《管理运筹学》第四版 第6章 单纯形法的灵敏度分析与对偶 课后习题解析
《管理运筹学》第四版课后习题解析
第6章单纯形法的灵敏度分析与对偶
1．解： （1）c 1≤24 （2）c 2≥6 （3）c s 2≤8
2．解：
（1）c 1≥?0.5 （2）?2≤c 3≤0 （3）c s 2≤0.5
3．解：
（1）b 1≥250 （2）0≤b 2≤50 （3）0≤b 3≤150
4．解： （1）b 1≥?4 （2）0≤b 2≤10 （3）b 3≥4
5. 解：
最优基矩阵和其逆矩阵分别为：???? ??=1401B ，???
? ??-=-14011
B ； 最优解变为130321
===x x x ，，最小值变为-78； 最优解没有变化； 最优解变为2140321
===x x x ，，，最小值变为-96；
6．解：
（1）利润变动范围c 1≤3，故当c 1=2时最优解不变。 （2）根据材料的对偶价格为1判断，此做法有利。 （3）0≤b 2≤45。
（4）最优解不变，故不需要修改生产计划。
（5）此时生产计划不需要修改，因为新的产品计算的检验数为?3小于零，对原生产计划没有影响。
7. 解：
(1)设321,,x x x 为三种食品的实际产量，则该问题的线性规划模型为
,, 4005132 4505510 35010168 325.2max 321321321321321≥≤++≤++≤++++=x x x x x x x x x x x x x x x z 约束条件：
解得三种食品产量分别为0,75.43321===x x x ，这时厂家获利最大为109.375万元。
(2)如表中所示，工序1对于的对偶价格为0.313万元，由题意每增加10工时可以多获利3.13万元，但是消耗成本为10万元，所以厂家这样做不合算。
（3）B 食品的加工工序改良之后，仍不投产B ，最大利润不变；
若是考虑生产甲产品，则厂家最大获利变为169.7519万元，其中
667.31110,167.144321====x x x x ，，；
（4）若是考虑生产乙产品，则厂家最大获利变为163.1万元，其中
382.70,114321====x x x x ，，；
所以建议生产乙产品。
8．解：
均为唯一最优解，根据从计算机输出的结果看出，如果松弛或剩余变量为零且对应的对偶价格也为零，或者存在取值为零的决策变量并且其相差值也为零时，可知此线性规划有无穷多组解。
9．解：
（1）min f = 10y 1+20y 2. s.t.y 1+y 2≥2 y 1+5y 2≥1 y 1+y 2≥1 y 1,y 2≥0
（2）max z = 100y 1+200y 2. s.t. 1/2y 1+4y 2≤4 2y 1+6y 2≤4 2y 1+3y 2≤2 y 1,y 2≥0
10．解：
（1）min f =?10y 1+50y 2+20y 3. s.t. ?2y 1+3y 2+y 3≥1 ?3y 1+y 2≥2
?y 1+y 2+y 3 =5
y 1，y 2≥0，y 3没有非负限制。 （2）max z = 6y 1?3y 2+2y 3. s.t.y 1?y 2?y 3≤1
2y 1+y 2+y 3 =3 ?3y 1+2y 2?y 3≤?2
y 1，y 2≥0，y 3没有非负限制
11. 解：
,,,, 1 1 1 1 1 109876max 54321544332215154321≥≤+≤+≤+≤+≤+++++=y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y z 约束条件：
用对偶问题求解极大值更简单，因为利用单纯形法计算时省去了人工变量。
12. 解:
（1）该问题的对偶问题为
0, 5 332 23 12y 4max 212121212
1≥≤+≤+≤++=y y y y y y y y y f 约束条件：
求解得max f=12，如下所示：
（2）该问题的对偶问题为
,
,01
6
7
58
4 33
3 2
5 3
2 min
3
2
13
2 13
2 1
3 2
1
3
2
1
≥
-
≤
+
-
-
≤
+
-
-
≤
+
-
+
+
=
y
y
y
y
y
y
y
y
y
y
y
y
y
y
y
z
约束条件：
求得求解得min z=24，如下所示：
思考：
在求解
中元素的符号没有要求
为非负行向量，列向量其中：约束条件：b C X b AX CX f 0 min ≥≥=
中元素的符号没有要求
为非正行向量，列向量其中：约束条件：b C X b AX CX z 0
max ≥≥=
以上两种线性规划时一般可以选取对偶单纯形法。
13.解：
（1）错误。原问题存在可行解，则其对偶问题可能存在可行解，也可能无可行解；
（2）正确；
（3）错误。对偶问题无可行解，则原问题解的情况无法判定，可能无可行解，可能有可行解，甚至为无界解； （4）正确；
14．解：
123
1231
1232233max 23428
20,1,,3;0,1,,3i j z x x x x x x s x x x s x x s x i s j =----+-+=-??
+++=??
-++=-?
?==?
≥≥ 用对偶单纯形法解如表6-1所示。 表6-1
续表
最优解为x1=6，x2=2，x3=0，目标函数最优值为10。
15. 解：原问题约束条件可以表示为：ta
b
AX+
=，其中b
a和为常数列向量。令0
=
t，将问题化为标准型之后求解，过程如下：
其中最优基矩阵的逆矩阵为
?
?
?
?
?
?
?
-
-
=
-
1
1
1
1
1
1
B，
则
?
?
?
?
?
?
?
=
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
-
-
=
-
3
2
5
3
10
5
1
1
1
1
1
*1b
B
?
?
?
?
?
?
?
-
=
?
?
?
?
?
?
?
-
=
?
?
?
?
?
?
?
-
?
?
?
?
?
?
?
-
-
=
-
t
t
t
t
t
t
t
ta
B3
1
3
1
1
1
1
1
1
*1
则???
?
