就是数列求与得二个基本方法。 数列就是高中代数得重要内容,又就是学习高等数学得基础。在高考与各种数学竞赛中都占有重要得地位、数列求与就是数列得重要内容之一,除了等差数列与等比数列有求与公式外,大部分数列得求与都需 要一定得技巧、下面,就几个历届高考数学与数学竞赛试题来谈谈数列求与得基本方法与技巧、 一、利用常用求与公式求与 利用下列常用求与公式求与就是数列求与得最基本最重要得方法。 1、等差数列求与公式: 2、等比数列求与公式: 3、４、 5、 ［例1］已知,求得前n项与。 解:由 由等比数列求与公式得(利用常用公式) ＝==1- ［例2］设S n＝１+2＋3+…+n,n∈Ｎ*,求得最大值、 解:由等差数列求与公式得, (利用常用公式) ∴＝ =＝ ∴当,即n＝８时, 二、错位相减法求与 这种方法就是在推导等比数列得前ｎ项与公式时所用得方法,这种方法主要用于求数列｛ａn·ｂn｝ 得前n项与,其中｛a n｝、｛bｎ}分别就是等差数列与等比数列。 ［例3］求与:………………………① 解:由题可知,{}得通项就是等差数列｛2ｎ—1｝得通项与等比数列｛}得通项之积 设………………………。②(设制错位)

①－②得 n n n x n x x x x x S x )12(222221)1(1432--+???+++++=-- (错位相减) 再利用等比数列得求与公式得: ∴ [例4］ 求数列前n 项得与、 解:由题可知,{｝得通项就是等差数列{2n}得通项与等比数列｛｝得通项之积 设…………………………………① ………………………………② (设制错位) ①—②得 (错位相减) ∴ 三、反序相加法求与 这就是推导等差数列得前ｎ项与公式时所用得方法,就就是将一个数列倒过来排列(反序),再把它与原数列相加,就可以得到n 个。 [例5］ 求证: 证明: 设…………………………、。 ① 把①式右边倒转过来得 (反序) 又由可得 ………….。……、. ② ①+②得 (反序相加) ∴ [例6］ 求得值 解:设…………、 ① 将①式右边反序得 ………….。② (反序) 又因为 ① ＋②得 (反序相加) )89cos 89(sin )2cos 2(sin )1cos 1(sin 2222222 ++???++++=S ＝89 ∴ S=44、５ 题1 已知函数 (1)证明:; (2)求得值。 解:(1)先利用指数得相关性质对函数化简,后证明左边=右边 (２)利用第(1)小题已经证明得结论可知, 两式相加得: 所以、 练习、求值:

数列求和7种方法(方法全_例子多)

一、利用常用求和公式求和 利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法. 1、 等差数列求和公式：d n n na a a n S n n 2 )1(2)(11-+=+= 2、等比数列求和公式：?????≠--=--==)1(11)1()1(111q q q a a q q a q na S n n n 3、 )1(211+==∑=n n k S n k n 4、)12)(1(6112++==∑=n n n k S n k n [ [∴当8 -n ，即n ＝8时，50)(max =n f 题1.等比数列的前ｎ项和S ｎ＝2ｎ－１，则＝ 题2．若12+22+…+(n -1)2=an 3+bn 2+cn ，则a =,b =,c = . 解：原式=答案：

二、错位相减法求和 这种方法是在推导等比数列的前n 项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列{a n · b n }的前n 项和，其中{a n }、{b n }分别是等差数列和等比数列. [例3]求和：132)12(7531--+???++++=n n x n x x x S ………………………① 解：由题可知，{1)12(--n x n }的通项是等差数列{2n －1}的通项与等比数列{1-n x }的通项之积 设n n x n x x x x xS )12(7531432-+???++++=……………………….②（设制错位） n n 1432-∴[例4]2 练习题1已知，求数列｛答案： 练习题2的前n 项和为____ 答案： 三、反序相加法求和 这是推导等差数列的前n 项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到n 个)(1n a a +. [例5]求证：n n n n n n n C n C C C 2)1()12(53210+=++???+++

