概率论与数理统计(word版)
自考高数经管类概率论与数理统计课堂笔记
第一章随机事件与随机事件的概率
第二章随机变量及其概率分布
第三章多维随机变量及概率分布
第四章随机变量的数字特征
第五章大数定律及中心极限定理
第六章统计量及其抽样分布
第七章参数估计
第八章假设检验
第九章回归分析
预备知识
概率论包括随机事件及其概率、随机变量及其概率分布、多维随机变量及其概率分布、随机变量的数字特征及大数定律和中心极限定理。共五章，重点第一、二章，数理统计包括样本与统计量，参数估计和假设检验、回归分析。重点是参数估计。
一、加法原则
引例一，从北京到上海的方法有两类：第一类坐火车，若北京到上海有早、中、晚三班火车分别记作火1、火2、火3，则坐火车的方法有3种；第二类坐飞机，若北京到上海的飞机有早、晚二班飞机，分别记作飞1、飞2。问北京到上海的交通方法共有多少种。
解：从北京到上海的交通方法共有火1、火2、火3、飞1、飞2共5种。它是由第一类的3种方法与第二类的2种方法相加而成。
一般地有下面的加法原则：
办一件事，有m类办法，其中：
第一类办法中有n1种方法；
第二类办法中有n2种方法；
……
第m类办法中有n m种方法；
则办这件事共有种方法。
二、乘法原则
引例二，从北京经天津到上海，需分两步到达。
第一步从北京到天津的汽车有早、中、晚三班，记作汽1、汽2、汽3
第二步从天津到上海的飞机有早、晚二班，记作飞1、飞2
问从北京经天津到上海的交通方法有多少种？
解：从北京经天津到上海的交通方法共有：
①汽1飞1，②汽1飞2，③汽2飞1，④汽2飞2，⑤汽3飞1，⑥汽3飞2。共6种，它是由第一步由北京到天津的3种方法与第二步由天津到上海的2种方法相乘3×2=6生成。
一般地有下面的乘法原则：
办一件事，需分m个步骤进行，其中：
第一步骤的方法有n1种；
第二步骤的方法有n2种；
……
第m步骤的方法有n m种；
则办这件事共有种方法。
三、排列（数）
从n个不同的元素中，任取其中m个排成与顺序有关的一排的方法数叫排列数，记作或。
排列数的计算公式为：
例如：
四、组合（数）
从n个不同的元素中任取m个组成与顺序无关的一组的方法数叫组合数，记作或。
组合数的计算公式为
例如：=45
组合数有性质
（1），（2），（3）
例如：
例一，袋中有8个球，从中任取3个球，求取法有多少种？
解：任取出三个球与所取3个球顺序无关，故方法数为组合数（种）
例二，袋中五件不同正品，三件不同次品（√√√√√×××）从中任取3件，求所取3件中有2件正品1件次品的取法有多少种？
解：第一步在5件正品中取2件，取法有：（种）
第二步在3件次品中取1件，取法有：（种）
由乘法原则，取法共有10×3=30（种）
第一章随机事件与随机事件的概率
第一节随机事件
引例一，掷两次硬币，其可能结果有：｛上上；上下；下上；下下｝
则出现两次面向相同的事件A与两次面向不同的事件B都是可能出现，也可能不出现的。
引例二，掷一次骰子，其可能结果的点数有：｛1，2，3，4，5，6｝
则出现偶数点的事件A，点数≤4的事件B都是可能出现，也可能不出现的事件。
从引例一与引例二可见，有些事件在一次试验中，有可能出现，也可能不出现，即它没有确定性结果，这样的事件，我们叫随机事件。
（一）随机事件：在一次试验中，有可能出现，也可能不出现的事件，叫随机事件，习惯用A、B、C表示随机事件。
由于本课程只讨论随机事件，因此今后我们将随机事件简称事件。
虽然我们不研究在一次试验中，一定会出现的事件或者一定不出现的事件，但是有时在演示过程中要利用它，所以我们也介绍这两种事件。
必然事件：在一次试验中，一定出现的事件，叫必然事件，习惯用Ω表示必然事件。
例如，掷一次骰子，点数≤6的事件一定出现，它是必然事件。
不可能事件：在一次试验中，一定不出现的事件叫不可能事件，而习惯用φ表示不可能事件。
