极坐标与参数方程经典练习题-带详细解答

1．极坐标系与直角坐标系xoy 有相同的长度单位,以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极

轴.已知直线l 的参数方程

为122x t y ?=+????=??(t 为参数),曲线C 的极坐标方程为

2sin 8cos ρθθ=.(Ⅰ)求C 的直角坐标方程；(Ⅱ)设直线l 与曲线C 交于,A B 两点,求弦长||AB .

2.已知直线l 经过点1

(,1)2P ,倾斜角α＝6

π,圆C

的极坐标方程为)4πρθ=-． (1)写出直线l 的参数方程，并把圆C 的方程化为直角坐标方程;

（2)设l 与圆C 相交于两点A 、Ｂ，求点P 到A 、B 两点的距离之积．

3．(本小题满分１0分)选修4-4:坐标系与参数方程

已知直线l 的参数方程是)(242

222是参数t t y t x ???????+==，圆Ｃ的极坐标方程为)4

cos(2πθρ+=． （I)求圆心C 的直角坐标；（Ⅱ)由直线l 上的点向圆C 引切线,求切线长的最小值．

4．已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合,极轴与直角坐标系中x 轴的正半轴重

合,且两坐标系有相同的长度单位，圆C 的参数方程为12cos 12sin x y αα=+??=-+?

（α为参数)，点Q

的极坐标为7)4π。

（1）化圆Ｃ的参数方程为极坐标方程；

(2)直线l 过点Q 且与圆C 交于M,N 两点,求当弦MN 的长度为最小时,直线l 的直角坐标方程。

５.在极坐标系中，点M 坐标是)2,3(π,曲线C 的方程为)4

sin(22π

θρ+=;以极点为坐标原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系,斜率是1-的直线l 经过点M .

(1)写出直线l 的参数方程和曲线C 的直角坐标方程;

(２）求证直线l 和曲线C 相交于两点A 、B ,并求||||MB MA ?的值．

6．(本小题满分10分) 选修4-4坐标系与参数方程

在直角坐标系中,曲线1C 的参数方程为?

??+==ααsin 22cos 2y x ，(α为参数) Ｍ是曲线1C 上的动点，点P 满足OM 2=,（1)求点P 的轨迹方程2C ;(2）在以D 为极点,X 轴的正半轴为极轴的极坐标系中,射线3πθ=

与曲线1C ，2C 交于不同于原点的点A,B 求AB

7.在平面直角坐标系ｘＯy 中，以O 为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线Ｃ的极坐V 标方程为πcos =13ρθ?

?- ???

,M ，N 分别为曲线C 与ｘ轴、ｙ轴的交点． （1)写出曲线Ｃ的直角坐标方程，并求M,N 的极坐标;（2）求直线O Ｍ的极坐标方程． ８.在直角坐标系中，曲线Ｃ1的参数方程为

:2cos x y αα

=???=??(α为参数）,以原点为极点,ｘ轴的正半轴为极轴,并取与直角坐标系相同的长度单位，建立极坐标系，曲线C 2是极坐标方程为：cos ρθ=，

(１)求曲线C ２的直角坐标方程；

(2)若P ，Q 分别是曲线Ｃ1和Ｃ2上的任意一点,求PQ 的最小值.

9．已知圆C 的极坐标方程为2cos ρθ=，直线l

的参数方程为1221122

x x t ?=+????=+??

（t 为参数），点A

的极坐标为4π?

????,设直线l 与圆C 交于点P 、Q .

（1)写出圆C 的直角坐标方程;（2)求AP AQ ?的值.

10.已知动点P ，Q 都在曲线C:2cos 2sin x t y t =??=?

（β为参数)上，对应参数分别为t α=

与2t α=（0＜α＜2π)，M 为P Ｑ的中点。

（Ⅰ)求M 的轨迹的参数方程

(Ⅱ）将M 到坐标原点的距离d 表示为α的函数，并判断Ｍ的轨迹是否过坐标原点。 1１．已知曲线C 的参数方程为3cos 2sin x y θθ

=??=?(θ为参数），在同一平面直角坐标系中,将曲线C 上的点按坐标变换1312x x y y ?'=????'=??得到曲线C '.（１)求曲线C '的普通方程； （2）若点A 在曲线C '上，点B (3,0)，当点A 在曲线C '上运动时,求AB 中点P 的轨迹方程.

