2016年中考数学试题(含答案)
机密★启用前 [考试时间：6月13日上午9:00～11:00]
2016年高中阶段教育学校招生统一考试
数 学
本试题卷分第一部分（选择题）和第二部分（非选择题）．第一部分1至2页，第二部分3至6页，共6页．考生作答时，须将答案答在答题卡上，在本试题卷、草稿纸上答题无效．满分120分．考试时间120分钟．考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回．
第一部分（选择题 共30分）
注意事项：
1．选择题必须使用2B 铅笔将答案标号填涂在答题卡上对应题目标号的位置上． 2．本部分共10小题，每小题3分，共30分．
一、选择题：本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的． 1．下列各数中，不是负数的是（ ）
A ．2-
B ． 3
C ． 5
8
- D ．0.10- 2. 计算()
3
2ab
的结果，正确的是（ ）
A ．36
a b B ．35
a b C ． 6
ab D ．5
ab 3. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
4. 下列说法中正确的是( )
A ．“打开电视，正在播放《新闻联播》”是必然事件
B ．“2
0x <（x 是实数）”是随机事件
C ．掷一枚质地均匀的硬币10次，可能有5次正面向上
D ．为了了解夏季冷饮市场上冰淇淋的质量情况，宜采用普查方式调查
5.化简22
m n m n n m
+--的结果是（ ） A ．m n + B ．n m - C ．m n - D ．m n -- 6.下列关于矩形的说法中正确的是（ ）
A ．对角线相等的四边形是矩形
B ．矩形的对角线相等且互相平分
C ．对角线互相平分的四边形是矩形
D ．矩形的对角线互相垂直且平分
2
图7.若2x =-是关于x 的一元二次方程2
23
02
x ax a +
-=的一个根，则a 的值为（ ） A ．1-或4 B ．1-或4- C ．1或4- D ． 1或4
8. 如图1，点(0,3)D ，(0,0)O ，(4,0)C 在A 上，BD 是A 的
一条弦，则sin OBD ∠=（ ）
A ．12
B ．3
4
C ．45
D ．35
9．如图2，二次函数2
(0)y ax bx c a =++>图象的顶点为D ， 其图象与x 轴的交点A 、B 的横坐标分别为1-和3，则下列结论 正确的是（ ）
A . 20a b -=
B . 0a b c ++>
C . 30a c -=
D . 当1
2
a =时，ABD ?是等腰直角三角形
10.如图3，正方形纸片ABCD 中，对角线AC 、BD 交于点O ，折叠正方形纸片ABCD ，使AD 落在BD 上，点A 恰好与BD 上的点F 重合，展开后折痕DE 分别交
AB 、AC 于点E 、G ，连结GF ．给出下列结论：①22.5ADG ∠=；
②tan 2AED ∠=；③AGD OGD S S ??=；④四边形AEFG 是菱形；⑤2BE OG =；⑥若
1OGF S ?=，则正方形ABCD 的面积是642+．其中正确的结论个数为（ ）
A ．2
B ．3
C ．4
D ．5
第二部分（非选择题 共90分）
注意事项：
1．必须使用0.5毫米的黑色墨迹签字笔在答题卡上题目所指示的答题区域内作答．作图题可先用铅笔绘出，确认后再用0.5毫米的黑色墨迹签字笔描清楚．答在试题卷上无效．
2．本部分共14小题，共90分．
二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分．
3
图B
C
x
y D
O
A
1
图
11.月球的半径约为1 738 000米，1 738 000这个数用科学记数法表示为 ． 12.对部分参加夏令营的中学生的年龄（单位：岁）进行统计，结果如表：
年龄
8 人数
4 5 6 6 7 2 则这些学生年龄的众数是 ．
13. 如果一个正多边形的每个外角都是30，那么这个多边形的内角和为 ． 14. 设12x x 、是方程2
5320x x --=的两个实数根，则12
11
x x +的值为 ． 15. 已知关于x 的分式方程
111k x k x x ++=+-的解为负数，则k 的取值范围是 ． 16. 如图4，ABC ?中，90C ∠=，3AC =，5AB =，
D 为BC 边的中点，以AD 上一点O 为圆心的O
和AB 、BC 均相切，则
O 的半径为 ．
三、解答题：本大题共8小题，共66分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17.（本小题满分60
201621-
+
18.（本小题满分6分）如图5，在平面直角坐标系中，直角ABC ?的三个顶点分别是
(3,1)A -，(0,3)B ，(0,1)C .