? ??+-+=+-t t t ta b B 3325*
1）（ 从而， 1)当
3
0≤≤t 时，最优单纯形表为 此时05>+t ，032>-t ，03>+t ，线性规划问题的最优解为)3,5(),(21t t x x ++=，
目标函数最大值为t 311+；
2）当2
7
23≤≤t 时，由032<-t 可知，)3,5(),(21t t x x ++=并非最优解，利用对偶
此时027>-t ，032>+-t ，03>+t ，从而线性规划问题的最优解为
)3,27(),(21t t x x +-=，目标函数的最大值为13； 3）当
102
7
≤≤t 时，，由027<-t 可知，)3,27(),(21t t x x +-=并非最优解，利用
此时，，，从而线性规划问题的最优解为
)10,0(),(21t x x -=，目标函数的最大值为t 220-；
16.解：先写出原问题的对偶问题
, (4)
14 (3) 123 (2) 232 )1( 24 2020min 21212121212
1≥≥+≥+≥+≥++=y y y y y y y y y y y y f 约束条件：
将5
3
,10121==y y 代入对偶问题的约束条件，得有且只有（2）、（4）式等式成立，
也就是说，其对应的松弛变量取值均为0，（1）和（3）式对应的松弛变量不为0，
从而由互补松弛定理有031==x x ；又因为0,021>>y y ，从而原问题中的两个约束应该取等式，把031==x x 代入其中，得到
027>+-t 05>+t 010>-t
20
320424242=+=+x x x x
解方程组得到2,642==x x 。
经验证2,0,6,04321====x x x x 满足原问题约束条件，从而其为原问题的最优解，对应的目标函数最大值为14；
运筹学——解对偶单纯形法
题目：对偶单纯形法解线性规划问题 小组成员：
摘要： 运筹学是辅助人们进行科学管理的一种数学方法.而对偶单纯形法是线性规划中重要的数学方法，在简化运算，解决实际问题中具有重要的应用。它是解决研究线性约束条件下线性目标函数的极值问题的数学理论和方法，广泛应用于军事作战、经济分析、经营管理和工程技术等方面。为合理地利用有限的人力、物力、财力等资源作出的最优决策，提供科学的依据。在经济管理、交通运输、工农业生产等经济活动中，提高经济效果是人们不可缺少的要求。 关键词：对偶单纯形法线性规划最优解 正文： 单纯形法和对偶单纯形法的基本思想： 给出一个线性规划问题: Max z = CX AX≤b X≥0 其对偶问题是: Min w = Yb YA≥C Y≥0 单纯形法解决线性规划问题的思想是: 从问题(1)的一个基解X0开始迭代到另一个基解,在迭代过程中保持基解的可行性,同时它对应的对偶问题(2)的基解Y0= CBB-1的
不可行性逐步消失,直到Y0是问题(2)的可行解时,X0就是问题(1)的最优解了。 对偶单纯形法正是基于对称的想法,从一个基解X0开始,X0不是基可行解,但它的检验数全部非正,对应的对偶问题的基解Y0= CBB-1是基可行解;从X0迭代到另一个基解X1,在迭代过程中保持它对应的对偶问题的基解是基可行解,逐步消除原问题基解的不可行性,最终达到两者同时为可行解，也就同时是最优解了。这就是对偶单纯形法的基本思想。 算法： 用对偶单纯形法解决生产资料分配问题的步骤: Step1 找出一组以定基元素x0i和人工变量为基变量的正则解X0,若X0是可行的,则X0是最优解, 停止,否则转向STEP2; Step2 确定换出变量x0l,其中x0l=min{x0r;x0r<0}; Step3 如果对所有非基变量x0j,βlj≥0,则该问题无可行解,运算停止,否则转向STEP4; Step4 确定换入变量x0k,其中σkβlk=minσtβlt;βlt<0;1≤t≤n+m ; Step5 取x0l为换出变量,x0k为换入变量进行迭代,然后重复上过程直到得到最优解。
用对偶单纯形法求解线性规划问题教学文案
用对偶单纯形法求解线性规划问题
例4-7用对偶单纯形法求解线性规划问题. Min z =5x1+3x 2 s.t.-2 x1 + 3x 2 ≥6 3 x1 - 6 x 2 ≥4 Xj≥0（j=1,2） 解：将问题转化为 Max z = -5 x1 - 3 x 2 s.t. 2 x1 - 3x 2+ x 3 = -6 -3 x1 + 6 x 2+ x 4 ≥-4 Xj≥0（j=1,2，3,4） 其中，x3 ，x4为松弛变量，可以作为初始基变量，单纯形表见表4-17. 表4-17 例4-7单纯形表 在表4-17中,b=-16<0,而y≥0,故该问题无可行解. 注意: 对偶单纯形法仍是求解原问题,它是适用于当原问题无可行基,且所有检验数均为负的情况.
若原问题既无可行基,而检验数中又有小于0的情况.只能用人工变量法求解. 在计算机求解时,只有人工变量法,没有对偶单纯形法. 3.对偶问题的最优解 由对偶理论可知,在原问题和对偶问题的最优解之间存在着密切的关系,可以根据这些关系,从求解原问题的最优单纯形表中,得到对偶问题的最优解. (1)设原问题(p)为 Min z=CX s.t. ???≥=0X b AX 则标准型(LP)为 Max z=CX s.t. ???≥=0X b AX 其对偶线性规划（D ）为 Max z=b T Y s.t. ???≥=0X b AX 用对偶单纯形法求解（LP ），得最优基B 和最优单纯形表T （B ）。对于（LP ）来说，当j=n+i 时，有Pj=-e i ，c j =0 从而，在最优单纯形表T （B ）中，对于检验数，有 （σn+1，σn+2…σn+m ）=（c n+1，c n+2…，c n+m ）-C B B -1（Pn +1,Pn+2…,Pn+m ）=- C B B -1 (-I)
