函数及其表示知识点

函数及其表示知识点

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函数及其表示

一、知识梳理

1．映射的概念

设B A 、是两个集合，如果按照某种对应法则f ，对于集合A 中的任意元素，在集合B 中都有唯一确定的元素与之对应，那么这样的单值对应叫做从A 到B 的映射，通常记为B A f →: ，f 表示对应法则

注意：⑴A 中元素必须都有象且唯一；⑵B 中元素不一定都有原象，但原象不一定唯一。

2．函数的概念

(1)函数的定义：设B A 、是两个非空的数集，如果按照某种对应法则f ，对于集合A 中的 x ，在集合B 中都有 的数和它对应，那么这样的对应叫做从A 到B 的一个函数，通常记为__________

(2)函数的定义域、值域

在函数A x x f y ∈=),(中，x 叫做自变量，x A 叫做)(x f y =的定义域；与x 的值相对应的y 值叫做函数值， {}A x x f ∈)(称为函数)(x f y =的值域。

(3)函数的三要素： 、 和

3．函数的三种表示法：图象法、列表法、解析法

（1）．图象法：就是用函数图象表示两个变量之间的关系；

（2）．列表法：就是列出表格来表示两个变量的函数关系；

(3)．解析法：就是把两个变量的函数关系，用等式来表示。

4．分段函数

在自变量的不同变化范围中，对应法则用不同式子来表示的函数称为分段函数。

（二）考点分析

考点1：映射的概念

例1．下述两个个对应是A 到B 的映射吗

（1）A R =，{|0}B y y =>，:||f x y x →=；

（2）{|0}A x x =>，{|}B y y R =∈，:f x y →=

例2．若}4,3,2,1{=A ，},,{c b a B =，,,a b c R ∈，则A 到B 的映射有 个，B 到A 的映射有 个

例3．设集合{1,0,1}M =-，{2,1,0,1,2}N =--，如果从M 到N 的映射f 满足条件：对M 中的每个元素x 与它在N 中的象()f x 的和都为奇数，则映射f 的个数是（ ）

()A 8个 ()B 12个 ()C 16个 ()D 18个

考点2：判断两函数是否为同一个函数

如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，称这两个函数相等。

例1． 试判断以下各组函数是否表示同一函数

（1）2)(x x f =，33)(x x g =；

（2）x x x f =)(，???<-≥=;01,01)(x x x g

（3）x x f =)(1+x ，x x x g +=2)(；

（4）12)(2--=x x x f ，12)(2--=t t t g

（5）1212)(++=n n x x f ，1212)()(--=n n x x g （n ∈N *）；

考点3：求函数解析式

方法总结：（1）若已知函数的类型（如一次函数、二次函数），则用待定系数法；

（2）若已知复合函数)]([x g f 的解析式，则可用换元法

（3）配凑法

（4）若已知抽象函数的表达式，则常用解方程组消参的方法求出)(x f 题型1：用待定系数法求函数的解析式

例1.已知函数()f x 是一次函数,且49)]([+=x x f f ,求()f x 表达式.

例2.已知()f x 是一次函数且()()()()()22315,2011,f f f f f x -=--==则（ ）

A ．32x +

B ．32x -

C ．23x +

D ．23x - 例3.二次函数f(x)满足f(x ＋1)－f(x)＝2x ，且f(0)＝1.

(1)求f(x)的解析式；

(2)解不等式f (x)＞2x ＋5.

例4.已知g (x )＝－x 2－3，f (x )是二次函数，当x ∈[－1,2]时，f (x )的最小值为1，且f

(x )＋g (x )为奇函数，求函数f (x )的表达式．

2、配凑法：已知复合函数[()]f g x 的表达式，求()f x 的解析式，[()]f g x 的表达式容易配成()g x 的运算形式时，常用配凑法。但要注意所求函数()f x 的定义域不是原复合函数的定义域，而是()g x 的值域。

例2 已知221)1(x

x x x f +=+ )0(>x ，求 ()f x 的解析式 3、换元法：已知复合函数[()]f g x 的表达式时，还可以用换元法求()f x 的解析式。与配凑法一样，要注意所换元的定义域的变化。

例3 已知x x x f 2)1(+=+，求)1(+x f

4、代入法：求已知函数关于某点或者某条直线的对称函数时，一般用代入法。 例4已知：函数)(2x g y x x y =+=与的图象关于点)3,2(-对称，求)(x g 的解析式

5、构造方程组法：若已知的函数关系较为抽象简约，则可以对变量进行置换，设法构造方程组，通过解方程组求得函数解析式。

例5 设,)1(2)()(x x

f x f x f =-满足求)(x f 例6 设)(x f 为偶函数，)(x

g 为奇函数，又,1

1)()(-=+x x g x f 试求)()(x g x f 和的解析式 6、赋值法：当题中所给变量较多，且含有“任意”等条件时，往往可以对具有“任意性”的变量进行赋值，使问题具体化、简单化，从而求得解析式。

例7 已知：1)0(=f ，对于任意实数x 、y ，等式)12()()(+--=-y x y x f y x f 恒成立，

求)(x f

7、递推法：若题中所给条件含有某种递进关系，则可以递推得出系列关系式，然后通过

迭加、迭乘或者迭代等运算求得函数解析式。

例8 设)(x f 是定义在+N 上的函数，满足1)1(=f ，对任意的自然数b a , 都有

ab b a f b f a f -+=+)()()(，求)(x f

考点4：求函数的定义域

题型1：求有解析式的函数的定义域

（1）常规方法总结：如没有标明定义域，则认为定义域为使得函数解析式有意义的x 的取值范围，实际操作时要注意：① 分母不能为0；② 对数的真数必须为正；③ 偶次根式中被开方数应为非负数；④ 零指数幂中，底数不等于0；⑤ 负分数指数幂中，底数应大于0；⑥ 若解析式由几个部分组成，则定义域为各个部分相应集合的交集；

例1.函数()13f x x =-的定义域为（ ） A ．[)

(]22+∞-∞-，， B ．[)()2,33+∞， C ．(][)()22,33-∞-+∞，，

D ．(]2-∞-， 例2、函数x x x x f -+=0

)1()(的定义域是（ ）

A.{}0|

B. {}0|>x x

C. {}10|-≠

D. {}10|-≠≠x x x 且

题型2：求复合函数和抽象函数的定义域

练一练：

例1．已知)2(+=x f y 的定义域是][b a ，，求函数)(x f y =的定义域

例2．已知(21)y f x =-的定义域是（-2，0），求(21)y f x =+的定义域

例3、已知函数)1(+=x f y 的定义域为[-2，3]，则()12-=x f y 的定义域是_________

考点5：求函数的值域

1．求值域的几种常用方法

(1)直接法：通过对自变量x 和函数性质的观察，结合函数的解析式直接得出y=f(x)的取值范围

（2）配方法：对于（可化为）“二次函数型”的函数常用配方法，

例1、322+--=x x y

例2、2285y x x =-+- （1）]1,1[-∈x （2）]4,1[∈x （3）]8,4[∈x

（3）判别式法：通过对二次方程的实根的判别求值域。

例3、132222+-+-=x x x x y 例4、1

12++-=x x x y

（3）换元法：通过等价转化换成常见函数模型，

例5、x x y 21-+= 例6、13432)(-+-=x x x f

（4）分段函数分别求函数值域，

例7、53-++=x x y

例8、函数222(03)

