七年级上册数学全册单元试卷培优测试卷
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一、初一数学上学期期末试卷解答题压轴题精选（难）
1．如图，已知AB∥CD，现将一直角三角形PMN放入图中，其中∠P＝90°，PM交AB于点E，PN交CD于点F
（1）当△PMN所放位置如图①所示时，则∠PFD与∠AEM的数量关系为________；（2）当△PMN所放位置如图②所示时，求证：∠PFD?∠AEM＝90°；
（3）在（2）的条件下，若MN与CD交于点O，且∠DON＝30°，∠PEB＝15°，求∠N的度数．
【答案】（1）∠PFD＋∠AEM=90°
（2）过点P作PG∥AB
∵AB∥CD，
∴PG∥AB∥CD，
∴∠AEM=∠MPG，∠PFD=∠NPG
∵∠MPN=90°
∴∠NPG－∠MPG=90°
∴∠PFD－∠AEM=90°；
（3）设AB与PN交于点H
∵∠P=90°，∠PEB＝15°
∴∠PHE=180°－∠P－∠PEB＝75°
∵AB∥CD，
∴∠PFO=∠PHE=75°
∴∠N=∠PFO－∠DON=45°．
【解析】【解答】（1）过点P作PH∥AB
∵AB∥CD，
∴PH∥AB∥CD，
∴∠AEM=∠MPH，∠PFD=∠NPH
∵∠MPN=90°
∴∠MPH＋∠NPH=90°
∴∠PFD＋∠AEM=90°
故答案为：∠PFD＋∠AEM=90°；
【分析】（1）过点P作PH∥AB，然后根据平行于同一条直线的两直线平行可得PH∥AB∥CD，根据平行线的性质可得∠AEM=∠MPH，∠PFD=∠NPH，然后根据∠MPH＋∠NPH=90°和等量代换即可得出结论；（2）过点P作PG∥AB，然后根据平行于同一条直线的两直线平行可得PG∥AB∥CD，根据平行线的性质可得∠AEM=∠MPG，∠PFD=∠NPG，然后根据∠NPG－∠MPG=90°和等量代换即可证出结论；（3）设AB与PN 交于点H，根据三角形的内角和定理即可求出∠PHE，然后根据平行线的性质可得∠PFO=∠PHE，然后根据三角形外角的性质即可求出结论．
2．已知长方形纸片ABCD，点E，F，G分别在边AB，DA，BC上，将三角形AEF沿EF翻折，点A落在点处，将三角形EBG沿EG翻折，点B落在点处.
（1）点E，，共线时，如图，求的度数；
（2）点E，，不共线时，如图，设，，请分别写出、满足的数量关系式，并说明理由.
【答案】（1）解：如图中，由翻折得： ,
（2）解：如图，结论： .
理由：如图中，由翻折得：
，
如图，结论：，
理由： ,
，
.
【解析】【分析】（1）根据翻折不变性得：，由此即可解决问题.（2）根据翻折不变性得到：，根据分别列等式可得图和的结论即可.