对偶与灵敏度分析
§2 对偶与灵敏度分析 §2.1 LP 的对偶问题 无论从理论和实践角度，对偶理论是LP 中的一个最重要和有趣的概念，支持对偶理论的基本思想是：每一个LP 问题都存在一个与其对偶的问题，在求解一个问题解的时候，也同时给出了另一问题的解。 一、问题的提出 例2.1：设某工厂生产两种产品甲乙，生产过程需要4种设备ABCD 进行加工，每件产品加工所需机时数，每件产品的利润值及每种设备的可利用机时如下表： 1.问：充分利用设备时，应怎样安排甲乙产品的生产数量，利润才能最大？ 2.问：如有另外一家公司想租用该厂设备加工生产，那么，这家公司应至少对每台设备的机时价格为多少时，才能使该厂愿意出租设备？ 解：1.设甲乙产品各生产1x 2x 件
LP1：?????? ?≥≤≤+≤++=0 ,1648 212 2232211 21212 1x x x x x x x x x MaxZ 2.设每台设备的机时最低价分别为：1y ，2y ，3y ，4y LP2：??? ??=≥≥++≥+++++=4,3,2,1,03422242121681242 13 214 321i y y y y y y y y y y y MinZ i 二、原问题和对偶问题之间的关系： 1.对称形式下的原问题与对偶问题 对称形式下原问题的一般式： 矩阵形式： ????? ?? ??=≥≤+++≤+++≤++++++=n j x b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a x c x c x c MaxZ j m n mn m m n n n n n n ....... 21,0 (221) 1222221211 12121112211 ???≥≤=0X b AX CX Max 若用i y 代表第i 种资源的估价，则其对偶问题的一般式为： ????? ?? ??=≥≥+++≥+++≥++++++=m j y c y a y a y a c y a y a y a c y a y a y a y b y b y b MinZ j n m mn n n m mn m m m m ....... 21,0 (221) 1222221121 12211112211 ???≥≥=0Y C Y A Yb Min T T ω 2.非对称形式下原问题与对偶问题： 方法一：将非对称形式转化为对称形式，求出对偶问题，然后再还原。
单纯形法典型例题
科学出版社《运筹学》教材 第一章引言 第二章线性规划，姜林 第三章对偶规划，姜林 第四章运输问题，姜林 第五章整数规划，姜林 第六章非线性规划，姜林 第七章动态规划，姜林 第八章多目标规划，姜林 第九章图与网络分析，熊贵武 第十章排队论，熊贵武 第十一章库存论，王勇 第十二章完全信息博弈，王勇 第十三章不完全信息博弈，王勇 第十四章决策论与影响图 第十五章运筹学模型的计算机求解 成年人每天需要从食物中摄取的营养以及四种食品所含营养和价格见下表。问 如何选择食品才能在满足营养的前提下使购买食品的费用最小？ 食品名称热量(kcal) 蛋白质(g) 钙（mg）价格（元）猪肉1000 50 400 14 鸡蛋800 60 200 6
大米900 20 300 3 白菜200 10 500 2 营养需求量 2000 55 800 解：设需猪肉、鸡蛋、大米和白菜各需 x1,x2,x3,x4斤。则热量的需求量为： 2000 20090080010004 3 2 1 x x x x 蛋白质 某工厂要做100套钢架，每套有长 3.5米、2.8米和2根2.4米的圆钢组成（如右图）已知原 料长12.3米，问应如何下料使需用的原材料最省。 解：假设从每根 12.3米的原材料上截取 3.5米、2.8米和2根2.4 米，则每根原材料需浪费 1.2米，做100套需浪费材料 120米，现 采用套裁的方法。 方案一二三四五六3.5 2.8 2.4 0 0 5 0 4 0 1 2 1 1 3 0 2 0 2 2 1 1 合计剩余 12 0.3 11.2 1.1 11.5 0.8 11.9 0.4 11.8 0.5 12.2 0.1 现在假设每种方案各下料x i （i=1、2、3、4、5、6），则可列出方程： minZ=0.3x 1+1.1x 2+0.8x 3+0.4x 4+0.5x 5+0.1x 6 约束条件： x 3+x 4+2x 5+2x 6=100 4x 2+2x 3+3x 4+x 6=100 5x 1+x 3+2x 5+x 6=200 ,,,800 50030020040055 102060503000 2009008001000. .23614min 4 3214 3 2 1 4 32 14 32 14321x x x x x x x x x x x x x x x x t s x x x x z
用对偶单纯形法求解线性规划问题
用对偶单纯形法求解线性 规划问题 The final edition was revised on December 14th, 2020.
例4-7用对偶单纯形法求解线性规划问题. Min z =5x1+3x 2 .-2 x1 + 3x 2 ≥6 3 x1 - 6 x 2 ≥4 Xj≥0（j=1,2） 解：将问题转化为 Max z = -5 x1 - 3 x 2 . 2 x1 - 3x 2+ x 3 = -6 -3 x1 + 6 x 2+ x 4 ≥-4 Xj≥0（j=1,2，3,4） 其中，x3 ，x4为松弛变量，可以作为初始基变量，单纯形表见表4-17. 表4-17 例4-7单纯形表 在表4-17中,b=-16<0,而y≥0,故该问题无可行解. 注意: 对偶单纯形法仍是求解原问题,它是适用于当原问题无可行基,且所有检验数均为负的情况.