()6(20)x x x f x x x x ?-≤≤?=?+-≤≤??的值域是（ ）

A ．R

B ．[)9,-+∞

C ．[]8,1-

D ．[]9,1-

（5）分离常数法：常用来求“分式型”函数的值域。

例9、1122

+-=x x y

例10、设函数11

1y x

=+的定义域为M ，值域为N ，那么 （

） ()C {01,0}M x x x x =<≠->且或，{0011}N y y y y =<<<>或或

()D {1100}M x x x x =<--<<>或或， {0}N y y =≠

（9）反函数法

《函数及其图像》知识点归纳

华师大版八年级数学下《函数及其图像》知识点归纳一．变量与函数 1 ．函数的定义：一般的，在某个变化过程中有两个变量x和y，对于x的每一个数值y都有唯一的值与之对应，我们说x叫做自变量，y叫做因变量，y叫做x的函数。 2．自变量的取值范围： （1）能够使函数有意义的自变量的取值全体。 （2）确定函数自变量的取值范围要注意以下两点：一是使自变量所在的代数式有意义；二是使函数在实际问题中有实际意义。 （3）不同函数关系式自变量取值范围的确定： ①函数关系式为整式时自变量的取值范围是全体实数。 ②函数关系式为分式时自变量的取值范围是使分母不为零的全体实数。 ③函数关系式为二次根式时自变量的取值范围是使被开方数大于或等于零的全体实数。 3 ．函数值：当自变量取某一数值时对应的函数值。这里有三种类型的问题： （1）当已知自变量的值求函数值就是求代数式的值。 （2）当已知函数值求自变量的值就是解方程。 （3）当给定函数值的一个取值范围，欲求自变量的取值范围时实质上就是解不等式或不等式组。二．平面直角坐标系： 1．各象限内点的坐标的特征： （1）点p（x,y）在第一象限→x＞0,y＞0. （2）点p（x,y）在第二象限→x＜0,y＞0. （3）点p（x,y）在第三象限→x＜0,y＜0 （4）点p（x,y）在第四象限→x＞0,y＜0. 2 ．坐标轴上的点的坐标的特征： （1）点p（x,y）在x轴上→x为任意实数，y=0 （2）点p（x,y）在y轴上→x=0,y为任意实数 3 ．关于x轴，y轴，原点对称的点的坐标的特征： （1）点p（x,y）关于x轴对称的点的坐标为（x,-y）. （2）点p（x,y）关于y轴对称的点的坐标为（-x,y）. （3）点p（x,y）关于原点对称的点的坐标为（-x,-y） 4 ．两条坐标轴夹角平分在线的点的坐标的特征： （1）点p（x,y）在第一、三象限夹角平分在线→x=y.

(完整版)复变函数知识点梳理解读

第一章:复数与复变函数 这一章主要是解释复数和复变函数的相关概念,大部分内容与实变函数近似,不难理解。 一、复数及其表示法 介绍复数和几种新的表示方法,其实就是把表示形式变来变去,方便和其他的数学知识联系起来。 二、复数的运算 高中知识,加减乘除,乘方开方等。主要是用新的表示方法来解释了运算的几何意义。 三、复数形式的代数方程和平面几何图形 就是把实数替换成复数,因为复数的性质,所以平面图形的方程式二元的。 四、复数域的几何模型——复球面 将复平面上的点,一一映射到球面上,意义是扩充了复数域和复平面,就是多了一个无穷远点,现在还不知道有什么意义,猜想应该是方便将微积分的思想用到复变函数上。 五、复变函数 不同于实变函数是一个或一组坐标对应一个坐标,复变函数是一组或多组坐标对应一组坐标,所以看起来好像是映射在另一个坐标系里。 六、复变函数的极限和连续性 与实变函数的极限、连续性相同。 第二章:解析函数

这一章主要介绍解析函数这个概念,将实变函数中导数、初等函数等概念移植到复变函数体系中。 一、解析函数的概念 介绍复变函数的导数,类似于实变二元函数的导数,求导法则与实变函数相同。 所谓的解析函数,就是函数处处可导换了个说法,而且只适用于复变函数。而复变函数可以解析的条件就是:μ对x与ν对y的偏微分相等且μ对y和ν对x的偏微分互为相反数,这就是柯西黎曼方程。二、解析函数和调和函数的关系 出现了新的概念:调和函数。就是对同一个未知数的二阶偏导数互为相反数的实变函数。而解析函数的实部函数和虚部函数都是调和函数。而满足柯西黎曼方程的两个调和函数可以组成一个解析函数,而这两个调和函数互为共轭调和函数。 三、初等函数 和实变函数中的初等函数形式一样,但是变量成为复数,所以有一些不同的性质。 第三章:复变函数的积分 这一章,主要是将实变函数的积分问题,在复变函数这个体系里进行了系统的转化,让复变函数有独立的积分体系。但是很多知识都和实变函数的知识是类似的。可以理解为实变函数积分问题的一个兄弟。 一、复积分的概念 复积分就是复变函数的积分,实质是两个实二型线积分。所以应该具有相应的实二型线积分的性质。复积分存在的充分条件是实部函数和虚部函数都连续。 二、柯西积分定理