3．已知直线AB∥CD，直线EF与AB，CD分别相交于点E，F．
（1）如图1，若∠1=60°，求∠2，∠3的度数．
（2）若点P是平面内的一个动点，连结PE，PF，探索∠EPF，∠PEB，∠PFD三个角之间的关系．
①当点P在图（2）的位置时，可得∠EPF=∠PEB+∠PFD请阅读下面的解答过程并填空（理由或数学式）
解：如图2，过点P作MN∥AB
则∠EPM=∠PEB（________）
∵AB∥CD（已知）MN∥AB（作图）
∴MN∥CD（________）
∴∠MPF=∠PFD （________）
∴________=∠PEB+∠PFD（等式的性质）
即：∠EPF=∠PEB+∠PFD
②拓展应用，当点P在图3的位置时，此时∠EPF=80°，∠PEB=156°，则∠PFD=________度．
③当点P在图4的位置时，请直接写出∠EPF，∠PEB，∠PFD三个角之间关系________．【答案】（1）解：∵∠2=∠1，∠1=60°
∴∠2=60°，
∵AB∥CD
∴∠3=∠1=60°
（2）两直线平行，内错角相等；如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行；两直线平行，内错角相等；∠EPM+∠MPF；124；∠EPF+∠PFD=∠PEB
【解析】【解答】（2）①如图2，过点P作MN∥AB，则∠EPM=∠PEB（两直线平行，内错角相等）
∵AB∥CD（已知），MN∥AB，
∴MN∥CD（如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行）
∴∠MPF=∠PFD（两直线平行，内错角相等）
∴∠EPM+∠MPF=∠PEB+∠PFD（等式的性质）
即∠EPF=∠PEB+∠PFD；
故答案为：两直线平行，内错角相等；如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行；两直线平行，内错角相等；∠EPM+∠MPF；
②过点P作PM∥AB，如图3所示：
则∠PEB+∠EPM=180°，∠MPF+∠PFD=180°，
∴∠PEB+∠EPM+∠MPF+∠PFD=180°+180°=360°，
即∠EPF+∠PEB+∠PFD=360°，
∴∠PFD=360°﹣80°﹣156°=124°；
故答案为：124；
③∠EPF+∠PFD=∠PEB．
故答案为：∠EPF+∠PFD=∠PEB．
【分析】（1）利用对顶角相等，可证∠1=∠2，可求出∠2的度数，再根据两直线平行，同位角相等，就可求出∠3的度数。
（2）① 利用两直线平行，内错角相等，可证∠EPM=∠PEB，再根据同平行于一条直线的两直线平行，可证得MN∥CD，然后根据两直线平行，内错角相等，可证得结论；②利用平行线的性质：两直线平行，同旁内角互补，可证∠EPF+∠PEB+∠PFD=360°，代入计算可求出∩PFD的度数；③利用平行线的性质可证∠EPF，∠PEB，∠PFD三个角之间关系。
4．阅读理解
如图1，已知点A是BC外一点，连接AB，AC，求∠BAC+∠B+∠C的度数．
（1）阅读并补充下面推理过程
解：过点A作ED∥BC
∴∠B=∠________，∠C=∠________．
又∵∠EAB+∠BAC+∠DAC=180°（平角定义）
∴∠B+∠BAC+∠C=180°
从上面的推理过程中，我们发现平行线具有“等角转化”的功能，将∠BAC，∠B，∠C“凑”在一起，得出角之间的关系，使问题得以解决
（2）如图2，已知AB∥ED，求∠B+∠BCD+∠D的度数．
小明受到启发，过点C作CF∥AB如图所示，请你帮助小明完成解答：
（3）已知AB∥CD，点C在点D的右侧，∠ADC=70°．BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，BE，DE所在的直线交于点E，点E在AB与CD两条平行线之间．
①如图3，点B在点A的左侧，若∠ABC=60°，则∠BED的度数为________°．
②如图4，点B在点A的右侧，且AB＜CD，AD＜BC．若∠ABC=n°，则∠BED的度数为________°（用含n的代数式表示）
【答案】（1）∠EAB；∠DAC
（2）如图2，过C作CF∥AB．
∵AB∥DE，∴CF∥DE，∴∠D=∠FCD．
∵CF∥AB，∴∠B=∠BCF．
∵∠BCF+∠BCD+∠DCF=360°，∴∠B+∠BCD+∠D=360°