（1）将ABC ?以点C 为旋转中心旋转180（2）分别连结1AB 、1BA 后，求四边形11AB A B
A
O
4图
19.（本小题满分6分）中秋佳节我国有赏月和吃月饼的传统，某校数学兴趣小组为了了解本校学生喜爱月饼的情况，随机抽取了60名同学进行问卷调查，经过统计后绘制了两幅尚不完整的统计图（图6）.(注：参与问卷调查的每一位同学在任何一种分类统计中只有一种选择)
请根据统计图完成下列问题:
（1）在扇形统计图中，“很喜欢”的部分所对应的扇形圆心角为 度；在条形统计图中，喜欢“豆沙”月饼的学生有 人；
（2）若该校共有学生900人，请根据上述调查结果，估计该校学生中“很喜欢”和“比较喜欢”月饼的共有 人；
（3）甲同学最爱吃云腿月饼，乙同学最爱吃豆沙月饼.现有重量、包装完全一样的云腿、豆沙、莲蓉、蛋黄四种月饼各一个，让甲、乙每人各选一个，请用画树状图法或列表法求出甲、乙两人中有且只有一人选中自己最爱吃的月饼的概率.
20.（本小题满分8分）如图7，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，ABO ?的边AB 垂直于
x 轴，垂足为点B ，反比例函数(0)k
y x x =
>的图象经过AO 的中点C ，且与AB 相交于点D ,4OB =,3AD =.
（1）求反比例函数k
y x
=
的解析式； （2）求cos OAB ∠的值；
（3）求经过C 、D 两点的一次函数解析式.
喜爱月饼情况
扇形统计图很喜欢不喜欢
25%
40%
比较喜欢“很喜欢”月饼的同学最爱 吃的月饼品种条形统计图
6
图
21. （本小题满分8分）某市为了鼓励居民节约用水，决定实行两级收费制度.若每月用水量不超过14吨（含14吨），则每吨按政府补贴优惠价m 元收费；若每月用水量超过14吨，则超过部分每吨按市场价n 元收费.小明家3月份用水20吨，交水费49元；4月份用水18吨，交水费42元.
（1）求每吨水的政府补贴优惠价和市场价分别是多少？
（2）设每月用水量为x 吨，应交水费为y 元，请写出y 与x 之间的函数关系式； （3）小明家5月份用水26吨，则他家应交水费多少元？
22.（本小题满分8分）如图8，在矩形ABCD 中，点F 在边BC 上，且AF AD =，过点D 作DE AF ⊥，垂足为点E . （1）求证：DE AB =；
（2）以A 为圆心，AB 长为半径作圆弧交AF 于点G . 若1BF FC ==，求扇形ABG 的面积.（结果保留π）
23.（本小题满分12分）如图9，在AOB ?中，AOB ∠为直角，6OA =，8OB =.半径为2的动圆圆心Q 从点O 出发，沿着OA 方向以1个单位长度/秒的速度匀速运动，同时动点P 从点A 出发，沿着AB 方向也以1个单位长度/秒的速度匀速运动，设运动时间为t 秒
(05)t <≤.以P 为圆心，PA 长为半径的P 与AB 、OA 的另一个交点分别为C 、D ，
连结CD 、QC .
（1）当t 为何值时，点Q 与点D 重合？ （2）当Q 经过点A 时，求P 被OB 截得的弦长；
（3）若P 与线段QC 只有一个公共点，求t 的取值范围.