例如，掷一次骰子，点数>6的事件一定不出现，它是不可能事件。
（二）基本（随机）事件
随机试验的每一个可能出现的结果，叫基本随机事件，简称基本事件，也叫样本点，习惯用ω表示基本事件。
例如，掷一次骰子，点数1，2，3，4，5，6分别是基本事件，或叫样本点。
全部基本事件叫基本事件组或叫样本空间，记作Ω，当然Ω是必然事件。
（三）随机事件的关系
（1）事件的包含：若事件A发生则必然导致事件B发生，就说事件B包含事件A，记作。
例如，掷一次骰子，A表示掷出的点数≤2，B表示掷出的点数≤3。∴A=｛1，2｝，B=｛1，2，3｝。
所以A发生则必然导致B发生。显然有
（2）事件的相等：若，且就记A=B，即A与B相等，事件A等于事件B，表示A与B实际上是同一事件（四）事件的运算
（1）和事件：事件A与事件B中至少有一个发生的事件叫事件A与事件B的和事件，记作：或A+B 例如，掷一次骰子，A=｛1，3，5｝；B=｛1，2，3｝
则和事件A+B=｛1，2，3，5｝
显然有性质
①
②若，则有A+B=B
③A+A=A
（2）积事件：事件A与事件B都发生的事件叫事件A与事件B的积事件，记作：AB或A∩B
例如，掷一次骰子，A=｛1，3，5｝；B=｛1，2，3｝，则AB=｛1，3｝
显然有性质：
①
②若，则有AB=A
③AA=A
（3）差事件：事件A发生而且事件B不发生的事件叫事件A与事件B的差事件，记作（A-B）
例如，掷一次骰子，A=｛1，3，5｝；B=｛1，2，3｝，则A-B=｛5｝
显然有性质：
①
②若，则有A-B=Φ
③A-B=A-AB
（4）互不相容事件：若事件A与事件B不能都发生，就说事件A与事件B互不相容（或互斥）即AB=Φ
例如，掷一次骰子，A=｛1，3，5｝；B=｛2，4｝
∴AB=Φ
（5）对立事件：事件A不发生的事件叫事件A的对立事件。记作
例如，掷一次骰子，A=｛1，3，5｝，则
显然，对立事件有性质：
①②③
注意：A与B对立，则A与B互不相容，反之不一定成立。
例如在考试中A表示考试成绩为优，B表示考试不及格。A与B互不相容，但不对立。
下面图1.1至图1.6用图形直观的表示事件的关系和运算，其中正方形表示必然事件或样本空间Ω。
图1.1表示事件事件A
图1.2阴影部分表示A+B
图1.3阴影部分表示AB
图1.4阴影部分表示A-B
图1.5表示A与B互不相容
图1.6阴影部分表示
事件的运算有下面的规律：
（1）A+B=B+A ，AB=BA叫交换律
（2）（A+B）+C=A+（B+C）叫结合律
（AB）C=A（BC）
（3）A（B+C）=AB+AC
（A+B）（A+C）=A+BC叫分配律
（4）叫对偶律
例1，A，B，C表示三事件，用A，B，C的运算表示以下事件。
（1）A，B，C三事件中，仅事件A发生
（2）A，B，C三事件都发生
（3）A，B，C三事件都不发生
（4）A，B，C三事件不全发生
（5）A，B，C三事件只有一个发生
（6）A，B，C三事件中至少有一个发生
解：（1）
（2）ABC
（3）
（4）
（5）
（6）A+B+C
例2.某射手射击目标三次：A1表示第1次射中，A2表示第2次射中，A3表示第3次射中。B0表示三次中射中0次，B1表示三次中射中1次，B2表示三次中射中2次，B3表示三次中射中3次，请用A1、A2、A3的运算来表示B0、B1、B2、B3
解：（1）
（2）
（3）
（4）
例3 ，A，B，C表示三事件，用A，B，C的运算表示下列事件。（1）A，B都发生且C不发生
（2）A与B至少有一个发生而且C不发生
（3）A，B，C都发生或A，B，C都不发生
（4）A，B，C中最多有一个发生
（5）A，B，C中恰有两个发生
（6）A，B，C中至少有两个发生
（7）A，B，C中最多有两个发生
解：（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）简记AB+AC+BC