初三总复习函数及其图像知识点

第六章：函数及其图像 知识点： 一、平面直角坐标系 1、平面内有公共原点且互相垂直的两条数轴，构成平面直角坐标系。在平面直角坐标系内的点和有序实数对之间建立了—一对应的关系。 2、不同位置点的坐标的特征： （1）各象限内点的坐标有如下特征： 点P （x, y ）在第一象限?x ＞0，y ＞0； 点P （x, y ）在第二象限?x ＜0，y ＞0； 点P （x, y ）在第三象限?x ＜0，y ＜0； 点P （x, y ）在第四象限?x ＞0，y ＜0。 （2）坐标轴上的点有如下特征： 点P （x, y ）在x 轴上?y 为0，x 为任意实数。 点P （x ，y ）在y 轴上?x 为0，y 为任意实数。 3．点P （x, y ）坐标的几何意义： （1）点P （x, y ）到x 轴的距离是| y |； （2）点P （x, y ）到y 袖的距离是| x |； （3）点P （x, y ）到原点的距离是22y x + 4．关于坐标轴、原点对称的点的坐标的特征： （1）点P （a, b ）关于x 轴的对称点是),(1b a P -； （2）点P （a, b ）关于x 轴的对称点是),(2b a P -； （3）点P （a, b ）关于原点的对称点是),(3b a P --； 二、函数的概念 1、常量和变量：在某一变化过程中可以取不同数值的量叫做变量；保持数值不变的量叫做常量。 2、函数：一般地，设在某一变化过程中有两个变量x 和y ，如果对于x 的每一个值，y 都有唯一的值与它对应，那么就说x 是自变量，y 是x 的函数。 （1）自变量取值范围的确是： ①解析式是只含有一个自变量的整式的函数，自变量取值范围是全体实数。 ②解析式是只含有一个自变量的分式的函数，自变量取值范围是使分母不为0的实数。 ③解析式是只含有一个自变量的偶次根式的函数，自变量取值范围是使被开方数非负的实数。 注意：在确定函数中自变量的取值范围时，如果遇到实际问题，还必须使实际问题有意义。 （2）函数值：给自变量在取值范围内的一个值所求得的函数的对应值。 （3）函数的表示方法：①解析法；②列表法；③图像法 （4）由函数的解析式作函数的图像，一般步骤是：①列表；②描点；③连线 三、几种特殊的函数 1、一次函数

最全面小学科学知识点归纳 (3)(精华版)

小学科学知识点归纳 一、电基础知识： 1、发电厂发出的、通过电线送到各家各户的电是220V 交流电.这是足以引发触电事故、致人死亡的电.高压电有5500V 以上.干电池的电压是 1.5V. 2、电可以分为没有触电危险的和有触电危险的两大类. 3、在户外遇到雷雨时,不要躲在树下,更不要躲在孤零零的一棵树下.大树容易遭到雷击.不要靠近高压电线、铁塔、变电所.这些地方的电更危险.5500V 以上的高压电,能越过一段距离电击,使人触电死亡.学校和家里的电线、插座的电都是很危 险的220V 的电.不要用这些电线、插座的电做实验 4、电流过灯丝的时候,灯泡才发光. . 5、干电池的一端是铜帽,另一端是锌壳.当电池的这两端被电线直接连接在一起时, 就会发生短路.短路时,电线和电池会在一瞬间发热变烫 也会很快坏掉. ,不仅灯泡不能发光,电线 6、电从电池的一端流出,通过灯泡,回到这个电池的另一端,形成一个完整的环路, 灯泡就会发光.小灯泡不亮,说明灯泡中没有电流通过 电流动的环路叫电路. .由电池、电线、灯泡组成的 7、不能用我们实验室的电路检测器检测家用220V 的电器电路. 8、电路故障了,我们可以用电路检测器来检测出哪里出了问题 法来排除故障,使灯泡亮起来. .我们也可以用替换9、像铜丝那样可以通过电流的物质,我们称它们为导体. 像电线外包着的塑料那样不能通过电流的物质10、我们利用导体把电送到人们需要的地方希望有电的地方. ,我们称它们为绝缘体. .我们利用绝缘体阻止电流到人们不 11、不要用湿布擦,也不能用湿手触摸电器和开关. 12、我们要好好保护绝缘体 13、开关是控制电流通断的. . 14、电路连接的方法有串联和并联两种.我们家里的家用电器一般都是并联的.一节电池的电压是 1.5V,两节电池串联起来的电压就是3V.所以把电池串联起来小灯泡会更亮些.两节电池并联起来,电压还是 1.5V.所以小灯泡不会太亮. 15、电路中的电压超过了小灯泡上标的 二、新的生命 1.5V,灯泡太亮会烧坏灯泡的. 1、2、3、4、油菜和凤仙花一样由根、茎、叶、花、果实和种子六部分组成. 油菜的花由萼片、花瓣、雄蕊、雌蕊四部分组成 油菜是十字花科,有4 个花瓣. . 大多数植物的花是由萼片、花瓣、雄蕊、雌蕊四部分组成的,四部分完全具 备的花叫做完全花.也有四部分不完全具备的花 叫做不完全花. ,这些缺失一部分或几部分的花就 5、只有雄蕊,没有雄蕊的花是雄花.只有雌蕊,没有雄蕊的花是雌花 有雌蕊的花是两性花. .既有雄蕊,又 6、开花、结果,果实里面长有种子.植物的花承担着生产种子、繁殖新生命的任务. 7、雄蕊一般由 2 部分组成,上面是花药,下面是花丝.花药里藏着许多花粉.雌蕊一般由3 部分组成.上面是柱头,中间是花柱,最下面是子房.柱头有粘性,能粘住花粉.

三角函数图像与性质知识点总结

函数图像与性质知识点总结 一、三角函数图象的性质 1．“五点法”描图 (1)y ＝sin x 的图象在[0,2π]上的五个关键点的坐标为 (0,0) ? ?? ?? ? π2，1 (π，0) ? ?? ??? 32π，－1 (2π，0) (2)y ＝cos x 的图象在[0,2π]上的五个关键点的坐标为 (0,1)，? ?????π2，0，(π，－1)，? ???? ? 3π2，0，(2π，1) 2.三角函数的图象和性质

3.一般地对于函数()，如果存在一个非零的常数，使得当取定义域内的每一个值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期，把所有周期中存在的最小正数，叫做最小正周期(函数的周期一般指最小正周期) 4.求三角函数值域(最值)的方法： (1)利用sin x、cos x的有界性； 关于正、余弦函数的有界性 由于正余弦函数的值域都是[－1,1]，因此对于?x∈R，恒有－1≤sin x≤1，－1≤cos x≤1，所以1叫做y＝sin x，y＝cos x的上确界，－1叫做y＝sin x，y＝cos x的下确界.

(2)形式复杂的函数应化为y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k 的形式逐步分析ωx ＋φ的范围，根据正弦函数单调性写出函数的值域；含参数的最值问题，要讨论参数对最值的影响. (3)换元法：把sin x 或cos x 看作一个整体，可化为求函数在区间上的值域(最值)问题． 利用换元法求三角函数最值时注意三角函数有界性，如：y ＝sin 2x －4sin x ＋5，令t ＝sin x (|t |≤1)，则y ＝(t －2)2＋1≥1，解法错误. 5.求三角函数的单调区间时，应先把函数式化成形如y ＝A sin(ωx ＋φ) (ω>0)的形式，再根据基本三角函数的单调区间，求出x 所在的区间.应特别注意，应在函数的定义域内考虑.注意区分下列两题的单调增区间不同;利用换元法求复合函数的单调区间(要注意x 系数的正负号) (1)y ＝sin ? ?????2x －π4；(2)y ＝sin ? ?? ???π4－2x . 6、y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B 的图象求其解析式的问题，主要从以下四个方面来考虑： ①A 的确定：根据图象的最高点和最低点，即A ＝最高点－最低点 2； ②B 的确定：根据图象的最高点和最低点，即B ＝ 最高点＋最低点 2 ； ③ω的确定：结合图象，先求出周期，然后由T ＝2π ω (ω>0)来确定ω； ④φ的确定：把图像上的点的坐标带入解析式y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B ，然后根据 φ的范围确定φ即可，例如由函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋K 最开始与x 轴的交点(最靠近原点)的横坐标为－φω(即令ωx ＋φ＝0，x ＝－φ ω )确定φ. 二、三角函数的伸缩变化