12．已知曲线C 的极坐标方程是θρsin 2=，直线l 的参数方程是???

????=+-=t y t x 54253(t 为参数）.

(Ｉ）将曲线C 的极坐标方程转化为直角坐标方程；

（Ⅱ）设直线l 与x 轴的交点是,M N 为曲线C 上一动点，求MN 的最大值．

13．已知曲线C:ρs ｉn(θ+)=,曲线P:ρ２-４ρco ｓθ+3=0,

(1)求曲线C ，P 的直角坐标方程.(2)设曲线C 和曲线P 的交点为A,B,求|A Ｂ|.

１4．极坐标与参数方程： 已知点Ｐ是曲线2cos ,:(3,

x C y θθπθπθ=??≤≤?=??为参数，2)上一点,O 为原点．若直线OP 的倾斜角为3π，求点P 的直角坐标．

１5.在平面直角坐标系xOy 中,曲线1C 的参数方程为???-=-=2

cos 3sin 32θαy x ,（其中α为参数，

R ∈α）,在极坐标系（以坐标原点O 为极点,以x 轴非负半轴为极轴）中，曲线2C 的极坐标方程为cos()4a π

ρθ-=.

(1)把曲线1C 和2C 的方程化为直角坐标方程;

（2）若曲线1C 上恰有三个点到曲线2C 的距离为32，求曲线2C 的直角坐标方程. 1６．已知在平面直角坐标系xOy 中,圆C 的参数方程为33cos 13sin x y θθ

?=+??=+??(θ为参数)，以Ox 为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为cos()06π

ρθ+=.

⑴写出直线l 的直角坐标方程和圆C 的普通方程；⑵求圆C 截直线l 所得的弦长. 1７．圆Ｏ1和Ｏ2的极坐标方程分别为4cos 4sin ρθρθ==-，.

(1）把圆O 1和O 2的极坐标方程化为直角坐标方程;

（2）求经过圆O 1和O ２交点的直线的直角坐标方程.

18.已知曲线C １的参数方程为(ｔ为参数）,以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线Ｃ2的极坐标方程为．

（1）把C 1的参数方程化为极坐标方程;(２）求C 1与Ｃ2交点的极坐标(ρ≥０,0≤θ<2π）．

1９.极坐标系的极点是直角坐标系的原点，极轴为x 轴正半轴。已知曲线1C 的极坐标方程为θρcos 2=，曲线2C 的参数方程为)),0[(sin 3cos 2πααα

α∈???+=+=为字母常数且为参数，其中t t y t x 求曲线1C 的直角坐标方程和曲线2C 的普通方程；

当曲线1C 和曲线2C 没有公共点时，求α的取值范围。

20．以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C 1的极坐标方程为:

=2cos()3πρθ-,曲线Ｃ2的参数方程为:4cos cos 3(0)2sin sin 3x t t y t πααπα?=+??>??=+??

为参数，，点Ｎ的极

坐标为(4)3

π，.（Ⅰ)若M 是曲线Ｃ1上的动点,求Ｍ到定点N 的距离的最小值; （Ⅱ)若曲线C 1与曲线C 2有有两个不同交点，求正数t 的取值范围.

21.以直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐极系,并在两种坐极系中取相同的长度单位.已知直线的极坐标方程为4π

θ=(R ∈ρ),它与曲线

???+=+=α

αsin 22,cos 21y x （α为参数）相交于两点A 和Ｂ,求ＡＢ的长. 22.选修4-４:极坐标系与参数方程

在直角坐标系xoy 中,曲线1C 的参数方程为???==α

αsin cos 3y x ,(α为参数）,以原点O 为

极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为

24)4sin(=+πθρ.