数列求和的常用方法

数列求和的常用方法 主要方法： 1．求数列的和关键是看数列的通项公式形式注意方法的选取： 2．求和过程中注意分类讨论思想的运用；转化思想的运用； 一、公式法 二、分组求和法：把数列的每一项分成若干项，使其转化为等差或等比数列，再求和。 1、求和：①321ΛΛ个 n n S 111111111++++= ②22222)1 ()1()1(n n n x x x x x x S ++++++ =Λ ③求数列1，3+4，5+6+7，7+8+9+10，…前n 项和n S 2 、 求 数 列 的 前 n 项 和 ： 231 ,,71,41, 1112-+???+++-n a a a n ，… 三、 合并求和法： 1、求22222212979899100-++-+-Λ的和。 2、1-2+3-4+5-6+7-8+9-……….+ n 1-1 n +）（ 3（2014山东19文） 在等差数列{}n a 中，已知2d =，2a 是1a 与4a 等比中项. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）设()12 ,n n n b a += 记()1231n n n T b b b b =-+-++-L ，求n T . 4.( 2014山东19理） 已知等差数列}{n a 的公差为2，前n 项和为n S ，且1S ，2S ，4S 成等比数列。 （I ）求数列}{n a 的通项公式； （II ）令n b =,4) 1(1 1 +--n n n a a n 求数列}{n b 的前n 项和n T 。 5、（2011山东理数20）等比数列{}n a 中，123,,a a a 分别是下表第一、二、三行中的某一个数，且123,,a a a （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）若数列{}n b 满足：()1ln n n n n b a a =+-，求数列{}n b 的前n 项和n S ． 6、（2011山东文数20）等比数列{}n a 中，123,,a a a 分别是下表第一、二、三行中的某一个数，且123,,a a a （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）若数列{}n b 满足：(1)ln n n n n b a a =+-， 求数列{}n b 的前2n 项和2n S ． 四、 错位相减法：.×. 1、已知数列)0()12(,,5,3,11 2 ≠--a a n a a n Λ，求前 n 项和。 2、 132)12(7531--+???++++=n n x n x x x S 3、求数列 ??????,2 2,,26,24,2232n n 前n 项的和 4、{2}.n n n ?求数列前项和 5、设{}n a 是等差数列，{}n b 是各项都为正数的等比数列，且111a b ==，3521a b +=，5313a b +=

高中数列求和方法大全

1．直接法：即直接用等差、等比数列的求和公式求和。 （1）等差数列的求和公式：d n n na a a n S n n 2 ) 1(2)(11-+=+= （2）等比数列的求和公式?????≠--==) 1(1)1()1(11q q q a q na S n n （切记：公比含字母时一定要讨论） 3．错位相减法：比如{}{}.,,2211的和求等比等差n n n n b a b a b a b a +++Λ 4．裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差、正负相消剩下首尾若干项。 常见拆项公式： 111)1(1+-=+n n n n ； 1111()(2)22 n n n n =-++ )1 21 121(21)12)(12(1+--=+-n n n n !)!1(!n n n n -+=? 5．分组求和法：把数列的每一项分成若干项，使其转化为等差或等比数列，再求和。 6．合并求和法：如求22222212979899100-++-+-Λ的和。 7．倒序相加法： 8．其它求和法：如归纳猜想法，奇偶法等 （二）主要方法： 1．求数列的和注意方法的选取：关键是看数列的通项公式； 2．求和过程中注意分类讨论思想的运用； 3．转化思想的运用； （三）例题分析： 例1．求和：①321ΛΛ个 n n S 111111111++++= ②22222)1 ()1()1(n n n x x x x x x S ++++++ =Λ ③求数列1，3+4，5+6+7，7+8+9+10，…前n 项和n S 思路分析：通过分组，直接用公式求和。 解：①)110(9 110101011112 -= ++++==k k k k a Λ321Λ个 ] )101010[(9 1 )]110()110()110[(9122n S n n n -+++=-++-+-=ΛΛ81 10910]9)110(10[911--=--=+n n n n ②)21()21()21(224422+++++++++ =n n n x x x x x x S Λ

