【名校专用】七年级数学下册课后补习班辅导乘法公式及其拓展应用讲学案苏科版
乘法公式及其拓展应用
【本讲教育信息】
一. 教学内容：
乘法公式及其拓展应用
二. 重、难点：
1. 熟练掌握乘法公式，能灵活利用乘法公式进行整式乘法运算。
2. 理解乘法公式的拓展。
三. 知识要点
1. 乘法公式及其结构特征
（1）平方差公式：（a+b）（a－b）＝a2－b2；
结构特征：公式的左边是两个数的和与这两个数的差的积，而右边是这两个数的平方差.
（2）完全平方公式：（a±b）2=a2±2ab+b2.
结构特征：公式的左边是两个数的和（或差）的平方，而右边是这两个数的平方和加上（或减去）这两个数的积的2倍.
[说明]：
①公式可推广：（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc. 即三个数的和的平方，等于各个数的平方和加上每两个数的积的2倍。
②如果一个多项式能化成另一个多项式的平方，就把这个多项式叫做完全平方式。如，a2±2ab+b2=（a±b）2；a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc=（a+b+c）2，则a2±2ab+b2和a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc就叫做完全平方式。
2. 注意弄清乘法公式中的字母含义
公式中的字母a、b可以是具体的数，也可以是单项式、多项式，只要符合公式的结构特征，就可以利用公式。例如：
（2m+5n）（2m－5n）=（2m）2－（5n）2=4m2－25n2.
（4x+3y）2=（4x）2+2·4x·3y+（3y）2=16x2+24xy+9y2.
3. 注意运用公式容易出现的错误
在学习中不少同学经常出现如下错误：
（1）（a+b）（a+b）=a2+b2；
（2）（a+b）2＝a2+b2；（a－b）2＝a2－b2.
错误（1）的原因是模仿平方差公式所致，切记只有平方差公式，没有平方和公式；错误（2）的原因是与积的平方（ab）2=a2b2相混淆。对于这些错误，同学们只要利用多项式的乘法计算一下，即可得到验证。
4. 注意掌握公式的形式变形
（1）平方差公式的常见变形：
1）位置变化：（a+b）（－b+a）＝_________；
2）符号变化：（－a－b）（a－b）=_________；
3）系数变化：（3a+2b）（3a－2b）＝_________；
4）指数变化：（a3+b2）（a3－b2）＝_________；
5）项数变化：（a+2b－c）（a－2b+c）=_________；
6）连用变化：（a+b）（a－b）（a2+b2）=_________.
（2）完全平方公式的常见变形：
1）a2+b2=（a+b）2－2ab=（a－b）2+2ab；
2）（a+b）2+（a－b）2=2（a2+b2）；
3）（a+b）2－（a－b）2=4ab.
☆☆5. 乘法公式——立方差、立方和公式
a3+b3=（a+b）（a2－ab +b2）
a3－b3=（a－b）（a2+ab +b2）
【典型例题】
一. 变形后乘法公式
例1 .计算：（x2－2x）（x2－2x－3）
分析：两个因式中都含有x2－2x，可以把它看成一个整体使计算较为简便。
解：原式=（x2－2x）2－3（x2－2x）=x4－4x3+4x2－3x2+6x=x4－4x3+x2+6x
例2. 计算
分析：表面看本题不能直接用公式计算，但注意到，便可用平方差公式计算。
解：原式
例3. 计算
分析：本题显然不符合立方和公式的特征，可考虑将因式中的常数项5拆成，使其符合立方和公式的形式后进行运算。
解：原式
二. 合理选用乘法公式
例4. 计算：（2a－1）2（4a2+2a+1）
解法一：原式=（4a2－4a+1）（4a2+2a+1）
=16a4+8a3+4a2－16a3－8a2－4a+4a2+2a+1=16a4－8a3－2a+1
解法二：原式=（2a－1）（2a－1）（4a2+2a+1）
=（2a－1）（8a3－1）=16a4－8a3－2a+1
说明：由于方法二将（2a－1）与（4a2+2a+1）结合用立方差公式，显然较方法一简单。
例5. 计算
分析：前两个因式与后两个因式可分别运用平方差公式计算它们的积，显然后面的计算较繁杂，而先运用立方和（差）公式计算，然后运用平方差公式，能使问题直观、简单。
解：原式
三. 逆用乘法公式
不仅要掌握乘法公式的正向应用，还要注意掌握公式的逆向应用，乘法公式均可逆用，特别是完全平方公式的逆用就是配方，配方是一种很重要的数学思想方法，它的应用非常广泛。
例6. 计算
分析：若先平方展开后再相乘将不胜其繁，倒不如逆用积的乘方法则，再用乘方公式计算显得简捷。
解：原式
例7.
四. 变用乘法公式 例8. 已知
，求证：。
分析：利用变形式，即可得证。 证明：由得：
所以
得：
即
例9. 计算：（a+b+c ）2
+（a+b －c ）2
+（a －b+c ）2
+（b －a+c ）
2
分析：若将三数和的平方全都展开是很复杂的，如果注意到完全平方公式可变换出（a+b ）2
+（a －b ）2
=2a 2
+2b 2
=2（a 2
+b 2
）以及（a+b ）2
－（a －b ）2
=4ab 等，再结合题目特点，往往能给解题带来很大方便。
解：原式=[（a+b ）+c]2
+[（a+b ）－c]2
+[c+（a －b ）]2
+[c －（a －b ）]2
=2（a+b ）2
+2c 2
+2c 2
+2（a －b ）2
=2[（a+b ）2
+（a －b ）2
]+4c 2
=2（2a 2
+2b 2
）+4c 2
=4a 2
+4b 2
+4c 2
五. 乘法公式的应用
例10. 若 04412
=+++-y y x ，求()2
xy .