若原问题既无可行基,而检验数中又有小于0的情况.只能用人工变量法求解. 在计算机求解时,只有人工变量法,没有对偶单纯形法. 3.对偶问题的最优解 由对偶理论可知,在原问题和对偶问题的最优解之间存在着密切的关系,可以根据这些关系,从求解原问题的最优单纯形表中,得到对偶问题的最优解. (1)设原问题(p)为 Min z=CX . ???≥=0X b AX 则标准型(LP)为 Max z=CX . ???≥=0X b AX 其对偶线性规划（D ）为 Max z=b T Y . ???≥=0X b AX 用对偶单纯形法求解（LP ），得最优基B 和最优单纯形表T （B ）。对于（LP ）来说，当j=n+i 时，有Pj=-e i ，c j =0 从而，在最优单纯形表T （B ）中，对于检验数，有 （σn+1，σn+2…σn+m ）=（c n+1，c n+2…，c n+m ）-C B B -1（Pn +1,Pn+2…,Pn+m ）=- C B B -1 (-I)
数学建模对偶问题和灵敏度分析
对偶问题 例题1：某养鸡场所用的混合饲料由n 种天然饲料配合而成。要求在这批配合饲料中必须含有m 种不同的营养成分，且第i 种营养成分的含量不低于bi 。已知第i 种营养成分在每单位第j 种天然饲料中的含量为a ij ，每单位第j 天然饲料的价格为c j 。试问，应如何对这n 种饲料配方，使这批饲料的费用最小 解 设x j 为第j 种天然饲料的用量。 显然，a ij x j 即为所用第j 种天然饲料中第i 种营养成分的含量，1n ij j j a x =∑为这 批混合饲料中第i 种营养成分的总含量；它不应低于bi 。于是，我们得下列线性规划模型(1—1)： 1 min n j j j f c x ==∑ 1 1,,..01,,n ij j i j j a x b i m s t x j n =?≥=???≥=? ∑ 现设想有一个饲料加工厂欲把这m 种营养成分分别制成m 种营养丸。 设第i 种营养丸的价格为ui(i ＝1，…，m)。则养鸡场采购一个单位的第j 种天然饲料，就相当于对这m 种营养丸分别采购数量a 1j ，…a mj ，所化费用为1m ij i i a u =∑养鸡场自然希望在用营养丸代替天然饲料时，在价格上能相对地比较便宜，故而饲料加工厂为了能与天然饲料供应者竞争，在制订价格时必然满足下述条件： 1 1, ,m ij i j i a u c j n =≤=∑ 另一方面，养鸡场如果全部采购营养丸来代替天然饲料进行配料，则第i 种营养丸就需采购bi 个单位，所化费用为b i u i ，总费用为z=∑b i u i 饲料加工厂面临的问题是：应把这m 种营养丸的单价ui(f=1，…，m)定为多少，才能使养鸡场乐意全部采用该厂生产的营养丸来取代这批天然饲料，且使本厂在竞争中得到最大收益。为该问题建立数学模型，即得如下线性规划(1—2)：
第1章线性规划及单纯形法
线性规划及单纯形法 一．选择 1. 运筹学应用分析、试验、（C ）的方法，对经济管理系统中人、财、物等有限资源进行统筹安排，为决策者提供有依据的最优方案，以实现最有效的管理。 A 统筹 B 量化 C 优化 D 决策 2. 运筹学研究的基本手段是（A ）。 A 建立数学模型 B 进行数学分析 C 进行决策分析 D 建立管理规范 3. 运筹学研究的基本特点是（ C ）。 A 进行系统局部独立分析 B 考虑系统局部优化 C 考虑系统的整体优化 D 进行系统的整体决策 4. 线性规划问题的数学模型包含三个组成要素：决策变量、目标函数、（B ） A 表达式 B 约束条件 C 方程变量 D 价值系数 5. 线性规划问题的基可行解X 对应线性规划问题可行域（凸集）的（ C ） A 边 B 平面 C 顶点 D 内部 6. 目标函数取极小化（Z min ）的线性规划问题可以转化为目标函数取极大化即（C ）的线性规划问题求解 A Z min B )min(Z - C )max(Z - D Z max - 7. 标准形式的线性规划问题，最优解（C ）是可行解 A 一定 B 一定不 C 不一定 D 无法确定 8. 在线性规划问题中，称满足所有约束条件方程和非负限制的解为（ C ）。 A 最优解 B 基可行解 C 可行解 D 基解 9. 生产和经营管理中经常提出任何合理安排，使人力、物力等各种资源得到充分利用，获得最大的效益，这就是所谓的（D ） A 管理问题 B 规划问题 C 决策问题 D 优化问题 10. 在线性规划问题中，图解法适合用于处理变量（ B ）个的线性规划问题 A 1 B 2 C 3 D 4 11. 求解线性规划问题时，解的情况有:唯一最优解、无穷多最优解、（ C ）、无可行解 A 无解B 无基解 C 无界解 D 无基可行解 12. 在用图解法求解的时，找不到满足约束条件的公共范围，这时问题有（D ），其原因是模型本身有错误，约束条件之间相互矛盾，应检查修正。 A 唯一最优解 B 无穷多最优解 C 无界解D 无可行解 13. 线性规划问题的基可行解()T n X X X ,,1 =为基可行解的充要条件是X 的正分量所对 应的系数列向量是（B ） A 线性相关 B 线性独立 C 非线性独立 D 无法判断 14. 线性规划问题进行最优性检验和解的判别时，如果当0≤j σ时，人工变量仍留在基本量中且不为零，（D ） A 唯一最优解 B 无穷多最优解 C 无界解 D 无可行解 15.如果集合C 中任意两个点21,X X 其连线上的所有点也都是集合C 中的点，称C 为（B ）
《运筹学》习题线性规划部分练习题及答案
《运筹学》线性规划部分练习题 一、思考题 1．什么是线性规划模型，在模型中各系数的经济意义是什么？ 2．线性规划问题的一般形式有何特征？ 3．建立一个实际问题的数学模型一般要几步？ 4．两个变量的线性规划问题的图解法的一般步骤是什么？ 5．求解线性规划问题时可能出现几种结果，那种结果反映建模时有错误？ 6．什么是线性规划的标准型，如何把一个非标准形式的线性规划问题转化成标准形式。 7．试述线性规划问题的可行解、基础解、基础可行解、最优解、最优基础解的概念及它们之间的相互关系。 8．试述单纯形法的计算步骤，如何在单纯形表上判别问题具有唯一最优解、有无穷多个最优解、无界解或无可行解。 9．在什么样的情况下采用人工变量法，人工变量法包括哪两种解法？ 10．大M 法中，M 的作用是什么？对最小化问题，在目标函数中人工变量的系数取什么？最大化问题呢？ 11．什么是单纯形法的两阶段法？两阶段法的第一段是为了解决什么问题？在怎样的情况下，继续第二阶段？ 二、判断下列说法是否正确。 1．线性规划问题的最优解一定在可行域的顶点达到。 