2016高考文科数学模拟试卷(全国2)及详解

2016高考文科数学模拟试卷（全国卷2）

一、选择题(本大题共12小题，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．设集合M={x|x>1},P={x|x 2>1}；则下列关系中正确的是（ ）

A ．M=P

B ．P ?M

C ．M ?P

D ．M ∪P=R

2．设复数i z 431-=，i z 322+-=，则复数12z z -在复平面内对应的点位于 （ ）

A.第一象限

B.第二象限

C.第三象限

D.第四象限

3．某工厂甲、乙、丙三个车间生产了同一种产品,数量分别为120件，80件,60件．为了解它们的产品质量是否 存在显著差异,用分层抽样方法抽取了一个容量为n 的样本进行调查,其中从丙车间的产品中抽取了3件,则n ＝( )

A ．9

B ．10

C ．12

D ．13 4．数列{a n }为等差数列，a 7＋a 9＝18，a 4＝5，则a 12＝（ ）

A. 12

B. 13

C. 31

D. 4

5．已知向量m =(a,b)，向量n ⊥m ，且|m |=|n |，则n 的坐标可以为（ ）

A ．(a,b)

B ．(-a,b)

C ．(b,-a)

D ．(-b,-a) 6．某几何体的三视图如图1所示,它的体积为（ ）

A ．72π

B ．48π

C ．30π

D ．24π

7．已知双曲线122=-x y 的离心率为e ，且抛物线y 2=2px 的焦点为（e 2,0），则p 的值为（ ）

A ．－2

B ．－4

C ．2

D ．4

8．已知a ，b 为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，且a ⊥α，b ⊥β，则下列命题中为假命题．．．

的是（ ） A ．若a//b ，则α//β B ．若α⊥β，则a ⊥b C ．若a ，b 相交，则α，β相交 D ．若α，β相交，则a ，b 相交 9．如图所示，程序据图（算法流程图）的输出结果为（ ）

A.

4

3

B.

6

1

C. 1211

D. 2425

10．已知偶函数f(x)在[0，2]上单调递减，若a=f(-1)，b=f(4

1

log 5

.0)，c=f(5.0lg )， 则a ，b ，c 之间的大小关系是（ ） A.a>b>c B.c>a>b C.b>a>c D.c>b>a

11．若函数y ＝sin(ωx ＋φ)(ω＞0)的部分图像如图，则ω＝( )．

A ．5

B ．4

C ．3

D ．2

12．无论m 取任何实数值，方程|x 2-3x+2|=m(x-2

3

)的实根个数都是（ ）

A. 1个

B. 2个

C. 3个

D. 不确定 二、填空题：（本大题共5小题，每小题5分，共20分．）

13．若曲线y=ax 2-lnx 在点(1，a)处的切线平行于x 轴，则a= ．

14．已知变量x 、y 满足约束条件??

?

??≥≤≤-≥+-11103y x y x ，则z=x+y 的最大值是

．

15．等比数列{a n }的前n 项和为S n ,若S 3+3S 2=0,则公比q=_______

16．椭圆C ：22

221x y a b

+=(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，焦距为2c.若直线y ＝3 (x ＋c)与

椭圆C 的一个交点M 满足∠MF 1F 2＝2∠MF 2F 1，则该椭圆的离心率等于__________．

1

三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．在?ABC 中,B=

4

π

，AC=25，cosC=552.(1)求sinA; (2) 记BC 的中点为D,求中线AD 的长.

18．有一个容量为100的样本，数据的分组及各组的频数如下：

[12.5，15.5），6；[15.5，18.5），16；[18.5，21.5），18；[21.5，24.5），22；[24.5，27.5），20； [27.5，30.5），10；[30.5，33.5），8.

⑴列出样本的频率分布表； ⑵画出频率分布直方图；⑶估计数据小于30.5的频率.

19．已知圆C 同时满足三个条件：①与y 轴相切，②在直线y=x 上截得弦长为27，③圆心在直线x －3y=0上，

求圆C 的方程。

20．在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，M 为DD 1的中点，O 为AC 的中点，AB=2． （1）求证：BD 1//平面ACM ；

（2）求证：B 1O ⊥平面ACM ；

（3）求三棱锥O —AB 1M 的体积．

21．已知函数f(x)＝x 2e －

x .