（3）65；215°﹣n
【解析】【解答】（1）∵ED∥BC，∴∠B=∠EAB，∠C=∠DAC．
故答案为：∠EAB，∠DAC；
（ 3 ）①如图3，过点E作EF∥AB．（1）
∵AB∥CD，∴AB∥CD∥EF，∴∠ABE=∠BEF，∠CDE=∠DEF．
∵BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，∠ABC=60°，∠ADC=70°，∴∠ABE= ∠ABC=30°，
∠CDE= ∠ADC=35°，∴∠BED=∠BEF+∠DEF=30°+35°=65°．
故答案为：65；
②如图4，过点E作EF∥AB．
∵BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，∠ABC=n°，∠ADC=70°
∴∠ABE= ∠ABC= n°，∠CDE= ∠ADC=35°．
∵AB∥CD，∴AB∥CD∥EF，∴∠BEF=180°﹣∠ABE=180°﹣ n°，∠CDE=∠DEF=35°，∴∠BED=∠BEF+∠DEF=180°﹣ n°+35°=215°﹣ n°．
故答案为：215°﹣ n．
【分析】（1）利用平行线的性质，可证得∠B=∠EAB，∠C=∠DAC，即可得出∠BAC+∠B+∠C的度数。
（2）过C作CF∥AB，根据两直线平行，内错角相等，可证∠D=∠FCD，∠B=∠BCF，再根据周角的定义，就可求出∠B+∠BCD+∠D的度数。
（3）①过点E作EF∥AB，利用平行线的性质，可证∠ABE=∠BEF，∠CDE=∠DEF，再利用角平分线的定义，分别求出∠ABE、∠CDE的度数，然后根据∠BED=∠BEF+∠DEF，就可求出∠BED的度数；②过点E作EF∥AB，利用角平分线的性质，可求出∠ABE，∠CDE，
再利用平行线的性质，可证得∠BEF=180°﹣ n°，∠CDE=∠DEF，然后根据∠BED=∠BEF+∠DEF，就可求出∠BED的值。
5．将一副三角板中的两块直角三角尺的直角顶点 O 按如图方式叠放在一起．
（1）如图 1 ，若∠BOD=35°，则∠AOC=________；若∠AOC=135°，则∠BOD=________；
（2）如图2，若∠AOC=140°，则∠BOD=________；
（3）猜想∠AOC 与∠BOD 的大小关系，并结合图1说明理由．
（4）三角尺 AOB 不动，将三角尺 COD 的 OD 边与 OA 边重合，然后绕点 O 按顺时针或逆时针方向任意转动一个角度，当∠A OD（0°＜∠AOD＜90°）等于多少度时，这两块三角尺各有一条边互相垂直，直接写出∠AOD 角度所有可能的值，不用说明理由．
【答案】（1）145°；45°
（2）40°
（3）解：∠AOC 与∠BOD 互补．
∵∠AOD+∠BOD+∠BOD+∠BOC=180°．
∵∠AOD+∠BOD+∠BOC=∠AOC，
∴∠AOC+∠BOD=180°，
即∠AOC 与∠BOD 互补
（4）解：OD⊥AB 时，∠AOD=30°，
CD⊥OB 时，∠AOD=45°，
CD⊥AB 时，∠AOD=75°，
OC⊥AB 时，∠AOD=60°，
即∠AOD 角度所有可能的值为：30°、45°、60°、75°
【解析】【解答】解：（1）若∠BOD=35°，∵∠AOB=∠COD=90°，
∴∠AOC=∠AOB+∠COD﹣∠BOD=90°+90°﹣35°=145°，若∠AOC=135°，
则∠BOD=∠AOB+∠COD﹣∠AOC=90°+90°﹣135°=45°；
（ 2 ）如图 2，若∠AOC=140°，
则∠BOD=360°﹣∠AOC﹣∠AOB﹣∠COD=40°；
故答案为：（1）145°，45°；（2）40°．
【分析】（1）根据∠AOC=∠AOB+∠COD﹣∠BOD，就可求出∠AOC的度数；再由∠BOD=∠AOB+∠COD﹣∠AOC，可求出∠BOD的度数。
（2）观察如图2可证∠BOD=360°﹣∠AOC﹣∠AOB﹣∠COD，代入计算可求解。
（3）观察图形可得出∠AOD+∠BOD+∠BOD+∠BOC=180°，而∠AOC=∠AOD+∠BOD+∠BOC ，即可证得结论。
（4）分情况讨论：OD⊥AB 时；CD⊥OB 时；CD⊥AB 时；OC⊥AB 时，根据垂直的定义，
分别求出∠AOD的度数。
6．点O为直线AB上一点，过点O作射线OC，使∠AOC：∠BOC=2：1，将一直角的顶点放在点O处，∠MON=90°.