2．线性规划的可行解集是凸集。 3．如果一个线性规划问题有两个不同的最优解，则它有无穷多个最优解。 4．线性规划模型中增加一个约束条件，可行域的范围一般将缩小，减少一个约束条件，可行域的范围一般将扩大。 5．线性规划问题的每一个基本解对应可行域的一个顶点。 6．如果一个线性规划问题有可行解，那么它必有最优解。 7．用单纯形法求解标准形式（求最小值）的线性规划问题时，与 > j σ 对应的变量都 可以被选作换入变量。 8．单纯形法计算中，如不按最小非负比值原则选出换出变量，则在下一个解中至少有一个基变量的值是负的。 9．单纯形法计算中，选取最大正检验数k σ对应的变量k x作为换入变量，可使目标函数值得到最快的减少。 10．一旦一个人工变量在迭代中变为非基变量后，该变量及相应列的数字可以从单纯形表中删除，而不影响计算结果。 三、建立下面问题的数学模型 1．某公司计划在三年的计划期内，有四个建设项目可以投资：项目Ⅰ从第一年到 第三年年初都可以投资。预计每年年初投资，年末可收回本利120% ，每年又可以重新将所获本利纳入投资计划；项目Ⅱ需要在第一年初投资，经过两年可收回本利150% ，又可以重新将所获本利纳入投资计划，但用于该项目的最大投资额不得超过20万元；项目Ⅲ需要在第二年年初投资，经过两年可收回本利160% ，但用于该项目的最大投资额不得超过15万元；项目Ⅳ需要在第三年年初投资，年末可收回本利140% ，但用于该项目的最大投资额不得超过10万元。在这个计划期内，该公司第一年可供投资的资金有30万元。问怎样的投资方案，才能使该公司在这个计划期获得最大利润？ 2．某饲养场饲养动物，设每头动物每天至少需要700克蛋白质、30克矿物质、100克维生素。现有五种饲料可供选用，各种饲料每公斤营养成分含量及单 价如下表2—1所示：
对偶单纯形法
1.对偶单纯形法 2.F(x)=3x1+4x2+5x3 X1+2x2+3x3>=5 2x1+2x2+x3>=6 xi>=0 f=[3;4;5]; A=[-1 -2 -3 -2 -2 -1]; b=[-5;-6]; lb=zeros(3,1); [x,fval,exitflag,output,lambda] = linprog(f,A,b,[],[],lb) x = 1.0000 2.0000 0.0000 fval = 11.0000 exitflag = 1 output = iterations: 8 algorithm: 'large-scale: interior point' cgiterations: 0 message: 'Optimization terminated.' lambda = ineqlin: [2x1 double] eqlin: [0x1 double] upper: [3x1 double] lower: [3x1 double] x, lambda.ineqlin, lambda.lower x = 1.0000 2.0000 0.0000 ans = 1.0000 1.0000 ans = 0.0000 0.0000 1.0000
2.单纯形法 f(x)=-9x1+-16x2 x1+4x2+x3=80 2x1+3x2+x4=90 xi>=0 f=[-9;-16;0;0]; Aeq=[1 4 1 0 2 3 0 1]; beq=[80;90]; lb=zeros(4,1); [x,fval,exitflag,output,lambda] = linprog(f,[],[],Aeq,beq,lb) Optimization terminated. x = 24.0000 14.0000 0.0000 0.0000 fval = -440.0000 exitflag = 1 output = iterations: 5 algorithm: 'large-scale: interior point' cgiterations: 0 message: 'Optimization terminated.' lambda = ineqlin: [0x1 double] eqlin: [2x1 double] upper: [4x1 double] lower: [4x1 double] x, lambda.ineqlin, lambda.lower x = 24.0000 14.0000 0.0000 0.0000 ans = Empty matrix: 0-by-1 ans =
数学建模 对偶问题和灵敏度分析资料讲解
数学建模对偶问题和灵敏度分析
对偶问题 例题1：某养鸡场所用的混合饲料由n 种天然饲料配合而成。要求在这批配合饲料中必须含有m 种不同的营养成分，且第i 种营养成分的含量不低于bi 。已知第i 种营养成分在每单位第j 种天然饲料中的含量为a ij ，每单位第j 天然饲料的价格为c j 。试问，应如何对这n 种饲料配方，使这批饲料的费用最小? 解 设x j 为第j 种天然饲料的用量。 显然，a ij x j 即为所用第j 种天然饲料中第i 种营养成分的含量，1n ij j j a x =∑为这批混 合饲料中第i 种营养成分的总含量；它不应低于bi 。于是，我们得下列线性规划模型(1—1)： 1 min n j j j f c x ==∑ 1 1,,..01,,n ij j i j j a x b i m s t x j n =?≥=???≥=? ∑ 现设想有一个饲料加工厂欲把这m 种营养成分分别制成m 种营养丸。 设第i 种营养丸的价格为ui(i ＝1，…，m)。则养鸡场采购一个单位的第j 种天然饲料，就相当于对这m 种营养丸分别采购数量a 1j ，…a mj ，所化费用为1m ij i i a u =∑养 鸡场自然希望在用营养丸代替天然饲料时，在价格上能相对地比较便宜，故而饲料加工厂为了能与天然饲料供应者竞争，在制订价格时必然满足下述条件： 1 1, ,m ij i j i a u c j n =≤=∑ 另一方面，养鸡场如果全部采购营养丸来代替天然饲料进行配料，则第i 种营养丸就需采购bi 个单位，所化费用为b i u i ，总费用为z=∑b i u i
第二章对偶理论与灵敏度分析练习题答案