解：原式变形为
()0212
=++-y x ，.2,1-==∴y x
()2
xy = [1×（－2）]2= 4.
说明：不仅会正向使用公式，还要学会逆用公式，才能不断提高运用公式的能力。
例11. 项式可以是____________（填上你认为正确的一个即可，不必考虑所有的可能情况）。 分析：许多同学解答时，可能习惯于按课本上的完全平方公式，
只要再动点脑筋，还会得出
4
4
81x
例12. 甲、乙两人共同算一道整式乘法：()()b x a x +?+32，由于甲抄错了第一个多项式中a 的符号，得到的结果为101162-+x x ；由于乙漏抄了第二个多项式中x 的系数，得到的结果为10922+-x x 。（1）你能知道式子中a 、b 的值各是多少？（2）请你计算出这道整式乘法的正确结果。
解：()()b x a x +?-32=()101162362
2
-+=---x x ab x b a x ；
()()()10922222
2+-=+++=+?+x x ab x b a x b x a x ； ∴()1123=--b a ，且92-=+b a ，
解得.2,5-=-=b a
∴()()1019623522
+-=--x x x x
【模拟试题】（答题时间：30分钟）
1. 在下列多项式的乘法中，可以用平方差公式计算的是（ ） A. （x+1）（1+x ）
B. （
21a+b ）（b － 2
1
a ） C. （－a+
b ）（a －b ）
D. （x 2
－y ）（x+y 2
）
2. 下列各式计算正确的是（ ） A. （a+4）（a －4）=a 2
－4 B. （2a+3）（2a －3）=2a 2－9 C. （5ab+1）（5ab －1）=25a 2b 2－1
D. （a+2）（a －4）=a 2
－8
3. （－21x+2y ）（－ 2
1
x －2y ）的计算结果是（ ） A.
4
1x 2－4y 2 B. 4y 2
－ 4
1x 2
C. 4
1x 2+4y 2
D. －
4
1x 2－4y 2
4. （abc+1）（－abc+1）（a 2b 2c 2
+1）的结果是（ ）。
A. a 4b 4c 4
－1 B. 1－a 4b 4c
4
C. －1－a 4b 4c 4
D. 1+a 4b 4c 4
5. 下列各式计算中，结果错误的是（ ） A. a （4a+1）+（2a+b ）（b －2a ）=a+b 2. B.
C. m 2
－（5m+3n ）（5m －3n ）+6（2m －n ）（n+2m ）=3n 2
D.
6. 利用乘法公式进行计算： （1）（x －1）（x+1）（x 2
+1）（x 4
+1） （2）（3x+2）2
－（3x －5）2
（3）（x －2y+1）（x+2y －1）
（4）（2x+3y）2（2x－3y）2
（5）（2x+3）2－2（2x+3）（3x－2）+（3x－2）2
（6）（x2+x+1）（x2－x+1）
7. 化简（m+1）2（m2－m+1）2（m6－m3+1）2
8. 已知，求的值。
9. 计算（x2－3）（x4+2x2+9）
10. 已知：
()0
2
9
62
2=
+
+
+
-y
x
x，求x y的值
【试题答案】 1. B. （
21a+b ）（b －21a ）=（b+ 21a ）（b －2
1a ）。符合平方差公式的特点，故选B 。 2. C. （a+4）（a －4）=a 2
－42
=a 2－16, 故A 错； （2a+3）（2a －3）=（2a ）2
－32
=4a 2
－9，故B 错。 （5ab+1）（5ab －1）=（5ab ）2
－12
=25a 2b 2
－1，故C 正确； （a+2）（a －4）=a 2
+（2－4）a+2×（－4）=a 2
－2a －8，故D 错。 3. A. 原式=（－ 21x ）2－（2y ）2= 4
1x 2－4y 2
4. B
原式=（1+abc ）（1－abc ）（1+a 2b 2c 2
） =[12
－（abc ）2
]（1+a 2b 2c 2
） =（1－a 2b 2c 2
）（1+a 2b 2c 2
） =1－a 4b 4c 4
5. D.
才正确，差一个符号。
6. 解：（1） 原式=（x 2
－1）（x 2
+1）（x 4
+1）=（x 4
－1）（x 4
+1）=x 8
－1
（2）解法1：原式=（9x 2
+12x+4）－（9x 2
－30x+25）=9x 2
+12x+4－9x 2
+30x －25=42x －21 解法2：原式=[（3x+2）+（3x －5）][（3x+2）－（3x －5）]=（6x －3）×7=42x －21. （3）原式=[x －（2y －1）][x+（2y －1）]=x 2
－（2y －1）2
=x 2
－（4y 2
－4y+1）=x 2
－4y 2
+4y －1 （4）原式=[（2x+3y ）（2x －3y ）]2
=（4x 2
－9y 2
）2
=16x 4
－72x 2y 2
+81y 4
（5）原式=[（2x+3） －（3x －2）]2
=（－x+5）2
=x 2
－10x+25
（6）原式=[（x 2
+1）+x][（x 2
+1） －x]=（x 2
+1）2
－x 2
=（x 4
+2x 2
+1） －x 2
=x 4
+x 2
+1 7. m 18
+2m 9
+1 8. 提示：， 解：由已知：
原式
9. x 6－x 4+3x 2－27
提示：x 4+2x 2+27=x 4+3x 2+27－x 2
10. 解：∵()02962
2=+++-y x x
∴()02)3(2
2
=++-y x
∴2,3-==y x ∴8)2(3
-=-=x
y