(完整)高中数列求和方法集锦

数列求和的常用方法 数列是高中数学的重要内容，又是学习高等数学的基础。在高考和各种数学竞赛中都占有重要的地位。数列求和是数列的重要内容之一，除了等差数列和等比数列有求和公式外，大部分数列的求和都需要一定的技巧。 下面，简单介绍下数列求和的基本方法和技巧。 第一类：公式法 利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法。 1、等差数列的前n 项和公式 2 )1(2)(11d n n na a a n S n n -+=+= 2、等比数列的前n 项和公式 ?? ???≠--=--==)1(11)1()1(111q q q a a q q a q na S n n n 3、常用几个数列的求和公式 （1）、)1(213211 += +?+++==∑=n n n k S n k n （2）、)12)(1(6132122221 2++= +?+++==∑=n n n n k S n k n （3）、233331 3)]1(21[321+=+?+++==∑=n n n k S n k n 第二类：乘公比错项相减（等差?等比） 这种方法是在推导等比数列的前n 项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列}{n n b a ?的前n 项和，其中}{n a ，}{n b 分别是等差数列和等比数列。 例1：求数列}{1-n nq (q 为常数)的前n 项和。 解：Ⅰ、若q =0， 则n S =0 Ⅱ、若q =1，则)1(2 1321+= +?+++=n n n S n Ⅲ、若q ≠0且q ≠1， 则12321-+?+++=n n nq q q S ① n n nq q q q qS +?+++=3232 ② ①式—②式：n n n nq q q q q S q -+?++++=--1321)1(

高中数列求和公式

数列求和的基本方法和技巧 利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法. 1、 等差数列求和公式：d n n na a a n S n n 2 )1(2)(11-+=+= 2、等比数列求和公式：?????≠--=--==)1(11)1()1(111q q q a a q q a q na S n n n 3、 )1(21 1 +==∑=n n k S n k n 自然数列 4、 )12)(1(611 2++==∑=n n n k S n k n 自然数平方组成的数列 [例1] 已知3log 1log 23-= x ，求???++???+++n x x x x 32的前n 项和. 解：由2 12log log 3log 1log 3323=?-=?-=x x x 由等比数列求和公式得 n n x x x x S +???+++=32 （利用常用公式） ＝x x x n --1)1(＝2 11)211(21--n ＝1－n 21 [例2] 设S n ＝1+2+3+…+n ，n ∈N *,求1 )32()(++=n n S n S n f 的最大值. 解：由等差数列求和公式得 )1(21+= n n S n ， )2)(1(21++=n n S n （利用常用公式） ∴ 1)32()(++=n n S n S n f ＝64 342++n n n ＝n n 64 341 ++＝50)8 (12+-n n 50 1≤ ∴ 当 8 8-n ，即n ＝8时，501)(max =n f 二、错位相减法求和 这种方法是在推导等比数列的前n 项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列{a n · b n }的前n 项和，其中{ a n }、{ b n }分别是等差数列和等比数列.错位相减法：如果数列的通项是由一个等差数列的通项与一个等比数列的通项相乘构成，那么常选用错位相减法（这也是等比数列前n 和公式的推导方法）.

高考数列求和解题方法大全

高考数列求和解题方法 大全 YUKI was compiled on the morning of December 16, 2020

高考数列求和解题方法大全 数列求和问题是数列的基本内容之一，也是高考的热点和重点。由于数列求和问题题型多样，技巧性也较强，以致成为数列的一个难点。鉴于此，下面就数列求和问题的常见题型及解法技巧作一归纳，以提高同学们数列求和的能力。 一、利用常用求和公式求和 利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法. 1、 等差数列求和公式：d n n na a a n S n n 2 ) 1(2)(11-+=+= 2、等比数列求和公式：??? ??≠--=--==) 1(11)1()1(111 q q q a a q q a q na S n n n 3、 )1(211+==∑=n n k S n k n 4、)12)(1(61 1 2++==∑=n n n k S n k n 例1． 已知3 log 1 log 23-= x ，求???++???+++n x x x x 32的前n 项和. 解：由2 1 2log log 3log 1log 3323=?-=?-= x x x ， 由等比数列求和公式得 n n x x x x S +???+++=32=x x x n --1)1(＝211) 21 1(2 1--n ＝1－n 21 二、错位相减法求和