教科版科学五年级上册科学知识点整理(全)

教科版科学五年级上册科学知识 第一单元 1.种子发芽的必须条件是水分、空气、适宜的温度。 2.种子发芽可以不需要阳光，但生长需要阳光。 3.植物生长需要泥土、水份、阳光、空气、适宜的温度。 4.蚯蚓喜欢生活在阴暗、潮湿的环境中。 5.各种动物都喜欢生活在一定的环境里。 6.生物的生存除了需要一定的自然条件外，它们彼此之间也是互相依赖，互相影响的。 7.食物是动物生存最重要的需求之一。 8.生物之间这种像链环一样的食物关系叫食物链。 9.食物链中能自己制造食物的生物叫生产者，直接或间接消费别人制造的食物的生物叫消费者。 10.食物链通常从绿色植物开始，到凶猛的肉食动物结束。 11.同一种植物会被不同的动物吃掉，同一种动物也可以吃多种食物。生物之间这种复杂的食物关系形成了一个网状结交食物网。 12.像生物和非生物我们可以把它们看成一个生态群落。 13.自然界里某一区域的生物形成一个平衡的整体叫生态系统。 14.如果生态系统的一个环节受到破坏，整个生态系统就会失去平衡。 15.自然界和生态瓶一样,如果环境条件受到破坏,生物的生存就会受到影响。 第二单元 1. 向电灯这样可以自己发光的物体叫光源。 2. 像这样，从不同侧面照射得到的物体的影子叫投影。 3. 影子的形成必须有光源、屏幕和遮挡物。 4. 影子的长短与光源的位置、角度有关。 5. 影子的大小和光源到物体的距离有关。 6. 影子的形状和被照射的物体侧面有关。 7. 古代的人利用日影观测仪计时。 8. 小明发现大树的影子朝西，那太阳在东边。 9. 光以直线形式传播，速度以每秒30万千米。 10.光碰到镜面改变了传播方向，被反射回去，这种现象叫做光的反射，反光也是以直线形式传播的。 11.运用光的反射的有额镜、反光镜。 12.太阳表面温度达6千多摄氏度，内部则达2千多万摄氏度。 13.吸热本领最强的是黑色的粗糙物体。 14.物体和太阳光垂直升温快。 15.人们对太阳能的利用有：太阳灶、太阳能电板、点燃奥运圣火、太阳能热水器。 16.汇聚太阳光的方法有凹面镜、凸透镜。 17.光弱时瞳孔放大，光强时瞳孔缩小。 第三单元 1、地形及地形的特点： 2、地球上海洋面积比陆地面积大；我国西部多高山，东部多平原。 3、地震和火山是地球内部运动引起的。地球内部分为地壳、地幔、地核三部分，绝大部分的地震发生在地壳内，火山活动与地幔和地壳的运动有关。 4、地球内部的运动是地表形态发生不断的变化，这种变化有时表现出来是很猛烈的，像地震和火山，有时是极其缓慢的变化，像喜马拉雅山年复一年的隆起。地球表面的很多变化都是在流水、风、冰川、海浪等自然力的作用下很缓慢的进行的，我们在短时间内难以察觉。 5、很多的高山是因为板块的挤压后隆起形成的，很多的峡谷是板块拉伸后形成的断裂谷。 6、岩石变化的原因有冷和热的作用、流水的作用、植物的作用、动物的活动等。 7、由于受水、大气、气温或动植物的作用，岩石破碎，这种现象叫风化。 8、土壤分层实验中，最底层是沙砾（小石子），中间是沙和粉沙，最上层是颗粒最小的黏土，浮在水面上的是一些植物残体。 9、土壤是沙、小石子、黏土、腐殖质、水和空气等物质的混合物。 10、土壤是地球上最有价值的资源。在每立方米的土壤中，生活着几十亿个生物体。土壤为他们提供了食物和生存空间，也为人类提供了衣食住行的材料来源。而所有生活在土壤中的生物的残体和排泄物都能使土壤的腐殖质更丰富。动物和植物的根能松动土壤，为空气和水营造空间。 11、雨点降落时的力可以打散并建起土壤的微粒，雨水在地面流动时，携走了这些微粒，一部分土壤便被带走了，这就是侵蚀。雨点降落到地面便是土壤被侵蚀的开始。 12、影响土壤被侵蚀程度的因素有土地坡度的大小、有无植物覆盖、降雨量的大小等。 13、在坡度大的地方，河流流速快，土地会被侵蚀；在坡度小的地方，河流流速慢，会发生沉积。所以一般大江大河的下游和入海口往往是平原。 14、自然界中每时每刻都由侵蚀和沉积的现象发生。侵蚀使得一些地面突起的地方土壤流失，而沉积却填平了一些低洼的地方，侵蚀和沉积形成了地球上不同的地形地貌。 15、流水、风、冰川、波浪和重力都回侵蚀土地。 16、房屋应该建在坡度比较平缓的地方，在坡度较大的地方应该植树和种草，减少雨水对土地的侵蚀。

复变函数与积分变换重要知识点归纳

复变函数复习重点 （一）复数的概念 1.复数的概念：z = x ? iy , x, y 是实数，x = Rez,y = lmz.r-_i. 注：一般两个复数不比较大小，但其模（为实数）有大小 2.复数的表示 1）模：z =y/x2+y2； 2）幅角：在z = 0时，矢量与x轴正向的夹角，记为Arg z （多值函数）；主值arg z是位于（-二，二］中的幅角。 3）arg z与arctan y之间的关系如下： x y 当x 0, argz=arctan工； x [ y y - 0,arg z = arctan 二当x ： 0, x y y :: 0,arg z = arctan 「愿 L x 4）三角表示：z = z COST i sinv ，其中二-arg z ；注：中间一定是“ +"号 5）指数表示：z = z e旧，其中日=arg z。 （二）复数的运算 仁加减法：若z1= x1iy1, z2= x2 iy2，贝寸乙 _ z2 = % _ x2i 比 _ y2 2.乘除法: 1 ）若z^x1 iy1 ,z2=x2iy2，则 ZZ2 二XX2 —y』2 i X2% X』2 ； 乙x iy1 % iy1 X2 —iy2 xg yy ?- 丫2为 -- = --------- = ----------------------- = -------------- T i -------------- Z2 x? iy2 X2 iy2 x? - iy? x；y；x；y f 2）若乙=乙e°,z2= z2e°, _则 3.乘幂与方根e i "'2 ； 土評匀） Z2 Z2

