求值域的10种方法
求函数值域的十种方法
一．直接法（观察法）：对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到。
例1．求函数1y =
的值域。
【解析】0≥11≥，∴函数1y =的值域为[1,)+∞。
【练习】
1．求下列函数的值域：
①32(11)y x x =+-≤≤； ②x x f -+=42)(；
③1
+=
x x
y ；
○
4()112
--=x y ，{}2,1,0,1-∈x 。 【参考答案】①[1,5]-；②[2,)+∞；③(,1)
(1,)-∞+∞；○4{1,0,3}-。
二．配方法：适用于二次函数及能通过换元法等转化为二次函数的题型。形如
2()()()F x af x bf x c =++的函数的值域问题，均可使用配方法。
…
例2．求函数2
42y x x =-++（[1,1]x ∈-）的值域。
【解析】22
42(2)6y x x x =-++=--+。
∵11x -≤≤，∴321x -≤-≤-，∴2
1(2)9x ≤-≤，∴23(2)65x -≤--+≤，∴35y -≤≤。 ∴函数2
42y x x =-++（[1,1]x ∈-）的值域为[3,5]-。
例3．求函数][)4,0(422∈+--=x x x y 的值域。
【解析】本题中含有二次函数可利用配方法求解，为便于计算不妨设：
)0)((4)(2≥+-=x f x x x f 配方得：][)4,0(4)2()(2∈+--=x x x f 利用二次函数的相关知识得
][4,0)(∈x f ，从而得出：]0,2y ?∈?。
说明：在求解值域(最值)时，遇到分式、根式、对数式等类型时要注意函数本身定义域的限制，本题为：0)(≥x f 。
例4．若,42=+y x 0,0>>y x ，试求y x lg lg +的最大值。
【分析与解】本题可看成第一象限内动点(,)P x y 在直线42=+y x 上滑动时函数xy y x lg lg lg =+的最大值。利用两点(4,0)，(0,2)确定一条直线，作出图象易得：
2(0,4),(0,2),lg lg lg lg[(42)]lg[2(1)2]x y x y xy y y y ∈∈+==-=--+而，y=1时，y x lg lg +取最大
值2lg 。
（
【练习】
2．求下列函数的最大值、最小值与值域：
①142+-=x x y ；
②]4,3[,142∈+-=x x x y ； ③]1,0[,142∈+-=x x x y ；
④]5,0[,142
∈+-=x x x y ；○5x
x x y 4
22++=，]4,41[∈x ；○6y =。
【参考答案】①[3,)-+∞；②[2,1]-；③[2,1]-；④[3,6]-；○573
[6,
]4
；○6[0,2] 三．反函数法：反函数的定义域就是原函数的值域，利用反函数与原函数的关系，求原函数的
值域。
适用类型：分子、分母只含有一次项的函数(即有理分式一次型)，也可用于其它易反解出自变量的函数类型。
例5．求函数1
2+=
x x
y 的值域。 分析与解：由于本题中分子、分母均只含有自变量的一次型，易反解出x ，从而便于求出反函数。
1
2+=
x x
y 反解得y y x -=2，故函数的值域为(,2)(2,)-∞+∞。
【练习】
）
1．求函数23
32
x y x +=
-的值域。
2．求函数ax b y cx d +=
+，0,d c x c ?
?≠≠- ??
?的值域。
【参考答案】1．2
2(,)
(,)3
3-∞+∞；(,)(,)a a
c c
-∞+∞。
四．分离变量法：
适用类型1：分子、分母是一次函数的有理函数，可用分离常数法，此类问题一般也可以利用反函数法。
例6：求函数125
x
y x -=
+的值域。 解：∵177(25)112222525225x x y x x x -++
-===-++++， ∵7
2025
x ≠+，∴12y ≠-，∴函数125x y x -=+的值域为1
{|}2y y ≠-。
适用类型2：分式且分子、分母中有相似的项，通过该方法可将原函数转化为为)(x f k y ±=(为k 常数)的形式。
例7：求函数1
22+--=x x x
x y 的值域。
分析与解：观察分子、分母中均含有x x -2
项，可利用分离变量法；则有2222
11
11
x x x x y x x x x --+-==-+-+ 21
113()24
x =-
-+
。 （
不妨令：)0)(()(1)(,43)2
1
()(2
≠=+
-=x f x f x g x x f 从而)∞+???∈,4
3)(x f 。 注意：在本题中若出现应排除0)(=x f ，因为)(x f 作为分母.所以4()0,3g x ??∈ ???
