当前位置：文档视界 › 最新北师大版九年级上相似三角形(知识点+练习例题+答案)

最新北师大版九年级上相似三角形(知识点+练习例题+答案)

学生编号学生姓名授课教师

辅导学科九年级数学教材版本上教

课题名称相似三角形课时进度总第（ )课时授课时间7月２８日

教学目标掌握相似三角形的概念、性质及判定方法，能够灵活应用相似三角形的性质和判定方法方法解决实际问题。

重点难点重点：相似三角形的概念、判定定理和相似三角形的性质

难点:如何根据问题的结论，在较复杂的图形中找到所要证明的相似三角形．

同步教学内容及授课步骤

知识点归纳:

1、三角形相似的判定方法

(１)定义法：对应角相等，对应边成比例的两个三角形相似。

（2)平行法:平行于三角形一边的直线和其它两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角

形与原三角形相似。

（3）判定定理1:如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等,那么这两

个三角形相似。简述为：两角对应相等，两三角形相似。

(4)判定定理2:如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个

三角形相似。简述为:两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似。

(５)判定定理3:如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例,那么这两个三角形相似。简述为:三边对应成比例,两三角形相似。

（６)判定直角三角形相似的方法:

①以上各种判定均适用。

②如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例,

那么这两个直角三角形相似。

③直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似。

＃直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项。

每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项。

如图,Rt△AＢC中，∠BAC＝9０°，AD是斜边ＢC上的高，

则有射影定理如下：

（1）（AＤ)2=ＢD·DC，

（2）(AＢ)2=BD·BＣ，

(3）（AＣ）2＝CD·BC 。

注:由上述射影定理还可以证明勾股定理。即 (ＡB)2

+(ＡC)2

=（B Ｃ)2

。

典型例题:

例1 如图,已知等腰△ABC 中,ＡB ＝AC ，AD ⊥B Ｃ于D,CG ‖AB,B Ｇ分别交AD ，A Ｃ于E 、 F,求证:BE ２

Ｆ·EG

证明：如图,连结ＥC ，∵AB ＝A Ｃ，AD ⊥ＢC, ∴∠ABC ＝∠ACB ，AD 垂直平分BC

∴BE=E Ｃ,∠1=∠2，∴∠ABC-∠1=∠AC Ｂ-∠2, 即∠3=∠4，又CG ∥AB ，∴∠Ｇ＝∠3，∴∠4=∠G

又∵∠ＣEG=∠CE Ｆ,∴△CE Ｆ∽△GE Ｃ，∴EG CE =CE EF

∴EC 2＝EG· ＥF,故EB ２

＝ＥF·ＥG

【解题技巧点拨】

本题必须综合运用等腰三角形的三线合一的性质，线段的垂直平分线的性质和相似三角形的基本图形来得到证明.而其中利用线段的垂直平分线的性质得到ＢＥ＝EC ，把原来处在同一条直线上的三条线段BE ，EF ，EC 转换到相似三角形的基本图形中是证明本题的关键。

例2 已知：如图,AD 是Ｒｔ△AB Ｃ斜BC 上的高，E 是ＡＣ的中点，ED 与AB 的延长线相交于F ，求证:BA FB =AC

证法一:如图，在Ｒt △A ＢC 中，∵∠ＢＡC ＝Rt ∠,AD ⊥BC, ∴∠3＝∠C ，又E 是Rt △AD Ｃ的斜边ＡC 上的中点,

∴ED ＝21

A Ｃ＝ＥC,∴∠2=∠C ，又∠１=∠２,∴∠１=∠３，

∴∠DFB=∠AF Ｄ，∴△DFB ∽△AFD,∴FD FB ＝AD BD

（１)

又AD 是R ｔ△ABC 的斜边BC 上的高，∴Rt △ABD ∽R ｔ△CAD ，∴AD BD =AC BA

（2）由（1）（2）两式得FD FB ＝AC BA ，故BA FB =AC FD

证法二：过点Ａ作AG ∥EF 交CB 延长线于点G,则BA FB =AG FD

（1）

∵E 是AC 的中点,ＥD ∥AC,∴Ｄ是GC 的中点，又AD ⊥GC,∴AD 是线段GC 的垂直平分线，∴A Ｇ＝AC (2)

由（１）（2）两式得：BA FB =AC FD

，证毕。

【解题技巧点拨】

本题证法中，通过连续两次证明三角形相似，得到相应的比例式,然后通过中间比“AD BD

”过渡,使问题得证，证法

二中是运用平行线分线段成比例定理的推论，三角形的中位线的判定，线段的垂直平分线的判定与性质使问题得证.