（1）求曲线1C 的普通方程与曲线2C 的直角坐标方程；

（2）设P 为曲线1C 上的动点,求点P 到2C 上点的距离的最小值.

23.已知曲线1C 的极坐标方程为82cos 2=θρ,曲线2C 的极坐标方程为6

π=

θ，曲线1C 、2C 相交于A 、B 两点. (R ρ∈)(Ⅰ）求A 、B 两点的极坐标; （Ⅱ)曲线1C 与直线???

????=+=t y t x 21231（t 为参数)分别相交于N M ,两点,求线段MN 的长度．

２４.在直角坐标系中,以原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建坐标系,已知曲线

()2:sin 2cos 0C a a ρθθ=>，已知过点()2,4P --的直线l 的参数方程为

:2,4x y ?=-+????=-+??直线l 与曲线C 分别交于,M N

（1）写出曲线C 和直线l 的普通方程;(２）若||,||,||PM MN PN 成等比数列,求a 的值.

25．设直线l 过点P (－３,3)，且倾斜角为56

π.

(１)写出直线l 的参数方程;

(2)设此直线与曲线Ｃ：24x cos y sin θθ

???＝，＝ (θ为参数)交于A ,B 两点,求｜ＰA |·|PB |.

26．平面直角坐标系中,直线l

的参数方程是x t y =???=??t 为参数），以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,已知曲线C 的极坐标方程为2222cos sin 2sin 30ρθρθρθ+--=.

(Ⅰ）求直线l 的极坐标方程；(Ⅱ）若直线l 与曲线C 相交于,A B 两点，求||AB ．

2７. 已知直线l

的参数方程为12(12

x t t y ?=????=+??为参数), 曲线C

的极坐标方程为4πρθ?

?=+ ???

,直线l 与曲线C 交于,A B 两点， 与y 轴交于点P ． （１)求曲线C 的直角坐标方程；(2)求11PA PB

+的值． 28.已知曲线1C 的极坐标方程为2cos ρθ=,曲线2C 的参数方程为4,5325x t y t ?=-????=-+??

（t 为参数)．(1）判断1C 与2C 的位置关系；（2)设M 为1C 上的动点，N 为2C 上的动点，求MN 的最小值.

2９.已知曲线1C 的参数方程为431

x t y t =??=-?（t 为参数),当0t =时,曲线1C 上对应的点为P ,以原点O 为极点，以x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C

的极坐标方程为ρ=（1)求证：曲线1C 的极坐标方程为3cos 4sin 40ρθρθ--=;

(2)设曲线1C 与曲线2C 的公共点为,A B ，求PA PB ?的值.

30.已知曲线C 的极坐标方程为4cos ρθ=，以极点为原点，极轴为x 轴正半轴建立平面直角坐标系,设直

线l

的参数方程为512

x y t ?=????=??（t 为参数）.(１)求曲线C 的直角坐标方程与直线l 的

普通方程;（２)设曲线C 与直线l 相交于P Q 、两点，以PQ 为一条边作曲线C 的内接矩形,求该矩形的面积.

３1．已知直线l 过点(0,4)P -,且倾斜角为4

π,圆C 的极坐标方程为4cos ρθ=． (1)求直线l 的参数方程和圆C 的直角坐标方程；

(２）若直线l 和圆C 相交于A 、B ，求||||PA PB ?及弦长||AB 的值．

3２.在平面直角坐标系xOy 中,直线l

的参数方程为112x t y ?=-????=??(t 为参数）.以原点为

极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,圆C

的方程为ρθ=.

（Ⅰ）写出直线l 的普通方程和圆C 的直角坐标方程；

（Ⅱ）若点P 的直角坐标为(1,0)，圆C 与直线l 交于,A B 两点,求||||PA PB +的值. 3３.以直角坐标系的原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴,并在两种坐标系中取相同的

长度单位.已知:直线l 的参数方程为

1122

x t y ?=+????=?? （t 为参数）, 曲线Ｃ的极坐标

方程为(1+sin ２θ)ρ2

＝2.