故)1,31
???-∈y 。 另解：观察知道本题中分子较为简单，可令22211
1x x t x x x x -+==+--，求出t 的值域，进而可得到y 的
值域。 【练习】
1．求函数1
3
2222++++=x x x x y 的值域。
【参考答案】1．10(2,
]3
五、换元法：对于解析式中含有根式或者函数解析式较复杂的这类函数，可以考虑通过换元的方
法将原函数转化为简单的熟悉的基本函数。其题型特征是函数解析式含有根式或三角函数公式模型，当根式里是一次式时，用代数换元；当根式里是二次式时，用三角换元。
例8：求函数2y x =
解：令t =0t ≥），则212
t x -=，∴2
2151()24y t t t =-++=--+。
∵当12t =
，即38x =时，max 54y =，无最小值。∴函数2y x =5
(,]4
-∞。
例9：求函数2y x =++
]
解：因21(1)0x -+≥，即2(1)1x +≤。
故可令1cos ,[0,]x ββπ+=∈，∴1cos sin cos 11cos y 2+β+β=β-++β=1)4
sin(2+π+β=。
∵ππ
βπ
πβ45
44
,
0≤+
≤≤≤，sin()124
πβ∴-≤+≤，0)114πβ∴≤++≤故所求函数的值域为]21,0[+。
例10.求函数3
4221
x x y x x -=
++的值域。 解：原函数可变形为：2
22121211x x y x x -=-??++ 可令X=βtan ，则有2
22221sin 2,cos 11x x x x
ββ-==++ 11
sin 2cos 2sin 424
y βββ∴=-?=-
当28k ππβ=
-时，max 14y = 当28k ππβ=
+时，min 14
y =- 而此时βtan 有意义。
·
故所求函数的值域为??
????-
41,41
例11. 求函数(sin 1)(cos 1)y x x =++，,122x ππ??∈-?
???
的值域。
解：(sin 1)(cos 1)y x x =++
sin cos sin cos 1x x x x =+++
令sin cos x x t +=，则2
1sin cos (1)2
x x t =
- 2211
(1)1(1)22
y t t t =-++=+
由sin cos )4
t x x x π
=+=+
且,122x ππ??∈-?
???
可得：
2
t ≤≤
∴当
t =
时，max 32y =
t =34y =
故所求函数的值域为33
,4
22?+
+??。 ;
例12. 求函数4y x =++
解：由250x -≥，可得||x ≤
故可令,[0,]x ββπ=
∈
4)44
y π
βββ=++=++
∵0βπ≤≤
54
4
4
π
π
πβ∴
≤+
≤
当4
πβ=
时，
max 4y =
当βπ=时，min
4y =
故所求函数的值域为：[44-+
六、判别式法：把函数转化成关于x 的二次方程(,)0F x y =；通过方程有实数根，判别式
0?≥，从而求得原函数的值域，形如2111
2222
a x
b x
c y a x b x c ++=
++（1a 、2a 不同时为零）的函数的值域，常用此方法求解。
例13：求函数223
1
x x y x x -+=-+的值域。
【
解：由2231
x x y x x -+=-+变形得2
(1)(1)30y x y x y ---+-=，
当1y =时，此方程无解；
当1y ≠时，∵x R ∈，∴2
(1)4(1)(3)0y y y ?=----≥，
解得1113y ≤≤
，又1y ≠，∴1113
y <≤ ∴函数223
1
x x y x x -+=-+的值域为11{|1}3y y <≤
七、函数的单调性法：确定函数在定义域（或某个定义域的子集）上的单调性，求出函数
的值域。
例14
：求函数y x =
解：∵当x 增大时，12x -随x
的增大而减少，x 的增大而增大，
∴函数y x =1(,]2
-∞上是增函数。
∴1122
y ≤
-=，
∴函数y x =1
(,]2
-∞。
|
例15.