这种方法是在推导等比数列的前n 项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列{a n · b n }的前n 项和，其中{ a n }、{ b n }分别是等差数列和等比数列. 例2． 求和：132)12(7531--+???++++=n n x n x x x S ………………………① 解：由题可知，{1)12(--n x n }的通项是等差数列{2n －1}的通项与等比数列{1-n x }的通项之积 当时1=x ，()()[]22 121127531n n n n S n =-+=-+++++= 当时1≠x 设n n x n x x x x xS )12(7531432-+???++++=……………② （设制错位） ①－②得 n n n x n x x x x x S x )12(222221)1(1432--+???+++++=-- （错位相减） 再利用等比数列的求和公式得：n n n x n x x x S x )12(1121)1(1 ----? +=-- ∴ 2 1) 1() 1()12()12(x x x n x n S n n n -+++--=+ 例3.已知1,0≠>a a ，数列{}n a 是首项为a ，公比也为a 的等比数列，令 )(lg N n a a b n n n ∈?=，求数列{}n b 的前n 项和n S 。 解析： ①-②得：a na a a a S a n n n lg )()1(12+-+++=-

数列求和方法及巩固

数列求和的方法 1、公式法： 如果一个数列是等差、等比数列或者是可以转化为等差、等比数列的数列，我们可以运用等差、等比数列的前n 项和的公式来求. ①等差数列求和公式：()() 11122 n n n a a n n S na d +-= =+ ②等比数列求和公式：()()()11111111n n n na q S a q a a q q q q ?=? =-?-=≠? --? 常见的数列的前n 项和：123+++……+n=(1)2 n n +， 1+3+5+……+(2n-1)=2 n 2222123+++……+n =(1)(21)6n n n ++，3333 123+++……+n =2 (1)2n n +?????? 等. 2、倒序相加法： 类似于等差数列的前n 项和的公式的推导方法。如果一个数列{}n a ，与首末两项等距的两项之和等于首末两项之和，可采用正序写和与倒序写和的两个和式相加，就得到一个常数列的和。这一种求和的方法称为倒序相加法. 例1、 已知函数( )x f x = （1）证明：()()11f x f x +-=； （2）求128910101010f f f f ?? ?????? + +++ ? ? ? ??? ?? ?? ?? 的值. 解：（1）先利用指数的相关性质对函数化简，后证明左边=右边 （2）利用第（1）小题已经证明的结论可知， 1928551101010101010f f f f f f ????????????+=+==+ = ? ? ? ? ? ??? ???? ?? ???? 128910101010S f f f f ?? ?? ????=+ +++ ? ? ? ?????????令 982110101010S f f f f ?? ??????=+ +++ ? ? ? ??? ?? ?? ?? 则 两式相加得： 192991010S f f ? ? ????=?+= ? ? ??????? 所以92S =.

数列求和7种方法(方法全_例子多)

一、利用常用求和公式求和 利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法. 1、 等差数列求和公式：d n n na a a n S n n 2 ) 1(2)(11-+=+= 2、等比数列求和公式：?????≠--=--==) 1(11)1()1(111 q q q a a q q a q na S n n n 3、 )1(211 +==∑=n n k S n k n 4、)12)(1(6112 ++==∑=n n n k S n k n 5、 21 3 )]1(21[+== ∑=n n k S n k n [例1] 已知3 log 1log 23-= x ，求???++???+++n x x x x 32的前n 项和. 解：由2 1 2log log 3log 1log 3323=?-=?-= x x x 由等比数列求和公式得 n n x x x x S +???+++=32 （利用常用公式） ＝x x x n --1)1(＝ 2 11) 211(21--n ＝1－n 21 [例2] 设S n ＝1+2+3+…+n ，n ∈N *,求1 )32()(++= n n S n S n f 的最大值. 解：由等差数列求和公式得 )1(21+=n n S n ， )2)(1(2 1 ++=n n S n （利用常用公式） ∴ 1)32()(++= n n S n S n f ＝64 342++n n n ＝ n n 64341+ +＝ 50 )8(12+- n n 50 1≤ ∴ 当 8 8- n ，即n ＝8时，501)(max =n f 题1.等比数列的前ｎ项和S ｎ＝2ｎ－１，则＝