第二章 对偶理论与灵敏度分析练习题答案 1．判断下列说法是否正确： (1) 任何线性规划问题存在并具有惟一的对偶问题；() (2) 根据对偶问题的性质，当原问题为无界解时，其对偶问题无可行解，反之，当对偶问题无可行解时，其原问题具有无界解；() (3) 设j ? x ，i ?y 分别为标准形式的原问题与对偶问题的可行解，*j x ，*i y 分别为其最优解，则恒有n n m m **j j j j i i i i j 1 j 1 i 1 i 1 ??c x c x b y b y ====≤=≤∑∑∑∑；() (4) 若线性规划的原问题有无穷多最优解，则其对偶问题也一定具有无穷多最优解；() (5) 已知*i y 为线性规划的对偶问题的最优解，若*i y 0>，说明在最优生产计划中第i 种资源已完全耗尽；() (6) 已知*i y 为线性规划的对偶问题的最优解，若*i y 0=，说明在最优生产计划中第i 种资源一定有剩余；() (7) 若某种资源的影子价格等于k ，在其他条件不变的情况下，当该种资源增加5个单位时，相应的目标函数值将增大5k ；() (8) 应用对偶单纯形法计算时，若单纯形表中某一基变量i x 0<，又x i 所在行的元素全部大于或等于零，则可以判断其对偶问题具有无界解；() $ (9) 若线性规划问题中的b i ，c j 值同时发生变化，反映到最终单纯形表中，不会出现原问题与对偶问题均为非可行解的情况；() (10) 在线性规划问题的最优解中，如某一变量x j 为非基变量，则在原来问题中，无论改变它在目标函数中的系数c j 或在各约束中的相应系数a ij ，反映到最终单纯形表中，除该列数字有变化外，将不会引起其他列数字的变化。() 2．下表是某一约束条件用“≤”连接的线性规划问题最优单纯形表格，其中x 4、x 5为松弛变量。 X B ｂ x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 — x 3 5/2 0 1/2 1 1/2 0 x 1 5/2 1 — -1/2 0 -1/6 1/3 σj 0 -4 0 -4 -2 ; 要求：(1)写出原线性规划问题及其对偶问题的数学模型；(2)直接由表写出对偶问题的最优解； (3)其它条件不变时，约束条件右端项b 1在何范围内变化，上述最优基不变。(4)若以单价购入
对偶理论与灵敏度分析练习题答案
第二章 对偶理论与灵敏度分析练习题答案 1．判断下列说法是否正确： (1) 任何线性规划问题存在并具有惟一的对偶问题；() (2) 根据对偶问题的性质，当原问题为无界解时，其对偶问题无可行解，反之，当对偶问题无可行解时，其原问题具有无界解；() (3) 设j ? x ，i ?y 分别为标准形式的原问题与对偶问题的可行解，* j x ，*i y 分别为其最优解，则恒有n n m m **j j j j i i i i j 1j 1i 1i 1??c x c x b y b y ====≤=≤∑∑∑∑；() (4) 若线性规划的原问题有无穷多最优解，则其对偶问题也一定具有无穷多最优解；() (5) 已知*i y 为线性规划的对偶问题的最优解，若*i y 0>，说明在最优生产计划中第i 种资源已完全耗尽；() (6) 已知*i y 为线性规划的对偶问题的最优解，若*i y 0=，说明在最优生产计划中第i 种资源一定有剩余；() (7) 若某种资源的影子价格等于k ，在其他条件不变的情况下，当该种资源增加5个单位时，相应的目标函数值将增大5k ；() (8) 应用对偶单纯形法计算时，若单纯形表中某一基变量i x 0<，又x i 所在行的元素全部大于或等于零，则可以判断其对偶问题具有无界解；() (9) 若线性规划问题中的b i ，c j 值同时发生变化，反映到最终单纯形表中，不会出现原问题与对偶问题均为非可行解的情况；() (10) 在线性规划问题的最优解中，如某一变量x j 为非基变量，则在原来问题中，无论改变它在目标函数中的系数c j 或在各约束中的相应系数a ij ，反映到最终单纯形表中，除该列数字有变化外，将不会引起其他列数字的变化。() 2．下表是某一约束条件用“≤”连接的线性规划问题最优单纯形表格，其中x 4、x 5为松弛变量。 要求：(1) (3)其它条件不变时，约束条件右端项b 1在何范围内变化，上述最优基不变。(4)若以单价购入第一种资源是否值得，为什么若有人愿意购买第二种资源应要价多少，为什么
5、对偶单纯形法
5、对偶单纯形法 在标准形式的线性规划问题中，如果σj =c j -C B P j ≤0，但b i 的值不一定为正，这时可用对偶单纯形法继续求解，直到所有b i ≥0。 对偶单纯形法的步骤： 1、 确定出基变量 存在小于零的b i 时，令b r =min{b i }，其对应变量x r 为出基变量。（先定出基变量） 2、 确定入基变量 在非基变量中找出a rj <0（j=m+1,….,n ）,令 θ=mjn ??????????<0rj rj j a a σ=rs s a σ 称a rs 为主元素，x s 为入基变量 3、 用入基变量替换出基变量，得到一个新的基。用新的基再检查是否所有b i ≥0，如果是，找到了问题的最优解，否则，回到第一步再重复计算。 【例】求解线性规划问题 min ω=12y 1+16y 2+15y 3 s.t. ?????≥≥+≥+0,,3522423 213121y y y y y y y 【解】 转化为目标函数最大化，并化为标准形 min （-ω）=-12y 1-16y 2-15y 3+0y 4+0y 5 s.t. ?????≥=-+=-+)5,4,3,2,1(0352242531421j y y y y y y y 但这时没有单位矩阵，需要用大M 法或两阶段法求解，较麻烦。 但这时可用对偶单纯形法求解。 在约束条件的两边乘-1，得 min （-ω）=-12y 1-16y 2-15y 3+0y 4+0y 5 s.t. ?????≥-=---=--)5,4,3,2,1(0352242531421j y y y y y y y 有单位矩阵，
运筹学对偶理论与灵敏度分析作业
作业： 问题1：书本P71第7题 1、设x1 、x2 、x3分别为A产量，B产量，C产量 目标函数：Z=4 x1 +x2 +5x3 约束条件： +3x2 + 5x3<=45 6x 3x1 +4x2 +5x3<=30 x1 、x2 、x3>0 2、A的利润在3~6之间，最优计划不变。 3、设x1 、x2 、x3、x4 分别为A产量，B产量，C产量，D产量 目标函数：Z=4 x1 +x2 +5x3+2.5x4 约束条件： +3x2 + 5x3+3x4<=45 6x 3x1 +4x2 +5x3+2x4<=30 x1 、x2 、x3、x4>0 利润从35增加到37.5，值得生产。 4、见Excel 问题2：某厂拟生产甲、乙、丙三种产品，都需要在A，B两种设备上加工，有关数据如下表所示： （1）如何充分发挥设备能力，使产品总产值最大？ 设x1 、x2 、x3分别为甲产量，乙产量，丙产量 目标函数：Z=3 x1 +2x2 +x3 约束条件： +2x2 + 1x3<=400 x 2x1 +1x2 +2x3<=500 x1 、x2 、x3>0 最优解 甲产量乙产量丙产量 200 100 0 总产值最大800 （2） 200个甲产品在A设备上加工1小时，B设备上加工2小时。