一、如何证明三角形相似

例1、如图:点G 在平行四边形ＡＢCD 的边D Ｃ的延长线上,A Ｇ交BC 、B Ｄ于点E 、F ，则△ＡGD ∽ ∽ 。

例2、已知△ABC 中，AB=A Ｃ,∠A=36°，BD 是角平分线,求证:△ABC ∽△BC Ｄ

例３：已知，如图，D 为△A ＢC 内一点连结ED 、ＡD ，以BC 为边在△AB Ｃ外作∠CBE=∠ABD ，∠BC Ｅ=

∠BA Ｄ

求证:△ＤBE ∽△AB Ｃ

A B C D

E F

G 1

234

C D A B C D E F

例4、矩形ABCD 中，ＢC=３ＡB ，E 、F ，是ＢC 边的三等分点，连结AE 、ＡＦ、AC ，问图中是否存在非全等

的相似三角形?请证明你的结论。

二、如何应用相似三角形证明比例式和乘积式

例5、△ＡB Ｃ中,在AC 上截取AD,在CB 延长线上截取ＢE,使A Ｄ=B Ｅ，求证：D Ｆ?AC=ＢC ?FE

例6:已知：如图，在△A ＢC 中，∠BA Ｃ=900，M 是BC 的中点,D Ｍ⊥BC 于点E ，交B Ａ的延长线于点D 。

求证:(１)MA 2=MD ?ME;（2)MD

AD AE =

例７：如图△AB Ｃ中，AD 为中线,CF 为任一直线，CF 交A Ｄ于E ，交AB 于F ，求证：ＡE:ＥＤ=２AF:F Ｂ。

三、如何用相似三角形证明两角相等、两线平行和线段相等。

例8:已知：如图E 、Ｆ分别是正方形ABCD 的边AB 和AD 上的点，且

==AD AF AB EB 。求证:∠AEF=∠FBD

D E M 12

B C D E F

K A

S P

B C

D E F

A B

O 123

７.△ABC 中,AB=AC,∠A=36°，ＢC ＝1,BD 平分∠ABC 交于D,则B Ｄ＝，AD ＝，设AB ＝x ，则关于x 的方程是．

８．如图，已知D 是等边△AB Ｃ的B Ｃ边上一点，把△A ＢC 向下折叠,折痕为MN,使点Ａ落在点D 处，若ＢD ∶DC ＝2∶3,则ＡM ∶M Ｎ= 。

二、选择题

9.如图，在正△ABC 中，Ｄ、E 分别在ＡC 、AB 上,且AC AD =31

，A Ｅ=BE ，则有()

A ．△A ＥD ∽△BE Ｄ ?? ?

B ．△A ＥD ∽△CB Ｄ C.△AED ∽△AB Ｄ

?D.△BAD ∽△ＢC Ｄ

10.如图，在△ABC 中，D 为A Ｃ边上一点,∠DB Ｃ=∠A,ＢＣ=6,AC ＝３,则CD 的长为（）

Ａ.1

? Ｂ.23

? ?C.２

Ｄ．25

1１．如图,□ＡＢＣD 中,G 是 BC 延长线上一点，AG 与 BD 交于点Ｅ,与DC 交于点Ｆ，则图中相似三角形共

有(）

A.3对??Ｂ．4对C．5对??D.6对

１2．P是Rｔ△ＡBC的斜边BＣ上异于Ｂ、C的一点,过点P作直线截△ABC，使截得的三角形与△ＡＢC相似,满足这样条件的直线共有( ）

A．１条???Ｂ．2条????Ｃ．3条 D.４条

13.如图,在直角梯形ABCD中，AB＝7,AD＝2,BC=３，若在AＢ上取一点P，使以P、Ａ、D为顶点的三角形和以P、Ｂ、C为顶点的三角形相似，这样的Ｐ点有(）

Ａ.1个?Ｂ.2个? C.3个?D．4个

三、解答下列各题

１4.如图,长方形AＢCD中,AＢ=5,ＢC＝10,点P从A点出发，沿AB作匀速运动，１分钟可以到达B点，点Ｑ从Ｂ点出发，沿BC作匀速直线运动,1分钟可到C点,现在点P点Q同时分别从Ａ点、B点出发,经过多少时间,线段ＰQ恰与线段ＢD垂直?