（1）如图1，当∠MON的一边OM与射线OB重合时，则∠NOC=________；
（2）将∠MON绕点O逆时针运动至图2时，若∠MOC=15°，则∠BOM=________；∠AON=________.
（3）在上述∠MON从图1运动到图3的位置过程中，当∠MON的边OM所在直线恰好平分∠AOC时，求此时∠NOC是多少度？
【答案】（1）150°
（2）45°；135°
（3）解：由（1）可知：∠AOC=120°，∠BOC=60°，
∵OM平分∠AOC，
∴∠COM= ∠AOC=60°，
∵∠MON=90°，
∴∠NOC=∠MON-∠COM=90°-60°=30°.
【解析】【解答】（1）∵∠AOC：∠BOC=2：1，∠AOC+∠BOC=180°，
∴∠AOC=180°× =120°，∠BOC=180°× =60°，
∵∠MON=90°，
∴∠NOC=∠BOC+∠MON=90°+60°=150°.
故答案为：150°
（ 2 ）由（1）可知：∠BOC=60°，
∵∠MOC=15°，
∴∠BOM=∠BOC-∠MOC=60°-15°=45°，
∵∠MON=90°，
∴∠BON=90°-∠BOM=45°，
∴∠AON=180°-∠AON=135°，
故答案为：45°，135°
【分析】（1）由∠AOC：∠BOC=2：1，根据平角的定义可求出∠AOC、∠BOC的度数，根据角的和差关系即可求出∠NOC的度数；（2）根据∠BOC和∠MOC的度数可求出∠BOM
的度数，根据角的和差关系即可求出∠BOM的度数，根据∠MON=90°可求出∠NOB的度数，根据平角的定义即可求出∠AON的度数；（3）利用角平分线的定义可求出∠MOC的度数，进而可求出∠NOC的度数.
7．如图1，∠MON＝90°，点A，B分别在射线OM、ON上．将射线OA绕点O沿顺时针方向以每秒9°的速度旋转，同时射线OB绕点O沿顺时针方向以每秒3°的速度旋转(如图2)．设旋转时间为t(0≤t≤40，单位秒)．
（1）当t＝8时，∠AOB＝________°；
（2）在旋转过程中，当∠AOB＝36°时，求t的值．
（3）在旋转过程中，当ON、OA、OB三条射线中的一条恰好平分另外两条射线组成的角(指大于0°而不超过180°的角)时，请求出t的值．
【答案】（1）42
（2）解：此题需要分类讨论：
①当OA在OB后面时，∠AOB=∠MOB-∠MOA=∠MON+∠BON-∠MOA=(90+3t)-9t，又∵∠AOB＝36°
∴(90+3t)-9t=36°，解得 t=9；
②当OA在OB前面的时候，∠AOB=∠MOA--∠MOB=∠MOA-∠MON-∠BON-=9t-(90+3t)，又∵∠AOB＝36°
∴9t-(90+3t)=36°，解得 t=21，
故t=9或t=21；
（3）解：有以下3种情形：
①当ON平分∠AOB时，3t＝90－9t，∴t＝7.5
②当OA平分∠BON时，3t＝2(9t－90)，∴t＝12
③当OB平分∠AON时，9t－90＝2×3t，∴t＝30
故t的值为7.5或12或30.
