湖北省鄂州高中2020-2021高三新高考10月质量检测数学试题
湖北省鄂州高中2020-2021高三新高考10月质量检测
数学试题
本卷命题范围：集合、常用逻辑用语、函数、导数、三角函数、三角恒等变换、解三角形、平面向量、数列、不等式、立体几何、直线与圆、圆锥曲线．
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．设集合A ＝{x |x 2≤4}，B ＝{x |2＜x ＜3}，则A ∪B ＝
A ．{x |2＜x ≤3}
B ．{x |-2≤x ＜3}
C ．{x |1≤x ＜4}
D ．{x |1＜x ＜4}
2．命题“?x ∈(0，+∞)，2x ＞1”的否定是
A ．?x ∈(0，+∞)，2x ≤1
B ．?x 0∈(0，+∞)，0
21x ≤ C ．?x ?(0，+∞)，2x ≤1 D ．?x 0∈(0，+∞)，0
21x > 3．我们知道，人们对声音有不同的感觉，这与声音的强度有关系．声音的强度常用I （单位：瓦/米2，即W/m 2）表示，但在实际测量时，声音的强度水平常用L （单位：分贝）表示，它们满足换算公式：0
10lg I L I =（L ≥0，其中I 0＝1×10-12 W/m 2是人们平均能听到的声音的最小强度）．若使某小区内公共场所声音的强度水平降低10分贝，则声音的强度应变为原来的
A ．1
5 B ．1100 C ．110 D ．120
4
．过点(1,P 与圆x 2+y 2＝4相切的直线方程是
A
．40x -= B
．40x +-= C
．40x += D
．40x +=
5．已知函数22
log ,2,()log (4),2,x x f x x x ≥?=?
-
A ．(-∞，2)
B ．(-∞，1)
C ．(2，+∞)
D ．(1，+∞)
6．张衡（78年～139年）是中国东汉时期伟大的天文学家、文学家、数学家．他的数学著作有《算罔论》，他曾经得出结论：圆周率的平方除以十六等于八分之
五．已知正方体的外接球与内切球上各有一个动点A ，B ，若线段AB 的最小值
1，利用张衡的结论可得该正方体的外接球的表面积为
A ．30 B
． C
． D ．36
7．已知双曲线C ：22
21(0)y x b b -=>的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 2的直线分别交双曲线C 的两条渐近线于点M ，N 两点．若点M 是线段F 2N 的中点，且NF 1⊥NF 2，则b ＝
A ．1
B
C ．2
D 8．已知定义在R 上的函数f (x )，都有f (x )＝f (1-x )，且函数f (x +1)是奇函数，若
1142f ??-=- ???，则20194f ?? ???
的值为 A ．-1 B ．1 C ．12- D ．12
二、选择题：在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．
9．已知a ＞b ＞0，c ＞d ＞0，则下列不等式成立的是
A ．a +c ＞b +d
B ．
a b d c
> C ．(a +b )c ＞(a +b )d D ．c a +b ＞d a +b 10．已知函数π()sin 26f x x ??=- ???，则下列结论正确的是 A ．f (x )的最小正周期为π B ．f (x )的图象关于直线7π6
x =-对称
C ．f (x )在ππ,46??- ???单调递增
D ．π()4y f x f x ??=++ ???的最小值为11．朱世杰是元代著名数学家，他所著的《算学启蒙》是一部在中国乃至世界最早的科学普及著作．《算学启蒙》中涉及一些“堆垛”问题，主要利用“堆垛”研究数列以及数列的求和问题．现有100根相同的圆形铅笔，小明模仿“堆垛”问题，将它们全部堆放成纵断面为等腰梯形的“垛”，要求层数不小于2，且从最下面一层开始，每一层比上一层多1根，则该“等腰梯形垛”应堆放的层数可以是
A ．4
B ．5
C ．7
D ．8
12．在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E ，F ，G 分别为BC ，CC 1，BB 1的中点，则
A．D1D⊥AF
B．A1G∥平面AEF
C．异面直线A1G与EF
D．点G到平面AEF的距离是点C到平面AEF的距离的2倍
三、填空题
13．在△ABC中，(0,2)
CB=，则∠BAC的大小为________．
AB=，(3,1)
14．已知x＞0，y＞0，且4x-2xy+y＝0，则4x+y的最小值为________．15．摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，稳坐于永乐桥之上的“天津之眼”作为世界上唯一一座建在桥上的摩天轮，其巧夺天工和奇思妙想确是当之无愧的“世界第一”．如图，永乐桥摩天轮的直径为110 m，到达最高点时，距离地面的高度为120 m，能看到方圆40 km以内的景致，是名副其实的“天津之眼”．实际上，单从高度角度来看，天津之眼超越了曾大名鼎鼎的伦敦之眼而跃居世界第一．永乐桥摩天轮设置有48个座舱，开启后按逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，转一周大约需要30 min．游客甲坐上摩天轮的座舱，开始转到t min后距离地面的高度为H m，则转到10 min后距离地面的高度为__________m，在转动一周的过程中，H关于t的函数解析式为
_____________．
16．已知经过点(1，0)的直线l与抛物线y2＝4x相交于A，B两点，点C(-1，-1)，且CA⊥CB，则△ABC的面积为________．
四、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．在①2a cos A＝c cos B+b cos C，②(sin B+sin C)2＝sin2A+sin B sin C，③2a cos B ＝2c+b这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并进行解答．
在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若b ＝10，c ＝6，________，求△ABC 的面积S ．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
18．已知等比数列{a n }的公比大于1，且满足a 3+a 5＝90，a 4＝27．
（1）求{a n }的通项公式；
（2）记b n ＝log 3a n ，求数列{a n (b n +1)}的前n 项和T n ．
19．已知函数π()sin 02f x a x x b x ??=-+≤≤ ???在π3
x =处有极值． （1）求a 的值，并判断π3
x =是f (x )的极大值点还是极小值点？
（2）若不等式f (x )＞sin x +cos x 对于任意的π0,2x ??∈????恒成立，求b 的取值范围． 20．如图，在梯形ABCD 中，AB ∥DC ，∠ABC ＝60°，FC ⊥平面ABCD ，四边
形ACFE 为矩形，点M 为线段EF 的中点，且AD ＝CD ＝BC ＝1，CF ．
（1）求证：平面BCM ⊥平面AMC ；
（2）求平面MAB 与平面FCB 所成锐二面角的余弦值．
21．已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b
+=>>的左、右焦点分别为F 1，F 2，且12||F F =，设A 是C 上一点，且117||3b AF =，2||3
b AF =． （1）求椭圆C 的方程； （2）若不与y 轴垂直的直线l 过点B (1，0)，交椭圆C 于E ，F 两点，试判断在x 轴的负半轴上是否存在一点T ，使得直线TE 与TF 斜率之积为定值？若存在，求出点T 的坐标；若不存在，请说明理由．
22．已知函数e 1()x f x x
-=． （1）求函数f (x )的单调区间；
（2）在平面直角坐标系xOy 中，直线y ＝kx +2与曲线y ＝e x 交于P ，Q 两点，设点P 的横坐标为a (a ＜0)，△OPQ 的面积为S ． （ⅰ）求证：e 1e 2e S a a
S a --=； （ⅱ）当S 取得最小值时，求k 的值．