（7）简记
例4，若Ω=｛1，2，3，4，5，6｝；A=｛1，3，5｝；B=｛1，2，3｝求（1）A+B；
（2）AB；
（3）；
（4）；
（5）；
（6）；
（7），
（8）。
解：（1）A+B=｛1，2，3，5｝；
（2）AB=｛1，3｝；
（3）=｛2，4，6｝；
（4）=｛4，5，6｝；
（5）=｛4，6｝；
（6）=｛2，4，5，6｝；
（7）=｛2，4，5，6｝；
（8）=｛4，6｝
由本例可验算对偶律，=，=正确
例5，（1）化简；
（2）说明AB与是否互斥
解：（1）
（2）
例6.A，B，C为三事件，说明下列表示式的意义。
（1）ABC；
（2）；
（3）AB；(表示至少A与B都发生的事件)
（4）
解（1）ABC表示事件A，B，C都发生的事件
（2）表示A，B都发生且C不发生的事件
（3）AB表示事件A与B都发生的事件，对C没有规定，说明C可发生，也可不发生。
∴AB表示至少A与B都发生的事件
（4）
所以也可以记AB表示，ABC与中至少有一个发生的事件。
例7.A，B，C为三事件，说明（AB+BC+AC）与是否相同。
解：（1）表示至少A，B发生
它表示A，B，C三事件中至少发生二个的事件。
（2）表示A，B，C三事件中，表示A，B，C三事件中仅有二个事件发生的事件。因而它们不相同。
第二节随机事件的概率
一、频率
（1）在相同条件下，进行了n次试验，在这n次试验中，事件A发生了n A次，则事件A发生的次数n A叫事件A发生的频数。
（2）比值n A/n称为事件A发生的频率，记作f n（A），即
历史上有不少人做过抛硬币试验，其结果见下表，用A表示出现正面的事件：
试验人n n A f n（A）
摩根204810610.5181
蒲丰404020480.5069
皮尔逊1200060190.5016
从上表可见，当试验次数n大量增加时，事件A发生的频率f n（A）会稳定某一常数，我们称这一常数为频率的稳定值。例如从上表可见抛硬币试验，正面出现的事件A的频率f n（A）的稳定值大约是0.5。
二、概率
事件A出现的频率的稳定值叫事件A发生的概率，记作P（A）
实际上，用上述定义去求事件A发生的概率是很困难的，因为求A发生的频率f n（A）的稳定值要做大量试验，它的优点是经过多次的试验后，给人们提供猜想事件A发生的概率的近似值。
粗略地说，我们可以认为事件A发生的概率P（A）就是事件A发生的可能性的大小，这种说法不准确，但人们容易理解和接受，便于应用。
下面我们不加证明地介绍事件A的概率P（A）有下列性质：
（1）0≤P（A）≤1
（2）P（Ω）=1，P（Φ）=0
（3）若A与B互斥，即AB=Φ，则有P（A+B）=P（A）+P（B）
若A1，A2，……，A n互斥，则有：
三、古典概型
若我们所进行的随机试验有下面两个特点：
（1）试验只有有限个不同的结果；（2）每一个结果出现的可能性相等，则这种试验模型叫古典概型。
例如，掷一次骰子，它的可能结果只有6个，假设骰子是均匀的，则每一种结果出现的可能性都是1/6，所以相等，这种试验是古典概型。
下面介绍古典概型事件的概率的计算公式：
设是古典概型的样本空间，其中样本点总数为n，A为随机事件，其中所含的样本点数为r
则有公式：
例1，掷一次骰子，求点数为奇数点的事件A的概率。
解：样本空间为Ω=｛1，2，3，4，5，6｝；A=｛1，3，5｝
∴n=6，r=3
例2.掷三次硬币，设A表示恰有一次出现正面，B表示三次都出现正面，C表示至少出现一次正面，求：
（1）P（A）；（2）P（B）；（3）P（C）
解：样本空间Ω=｛正正正，正正反，正反正，正反反，反正正，反正反，反反正，反反反｝；
（1）
（2）
（3）