求函数y =
解：原函数可化为：1
x 1x 2y -++=
令1,121-=+=x y x y ，显然21y ,y 在],1[+∞上为无上界的增函数
所以21y y y +=在],1[+∞上也为无上界的增函数
所以当x=1时，21y y y +=有最小值2，原函数有最大值22
2=
显然0y >，故原函数的值域为]2,0(
适用类型2：用于求复合函数的值域或最值。（原理：同增异减）
例16：求函数
)4(log 2
2
1x x y -=的值域。 分析与解：由于函数本身是由一个对数函数（外层函数）和二次函数（内层函数）复合而成，故可令：
2()4(()0)t x x x t x =-+≥配方得：2()(2)4()0,4)t x x t x =--+∈所以（由复合函数的单调性（同增异减）
知：),2[+∞-∈y 。
八、利用有界性：一般用于三角函数型，即利用]1,1[cos ],1,1[sin -∈-∈x x 等。
例17：求函数cos sin 3
x y x =
-的值域。
|
解：由原函数式可得：sin cos 3y x x y -=，可化为：
()3x x y β+=
即
sin ()x x β+=
∵x R ∈
∴sin ()[1,1]x x β+∈- 即
11-≤
≤
解得：44
y -
≤≤
故函数的值域为???
?
注：该题还可以使用数形结合法。cos cos 0sin
3sin 3
x x y x x -==--，利用直线的斜率解题。
例18：求函数
12
12
x
x y
-
=
+
的值域。
解：由
12
12
x
x
y
-
=
+
解得
1
2
1
x
y
y
-
=
+
，
?
∵20
x>，∴
1
1
y
y
-
>
+
，∴11
y
-<<
∴函数
12
12
x
x
y
-
=
+
的值域为(1,1)
y∈-。
九、图像法（数形结合法）：其题型是函数解析式具有明显的某种几何意义，如两点的距离公式直线斜率等等，这类题目若运用数形结合法，往往会更加简单，一目了然，赏心悦目。
例19：求函数|3||5|
y x x
=++-的值域。
解：∵
22
|3||5|8
22
x
y x x
x
-+
?
?
=++-=?
?-
?
(3)
(35)
(5)
x
x
x
<-
-≤<
≥
，
∴|3||5|
y x x
=++-的图像如图所示，
由图像知：函数|3||5|
y x x
=++-的值域为[8,)
+∞
例20. 求函数22
(2)(8)
y x x
=-++的值域。
解：原函数可化简得：|2||8|
y x x
=-++
上式可以看成数轴上点P（x）到定点A（2），(8)
B-间的距离之和。
、
由上图可知，当点P在线段AB上时，|2||8|||10
y x x AB
=-++==
当点P在线段AB的延长线或反向延长线上时，|2||8|||10
y x x AB
=-++>=
故所求函数的值域为：[10,]
+∞
例21. 求函数22
61345
y x x x x
=-+++的值域。
8
5
-3o
y
x
解：原函数可变形为：
2222(3)(02)(2)(01)y x x =-+-++++
上式可看成x 轴上的点(,0)P x 到两定点(3,2),(2,1)A B --的距离之和， 由图可知当点P 为线段与x 轴的交点时，22min
||(32)(21)43y AB ==+++=，
故所求函数的值域为[43,]+∞
.