数列求和的常用方法(三课时)

数列求和的常用方法（三课时） 数列求和是数列的重要内容之一，也是高考数学的重点考查对象。数列求和的基本思路是，抓通项，找规律，套方法。下面介绍数列求和的几种常用方法： 一、直接（或转化）由等差、等比数列的求和公式求和 利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法. 1、 等差数列求和公式：d n n na a a n S n n 2 ) 1(2)(11-+=+= 2、等比数列求和公式：?????≠--=--==) 1(11)1()1(111 q q q a a q q a q na S n n n 3、 )1(211 +==∑=n n k S n k n 4、)12)(1(6112 ++==∑=n n n k S n k n 5、 2 1 3)]1(21[+==∑=n n k S n k n 例1（07高考山东文18）设{}n a 是公比大于1的等比数列，n S 为数列{}n a 的前n 项和．已知37S =，且123334a a a ++，，构成等差数列． （1）求数列{}n a 的等差数列． （2）令31ln 12n n b a n +== ，，，， 求数列{}n b 的前n 项和T ． 解：（1）由已知得12313 27:(3)(4)3.2 a a a a a a ++=?? ?+++=??， 解得22a =． 设数列{}n a 的公比为q ，由22a =，可得132 2a a q q ==，． 又37S =，可知2 227q q ++=，即22520q q -+=， 解得121 22 q q ==，．由题意得12q q >∴=，． 11a ∴=．故数列{}n a 的通项为12n n a -=． （2）由于31ln 12n n b a n +== ，，，， 由（1）得3312n n a += 3ln 23ln 2n n b n ∴==， 又13ln 2n n n b b +-= {}n b ∴是等差数列． 12n n T b b b ∴=+++ 1()2 (3ln 23ln 2) 23(1)ln 2. 2 n n b b n n n += += += 故3(1) ln 22 n n n T += ．

数列求和常用方法(经典讲解)

求数列前n 项和常用方法（经典讲解） 一.公式法（定义法）： 1.等差数列求和公式： 11()(1)22 n n n a a n n S na d ++==+ 特别地，当前n 项的个数为奇数时，211(21)k k S k a ++=+?，即前n 项和为中间项乘以项数。这个公式在很多时候可以简化运算； 2.等比数列求和公式： （1）1q =，1n S na =； （2）1q ≠，( )111n n a q S q -= -，特别要注意对公比的讨论； 3.可转化为等差、等比数列的数列； 4.常用公式: （1）1n k k ==∑1 2 123(1)n n n ++++=+L ； （2）21n k k ==∑222211 63 1123(1)(21)()(1)2 n n n n n n n ++++=++==++L ； （3）31n k k ==∑33332(1)2 123[ ]n n n +++++=L ； （4）1(21)n k k =-=∑2135(21)n n ++++-=L . 例1 已知3log 1 log 23-= x ，求23n x x x x ++++的前n 项和. 解：由2 1 2log log 3log 1log 3323=?-=?-= x x x 由等比数列求和公式得 23n n S x x x x =++++L ＝x x x n --1)1(＝2 11) 21 1(2 1--n ＝1－n 2 1 例2 设123n S n =++++，*n N ∈,求1 )32()(++=n n S n S n f 的最大值. 解：易知 )1(21+=n n S n ， )2)(1(2 1 1++=+n n S n ∴ 1)32()(++=n n S n S n f ＝64 342++n n n ＝n n 64341++＝50)8(12+-n n 50 1 ≤ ∴ 当 8 8-n ，即8n =时，501 )(max =n f . 二.倒序相加法:如果一个数列{}n a ，与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一常数，那 么求这个数列的前n 项和即可用倒序相加法。如：等差数列的前n 项和即是用此法推导的，就是