由于在古典概型中，事件A的概率P（A）的计算公式只需知道样本空间中的样本点的总数n和事件A包含的样本点的个数r就足够，而不必一一列举样本空间的样本点，因此，当样本空间的样本点总数比较多或难于一一列举的时候，也可以用分析的方法求出n与r的数值即可。
例3，从0，1，2，3，4，5，6，7，8，9 这10个数码中，取出三个不同的数码，求所取3个数码不含0和5的事件A 的概率。
解：从10个不同数码中，任取3个的结果与顺序无关，所以基本事件总数
A事件中不能有0和5，所以只能从其余8个数码中任取3个，所以A中的基本事件
例4，从1，2，3，4，5，6，7，8，9这9个数字中任取一个，放回后再取一个，求所取两个数字不同的事件A的概率。
解：（1）第一次取一个数字的方法有9种；
第二次取一个数字的方法与第一次相同也是9种；
由乘法原则，知两次所取的数字方法有9×9=92（种）
每一种取法是一个基本事件，所以n=92
（2）所取两个数字不同时，相当于从中任取两个数，其结果与顺序有关，所取取法有：
也可按（1）的乘法原则求r，第一次的取法有9种，第二次的数字与第1次不同，所以只有8种，所以取法共有9×8（种）
∴r=9×8
例5，袋中有5个白球，3个红球，从中任取2个球，
求（1）所取2个球的颜色不同的事件A的概率；
（2）所取2个球都是白球的事件B的概率；
（3）所取2个球都是红球的事件C的概率；
（4）所取2个球是颜色相同的事件的概率。
解：袋中共的8个球，从中任取2个球结果与顺序无关，所以取法共有种，每一种取法的结果是一个基本事件，所以
基本事件总数为
（1）分两步取。
第一步，在5个白球中任取一个，方法数为5；
第二步，在3个红球中取一个，方法数为3，根据乘法原则，共有5×3种方法，即有5×3种结果。
（2）从5个白球中任取2个，结果与顺序无关
∴取法共有（种）
∴B包含的基本事件共有r2=10
（3）从3个红球中任取2个的方法为（种）
∴C包含的基本事件数r3=3
∴
（4）所取2个球颜色相同的有两类：
第一类：2个球都是白球的方法有（种）
第二类：2个球都是红球的方法有（种）
根据加法原则，所取2个球是颜色相同的方法共有10+3=13种。
∴2个球颜色相同的事件D包含r4=13种基本事件。
∴
例6，袋中有10件产品，其中有7件正品，3件次品，从中每次取一件，共取两次，√√√√√√√×××
求（1）不放回抽样，第一次取后不放回，第二次再取一件，而且第一次取到正品，第二次取到次品的事件A的概率。
（2）放回抽样，第一次取一件产品，放回后第二次再取一件，求第一次取到正品，第二次取到次品的事件B的概率解（1）第一次取一件产品的方法有10种
∵不放回，∴第二次取一件产品的方法有9种
由乘法原则知，取两次的方法共有10×9种
也可以用排列数计算，因为结果与顺序有关，
∴基本事件总数n=10×9
第一次取到正品，第二次取到次品的方法有7×3种，所以事件A包含的基本事件有：
（2）放回抽样。由于有放回，所以第一次、第二次取一件产品的方法都是10种，由乘法原则知抽取方法共有10×10=100种，所以基本事件总数
n=10×10=100
第一次取正品方法有7种，第二次取次品的方法有3种，由乘法原则，事件B包含的基本事件共有
例7，将一套有1，2，3，4，5分册的5本书随机放在书架的一排上，求1，2分册放在一起的事件A的概率。
解：（1）基本事件总数n=5×4×3×2×1（种）或者为
（2）A包含的基本事件有（种）
例8，掷两次骰子，求点数和为7的事件A的概率。
解：（1）基本事件总数n=6×6=36（种）
（2）A=｛①⑥；②⑤；③④；④③；⑤②；⑥①｝
∴A包含的基本事件数r=6
例9，从1，2，3，4，5，6，7这七个数码中任取3个，排成三位数，求（1）所排成的三位数是偶数的事件A的概率。（2）所排成的三位数是奇数的事件B的概率。
解：基本事件总数（个）
（1）所排成的三位数是偶数的取法需分两步：
第一步，取一个偶数放在个位码位置，取法有3种；