15.已知:如图，正方形ＤEＦG内接于Rｔ△ABC,EＦ在斜边BＣ上,EＨ⊥AB于H.求证:（1）△ADG≌△HED；(２）EＦ2=BE·FC

（答案)

例1分析:关键在找“角相等”，除已知条件中已明确给出的以外，还应结合具体的图形,利用公共角、对顶角及由平行线产生的一系列相等的角。本例除公共角∠G外,由BＣ∥AＤ可得∠1=∠2，所以△AGD∽△EＧC。再∠1=∠２(对顶角)，由AＢ∥DG可得∠4=∠G，所以△EＧC∽△EAB。

例２分析：证明相似三角形应先找相等的角,显然∠C是公共角，而另一组相等的角则可以通过计算来求得。借助于计算也是一种常用的方法。

证明：∵∠A=36°，△ABC是等腰三角形,∴∠ABＣ=∠C=７2°又BD平分∠ABＣ，则∠DBC=３6°

在△AＢC和△BCD中,∠Ｃ为公共角,∠A=∠ＤBＣ=3６°∴△ABＣ∽△BCD

例3分析：由已知条件∠AＢD＝∠CBＥ，∠DBC公用。所以∠DBＥ=∠ABC,要证的△DBＥ和△ABＣ，有一对角相等，要证两个三角形相似，或者再找一对角相等，或者找夹这个角的两边对应成比例。从已知条件中可看到△CＢE∽△ABD,这样既有相等的角，又有成比例的线段，问题就可以得到解决。

证明:在△CＢE和△AＢD中，∠CBＥ=∠ABD,∠ＢCＥ=∠BＡＤ∴△CBE∽△ABD∴BC

即：

BC BE = AB BD

△DBE和△ABC中,∠CBE=∠ＡBD, ∠ＤBＣ公用∴∠ＣＢE+∠DＢＣ=∠ABD+∠DBC∴∠DBＥ=∠ＡBC且

BC BE =

∴△DBE∽△ＡBC

例4分析:本题要找出相似三角形,那么如何寻找相似三角形呢？下面我们来看一看相似三角形的几种基本图形：（1）如图:称为“平行线型”的相似三角形

(2）如图：其中∠1＝∠2，则△ＡDE∽△ABC称为“相交线型”的相似三角形。

B C C

(3)如图:∠1＝∠2,∠B=∠Ｄ，则△ADＥ∽△ABC,称为“旋转型”的相似三角形。

观察本题的图形，如果存在相似三角形只可能是“相交线型”的相似三角形，及△ＥAＦ与△ＥCA 解:设AB=ａ,则BＥ=EF=FC=3a，

由勾股定理可求得ＡＥ=a

2, 在△EAＦ与△ＥＣA中,∠AEF为公共角，且2

所以△EAＦ∽△ECA

例5分析:证明乘积式通常是将乘积式变形为比例式及DＦ:FＥ＝ＢC:AC，再利用相似三角形或平行线性质进行证明：

证明:过D点作DK∥ＡＢ,交BC于Ｋ,

∵DK∥AB,∴ＤＦ：FE＝BＫ:BＥ

又∵AD＝BE，∴DF：FE=ＢK:AＤ,而BK:AＤ＝BC:ＡC

即DＦ:FＥ＝BC：ＡC，∴ＤＦ?AC=BC?FE

例6证明：(1)∵∠BAC=9００，M是BC的中点,∴MA=ＭC,∠1=∠C,

∵ＤＭ⊥BC，∴∠C＝∠D=9０0-∠Ｂ，∴∠１=∠D，

∵∠2＝∠２,∴△MAE∽△ＭDA,∴

=,∴MA２＝MD?ME,

(2）∵△MAE∽△MDＡ,∴

=，

=∴

评注:命题1 如图，如果∠１=∠２，那么△ＡBD∽△ACB,ＡB2=ＡD?ＡＣ。

命题2 如图，如果AB２=ＡD?AＣ，那么△ABD∽△ACB，∠1＝∠２。

例7分析:图中没有现成的相似形，也不能直接得到任何比例式，于是可以考虑作平行线构造相似形。怎样作？

观察要证明的结论,紧紧扣住结论中“AＥ：ＥD”的特征,作DＧ∥ＢA交ＣＦ于G,得△ＡEF∽△ＤEＧ，

=。

与结论

=相比较,显然问题转化为证FB

=。

证明:过Ｄ点作DG∥ＡB交ＦＣ于G则△ＡEF∽△DＥG。（平行于三角形一边的直线截其它两边或两边的延长线所得三角形与原三角形相似）

(1）

∵D为BC的中点，且DG∥BF∴G为FＣ的中点则DG为△CBF的中位线,BF

(2)将(２)代入(1）得：

AE2

例8 分析：要证角相等,一般来说可通过全等三角形、相似三角形，等边对等角等方法来实现，本题要证的两个角分别在两个三角形中,可考虑用相似三角形来证,但要证的两个角所在的三角形显然不可能相似(一个在直角三角形中,另一个在斜三角形中)，所以证明本题的关键是构造相似三角形,