【解析】【解答】解：（1）∵∠NOB=3t=3×8=24°，∠MOA=9t=9×8=72°，
∴∠AOB=∠MOB-∠MOA=∠MON+∠BON-∠MOA=90°+24°-72°=42°；
故答案为：42；
【分析】（1）先求出∠NOB及∠MOA的度数，然后根据∠AOB=∠MOB-∠MOA=∠MON+∠BON-∠MOA即可算出答案；
（2）此题需要分类讨论：①当OA在OB后面时，∠AOB=∠MOB-∠MOA=∠MON+∠BON-∠MOA=(90+3t)-9t=36°列出方程，求解即可；②当OA在OB前面的时候，∠AOB=∠MOA--∠MOB=∠MOA-∠MON-∠BON-=9t-(90+3t)=36°列出方程，求解即可；
（3）分①当ON平分∠AOB时，②当OA平分∠BON时，③当OB平分∠AON时三种情况考虑即可解决问题.
8．如图：AC为一条直线，O是AC上一点， OE、OF分别平分∠AOB和∠BOC.
（1）如图：若∠AOB=120°，求∠EOF的大小;
（2）若∠AOB=60°，则∠EOF= ________°
（3）任意改变∠AOB的大小，∠EOF的大小会改变吗？
【答案】（1）解：∵∠AOB=120°，∴∠COB=180°-120°=60°
∵OE、OF分别平分∠AOB和∠BOC
∴∠EOB= ∠AOB=60°，∠BOF= ∠BOC=30°
∴∠EOF=∠EOB+∠BOF=60°+30°=90°
（2）90°
（3）解：不变.
理由是：∵OE平分∠AOB，OF平分∠BOC，
∴∠BOE= ∠AOB，
∴∠BOF= ∠BOC，
∴∠EOF=∠BOE+∠BOF= ∠AOB+ ∠BOC= （∠AOB+∠BOC）= ×180°=90°
【解析】【解答】(2) ∵∠AOB=60°，∴∠COB=180°-60°=120°
∵OE、OF分别平分∠AOB和∠BOC
∴∠EOB= ∠AOB=30°，∠BOF= ∠BOC=60°
∴∠EOF=∠EOB+∠BOF=30°+60°=90°
【分析】（1）先由∠AOB=120°，得∠COB=60°，再由OE，OF分别平分∠AOB，∠BOC，得∠EOB=60°，∠BOF=30°，从而可得∠EOF的大小；（2）由∠AOB=60°，得∠COB=120°，再由OE，OF分别平分∠AOB，∠BOC，得∠EOB=30°，∠BOF=60°，从而可得∠EOF的大小；（3）任意改变∠AOB的大小，先由点O是AC上一点，得出∠AOB+∠BOC=∠AOC=180°，
再由OE，OF分别平分∠AOB，∠BOC，根据角平分线定义得出∠BOE= ∠AOB，∠BOF= ∠BOC，那么∠EOF=∠BOE+∠BOF= ∠AOB+ ∠BOC= ∠AOC=90°.
9．如图，EF⊥AB于F，CD⊥AB于D，点在AC边上，且∠1=∠2= ．
（1）求证：EF∥CD；
（2）若∠AGD=65°，试求∠DCG的度数.
【答案】（1）证明：∵EF⊥AB于F，CD⊥AB于D，
∴∠BFE=∠BDC=90°，
∴EF∥CD.