第二步，将其余6个数中任取两个排成一排，分别处于十位数和百位数码位置，共有种方法。
根据乘法原则，事件A包含的基本事件数
（2）所排成的三位数的取法也需分两步进行；
第一步，取一个奇数放在个位码位置，有4种方法。
第二步，将其余6个数中任取两个放在十位码和百位码，方法有种。
根据乘法原则，事件B包含的基本事件数
例10，袋中有9个球，分别标有号码1，2，3，4，5，6，7，8，9从中任取3个球，求
（1）所取3个球的最小号码为4的事件A的概率；
（2）所取3个球的最大号码为4的事件B的概率；
解：基本事件总数（个）
（1）最小号码为4的取法分两步进行
第一步，取出4号球，方法只有1种
第二步，在5，6，7，8，9这5个球中任取2个，方法数为
∴A包含的基本事件
（2）最大码为4的取法为：
第一步，取出4号球方法只有1种
第二步，在1，2，3号球中任取2个，方法数为
∴B包含的基本事件
例11，将两封信投入4个信箱中，求两封信在同一信箱的事件A的概率。
解：（1）先将第一封信投入信箱，有4种方法
再将第二封信投入信箱，也有4种方法
∴根据乘法原则共有4×4种方法
∴基本事件总数n=4×4
（2）将两封信同时投入一个信箱，方法有4种
∴A包含的基本事件数r=4，所以P（A）=1/4
例12，袋中有10个球，其中有6个白球，4个红球，从中任取3个，求：（1）所取的三个球都是白球的事件A的概率
（2）所取三个球中恰有2个白球一个红球的事件B的概率
（3）所取3个球中最多有一个白球的事件C的概率
（4）所取3个球颜色相同的事件D的概率
解：基本事件总数
（1）A包含的基本事件数
（2）B包含的基本事件数
（3）C的基本事件包含两类：
第一类，一个白球，二个红球的取法有
第二类， 0个白球，三个红球的取法有种
∴事件C包含的基本事件数
（4）事件D包含的基本事件有两类：
第一类，三个球都是白球的取法有种
第二类，三个球都是红球的取法有种
∴事件D包含的基本事件数（种）
四、概率的加法公式
请先看下面引例：
掷一次骰子，A=｛1，3，5｝，B=｛1，2，3｝请求：
（1）P（A）；
（2）P（B）；
（3）P（A+B）；
（4）P（AB）
解：（1）
（2）
（3）
（4）
由本例看出
P （A+B ）=P （A ）+P （B ）-P （AB ），本例的结果具有普遍性，下面我们不加证明地介绍下面公式：
特别情形：
（1）如果A 与B 互斥，即AB=Φ则P （AB ）=0，这时
（2）因为A 与
有性质
所以：
当上面等式中左边的概率P （A ）不易求得，而且A 的对立事件的概率
则较易计算时，便可以通过容易计算的求难计
算的概率P （A ）。
例1若P （A ）=0.5，P （A+B ）=0.8，P （AB ）=0.3，求P （B ） 解：因为P （A+B ）=P （A ）+P （B ）-P （AB ） ∴P （B ）=P （A+B ）+P （AB ）-P （A ） =0.8+0.3-0.5=0.6
例2，袋中有10件产品，其中有6件正品，4件次品，从中任取3件，求所取3件中有次品的事件A 的概率。 解：A 表示有次品，它包含有1件次品，有2件次品，有3件次品三类事件，计算比较复杂。 而对立事件则表示没有次品，即都是正品的事件，比较简单。 因为基本事件总数
事件包含的基本事件
。加法公式可推广如下
例3，P （A ）=0.4，P （B ）=0.5，P （C ）=0.4，P （AB ）=0.2，P （AC ）=0.24，P （BC ）=0，求P （A+B+C ）。
解：
五、概率的减法公式
因为，而
，而BA 与
明显不相容。
特别地，若
，则有AB=A ；所以当
例1 ，已知P（B）=0.8，P（AB）=0.5，求
解：
例2，若A与B互不相容，P（A）=0.5，P（B）=0.3，求
解：（1）P（A+B）=P（A）+P（B）=0.8