1）若z =|z （cos日+isin 日）=|z e旧，则z"=上"（cosnT +i sin 用）=上"d吩。 2）若z =|z （cos日+isin 日）=|ze吩，贝U 阪=z n.'cos日+2" +i si肆+2" ）（k =0,1,2[|I n—1）（有n个相异的值）l n n丿 （三）复变函数 1?复变函数：w = f z，在几何上可以看作把z平面上的一个点集D变到w平面上的一个点集G的映射. 2?复初等函数 1）指数函数：e z=e x cosy - isin y ,在z平面处处可导，处处解析；且e z= e z。 注：e z是以2二i为周期的周期函数。（注意与实函数不同） 3）对数函数：Lnz=lnz i（argz 2^：）（k=0, _1,_2[|[）（多值函数）； 主值：In z = ln z +iargz。（单值函数） * 1 Lnz的每一个主值分支In z在除去原点及负实轴的z平面内处处解析，且Inz z 注：负复数也有对数存在。（与实函数不同） 3）乘幂与幂函数：a b= e bLna（a = 0）；z b= e bLnz（z = 0） 注：在除去原点及负实轴的z平面内处处解析，且z b二bz b‘。 iz -iz iz -iz e -e e e sin z cosz 4）三角函数：sin z ,cos z ,t gz , ctgz = 2i 2 cosz si nz sin z,cos z 在z 平面内解析，且sin z 二cosz, cosz =—si nz 注：有界性sin z兰1, cosz兰1不再成立；（与实函数不同） z -z z - z e -e e +e 4）双曲函数shz ,chz二 2 2 shz奇函数，chz是偶函数。shz, chz在z平面内解析，且shz 二chz, chz = shz。 （四）解析函数的概念 1 ?复变函数的导数

(完整版)【工程数学】复变函数复习重点

复变函数复习重点 (一)复数的概念 1.复数的概念：z x iy =+，,x y 是实数, ()()Re ,Im x z y z ==.21i =-. 注：一般两个复数不比较大小，但其模（为实数）有大小. 2.复数的表示 1） 模：z = 2）幅角：在0z ≠时，矢量与x 轴正向的夹角，记为()Arg z （多值函数）； 主值()arg z 是位于(,]ππ-中的幅角。 3）()arg z 与arctan y x 之间的关系如下： 当0,x > arg arctan y z x =； 当0,arg arctan 0,0,arg arctan y y z x x y y z x ππ? ≥=+??

函数和图像知识点汇总

《函数及其图像》知识点 一、函数的概念、变量（自变量、因变量）、常量的概念。 ①变量：在某一函数变化过程中，可以取不同数值的量，叫做变量。 ②自变量：在某一函数变化过程中，主动变化的量的叫做自变量。 ③因变量：在某一函数变化过程中，因为自变量的变化而被动变化的量叫做因变量。此时，我们也称因变量是自变量的函数 ④常量：在某一函数变化中，始终保持不变的量，叫做常量。 练习：在函数r c π2=中，自变量是 ，因变量是 ，常量是 ， 叫做 的函数。 二、函数的三种表示方法： ①解析法： ②列表法： 三、函数自变量的取值围： 平面直角坐标系。水平的数轴叫做横轴（x 轴），取向右为正方向；铅直的数轴叫做纵轴（y 轴），取向上为正方向；两条数轴的交点O 叫做坐标原点。 x 轴和y 轴将坐标平面分成四个象限（如图）: 五、平面点的坐标：（横坐标，纵坐标） 如图：过点P 作x 轴的垂线段，垂足在x 轴上表示的数是2，因此点P 的横坐标为 2 过点P 作y 轴的垂线段，垂足在y 轴上表示的数是3，因此点P 的纵坐标为 3 所以点P 的坐标为（2 , 3） 六、平面特殊位置的点的坐标情况：（连线） 第一象限 第二象限 第三象限 第四象限 x 轴上 y 轴上 （- ，-） （- ，+） （+ ，+） （+ ，-） （0 ，a ） (b , 0) 七、点的表示（横坐标，纵坐标）注意： ①不要丢了括号和中间的逗号； ②表示的意思：当___x =时，___y =如点A （2，1） 表示：当2x =时，1y = ③注意x 轴上点的特征：(___,0)即纵坐标等于0;y 轴上点的特征：(0,___)即：横坐标等于0。 概括：坐标轴上的点的横坐标和纵坐标至少有一个为0。 八、对称点的坐标关系： ⑴关于x 轴对称的点：横坐标 ，纵坐标 。 y x O 第四象限 第三象限第二象限 第一象限

最全面小学科学基础知识汇总070612(精华版)

小学科学基础知识汇总 三年级：上册 1、植物的页由叶片、叶柄构成。 2、蜂鸟是世界上最小的鸟。 蜗牛具有头、嘴、眼睛、触角、腹、尾。 3、人的身体分为头、颈、躯干、四肢（上肢、下肢）。 4、青少年怎样保证正常的健康成长？青少年正处在生长发育时期，要吃好早餐，注 意营养的均衡搭配，加强体育锻炼，参加力所能及的劳动，合理安排作息时间，保证充足 的睡眠。 5、每个人的指纹都是不一样的。 6、液体——像水这样没有固定形状、会流动的物体。米饭中甜的部分是淀粉分解而成的。 7、糙米比精米有更多的营养物质（维生素）。 下册： 植物种子中能发育成小芽的部分就是胚芽。 1、混合物——是由两种或更多物质的混合。混合后各种物质都保持它们的特性，并且 可以通过一定的方法把它们分离出来。 合后生成新的物质。 有些物质混合后不会生成新的物质，有些物质混 2、石头、水、空气的比较：石头有一定的形状和体积。水的形状会随着装它的容器形 状的变化而变化，但是水的体积不会变化。空气既没有一定的体积，也没有一定的形状， 它会自动充满任何容器。 和气体。 像石头、水、空气这样的物体，我们分别称它们为固体、液体 3、流动的空气就是风。流动慢成微风，流动快就会刮大风。地球上的空气大约1/5 是氧气（21%），4/5 是氮气（78%），还有1%左右是二氧化碳、水蒸气、二氧化硫等。洁净 的空气是无色味的。离地面越高，空气越稀薄。环绕地球的大气层约1000 千米左右。 4、凤仙花的身体有六部分：根、茎、叶、花、果实、种子。属于一年生植物。 5、蚕的一生要经历卵、幼虫、蛹和成虫四个阶段。有些动物一生中要经历很大的变化，它们幼年期与成年期的样子很不同，从一种形态变成了另外一种形态，这种变化叫做变态。除了桑叶可养蚕，莴笋叶也可以养蚕，只不过茧较薄，产卵少。 6、物体在水中的浮与沉，跟物体的大小、轻重无关，而跟物体的比重（密度）与形状 有关，比重大于水的物体，一定会下沉；比重小于水的物体，一定会上浮；比重接近水的 物体容易出现悬浮水中的现象。比重大于水的物体，通过改变物体的形状和结构，也可以 使物体上浮。通过改变物体形状或借助其它物体，可以改变物体在水中的沉与浮。 7、马铃薯在清水中会沉下去，在盐水中会上浮。盐水的浮力比清水大些。 8、测量水温的方法：（1）手拿温度计的上端，（2）将温度计下端浸入水中，不能碰到 容器的底与壁，（3）视线与温度计液面持平，（4）在液柱不再上升或下降时读数，（5）读数时温度计不能离开被测物体。人的正常体温37 度，酒精沸腾78 度，水结冰0 度。 四年级上册： 1、有生命的物体叫生物。包括动植物。 2、怎样加快溶解：搅拌、加热（热水）、磨碎（研磨）。 3、水里的动植物呼吸的就是溶解在水中的空气。 4、风向标是测量风向的仪器，箭头指向风吹来的方向。风向通常用八个方位来记录。 5、磁铁能吸引铁一类材料做的物体，这种性质叫磁性。磁性最强的地方是磁铁的磁极。 磁铁指南的一端叫南极，用S表示；指北的一端叫北极， 用N表示。同极相斥、异极相吸。