Q
P
9
图A D 8
图
24. （本小题满分12分）如图10，抛物线2
y x bx c =++与x 轴交于A 、B 两点，B 点坐标为(3,0)，与y 轴交于点(0,3)C -．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P 在抛物线位于第四象限的部分上运动，当四边形ABPC 的面积最大时，求点P 的坐标和四边形ABPC 的最大面积；
（3）直线l 经过A 、C 两点，点Q 在抛物线位于y 轴左侧的部分上运动，直线m 经过点
B 和点Q ．是否存在直线m ，使得直线l 、m 与x 轴围成的三角形和直线l 、m 与y 轴围
成的三角形相似？若存在，求出直线m 的解析式；若不存在，请说明理由．
2016年高中阶段教育学校招生统一考试
数学参考答案及评分意见
一、选择题（每题3分，共30分）
1、B
2、A
3、D
4、C
5、A
6、B
7、C
8、D
9、D 10、B 二、填空题（每小题4分，共24分） 11、6
1.73810?； 12、17； 13、1800
； 14、32-
； 15、1
02
k k >-≠且； 16、
6
7
三、解答题（本大题共8个小题，共66分）以下各题只提供参考解法，使用其它方法求解，按步骤相应给分．
17、（6
分）解：原式21(21=+-+…………………………3分（注：分项给分）
42=- …………………………5分
10图
2=+…………………………………6分
18、（6
……………………
……3分
（2）111111
6
41222
AB A B S AA BB =??=??=四． …………………………6分
19、（6分）解：（1）126 ，4． …………………………………………2分 （2）675 …………………………………………3分
（3） 甲 云腿 莲蓉 豆沙 蛋黄
乙 莲蓉 豆沙 蛋黄 豆沙 蛋黄 云腿 蛋黄 云腿 莲蓉 豆沙…………………5分
41
123
P =
=. ………………………6分
20、（8分）解：（1）设(4,)D a ，3AB a =+
过点C 作CE x ⊥轴，垂足为E ， ∵C 是AO 的中点， ∴CE 是AOB ?的中位线, ……………1分 ∴点3(2,
)2
a
C +， ……………2由点C 和点
D 都在反比例函数图象上得：3242
a
a +?=
解得：1a =，点(4,1)D ……………3分
反比例函数：4
y x
= ……………4分
（2）由4OB AB ==得，
∴45OAB ∠=, cos 2
OAB ∠= ……………5分
（3）设直线CD 的函数关系式：11(0)y k x b k =+≠
∵(2,2)C ,(4,1)D 在直线上，得11
2214k b
k b =+??=+? ………………………6分
解得：1123
k b ?
=-???=? ………………………7分
直线CD 的函数关系式：1
32
y x =-+ ………………………8分
21、（8分）解：（1）由题意得：14(2014)49
14(1814)42m n m n +-=??+-=?
………………………2分
解得：2
3.5
m n =??
=? ………………………4分
（2）当014x <≤时，2y x =；
当14x >时，28(14) 3.5 3.521y x x =+-?=-
所以2,014
3.521,14
x x y x x <≤?=?
->? ……………………7分
（3）当26x =时， 3.5262170y =?-=（元） ……………………8分
22、（8分）（1）证明：∵DE AF ⊥，∴90AED ∠=， 又∵四边形ABCD 是矩形， ∴90ABF ∠=，
∴90ABF AED ∠=∠=， ……………………1分 又∵//AD BC
∴DAE AFB ∠=∠， ……………………2分 又∵AF AD =，
∴ADE ?≌()FAB AAS ?， ……………………3分 ∴DE AB = ……………………4分 （2）∵1BF FC ==， ∴2AD BC BF FC ==+=，
又∵ADE ?≌FAB ?，∴2AF AD ==， ……………………5分 ∴在Rt ABF ?中，1
2
BF AF =，∴30BAF ∠=， ……………………6分 又∵AB
=
= ……………………7分
A
8
图
∴扇形ABG 的面积23031
3603604
n r πππ?=
== ……………………8分
23、（12分）解：（1）在直角ABO ?中，6AO =,8BO =,∴10AB =
63
cos 105
AO BAO AB ∠=
== ……………………1分 ∵AC P 是
的直径， ∴90CDA ∠=
在直角ACD ?中，3
cos 5
AD CAD AC ∠== ∵OQ AP t ==，2AC t =， ∴6
5
AD t = ……………………2分
∵点Q 与点D 重合，∴6OQ AD OA +==
665t t +=，解得：30
11t =
当3011