根据对偶公式
所以
第三节条件概率
一、条件概率和乘法公式
符号叫在事件B已经发生的条件下，事件A发生的概率，叫条件概率，需要指出的是条件概率
仍是事件A的概率，但是它有条件，条件是以B已经发生为前提，或者是以B已经发生为条件。
例1，某厂有200名职工，男、女各占一半，男职工中有10人是优秀职工，女职工中有20人是优秀职工，从中任选一名职工。
用A表示所选职工为优秀职工，B表示所选职工是男职工。
求（1）P（A）；
（2）P（B）；
（3）P（AB）；
（4）；
解（1）
（2）
（3）AB表示所选职工既是优秀职工又是男职工
（4）表示已知所选职工是男职工。在已知所选职工是男职工的条件下，该职工是优秀职工，这时n=100，r=10
由本例可以看出事件A与事件不是同一事件，所以它们的概率不同，即事件AB与事件也不相同，
由本例还可看出事件AB表示所选职工既是男职工又是优秀职工。
这时基本事件总数n1=200，r=10。而事件则表示已知所选职工是男职工，所以基本事件总数n2=100，r=10，所以虽然P（AB）与不相同，但它们有关系，由本例可以看出
本例的结果具有普遍性。下面我们不加证明地给出下面的乘法公式：
显然有：若P（A）>0则有：
将上面的结果改写为整式有：
∴
公式叫概率的乘法公式。
例2，在10件产品中，有7件正品，3件次品，从中每次取出一件（不放回），A表示第一次取出正品，B表示第二次取出正品，求：（1）P（A）；（2）；（3）P（AB）
解（1）
（2）
∴（3） =
例3，若P（AB）=0.3，P（B）=0.5，求
解：
例4，若P（A）=0.8，P（B）=0.4，，求。
解：（1）
∴（2）
例5，某人寿命为70岁的概率为0.8，寿命为80岁的概率为0.7，若该人现已70岁时，问他能活到80岁的概率是多少？
解：用A表示某人寿命为70岁，B表示某人寿命为80岁。
已知P（A）=0.8，P（B）=0.7
由于
因为
所以，已经活到70岁的人能活到80岁的概率为0.875
乘法公式可以推广为：
例6，袋中有三件正品，二件次品（√√√××）从中每次取出1件（不放回）共取3次，求第3次才取到次品的事件
B的概率。
解：用A1表示第一次取到正品
A2表示第二次取到正品
A3表示第三次取到正品
则
一、用古典概型计算P（A1），这时n1=5，r1=3
二、再用古典概型计算，这时n2=4，r2=2
三、再用古典概型计算，这时n3=3，r3=2
二、全概公式
定义：若事件组满足条件
（1）互不相容
（2）在一次试验中，事件组中至少发生一个，即
就说事件组是样本空间Ω的一个划分。
例如，事件组A与有所以事件组是样本空间的一个划分。
例如，某产品由甲、乙、丙三厂分别生产，A1表示该产品由甲厂生产，A2表示该产品由乙厂生产，A3表示该产品由丙厂生产，则事件组A1，A2，A3满足：
（1）（2）
所以事件组A1，A2，A3是样本空间的一个划分。下面介绍全概公式
设是样本空间Ω的一个划分，B是一个事件，则有：
证：∵，又∵ΩB=B
∵互不相容
∴也互不相容
数三概率论与数理统计教学大纲
数三《概率论与数理统计》教学大纲 教材：四川大学数学学院邹述超、何腊梅：《概率论与数理统计》，高等教育出版社出，2002年8月。 参考书：袁荫棠：《概率论与数理统计》（修订本），中国人民大学出版社。 四川大学数学学院概率统计教研室：《概率论与数理统计学习指导》 总学时：60学时，其中：讲课50学时，习题课10学时。 学分：3学分。 说明： 1.生源结构：数三的学生是由高考文科生和一部分高考理科生构成。有些专业全是文科生或含极少部分理科生（如：旅游管理，行政管理），有些专业约占1/4～1/3的理科生（国贸，财政学，经济学），有些专业全是理科生（如：国民经济管理，金融学）。 2.高中已讲的内容：高中文、理科都讲了随机事件的概率、互斥事件的概率、独立事件的概率，即教材第一章除条件概率以及有关的内容以外，其余内容高中都讲了。