小学科学知识点归纳

三~~~~六年级科学知识归类 ●《冷与热》 ●1、水受热时体积会膨胀，水受冷时体积会缩小，我们把水的体积的这种变化叫热胀冷 缩。 ●2、物体的冷热程度叫温度。常用的温度单位是摄氏度（℃）。测量温度的仪器叫温度 计。 ●3、我知道的温度计有水温计、室温计、体温计、高温计、数字温度计。测量人体温度 的温度计叫体温计，它的测量范围一般在35℃- 42℃之间，因为人体正常体温是37℃。 ●4、水烧开时的温度大致是100℃；水结冰时的温度是0 ℃。 ●《溶解》 ●1、溶解在水中的物质微粒是均匀地分散的，不能用过滤或沉降的方法分离出来。 ●2、有些物质能够溶解在水中，有些物质则不行。因此我们可把它们分为可溶物质和不 可溶物质。 ●3、我们常用的加快溶解的方法有：切碎、加热以及搅拌等。 ●4、用蒸发的方法可以分离出溶解在水中的盐，这种方法被广泛应用于生活中。 ●5、溶解现象不仅发生在液体与固体之间，还发生在液体与液体以及液体与气体等多种 状态的物质之间。 ●6、水里的动物和植物呼吸的就是溶解在水里的空气。 ●《电》 ●1、发电厂发出通过电线送到各家各户的电是220V交流。（这是足以引发触电事故，致 人死亡的电）5500V以上是高压电，不要靠近高压电线，铁塔、变电所。这些地方的电更危险。5500V以上的高压电，能越过一段距离电击，使人触电死亡。 ●2、我们将电分为没有触电危险和有触电危险的两大类，直流电一般比较安全，交流电 一般比较危险，不安全。 ●3、由电池、电线、灯泡组成的电流动的环路叫电路。在点亮小灯泡的电路中，电从电 池的一端流出，通过电线、小灯泡流回到电池的另一端，形成一个完整的环路，灯泡就会发光。 ●4、一节电池的电压是1.5V，两节电池串联起来的电压就是3v。所以小灯泡特别亮。两 节电池并联起来，电压还是1.5V。所以小灯泡不太亮。 ●5、干电池的一端是铜帽，另一端是锌壳。当电池的这两端被电线直接连接在一起时， 就会发生短路。短路时，电池和电线会在一瞬间发热变烫，不仅灯泡不能发光，电池也会很快坏掉。所以一般在电线中间安一个开关。 ●6、像铜丝那样可以通过电流的物质叫导体；像电线外包着的塑料那样不能通过电流的 物质叫绝缘体。例如金属是导体，铜、铁、铝、锌、大地等是导体；丝绸、陶瓷、塑料、橡胶、干木材、空气是绝缘体。） ●7、在户外遇到雷雨时，不要躲在树下。因为大树容易遭雷击。

小学科学知识点总结

小学科学知识点总结 第一单元微小世界 1、放大镜是（凸透镜），凸透镜具有（放大物体图像）的功能，用放大镜观察物体能看到（更多的细节）。 2、（放大镜）广泛应用在人们生活生产的许多方面。 3、放大镜镜片的特点是（透明）和（中间较厚，四周较薄）(凸起)。只要具有放大镜片透明、中间较厚的结构（比如加满水后的烧杯、烧瓶等），就具有同样的（放大）功能。 4、放大镜的放大倍数和（镜片的直径）没有关系，和（镜片的凸度）有关。放大镜的（凸起程度越大，放大的倍数也越大）。 5、使用工具能够观察到许多用（肉眼）观察不到的（细节）。如通过（放大镜）能观察到更多关于昆虫的细节：蝇的（复眼）；蟋蟀的耳朵在（足的内侧）；蝴蝶翅膀上布满的彩色小鳞片是（扁平的细毛）。 6、科学研究表明昆虫头上的（触角）就是它们的（“鼻子”），能分辨各种气味，比人的鼻子灵敏得多。 7、（一些固体物质）的内部有一定的结构，如果构成这些物质的微粒按一定的空间次序排列，形成了（有规则的几何外形），这就是（晶体），如食盐、白糖、味精、碱面等。 8、至少两个以上的（凸透镜）组合起来可以使物体的（图像放得更大）。 9、（显微镜）的发明是人类认识世界的一大飞跃，把人类带入了一个（微观世界）。显微镜是人类认识（微小世界）的重要观察工具。 10、荷兰生物学家（列文虎克）制成世界上最早的可放大近300倍的（显微镜），发现了（微生物）。 11、洋葱表皮是由（细胞）构成的。（生物）都是由（细胞）组成的。 12、英国科学家（罗伯特·胡克）最早在显微镜下发现了生物的（细胞）结构。 13、生物细胞的（形态）是多种多样的，（不同生物）的细胞是不同的，生物（不同器官）的细胞也是不同的。 14、（细胞）是生物最基本的（结构单位），也是生物最基本的（功能单位）。 15、（细胞学说的建立）被誉为19世纪自然科学的三大发现之一。 16、用（显微镜）能看到肉眼不能看到的（微小生物）。 17、在水中生活着很多形态各异的（微生物），如草履虫、变形虫等。 18、微生物通常都有特殊的（构造和功能），以适应周围的环境。 19、（微生物）具有（生物）的特征，如：对环境有一定的需求、对外界的刺激有反应、能繁殖等。 20、人类（观察工具）的改进，使人类观察的范围扩大，发现了仅靠肉眼无法发现的自然界的许多秘密：肉眼（能看清昆虫等较小的动物）——放大镜（能看清小于毫米的肉眼看不清的东西）——光学显微镜（能看清细胞和微生物）——电子显微镜（能看到更小的组成物质的原子、分子）。 21、人类探索（微小世界）的成果，促进了科学技术的发展、社会的进步和人类生活的改善。如：（1）利用显微镜发现细菌、病毒，抵抗制服疾病（2）克隆生物（3）利用微生物酿酒、发面、制作酱油、醋、酸奶等（4）利用微生物处理垃圾和污水。 第二单元物质的变化 1、世界是（物质）构成的，物质是（变化）的，物质的变化有相同和不同之处。 2、一些物质的变化（产生了新的物质），另一些变化（没有产生新的物质）。