100个乙产品在A设备上加工2小时，B设备上加工1小时。 丙产品不生产。 使得总产值最大为80万。 （3）试分别确定甲产品单位产值、B设备供量各自的影响范围。 甲产品的范围是198~201。 B设备供量的范围是200~800。 （4）若每月能以39万元租金租用外厂B设备300台时，则应否租用？为什么？ 原来的产值为80万，租用外厂之后的产值为120万，则产值增加了40万，而租金要39万，则增加的产值足够支付租金，最后剩余1万，说明能租用。 （5）若每月A设备提供量减少200台时，B设备供量增加100台时，试问最优解与影子价格有何变化？ 最优解是600 影子价格：A设备从0.333~3 ；B设备从1.333~0
线性规划的对偶理论与灵敏度分析习题
线性规划的对偶理论与灵敏度分析习题
1 第二章 线性规划的对偶理论与灵敏度分析习题 1. 写出下列线性规划问题的对偶问题。 (1) ?????? ?≥=++≤++≥++++=无约束 3213213213213 21,0,5343322 43422min x x x x x x x x x x x x x x x z (2) ?????? ?≤≥≤++≥-+-=++++=0 ,0,8374355 22365max 321321321321321x x x x x x x x x x x x x x x z 无约束 (3) ????? ??????==≥=====∑∑∑∑====),,1;,,1(0),,1(),,1(min 1 111 n j m i x n j b x m i a x x c z ij m i j ij n j i ij m i ij n j ij
2 (4) ????? ??????=≥++==<=<=∑∑∑===) ,,,,1(0),,2,1(),,1(min 1 211 111 n n j x m m m i b x a m m i b x a x c z j n j i j ij n j i j ij n j j j 无约束 2. 判断下列说法是否正确，为什么? (1)如果线性规划的原问题存在可行 解，则其对偶问题也一定存在可行解； (2)如果线性规划的对偶问题无可行 解，则原问题也一定无可行解； ( 3)在互为对偶的一对原问题与对偶 问题中，不管原问题是求极大或极小，原问题可行解的目标函数值一定不超过其对偶问题可行解的目标函数值； (4)任何线性规划问题具有唯一的对 偶问题。 3. 已知某求极大化线性规划问题用单纯形法求解时的初始单纯形表及最终单纯形表如下表所示，求表中各括弧内未知数的值。 3 2 2 0 0 0
用对偶单纯形法求解线性规划问题
例4-7用对偶单纯形法求解线性规划问题. Min z =5x1+3x 2 ≥6 s.t.-2 x1 + 3x 2 ≥4 3 x1 - 6 x 2 Xj≥0（j=1,2） 解：将问题转化为 Max z = -5 x1 - 3 x 2 + x3 = -6 s.t. 2 x1 - 3x 2 -3 x1 + 6 x + x4≥-4 2 Xj≥0（j=1,2，3,4） 其中，x3 ，x4为松弛变量，可以作为初始基变量，单纯形表见表4-17. 在表4-17中,b=-16<0,而y≥0,故该问题无可行解. 注意: 对偶单纯形法仍是求解原问题,它是适用于当原问题无可行基,且所有检验数均为负的情况. 若原问题既无可行基,而检验数中又有小于0的情况.只能用人工变量法求解. 在计算机求解时,只有人工变量法,没有对偶单纯形法. 3.对偶问题的最优解 由对偶理论可知,在原问题和对偶问题的最优解之间存在着密切的关系,可以根据这些关系,从求解原问题的最优单纯形表中,得到对偶问题的最优解. (1)设原问题(p)为 Min z=CX
s.t. ?? ?≥=0 X b AX 则标准型(LP)为 Max z=CX s.t. ? ??≥=0X b AX 其对偶线性规划（D ）为 Max z=b T Y s.t. ? ? ?≥=0X b AX 用对偶单纯形法求解（LP ），得最优基B 和最优单纯形表T （B ）。对于（LP ）来说，当j=n+i 时，有Pj=-e i ，c j =0 从而，在最优单纯形表T （B ）中，对于检验数，有 （σn+1，σn+2…σn+m ）=（c n+1，c n+2…，c n+m ）-C B B -1（Pn +1,Pn+2…,Pn+m ）=- C B B -1 (-I) 于是，Y*=（σn+1，σn+2…σn+m ）T 。可见，在（LP ）的最优单纯形表中，剩余变量对应的检验数就是对偶问题的最优解。 同时，在最优单纯形表T （B ）中，由于剩余变量对应的系数 所以 B -1 =（-y n+1，-y n+2…-y n+m ） 例4-8 求下列线性规划问题的对偶问题的最优解。 Min z =6x 1+8x 2 s.t. x 1 + 2x 2≥20 3 x 1 + 2x 2≥50 Xj ≥0（j=1,2） 解： 将问题转化为 Max z =-6x 1-8x 2 s.t. -x 1 — 2x 2 + x 3=20 -3 x 1 - 2x 2+ x 4 =50 Xj ≥0（j=1,2，3,4）
(运筹学大作业)单纯性法与对偶单纯性法比较
对偶单纯形法与单纯形法对比分析 1．教学目标： 通过对偶单纯形法的学习，加深对对偶问题的理解 2．教学内容： 1）对偶单纯形法的思想来源 2）对偶单纯形法原理 3．教学进程： 1）讲述对偶单纯形法解法的来源： 所谓对偶单纯形法，就是将单纯形法应用于对偶问题的计算，该方法是由美国数学家C.莱姆基于1954年提出的，它并不是求解对偶问题解的方法，而是利用对偶理论求解原问题的解的方法。 2）为什么要引入对偶单纯形法： 单纯形法是解线性规划的主要方法，对偶单纯形法则提高了求解线性规划问题的效率，因为它具有以下优点： （1）初始基解可以是非可行解, 当检验数都为负值时, 就可以进行基的变换, 不需加入人工变量, 从而简化计算； （2）对于变量多于约束条件的线性规划问题,用对偶单纯形法可以减少计算量,在灵敏度分析及求解整数规划的割平面法中,有时适宜用对偶规划单纯形法。 由对偶问题的基本性质可以知道，线性规划的原问题及其对偶问题之间存在一组互补的基解，其中原问题的松弛变量对应对偶问题的变量，对偶问题的剩余变量对应原问题的变量；这些互相对应的变量如果在一个问题的解中是基变量，则在另一问题的解中是非基变量；将这对互补的基解分别代入原问题和对偶问题的目标函数有z=w 。据此可知，用单纯形法求解线性规划问题时，在得到原问题的一个基可行解的同时，在检验数行得到对偶问题的一个基解，并且将两个解分别代入各自的目标函数时其值相等。 我们知道，单纯形法计算的基本思路是保持原问题为可行解（这时一般其对偶问题为非可行解）的基础上，通过迭代，增大目标函数，当其对偶问题的解也为可行解时，就达到了目标函数的最优值。那么对偶单纯形法的基本思想可以理解为保持对偶问题为可行解（这时一般原问题为非可行解）的基础上，通过迭代，减小目标函数，当原问题也达到可行解时，即达到了目标函数的最优值。其实对偶单纯形法本质上就是单纯形法, 只不过在运用时需要将单纯形表旋转一下而已。 一.单纯形法和对偶单纯性法 单纯形法是求解线性规划的主要方法, 单纯形表则是单纯形法和对偶单纯形法的运算工具。设线性规划问题为 Max ∑==n j j j x c Z 1