高中理科已讲离散型随机变量的概率分布（包括二项分布、几何分布）和离散型随机变量的期望与方差，统计基本概念、频率直方图、正态分布、线性回归。而高中文科则只讲了一点统计基本概念、频率直方图、样本均值和样本方差的简单计算。 3.基本要求：学生的数学基础差异大，不同专业学生对数学课重视程度的差异大，这就给讲授这门课带来一定的难度，但要尽量做到“分层次”培养学生。高中没学过的内容要重点讲解，学过的内容也要适当复习或适当增加深度。讲课时，既要照顾数学基础差的学生，多举基本例子，使他们掌握大纲要求的基本概念和方法；也要照顾数学基础好的学生，使他们会做一些综合题以及简单证明题。因为有些专业还要开设相关的后继课程（如：计量经济学），将用到较多的概率统计知识；还有一部分学生要考研，数三的概率考研题往往比数一的难。 该教材每一章的前几节是讲述基本概念和方法，习题(A)是针对基本方法的训练而编写的，因此，这一部分内容须重点讲解，并要求学生必须掌握；每一章的最后一节是综合例题，习题(B)具有一定的综合性和难度，可以选讲部分例题，数学基础好的学生可选做(B)题。 建议各章学时分配(+号后面的是习题课学时)： 第一章随机事件及其概率 一、基本内容 随机事件的概念及运算。概率的统计定义、古典定义及公理化定义。概率的基本性质、加法公式、条件概率与乘法公式、全概率公式、贝叶斯公式。事件的独立性，独立随机试验、
概率论与数理统计总结
第一章 随机事件与概率 第一节 随机事件及其运算 1、 随机现象：在一定条件下，并不总是出现相同结果的现象 2、 样本空间：随机现象的一切可能基本结果组成的集合，记为Ω={ω},其中ω 表示基本结果，又称为样本点。 3、 随机事件：随机现象的某些样本点组成的集合常用大写字母A 、B 、C 等表 示，Ω表示必然事件， ?表示不可能事件。 4、 随机变量：用来表示随机现象结果的变量，常用大写字母X 、Y 、Z 等表示。 5、 时间的表示有多种： （1） 用集合表示，这是最基本形式 （2） 用准确的语言表示 （3） 用等号或不等号把随机变量于某些实属联结起来表示 6、事件的关系 （1）包含关系：如果属于A 的样本点必属于事件B ，即事件 A 发生必然导致事 件B 发生，则称A 被包含于B ，记为A ?B; （2）相等关系：若A ?B 且B ? A ，则称事件A 与事件B 相等，记为A ＝B 。 （3）互不相容：如果A ∩B= ?，即A 与B 不能同时发生，则称A 与B 互不相容 7、事件运算 （1）事件A 与B 的并：事件A 与事件B 至少有一个发生，记为 A ∪B 。 （2）事件A 与B 的交：事件A 与事件B 同时发生，记为A∩ B 或AB 。 （3）事件A 对B 的差：事件A 发生而事件B 不发生,记为 A －B 。用交并补可以 表示为B A B A =-。 （4）对立事件：事件A 的对立事件（逆事件），即 “A 不发生”，记为A 。 对立事件的性质：Ω=?Φ=?B A B A ,。 8、事件运算性质：设A ，B ，C 为事件，则有 （1）交换律：A ∪B=B ∪A ，AB=BA （2）结合律：A ∪(B ∪C)=(A ∪B)∪C=A ∪B ∪C A(BC)=(AB)C=ABC （3）分配律：A ∪(B∩C)＝(A ∪B)∩(A∪C)、 A(B ∪C)＝(A∩B)∪(A∩C)= AB ∪AC （4）棣莫弗公式（对偶法则）：B A B A ?=? B A B A ?=? 9、事件域：含有必然事件Ω ，并关于对立运算和可列并运算都封闭的事件类ξ 称为事件域，又称为σ代数。具体说，事件域ξ满足： （1）Ω∈ξ; (2)若A ∈ξ，则对立事件A ∈ξ； （3）若A n ∈ξ，n=1,2，···，则可列并 ∞ =1 n n A ∈ξ 。
《概率论与数理统计》讲义#(精选.)