（2）解：∵EF∥CD，
∴∠2=∠DCE=50°，
∵∠1=∠2，
∴∠1=∠DCE,
∴DG∥BC，
∴∠AGD=∠ACB=65°，
∴∠DCG=
【解析】【分析】（1）由垂直的定义，可求得∠BFE=∠CDF=90°，可证明EF∥CD；
（2）利用（1）的结论，结合条件可证明DG∥BC，利用平行线的性质可得∠AGD=∠ACB= ，则∠DCG=∠ACB-∠2即可求得．
10．如图1，点O为直线AB上一点，过O点作射线OC，使∠AOC：∠BOC=1：2，将一直
角三角板的直角顶点放在点O处，一边OM在射线OB上，另一边ON在直线AB的下方．
（1）将图1中的三角板绕点O按逆时针方向旋转至图2的位置，使得ON落在射线OB 上，此时三角板旋转的角度为________度；
（2）继续将图2中的三角板绕点O按逆时针方向旋转至图3的位置，使得ON在∠AOC的内部．试探究∠AOM与∠NOC之间满足什么等量关系，并说明理由；
（3）在上述直角三角板从图1逆时针旋转到图3的位置的过程中，若三角板绕点O按15°每秒的速度旋转，当直角三角板的直角边ON所在直线恰好平分∠AOC时，求此时三角板绕点O的运动时间t的值．
【答案】（1）90
（2）解：如图3，∠AOM﹣∠NOC=30°．
设∠AOC=α，由∠AOC：∠BOC=1：2可得
∠BOC=2α．
∵∠AOC+∠BOC=180°，
∴α+2α=180°．
解得α=60°．
即∠AOC=60°．
∴∠AON+∠NOC=60°．①
∵∠MON=90°，
∴∠AOM+∠AON=90°．②
由②﹣①，得∠AOM﹣∠NOC=30°；
（3）（ⅰ）如图4，当直角边ON在∠AOC外部时，
由OD平分∠AOC，可得∠BON=30°．
因此三角板绕点O逆时针旋转60°．
此时三角板的运动时间为：
t=60°÷15°=4（秒）．
（ⅱ）如图5，当直角边ON在∠AOC内部时，
由ON平分∠AOC，可得∠CON=30°．
因此三角板绕点O逆时针旋转240°．
此时三角板的运动时间为：
t=240°÷15°=16（秒）．
【解析】【解答】解：（1）由旋转的性质知，旋转角∠MON=90°．
故答案是：90；
【分析】（1）根据旋转的性质知，旋转角是∠MON；（2）如图3，利用平角的定义，结合已知条件“∠AOC：∠BOC=1：2”求得∠AOC=60°；然后由直角的性质、图中角与角间的数量关系推知∠AOM﹣∠NOC=30°；（3）需要分类讨论：（ⅰ）当直角边ON在∠AOC外部时，旋转角是60°；（ⅱ）当直角边ON在∠AOC内部时，旋转角是240°．
11．如图，已知CD∥EF，A，B分别是CD和EF上一点，BC平分∠ABE，BD平分∠ABF
（1）证明：BD⊥BC;
（2）如图，若G是BF上一点，且∠BAG=50°，作∠DAG的平分线交BD于点P，求∠APD 的度数：
（3）如图，过A作AN⊥EF于点N，作AQ∥BC交EF于Q，AP平分∠BAN交EF于P，直接写出∠PAQ=________.
【答案】（1）证明：∵BC平分∠ABE，BD平分∠ABF
∴∠ABC= ∠ABE，∠ABD= ∠ABF
∴∠ABC+∠ABD= （∠ABE+∠ABF）= ×180°=90°
∴BD⊥BC
（2）解：∵CD∥EF
BD平分∠ABF
∴∠ADP=∠DBF= ∠ABF，∠DAB+∠ABF=180°
又AP平分∠DAG，∠BAG=50°
∴∠DAP= ∠DAG
∴∠APD=180°－∠DAP－∠ADP
=180°－∠DAG－∠ABF
=180°－ (∠DAB－∠BAG)－∠ABF
=180°－∠DAB+ ×50°－∠ABF
=180°－ (∠DAB+∠ABF)+25°
=180°－ ×180°+25°
=115°
（3）45°
【解析】【解答】（3）解：如图，
∵AQ∥BC
∴∠1=∠4，∠2+∠3+∠4=180°，
∵BC平分∠ABE，
∴∠1=∠2=∠4，
∴∠3+∠4=90°，
又∵CD∥EF，AN⊥EF，AP平分∠BAN
∴∠PAN= （90°-∠3），∠NAQ=90°-∠4，
∴∠PAQ=∠PAN+∠NAQ= （90°-∠3）+（90°-∠4）
=45°- ∠3+90°-∠4
=135°-（∠3+∠4）
=135°-90°
=45°.