复变函数第六章留数理论及其应用知识点总结

第六章留数理论及其应用 §1.留数 1.（定理6.1 柯西留数定理）： f z dz=2πi Res(f z,a k) n k=1 C 2.（定理6.2）：设a为f(z)的m阶极点， f z= φ(z) (z?a)n , 其中φ(z)在点a解析，φa≠0，则 Res f z,a=φn?1(a) n?1! 3.（推论6.3）：设a为f(z)的一阶极点， φz=z?a f z,则 Res f z,a=φ(a) 4.（推论6.4）：设a为f(z)的二阶极点 φz=z?a2f(z)则 Res f z,a=φ′(a) 5.本质奇点处的留数：可以利用洛朗展式 6.无穷远点的留数： Res f z,∞= 1 2πi f(z)dz Γ? =?c?1 即，Res f z,∞等于f(z)在点∞的洛朗展式中1 z 这一项系数的反号 7.（定理6.6）如果函数f(z)在扩充z平面上只有有限个孤立奇点（包括无穷远点在内），设为a1,a2,…,a n,∞,则f(z)在各点的留数总和为零。 注：虽然f(z)在有限可去奇点a处，必有Res f z,∞=0，但是，如果点∞为f(z)的可去奇点（或解析点），则Res f z,∞可以不为零。 8.计算留数的另一公式：

Res f z ,∞ =?Res f 1 12,0 §2.用留数定理计算实积分 一. R cosθ,sinθ dθ2π0型积分→引入z =e iθ 注：注意偶函数 二. P (x )Q (x )dx +∞?∞型积分 1.（引理6.1 大弧引理）：S R 上 lim R→+∞zf z =λ 则 lim R→+∞ f (z )dz S R =i (θ2?θ1)λ 2.（定理6.7）设f z =P z Q z 为有理分式，其中 P z =c 0z m +c 1z m?1+?+c m (c 0≠0) Q z =b 0z n +b 1z n?1+?+b n (b 0≠0) 为互质多项式，且符合条件： （1）n-m ≥2; （2）Q(z)没有实零点 于是有 f x dx =2πi Res (f z ,a k )Ima k >0+∞ ?∞ 注：lim R→R +∞ f (x )dx +R ?R 可记为P .V . f (x )dx +∞?∞ 三. P (x )Q (x ) e imx dx +∞?∞型积分 3.（引理6.2 若尔当引理）：设函数g(z)沿半圆周ΓR :z =Re iθ(0≤θ≤π，R 充分大)上连续，且 lim R→+∞g z =0 在ΓR 上一致成立。则 lim R→+∞ g (z )e imz dz ΓR =0 4.（定理6.8）：设g z =P z Q z ，其中P(z)及Q(z)为互质多项式，且符合条件：

函数及其图像知识点

函数及其图像知识点

《函数及其图像》知识点 一、函数的概念、变量（自变量、因变量）、常量的概念。 ①变量：在某一函数变化过程中，可以取不同数值的量，叫做变量。 ②自变量：在某一函数变化过程中，主动变化的量的叫做自变量。 ③因变量：在某一函数变化过程中，因为自变量的变化而被动变化的量叫做因变量。此时，我们也称因变量是自变量的函数 ④常量：在某一函数变化中，始终保持不变的量，叫做常量。 练习：在函数r c π2=中，自变量是 ，因变量是 ，常量是 ， 叫做 的函数。 二、函数的三种表示方法： ①解析法：就是用一个函数关系式来表示函数变化规律。②列表法：就是用一个数据表来表示函数变化规律。③图像法：就是用线性图像来表示函数变化规律。 三、函数自变量的取值范围： 函数解析式类型 自变量取值满足的条件 应用举例 整式 全体实数 54+-=x y （x 为任意实数） 分式 分母不为零 ()22 3 2≠--= x x x y 二次（偶次）根式 被开方数非负 ()263≥-=x x y 平面直角坐标系。水平的数轴叫做横轴（x 轴），取向右为正方向；铅直的数轴叫做纵轴（y 轴），取向上为正方向；两条数轴的交点O 叫做坐标原点。 x 轴和y 轴将坐标平面分成四个象限（如图）: 五、平面内点的坐标：（横坐标，纵坐标） 如图：过点P 作x 轴的垂线段，垂足在x 轴上表示的数是2，因此点P 的横坐标为 2 过点P 作y 轴的垂线段，垂足在y 轴上表示的数是3，因此点P 的纵坐标为 3 所以点P 的坐标为（2 , 3） 六、平面内特殊位置的点的坐标情况：（连线） 第一象限 第二象限 第三象限 第四象限 x 轴上 y 轴上 （- ，-） （- ，+） （+ ，+） （+ ，-） （0 ，a ） (b , 0) 七、点的表示（横坐标，纵坐标）注意： ①不要丢了括号和中间的逗号； ②表示的意思：当___x =时，___y =如点A （2，1） 表示：当2x =时，1y = ③注意x 轴上点的特征：(___,0)即纵坐标等于0;y 轴上点的特征：(0,___)即：横坐标等于0。 概括：坐标轴上的点的横坐标和纵坐标至少有一个为0。 八、对称点的坐标关系： ⑴关于x 轴对称的点：横坐标 ，纵坐标 。 y x O 第四象限 第三象限第二象限 第一象限

最全面小学三年级科学知识点总结 (3)(精华版)

小学三年级科学知识点总结 科学，即分科而学，后指将各种知识通过细化分类( 如数学、物理、化学等) 研究，形成逐渐完整的知识体系。小学三年级科学知识点总结，我们来看看。 第一单元植物的生长变化 1. 绿色开花植物一般是用种子繁殖后代的。 2. 播种前，挑选那些饱满、没有受过损伤的种子的过程叫选种。 3. 种子萌发先长根，再长茎、叶，根总是向下生长的，根的生长速度很快。 4. 植物的根能够吸收水分和矿物质，还能将植物固定在土壤中。 5. 植物的绿叶可以制造植物生长所需要的养料，植物生长所需的养料是由植物绿色的叶依靠太阳提供的能量，利用水和二氧化碳制成的。 6. 绿色开花植物如凤仙花的身体由根、茎、叶、花、果实、种子六个部分组成。 7. 植物的生长过程中需要阳光、温度、土壤和适宜的水分等条件。 8. 植物的茎具有支撑植物和运输水分和养料的作用。能从下到上将根吸收的水分和矿物质运输到植物的各个部分；从上到下将植物制造的养料运输到植物的各个部分。