数列求和常用公式

数列求和常用公式: 1、1+2+3+......+n=n ×(n+1)÷2 2、12+22+32+......+n 2=n(n+1)(2n+1)÷6 3、 13+23+33+......+n 3=( 1+2+3+......+n)2 =n 2×(n+1)2÷4 4、 1×2+2×3+3×4+......+n(n+1) =n(n+1)(n+2)÷3 5、 1×2×3+2×3×4+...+n(n+1)(n+2)=n(n+1)(n+2)(n+3)÷4 6、 1+3+6+10+15+... =1+(1+2)+(1+2+3)+(1+2+3+4)+...+(1+2+3+...+n) =[1×2+2×3+3×4+...+n(n+1)]/2=n(n+1)(n+2) ÷6 7）1+2+4+7+11+...=1+(1+1)+(1+1+2)+(1+1+2+3)+......+(1+1+2+3+...+n) = (n+1)×1+[1×2+2×3+3×4+......+n(n+1)]/2=(n+1)+n(n+1)(n+2) ÷6 8）12 +12×3 +13×4 +1n(n+1) =1-1/(n+1)=n ÷(n+1)

9）1 1+2+ 1 1+2+3 + 1 1+2+3+4 + 1 1+2+3+4+…+n = 2 2×3 + 2 3×4 + 2 4×5 + 2 n(n+1) =(n-1) ÷(n+1) 10） 1 1×2 + 2 2×3 + 3 2×3×4 + (n-1) 2×3×4×…×(n-1) = 2×3×4×…(n-1) 2×3×4×…×n 11）12+32+52+..........(2n-1)2=n(4n2-1) ÷3 12）13+33+53+..........(2n-1)3=n2(2n2-1) 13）14+24+34+..........+n4=n(n+1)(2n+1)(3n2+3n-1) ÷30 14）15+25+35+..........+n5=n2 (n+1)2 (2n2+2n-1) ÷12 15）1+2+22+23+......+2n=2(n+1)–1

(完整word版)数列求和的各种方法

教学目标 1熟练掌握等差、等比数列的前 n 项和公式. 2 ?掌握非等差、等比数列求和的几种常见方法. 3?能在具体的问题情境中识别数列的等差关系或等比关系，并能用相关知识解决相应的问题. 教学内容 知识梳理 1求数列的前n 项和的方法 (1) 公式法 ①等差数列的前n 项和公式 n n 1 , =na i + d . 2 ②等比数列的前n 项和公式 (I )当 q = 1 时，S n = na i ; (2) 分组转化法 把数列的每一项分成两项或几项，使其转化为几个等差、等比数列，再求解. (3) 裂项相消法 把数列的通项拆成两项之差求和，正负相消剩下首尾若干项. (4) 倒序相加法 这是推导等差数列前 n 项和时所用的方法，将一个数列倒过来排序，如果原数列相加时，若有公因式 可提，并且剩余项的和易于求得，则这样的数列可用倒序相加法求和. (5) 错位相减法 这是推导等比数列的前 n 项和公式时所用的方法，主要用于求 ｛a n ? b n ｝的前n 项和，其中｛a n ｝和｛b n ｝ 分 别是等差数列和等比数列. ⑹并项求和法 一个数列的前n 项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和.形如 a n = (— 1)n f (n)类型，可采用两项 合并求解. 例如，S n = 1002— 992+ 982 — 972+…+ 22 — 12= (100 + 99) + (98 + 97)+…+ (2 + 1) = 5 050. 数列求和的方法 n a i a n Si=— 2 (n )当q 丰1时, a i 1 q n 1 q a 1 — a n q 1 - q ③常见的数列的前 n 项和：1 +n=垃 1) , 1+3+5+??…+(2r — 1)= n 2 2 12 22 32 +n 2 n(n 罟,13 23 33 +n 3 2 n(n 1)等 2