第一章线性规划及单纯形法习题
第一章 线性规划及单纯形法习题 1.用图解法求解下列线性规划问题,并指出问题具有唯一最优解、无穷最优解还是无可行解。 （1）??? ??≥≥+≥++=0,42266432min 2121212 1x x x x x x x x z (2) ??? ??≥≥+≥++=0,12432 223max 2 121212 1x x x x x x x x (3) ?? ? ??≤≤≤≤≤++=8 3105120 106max 21212 1x x x x x x z (4) ??? ??≥≤+-≥-+=0,2322 265max 1 2212121x x x x x x x x z 2.将下列线性规划问题化成标准形式。 (1)????? ? ?≥≥-++-≤+-+-=-+-+-+-=无约束 43214321432143214321,0,,2321422 245243min x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x z (2) ????? ? ?≥≤≥-++-≤-+-=++-+-=无约束 32143213213213 21,0,023*******min x x x x x x x x x x x x x x x x z 3.对下列线性规划问题找出所有基本解，指出哪些是基可行解，并确定最优解。 (1) ??? ?? ? ?=≥=-=+-+=+++++=)6,,1(0231024893631223min 61432143213 21 j x x x x x x x x x x x x x x z j (2) ??? ??=≥=+++=+++++-=)4,,1(0102227 4322325min 432143214321 j x x x x x x x x x x x x x z j 4.分别用图解发法和单纯形法求解下述问题，并对照单纯形表中的各基本可行解对应图解法中可行域的哪一顶点。
图解法和单纯形法求解线性规划问题
图解法和单纯形法求解以下线性规划问题 1.1 图解法解线性规划问题 只含两个变量的线性规划问题，可以通过在平面上作图的方法求解，步骤如下： (1)以变量x1为横坐标轴，x2为纵坐标轴，适当选取单位坐标长度建立平面坐标直 角坐标系。由变量的非负性约束性可知，满足该约束条件的解均在第一象限内。 (2)图示约束条件，找出可行域（所有约束条件共同构成的图形）。 (3)画出目标函数等值线，并确定函数增大（或减小）的方向。 (4)可行域中使目标函数达到最优的点即为最优解。 然而，由于图解法不适用于求解大规模的线性规划问题，其实用意义不大。 1.2 单纯形法解线性规划问题 它的理论根据是：线性规划问题的可行域是n维向量空间Rn中的多面凸集，其最优值如果存在必在该凸集的某顶点处达到。顶点所对应的可行解称为基本可行解。 单纯形法的基本思想是：先找出一个基本可行解，对它进行鉴别，看是否是最优解；若不是，则按照一定法则转换到另一改进的基本可行解,再鉴别；若仍不是，则再转换,按此重复进行。因基本可行解的个数有限，故经有限次转换必能得出问题的最优解。如果问题无最优解也可用此法判别。 单纯形法的一般解题步骤可归纳如下：①把线性规划问题的约束方程组表达成典范型方程组，找出基本可行解作为初始基本可行解。②若基本可行解不存在，即约束条件有矛盾，则问题无解。③若基本可行解存在，从初始基本可行解作为起点，根据最优性条件和可行性条件，引入非基变量取代某一基变量，找出目标函数值更优的另一基本可行解。④按步骤3进行迭代,直到对应检验数满足最优性条件（这时目标函数值不能再改善），即得到问题的最优解。⑤若迭代过程中发现问题的目标函数值无界，则终止迭代。 1.3 线性规划问题的标准化 使用单纯形法求解线性规划时，首先要化问题为标准形式
运筹学大作业单纯性法与对偶单纯性法比较
运筹学大作业单纯性法 与对偶单纯性法比较 Pleasure Group Office【T985AB-B866SYT-B182C-BS682T-STT18】
对偶单纯形法与单纯形法对比分析1．教学目标： 通过对偶单纯形法的学习，加深对对偶问题的理解 2．教学内容： 1）对偶单纯形法的思想来源 2）对偶单纯形法原理 3．教学进程： 1）讲述对偶单纯形法解法的来源： 所谓对偶单纯形法，就是将单纯形法应用于对偶问题的计算，该方法是由美国数学家C.莱姆基于1954年提出的，它并不是求解对偶问题解的方法，而是利用对偶理论求解原问题的解的方法。 2）为什么要引入对偶单纯形法： 单纯形法是解线性规划的主要方法，对偶单纯形法则提高了求解线性规划问题的效率，因为它具有以下优点： （1）初始基解可以是非可行解, 当检验数都为负值时, 就可以进行基的变换, 不需加入人工变量, 从而简化计算； （2）对于变量多于约束条件的线性规划问题,用对偶单纯形法可以减少计算量,在灵敏度分析及求解整数规划的割平面法中,有时适宜用对偶规划单纯形法。 由对偶问题的基本性质可以知道，线性规划的原问题及其对偶问题之间存在一组互补的基解，其中原问题的松弛变量对应对偶问题的变量，对偶问题的剩余变量对应原问题的变量；这些互相对应的变量如果在一个问题的解中是基变量，则在另一问题的解中是非基变量；将这对互补的基解分别代入原问题和对偶问题的目标函数有z=w。据此可知，用单纯形法求解线性规划问题时，在得到原问题的一个基可行解的同时，在检验数行得到对偶问题的一个基解，并且将两个解分别代入各自的目标函数时其值相等。 我们知道，单纯形法计算的基本思路是保持原问题为可行解（这时一般其对偶问题为非可行解）的基础上，通过迭代，增大目标函数，当其对偶问题的解也为可行解时，就