t =时，点Q 与点D 重合. ……………………3分
（2）∵Q 经过点A ，Q 的半径是2
∴2AQ =,624OQ =-=,4t =
∴4AP =,1046BP =-= ……………………4分 设
P 被OB 截得的弦为线段EF ,过点P 作PM EF M ⊥于点,
//PM OA ,BPM ?∽BAO ?,
BP PM
BA OA
=
∴
6106PM =
,18
5PM = ……………………5分 连结PE ,4PE =
在直角PEM ?中，EM ===……………………6分
∴ 2EF EM ==……………………7分 （3）当QC P 与
相切时，AC QC ⊥
在直角ACQ ?中，3cos 5
CAQ ∠=
2AC t =，510
33
AQ AC t =
=， ……………………8分 ∵6AQ OA OQ t =-=- ∴
1063t t =-，得：18
13
t = ……………………9分
∴当
18013
t <≤
时，
P
与线段
QC
只有一个公共
点 ……………………10分 又∵当30
11t =时，点Q 与点D 重合，P 与线段QC 有两个公共点 ∴
当
30
511
t <≤时，
P 与线段QC 只有一个公共
点 ……………………11分 综上，当18013t <≤
或30
511
t <≤时，P 与线段QC 只有一个公共
点 ……………………12分
24、（12分）解：（1）∵抛物线2
y x bx c =++与x 轴交于B 点(3,0)，与y 轴交于
(0,3)C -．
∴930
3
b c c ++=??=-?，∴2b =- (1)
分
∴抛物线的解析式：2
23y x x =-- ……………………2分 （2）抛物线2
23y x x =--与x 轴的交点(1,0)A -，4AB = 连结BC ,ABC BCP ABPC S S S ??=+四, 11
43622
ABC S AB OC ?=?=??= 当BCP S ?最大时，四边形ABPC 的面积最大
求出直线BC 的函数关系式：3y x =- ……………………3分 平移直线BC ，当平移后直线与抛物线2
23y x x =--相切时，
BC 边上的高最大，BCP S ?最大.
设平移后直线关系式为：3y x m =--
联立2
323
y x m y x x =--??
=--?， 2
233x x x m --=-- 当0?=时，94
m =
∴平移后直线关系式为：21
4
y x =-
……………………4分
221423y x y x x ?=-??
?=--? ， 解得：32
154
x y ?
=????=-?? ∴点315
(,)2
4
P -
……………………5分 过点P 向x 轴作垂线，与线段BC 交于点D
点33(,)22D -，3159()244
PD =---=
∴BCP S ?最大值9127
3428
=??=，
∴四边形ABPC 的最大面积2775
688
=+= ……………………6分
（3）存在，设直线m 与y 轴交于点N ，与直线l 交于点M ，设点N 的坐标为(0,)t ① 当l m ⊥时， 90NOB NMC ∠=∠=
∴90MCN MNC ∠+∠=, 90ONB OBN ∠+∠= 又∵ONB MNC ∠=∠
∴MCN OBN ∠=∠ ∵90AMB NMC ∠=∠= ∴AMB ?∽NMC ?
求出直线l 的函数关系式：33l y x =-- ∵l m ⊥，设直线m 的函数关系式：1
3
m y x b =+ ∵直线m 经过点(3,0)B ∴直线m 的函数关系式：1
13
m y x =
-，此时1t =- ……………………7分 ② 当31t -<<-时，90,90AMB CMB ∠<∠>
AMB ?是一个锐角三角形，CMN ?却是一个钝角三角形 ∴AMB ?与CMN ?不相似
∴符合条件的直线m 不存在 ……………………8分
③ 当10t -<<时，90,90AMB CMB ∠>∠<
AMB ?是一个钝角三角形，CMN ?却是一个锐角三角形 ∴AMB ?与CMN ?不相似
∴符合条件的直线m 不存在 ……………………9分 ④当01t <<时，1ON <
∴
OA ON
OC OB
>
, MCN MBA ∠>∠ 又∵CMN BMA ∠=∠（公共角） ∴AMB ?与CMN ?不相似
∴符合条件的直线m 不存在 ……………………10分 ⑤当1t =时，1ON = ∴13
OA ON OC OB ==， MCN MBA ∠=∠ 又∵CMN BMA ∠=∠（公共角） ∴AMB ?∽NMC ?
∵直线m 经过点(3,0)B 和(0,1)N ∴直线m 的函数关系式：1
13
m y x =-+ ……………………11分 ⑥当1t >时，1ON >
∴OA ON
OC OB
<
, MCN MBA ∠<∠ 又∵CMN BMA ∠=∠（公共角） ∴AMB ?与CMN ?不相似
∴符合条件的直线m 不存在 ……………………12分
综上，直线m 的函数关系式为：113m y x =-+或1
13
m y x =-