第二单元动物的生命周期 1. 鸡、青蛙、鱼、乌龟等动物都产卵，卵是动物生命的开始。 2. 蚕卵的孵化需要适宜的温度和湿度。在放蚕卵的盒子上要扎些不孔，因为蚕卵需要呼吸。 3. 蚕宝宝最爱吃的食物是桑叶，蚕能吐丝结茧，蚕宝宝的生长过程中，要经过四次蜕皮，蚕和蝴蝶等昆虫的一生要经过卵、幼虫、蛹、成虫四个时期，蚕蛹被茧包裹，茧能起到保护蛹的作用。蚕蛹经过10-15 天，会变成蚕蛾，蚕蛾是蚕的成虫，分雌蛾和雄蛾。雌蛾和雄蛾交配后，雌蛾产卵繁殖后代。 4. 养蚕、抽取蚕丝，是我国的伟大发明之一。远在4000 多年以前，我国劳动人民就开始养蚕，利用蚕丝织成华丽的丝绸和各种丝织品，并远销国外。 5. 蚕的一生是不断生长变化的，要经历蚕卵、蚕、蛹、蚕蛾四个不同形态的变化阶段。 6. 蚕的身体分为头、胸、腹三部分，胸部有三对足。蚕长到一定阶段会长出新皮，换下旧皮，这叫蜕皮。 7. 蚕的一生会经历出生、生长发育、繁殖、死亡四个阶段，这一过程称为蚕的生命周期，一般大约为56 天；自然界中的动物都有生命周期，也都要经历出生、生长发育、繁殖、死亡四个阶段；人也要经历出生、生长发育、繁殖、死亡四个阶段；人和动物一样也具有生命周期。

复变函数科普知识

复变函数科普知识 1．简介复数的概念起源于求方程的根，在二次、三次代数方程的求根中就出现 了负数开平方的情况。在复变函数 复变函数很长时间里，人们对这类数不能理解。但随着数学的发展，这类数的重要性就日益显现出来。复数的一般形式是：a+bi，其中i是虚数单位。 2．历史复变函数 复变函数复变函数论产生于十八世纪。1774年，欧拉在他 的一篇论文中考虑了由复变函数的积分导出的两个方程。而比他更早时，法国数学家达朗贝尔在他的关于流体力学的论文中，就已经得到了它们。因此，后来人们提到这两个方程，把它们叫做“达朗贝尔-欧拉方程”。到了十九世纪，上述两个方程在柯西和黎曼研究流体力学时，作了更详细的研究，所以这两个方程也被叫做“柯西-黎曼条件”。 复变函数论的全面发展是在十九世纪，就像微积分的直接扩展统治了十八世纪的数学那样，复变函数这个新的分支统治了十九世纪的数学。当时的数学家公认复变函数论是最丰饶的数学分支，并且称为这个世纪的数学享受，也有人称赞它是抽象科学中最和谐的理论之一。 为复变函数论的创建做了最早期工作的是欧拉、达朗贝尔，法国的拉普拉斯也随后研究过复变函数的积分，他们都是创建这门学科的先驱。 后来为这门学科的发展作了大量奠基工作的要算是柯西、黎曼和德国数学家维尔斯特拉斯。二十世纪初，复变函数论又有了很大的进展，维尔斯特拉斯的学生，瑞典数学家列夫勒、法国数学家彭加勒、阿达玛等都作了大量的研究工作，开拓了复变函数论更广阔的研究领域，为这门学科的发展做出了贡献。 复变函数论在应用方面，涉及的面很广，有很多复杂的计算都是用它来解决的。比如物理学上有很多不同的稳定平面场，所谓场就是每点对应有物理量的一个区域，对它们的计算就是通过复变函数来解决的。 比如俄国的茹柯夫斯基在设计飞机的时候，就用复变函数论解决了飞机机翼的结构问题，他在运用复变函数论解决流体力学和航空力学方面的问题上也做出了贡献。 复变函数论不但在其他学科得到了广泛的应用，而且在数学领域的许多分支也都应用了它的理论。它已经深入到微分方程、积分方程、概率论和数论等学科，对它们的发展很有影响。 广义解析函数的应用范围很广泛，不但应用在流体力学的研究方面，而且象薄壳理论这样的固体力学部门也在应用。因此，近年来这方面的理论发展十分迅速。从柯西算起，复变函数论已有170多年的历史了。它以其完美的理论与精湛的技巧成为数学的一个重要组成部分。它曾经推动过一些学科的发展，并且常常作为

数学分析知识点汇总

第一章实数集与函数 §1实数 授课章节：第一章实数集与函数——§1实数 教学目的：使学生掌握实数的基本性质． 教学重点： (1)理解并熟练运用实数的有序性、稠密性和封闭性； (2)牢记并熟练运用实数绝对值的有关性质以及几个常见的不等式．（它们是分析论证的重要工具） 教学难点：实数集的概念及其应用． 教学方法：讲授．（部分内容自学） 教学程序： 引言 上节课中，我们与大家共同探讨了《数学分析》这门课程的研究对象、主要内容等话题．从本节课开始，我们就基本按照教材顺序给大家介绍这门课程的主要内容．首先，从大家都较为熟悉的实数和函数开始． [问题]为什么从“实数”开始． 答：《数学分析》研究的基本对象是函数，但这里的“函数”是定义在“实数集”上的（后继课《复变函数》研究的是定义在复数集上的函数）．为此，我们要先了解一下实数的有关性质． 一、实数及其性质

1、实数 (,q p q p ?≠??????有理数:任何有理数都可以用分数形式为整数且q 0)表示，也可以用有限十进小数或无限十进小数来表示.无理数:用无限十进不循环小数表示. {}|R x x =为实数--全体实数的集合． [问题]有理数与无理数的表示不统一，这对统一讨论实数是不利的．为以下讨论的需要，我们把“有限小数”（包括整数）也表示为“无限小数”．为此作如下规定： 01(1)9999n n a a --0,a =则记表示为无限小数，现在所得的小数之前加负例： 2.001 2.0009999→； 利用上述规定，任何实数都可用一个确定的无限小数来表示．在此规定下，如何比较实数的大小？ 2、两实数大小的比较 1）定义1给定两个非负实数01.n x a a a =，01.n y b b b =. 其中 3 2.99992.001 2.0099993 2.9999→-→--→-； ；