【分析】（1）根据角平分线和平角的定义可得∠CBD=90°，即可得出结论；（2）根据平行线的性质以及角平分线的定义可得∠ADP=∠DBF= ∠ABF，∠DAB+∠ABF=180°，∠DAP= ∠DAG，然后根据出三角形内角和即可求出∠APD的度数；（3）根据平行线的性质以及角平分线的定义可得∠1=∠2=∠4，∠2+∠3+∠4=180°，即∠3+∠4=90°，根据垂直和平行线的性质以及角平分线的定义可得∠PAN= （90°-∠3），∠NAQ=90°-∠4，则∠PAQ=∠PAN+∠NAQ= （90°-∠3）+（90°-∠4），代入计算即可求解.
12．问题情境：如图1，AB∥CD，∠PAB=125°，∠PCD=135°，求∠APC的度数．
小明的思路是：过P作PE∥AB，通过平行线性质来求∠APC．
（1）按小明的思路，易求得∠APC的度数为________度。
（2）问题迁移：如图2，AB∥CD，点P在射线OM上运动，记∠PAB=α，∠PCD=β，当点P在B、D两点之间运动时，问∠APC与α、β之间有何数量关系？请说明理由；
（3）在(2)的条件下，①如果点P运动到D点右侧（不包括D点），则∠APC与α、β之间的数量关系为________．②如果点P运动到B点左侧（不包括B点），则∠APC与α、β之间的数量关系________.（直接写出结果）
【答案】（1）100°
（2）解：∠APC=α+β，
理由是：如下图，过P作PE∥AB，交AC于E，
∵AB∥CD，
∴AB∥PE∥CD，
∴∠APE=∠PAB=α，∠CPE=∠PCD=β，
∴∠APC=∠APE+∠CPE=α+β.
（3）∠APC=α-β；∠APC=β-α
【解析】【解答】（1）解：如图1，过P作PE∥AB，
∵AB∥CD，
∴PE∥AB∥CD，
∴∠A+∠APE=180°，∠C+∠CPE=180°，
∵∠PAB=125°，∠PCD=135°，
∴∠APE=55°，∠CPE=45°，
∴∠APC=∠APE+∠CPE=55°+45°=100°.
（ 3 ）解：如下图所示，当P在BD延长线上时，
过P作PE∥AB，交AC于E，
∵AB∥CD，
∴AB∥PE∥CD，
∴∠1=∠PAB=α，
∵∠1=∠APC+∠PCD
∴∠APC=∠1-∠PCD，
∴∠APC=α-β，
如下图所示，当P在DB延长线上时，
过P作PE∥AB，交AC于E，
∵AB∥CD，
∴AB∥PE∥CD，
∴∠EPC=∠PCD=β，∠EPA=∠PAB=α
又∵∠EPC=∠EPA+∠APC，
∴∠APC=β-α.
【分析】（1）过P作PE∥AB，通过平行线性质来求∠APC
（2）过P作PE∥AB，交AC于E，推出 AB∥PE∥CD ，根据平行线的性质得出∠APE=α，∠CPE=β
，即可得出答案。
（3）画出图形，根据平行线的性质得出∠APE=α，∠CPE=β ，即可得出答案。
13．如图1，直线CB∥OA，∠A=∠B=120°，E ,F在BC上，且满足∠FOC =∠AOC，并且OE 平分∠BOF．
（1）求∠AOB及∠EOC的度数；
（2）如图2，若平行移动AC，那么∠OCB: ∠OFB的值是否随之发生变化？若变化，找出变化规律或求出变化范围；若不变，求出这个比值；
【答案】（1）解：∵CB∥OA
∴∠BOA+∠B=180°
∴∠BOA=60°
∵∠FOC=∠AOC,OE平分∠BOF
∴∠EOC=∠EOF+∠FOC
= ∠BOF+ ∠F0A
= (∠BOF+∠FOA)
= ×60°
=30°
（2）解：不变
∵CB∥OA
∴∠OCB=∠COA,∠OFB=∠FOA
∵∠FOC=∠AOC
∴∠COA= ∠FOA, 即∠OCB:∠OFB=1：2
【解析】【分析】（1）利用两直线平行，同旁内角互补，易证∠BOA+∠B=180°，即可求出∠AOB的度数；再利用角平分线的定义，可证得∠BOE=∠EOF，从而可推出
∠EOC=∠AOB，代入计算求出∠EOC的度数。
（2）利用平行线的性质可证得∠OCB=∠COA，∠OFB=∠FOA，再结合已知条件可证得
∠COA=∠FOA，从而可推出∠OCB: ∠OFB的值。
14．已知，，点在射线上， .