(1）写出直线l 的普通方程与曲线Ｃ的直角坐标方程; (２）设直线l 与曲线C 相交于A,Ｂ两点,若点P 为（１，0),求221

1AP BP +

３4．在直角坐标系xoy 中，以原点o 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.已

知曲线1C 的极坐标方程为2221sin ρθ

=+，直线l 的极坐标方程

为ρ=.（Ⅰ）写出曲线1C 与直线l 的直角坐标方程;

（Ⅱ)设Q 为曲线1C 上一动点,求Q 点到直线l 距离的最小值.

35．在直角坐标系xOy 中,直线l 的参数方程为

:2cos (sin x t t y t αα

=+???=??为参数，其中0)2π

α<<,椭圆M 的参数方程为2cos (sin x y βββ=??=?为参数),圆C 的标准方程为()2211x y -+=.（１)写出椭圆M 的普通方程;

（2)若直线l 为圆C 的切线，且交椭圆M 于,A B 两点，求弦AB 的长.

36．已知曲线C 的极坐标方程为2cos 4sin ρθθ=-．以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴,建立平面直角坐标系，直线l 的参数方程为1cos 1sin x t y t αα=+??=-+?

(t 为参数）． （１）判断直线l 与曲线C 的位置关系,并说明理由；

(2)若直线l 和曲线C 相交于,A B 两点,

且AB =l 的斜率.

37．在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为为参数）

t t y t x (,

2,22???+-=+=,在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线2C 的方程为θρ2sin 312

+=.

（1）求曲线1C 、2C 的直角坐标方程；

（2）（2)若Ａ、B 分别为曲线1C 、2C 上的任意点,求AB 的最小值．

38.已知在直角坐标系x y O 中,曲线C 的参数方程为22cos 2sin x y θθ=+??=?

(θ为参数），在极坐标系（与直角坐标系x y O 取相同的长度单位，且以原点O 为极点,以x 轴正半轴为极轴）

中,直线l

的方程为sin 4πρθ?

?+= ???

（Ⅰ)求曲线C 在极坐标系中的方程;（Ⅱ)求直线l 被曲线C 截得的弦长.

39.已知曲线C 的极坐标方程是θρcos 4=．以极点为平面直角坐标系的原点,极轴为x 轴的正半轴,建立平面直角坐标系,直线l 的参数方程是t t y t x (sin cos 1???=+=α

α是参数)．

(1)写出曲线C 的参数方程；

（2)若直线l 与曲线C 相交于A 、B 两点,且14=AB ,求直线l 的倾斜角α的值. ４0．在直角坐标系中,以原点O 为极点，x 轴为正半轴为极轴，建立极坐标系. 设曲线?

??==ααsin cos 3y x C ：（α为参数）; 直线4)sin (cos =+θθρ：l ． （Ⅰ)写出曲线C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程;

（Ⅱ）求曲线C 上的点到直线ｌ的最大距离.

41．在直角坐标系xoy 中，直线l

的参数方程为12 (12x t t y ?=+????=-+??

为参数）,曲线C 的参

数方程为2cos (2sin x y θθθ=??=?

为参数）.(Ⅰ）将曲线Ｃ的参数方程转化为普通方程； (Ⅱ)若直线l 与曲线C 相交于A 、B 两点,试求线段A Ｂ的长.

４２.在平面直角坐标系中，以为极点,轴非负半轴为极轴建立坐标系,已知曲

线的极坐标方程为,直线的参数方程为: (为参数）,两曲线相交于两点. 求：（1)写出曲线的直角坐标方程和直线的普通方程;(2）若求的值．

xoy O x C 2sin 4cos ρθθ=

l 2242

x y ?=-+????=-+??t ,M N C l (2,4)P --PM PN +

43在直角坐标系中,直线的参数方程为（为参数)，若以直角坐标

系 的点为极点，为极轴，且长度单位相同，建立极坐标系，得曲线的极坐标方程为.直线与曲线交于两点,求线段A Ｂ的长． xoy

l 122x t y ?=????=+??t xOy O Ox C 2cos()4π

ρθ=-l C ,A B