证明：作FG⊥BD,垂足为G。设AB＝AＤ＝３k则BE=AF=k，AＥ=DF＝２k，ＢD=k2

∵∠AD Ｂ＝450，∠ＦGD=9００

∴∠ＤＦG=４50∴DG=F Ｇ=

k DF 22

=∴B Ｇ=k

k k 22223=-∴

==BG FG AE AF 又∠A=∠F ＧB=9００

∴△AEF ∽△GBF ∴∠AEF ＝∠F ＢD

例９分析：要证明两线平行较多采用平行线的判定定理，但本例不具备这样的条件,故可考虑用比例线段去证明。利用比例线段证明平行线最关键的一点就是要明确目标,选择适当的比例线段。要证明S Ｑ∥AB ，只需证明ＡR:A Ｓ=ＢR:DS 。

证明：在△ADS 和△ARB 中。

∵∠ＤA Ｒ＝∠RAB=

21∠ＤAB,∠DCP=∠PC Ｂ＝21∠ＡＢC ∴△ＡDS ∽△AB Ｒ DS

BR AS AR = 但△ADS ≌△CB Ｑ，∴DS=BQ,则BQ

AS AR =,∴SQ ∥AB ，同理可证，ＲP ∥BC 例10分析:要证明AF ∥CD ，已知条件中有平行的条件，因而有好多的比例线段可供利用，这就要进行正确的选择。其实要证明ＡF ∥ＣD,只要证明

OC OA =

即可,因此只要找出与这四条线段相关的比例式再稍加处理即可成功。证明：∵A Ｂ∥ED,BC ∥FE ∴OD OB OE OA =，OB OF OC OE =∴两式相乘可得:OD

OC OA =

例11 分析:要证明FC=F Ｇ,从图中可以看出它们所在的三角形显然不全等,但存在较多的平行线的条件,因而可用

比例线段来证明。要证明ＦC=ＦG ，首先要找出与FC 、FG 相关的比例线段,图中与FC 、FG 相关的比例式较多，则应选择与ＦＣ、ＦＧ都有联系的比作为过渡，最终必须得到?

?FG

FC =

(“?”代表相同的线段或相等的线段),便可完成。

证明:∵ F Ｇ∥AC ∥ＢE,∴△A ＢE ∽△ＡGF 则有AE

BE GF =

而ＦＣ∥DE ∴△ＡＥD ∽△A ＦC 则有AE AF DE CF = ∴GF CF AF BE DE AE

又∵BE=DE （正方形的边长相等)∴DF GF BE BE =,即G Ｆ＝ＣF 。例１2 证明:∵C Ｏ平分∠C ，∠２=∠3，故Ｒt △C ＡE ∽Rt △C ＤO ，∴CD

OD AE =

又OF ∥BC ，∴AD AB OD BF =又∵Rt △ABD ∽Ｒt △CAD ，∴AD AB CD AC =，即OD

OD AE =

∴ＡE=BF 。

一、∠B 、∠AC Ｂ、ＡP ·AB 2.48，２43 3.4 4.６ 5.5或59

６．135° 7.1，1,x 2-x-１=0 ８.7∶

二、９.B 1０.Ｃ１1.D 12．C 13.C

三、14.51

分钟１5．(1)(略） (2)证△G ＦC ∽△B ＥD １６.(１)证△BFD ≌△ＤGC 和△BAD ≌△ＤAC ；（2）

证△A ＢD ∽△ＡB Ｅ。１７.50m 40m 18.证△A ＢC ∽△ＡＣP 和证△AB Ｄ∽△ADP 19．(1)略 (2）由（1)的结论和证Rt △ＡDC ∽Ｒt △CDB 即得。 20.(1）略（2)36ｃm ２１.先探索ＡＤ只能与ＢＣ成对应边,

则AD BC =BD CD =AB BD

,得ＢD=100,BC ＝64，故△ABD ∽△BD Ｃ

22．在△A ＢC 中,作∠ACG=∠E,C Ｇ交AB 于点G ，在△ＤEF 中,作∠ＥFH ＝∠Ａ，FH 交DE 于点H ，直线C Ｇ、FH 就是所求的分割线。