（1）如图1，若，求的度数；
（2）把“ °”改为“ ”，射线沿射线平移，得到，其它条件不变（如图2所示），探究的数量关系；
（3）在（2）的条件下，作，垂足为，与的角平分线交于点，
若，用含α的式子表示（直接写出答案）.
【答案】（1）解：∵CD//OE，
∴∠AOE=∠OCD=120°，
∴∠BOE=360°-90°-120°=150°
（2）解：如图2，过O点作OF//CD，
∴CD//OE，
∴OF∥OE，
∴∠AOF=180°-∠OCD，∠BOF=∠EO'O=180°-∠BO'E，
∴∠AOB=∠AOF+∠BOF=180°-∠OCD+180°-∠BO'E=360°-（∠OCD+∠BO'E）=120°，
∴∠OCD+∠BO'E=240°
（3）30°+
【解析】【解答】解：（3）如图，
∵CP是∠OCD的平分线，
∴∠OCP= ∠OCD，
∴∠CPO'=360°-90°-120°-∠OCP
=150°- ∠OCD
=150°- （240°-∠BO'E）
=30°+
【分析】（1）先求出到∠AOE的度数，再根据直角、周角的定义即可求解；
（2）过O点作OF//CD，根据平行线的判定和性质可得∠OCD、∠BO'E的数量关系；（3）根据四边形内角和为360°，再结合（2）的结论以及角平分线的定义即可解答.
15．如图，AD∥BC，∠B＝∠D＝50°，点E、F在BC上，且满足∠CAD＝∠CAE，AF平分
∠BAE.
（1）∠CAF＝________°；
（2）若平行移动CD，那么∠ACB与∠AEB度数的比值是否随之发生变化？若变化，试说明理由；若不变，求出这个比值；
（3）在平行移动CD的过程中，是否存在某种情况，使∠AFB＝∠ACD？若存在，求出∠ACD度数；若不存在，说明理由.
【答案】（1）65
（2）解：若平行移动CD，那么∠ACB与∠AEB度数的比值不发生变化.
∵AD∥BC，
∴∠DAC=∠ACB
∵∠CAD＝∠CAE
∴∠ACB=∠CAE
∴∠AEB=∠CAE+∠ACB=2∠ACB
即∠ACB：∠AEB=1:2
所以，∠ACB与∠AEB度数的比值是：1:2
（3）解：存在
∵AD∥BC，
∴∠B+∠BAD=180°,
∵∠B=∠D
∴∠D+∠BAD=180°
∴AB∥CD
∴∠AFB=∠DAF=∠DAC+∠CAF
∠ACD=∠CAB=∠BAF+∠CAF
∵∠AFB＝∠ACD
∴∠DAC+∠CAF=∠BAF+∠CAF
∴∠DAC=∠BAF
∴∠DAC=∠BAF=∠CAE=∠EAF= ∠BAD= ×130°=32.5°
∴∠ACD= ∠CAB=∠BAF+∠CAF =3∠DAC=3×32.5°=97.5°
【解析】【解答】解：（1）∵AF平分∠BAE，
∴∠BAF=∠EAF= ∠BAE，
∵∠CAD＝∠CAE