(1)求f(x)的极小值和极大值； (2)当曲线y ＝f(x)的切线l 的斜率为负数时，求l 在x 轴上截距的取值范围．

请考生在第22、23、24题中任选择一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，做答时请写清题号． 22．选修4—1：几何证明选讲

如图，AB 和BC 分别与圆O 相切于点D ，C ，AC 经过圆心O ，且BC ＝2OC. 求证：AC ＝2AD

23．选修4—4：坐标系与参数方程

已知直线C 1：????? x ＝1＋tcosα，y ＝tsinα，(t 为参数)，圆C 2：?

????

x ＝cosθy ＝sinθ，(θ为参数)． (1)当α＝π

3时，求C 1与C 2的交点坐标；(2)过坐标原点O 作C 1的垂线，垂足为A ，P 为OA 的中点．

当α变化时，求P

点轨迹的参数方程，并指出它是什么曲线．

24．选修4—5：不等式选讲

已知f(x)=|x-3|+|x-4|。 （1）解不等式f(x) ≤2；

（2）若存在实数x 满足f(x) ≤ax -1，试求实数a 的取值范围。

答案： 一、选择题 1．答案：C 2．答案：B

3．解析：抽样比为1：20，所以甲抽取6件，乙抽取4件，丙抽取3件，∴n ＝13，故选D ． 4．答案：B 5．答案：C

6．该几何体下部分是半径为3,高为4的圆锥,体积为V=12π,上部分是半球,体积为V=18π,所以体积为30π.选C. 7．答案：D 8．答案：D

9．解析：21210,0,2=+===s s n ；434121,21,4=+===s s n ,12

11

6143,43,6=

+===s s n ；1211,8==s n ，选择C 10．答案：B

11．解析：∵由题中图象可知x 0＋4π－x 0＝2T .∴T=2

π

.. ∴ω＝4.故选B ． 12．答案：B

二、填空题 13．答案:

2

1

14．答案：5

15．解析:当q=1时,S 3=3a 1,S 2=2a 1,由S 3+3S 2=0得,∴a 1=0与{a n }是等比数列矛盾,故q≠1,

故

01)

1(31)1(2131=--+--q

q a q q a ,得q=-2. 16．解析：∵由y ＝3 (x ＋c)知直线的倾斜角为60°，∴∠MF 1F 2＝60°，∠MF 2F 1＝30°. ∴∠F 1MF 2＝90°.∴MF 1＝c ，MF 2＝3c.又MF 1＋MF 2＝2a ，∴c ＋3c ＝2a ，即15．e=3-1

三、解答题 17．解: (1)由cosC=

5

52, C 是三角形内角，得sinC=55

∴sinA=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC=

10

103 (2) 在?ACD 中,由正弦定理，BC:sinA=AC:sinB ，得BC=6

AC=25，CD=BC/2=6, cosC=

5

5

2,由余弦定理得:AD 2=AC 2+CD 2-2ACCDcosC=5 18．解：（1

(2)频率分布直方图如下:

(3)数据大于等于30.5的频率是0.08,∴小于30.5的频率是0.92, ∴数据小于30.5的概率约为0.9212分

19．解：设所求的圆C 与直线y=x 交于AB

∵圆心C 在直线x －3y=0上， ∴设圆心为C （3a ，a ） ……2分 ∵圆与y 轴相切， ∴R=3|a|

而圆心C 到直线x －y=0的距离

||22

|

3|||a a a CD =-=

……6分

又∵7||,72||==BD AB

在Rt △CBD 中，R 2－|CD|2=（7）2 …8分 ∴33,1,1,729222±=±===-a a a a a ……10分

∴圆心的坐标C 分别为（3，1）和（－3，－1）……12分

故所求圆的方程为 9)1()3(9)1()3(2222=+++=-+-y x y x 或……14分 20．（1）证明：连结BD ，则BD 与AC 的交点为O ，

∵AC ，BD 为正方形的对角线， 故 O 为BD 中点， 连结MO ， ∵O ，M 分别为DB ，DD 1的中点， ∴OM//BD 1，

OM ?平面ACM ，

∴BD 1//平面ACM …… 4分

（2）∵AC ⊥BD ，DD 1⊥平面ABCD ，且AC ?平面ABCD ，

∴AC ⊥DD 1，且BD∩DD 1=D ， ∴AC ⊥平面BDD 1B 1 OB 1?平面BDD 1B 1， ∴B 1O ⊥AC ，

连结B 1M ，在?B 1MO 中，MO=3，B 1O=6，B 1M=3， ∴B 1M 2=MO 2+B 1O 2， ∴B 1O ⊥MO B 1O ⊥AMC

法二：2

1

1=

=BB DO BO MD , ∠ODM=∠B 1BO=Rt ∠, ∴ΔMDO ∽ΔOBB 1 , ∴∠MOD=∠OB 1B,

∠MOD+∠B 1OB=900， B 1O ⊥OM

（3）三棱锥O —AB 1M 的体积:V O-AB1M =V B1-AOM =3

1

OB 1×S ?AOM =1

可证AO ⊥平面OB 1M ，则V O-AB1M =V A-OB1M =3

1

AO×S ?OB1M =1

21．解：(1)f(x)的定义域为(－∞，＋∞)，f′(x)＝－e －

x x(x －2)……①

当x ∈(－∞，0)或x ∈(2，＋∞)时，f′(x)＜0；当x ∈(0,2)时，f′(x)＞0. 所以f(x)在(－∞，0)，(2，＋∞)单调递减，在(0,2)单调递增． 故当x ＝0时，f(x)取得极小值，极小值为f(0)＝0；

当x ＝2时，f(x)取得极大值，极大值为f(2)＝4e －

2. (2)设切点为(t ，f(t))，则l 的方程为y ＝f′(t)(x －t)＋f(t)．

所以l 在x 轴上的截距为m(t)＝32

2

22)()(+-+-=-+='-

t t t t t t f t f t . 由已知和①得t ∈(－∞，0)∪(2，＋∞)．

令h(x)＝x

x 2

+ (x≠0)，则

当x ∈(0，＋∞)时，h(x)的取值范围为[22，＋∞)； 当x ∈(－∞，－2)时，h(x)的取值范围是(－∞，－3)．

所以当t ∈(－∞，0)∪(2，＋∞)时，m(t)的取值范围是(－∞，0)∪[22+3，＋∞)． 综上，l 在x 轴上的截距的取值范围是(－∞，0)∪[22+3，＋∞)．

22．证明：连结OD.因为AB 和BC 分别与圆O 相切于点D ，C ，

所以∠ADO ＝∠ACB ＝90°. 又因为∠A ＝∠A ，

所以Rt △ADO ∽Rt △ACB. 所以BC:OD=AC:AD. 又BC ＝2OC ＝2OD ， 故AC ＝2AD.

23．解：（1）当α＝π

3

时，C 1的普通方程为y=3 (x-1)……①，C 2的普通方程为x 2+y 2=1……②.

联立方程组①②解得C 1与C 2的交点为（1,0），(

21,2

3

-) （2）C 1的普通方程为xsinα-ycosα-sinα=0. A 点坐标为(sin 2α,-cosαsinα)，

故当α变化时，P 点轨迹的参数方程为???

????

-==αααcos sin 21sin 212y x （α为参数）

P 点轨迹的普通方程为(x-41)2+y 2=16

1

故P 点是圆心为(

41,0)，半径为4

1

的圆 24．解：（1）f(x)=|x-3|+|x-4|=??

?

??≥-<<≤-4

,7243,13

,27x x x x x 函数y=f(x)的图象与y=2交点的横坐标为25和29，

所以不等式的解集为[

25,2

9] （2）函数y ＝ax －1的图象是过点(0，－1)的直线．

当且仅当函数y ＝f (x)与直线y ＝ax －1有公共点时，存在题设的x ．

由图象知，a 取值范围为(－∞，－2)∪[ 1

2

，＋∞)．