例22. 求函数2261345y x x x x =
-+-++的值域。
解：将函数变形为：2222(3)(02)(2)(01)y x x =-+--++-
上式可看成定点A （3，2）到点P （x ，0）的距离与定点)1,2(B -到点)0,x (P 的距离之差。 即：||||y AP BP =-
由图可知：（1）当点P 在x 轴上且不是直线AB 与x 轴的交点时，如点'P ，则构成'ABP ?，根据三角形两边之差小于第三边，有22||'||'||||(32)(21)26AP BP AB -<=++-=
即：2626y -<<
（2）当点P 恰好为直线AB 与x 轴的交点时，有||||||||26AP BP AB -==
综上所述，可知函数的值域为：(26,26]-
例23、：求函数x
x
y cos 2sin 3--=
的值域.
分析与解：看到该函数的形式，我们可联想到直线中已知两点求直线的斜率的公式1
21
2x x y y k --=
，将原
函数视为定点(2，3)到动点)sin ,(cos x x 的斜率，又知动点)sin ,(cos x x 满足单位圆的方程，从而问题就转化为求点（2，3）到单位圆连线的斜率问题，作出图形观察易得的最值在直线和圆上点的连线和圆相切时取得，从而解得：
—
]3
326,3326[
+-∈y
点评：本题从函数本身的形式入手，引入直线的斜率，结合图形，从而使问题得到巧解。 例24．求函数x x y -++=11的值域。
分析与解答：令x u +=1，x v -=1，则0,0≥≥v u ，222=+v u ，y v u =+，
原问题转化为 ：当直线y v u =+与圆222=+v u 在直角坐标系uov 的第一象限有公共点时，求直线的截距的取值范围。
由图1知：当y v u =+经过点)2,0(时，2m in =y ；
当直线与圆相切时，()
2222
max ==
==OC OD y 。
所以：值域为22≤≤y
十：不等式法：利用基本不等式a b a b c +≥++≥(,,)a b c R +∈，求函数的最
值，其题型特征解析式是和式时要求积为定值，解析式是积时要求和为定值，不过有时需要用到拆项、添
项和两边平方等技巧。 \
例25. 求函数22
11(sin )(cos )4sin cos y x x x x
=+++-的值域。
解：原函数变形为：
2222222211(sin cos )sin cos 1sec 3tan cot 35
y x x x x
ces x x x x =+++
=++=++≥+=
当且仅当tan cot x x = 即当4
x k ππ=±
时
()k z ∈，等号成立
故原函数的值域为：[5,)+∞
例26. 求函数2sin sin 2y x x =的值域。 解：4sin sin cos y x x x =
24sin cos x x =
42222222316sin cos 8sin sin (22sin )8[(sin sin 22sin )/3]6427
y x x x x x x x x ==-≤++-= 当且仅当22sin 22sin x x =-，即当22sin 3
x =
时，等号成立。 ^
由26427y ≤
可得：99
y -≤≤
故原函数的值域为：????
＊十一、 多种方法综合运用
：
例27.
求函数y =
解：令0)t t =≥，则231x t +=+
（1）当0
t >时，
211
112
t y t t t
==≤++，当且仅当t=1，即1x =-时取等号，所以102
y <≤ （2）当t=0时，y=0。
综上所述，函数的值域为：10,2??????
注：先换元，后用不等式法
例28. 求函数234
24
1212x x x x y x x +-++=++的值域。
解：243
2424121212x x x x y x x x x
-++=+++++ 2
222
111x x x x
??-=+ ?++?? 令tan 2
x β=，则2
2
221cos 1x x β??-= ?+??
2
1
sin 12
x x β=+ 2211
cos sin sin sin 122y ββββ∴=+=-++
2
117sin 416β?
?=--+ ??
?
∴当1sin 4β=
时，max 17
16
y =
当sin 1β=-时，min 2y =- 此时tan
2β都存在，故函数的值域为172,16??-????
注：此题先用换元法，后用配方法，然后再运用sin β的有界性。
总之，在具体求某个函数的值域时，首先要仔细、认真观察其题型特征，然后再选择恰
当的方法，一般优先考虑直接法，函数单调性法和基本不等式法，然后才考虑用其他各种特殊方法。