第一章 随机事件和概率 第一节 基本概念 1、排列组合初步 （1）排列组合公式 )! (! n m m P n m -= 从m 个人中挑出n 个人进行排列的可能数。 )! (!! n m n m C n m -= 从m 个人中挑出n 个人进行组合的可能数。 例1．1：方程 x x x C C C 765107 11=-的解是 A ． 4 B ． 3 C ． 2 D ． 1 例1．2：有5个队伍参加了甲A 联赛，两两之间进行循环赛两场，试问总共的场次是多少？ (2)加法原理（两种方法均能完成此事）：m+n 某件事由两种方法来完成，第一种方法可由m 种方法完成，第二种方法可由n 种方法来完成，则这件事可由m+n 种方法来完成。 (3)乘法原理（两个步骤分别不能完成这件事）：m ×n 某件事由两个步骤来完成，第一个步骤可由m 种方法完成，第二个步骤可由n 种方法来完成，则这件事可由m ×n 种方法来完成。 例1．3：从5位男同学和4位女同学中选出4位参加一个座谈会，要求与会成员中既有男同学又有女同学，有几种不同的选法？ 例1．4：6张同排连号的电影票，分给3名男生和3名女生，如欲男女相间而坐，则不同的分法数为多少？ 例1．5：用五种不同的颜色涂在右图中四个区域里，每一区域涂上一种颜
色，且相邻区域的颜色必须不同，则共有不同的涂法 A．120种B．140种 C．160种D．180种 (4)一些常见排列 ①特殊排列 ②相邻 ③彼此隔开 ④顺序一定和不可分辨 例1．6：晚会上有5个不同的唱歌节目和3个不同的舞蹈节目，问：分别按以下要求各可排出几种不同的节目单？ ①3个舞蹈节目排在一起； ②3个舞蹈节目彼此隔开； ③3个舞蹈节目先后顺序一定。 例1．7：4幅大小不同的画，要求两幅最大的排在一起，问有多少种排法？ 例1．8：5辆车排成1排，1辆黄色，1辆蓝色，3辆红色，且3辆红车不可分辨，问有多少种排法？ ①重复排列和非重复排列（有序） 例1．9：5封不同的信，有6个信箱可供投递，共有多少种投信的方法？ ②对立事件 例1．10：七人并坐，甲不坐首位，乙不坐末位，有几种不同的坐法？ 例1．11：15人中取5人，有3个不能都取，有多少种取法？ 例1．12：有4对人，组成一个3人小组，不能从任意一对中取2个，问有多少种可能性？
概率论与数理统计小结
概率论与数理统计主要内容小结 概率部分 1、全概率公式与贝叶斯公式 全概率公式： )()|()(11B P B A P A P = ++)()|(22B P B A P )()|(n n B P B A P + 其中n B B B ,,,21 是空间S 的一个划分。 贝叶斯公式：∑== n j j j i i i B A P B P B A P B P A B P 1 ) |()() |()()|( 其中n B B B ,,,21 是空间S 的一个划分。 2、互不相容与互不相关 B A ,互不相容0)(,==?B A P B A φ 事件B A ,互相独立))(()(B A P B A P =? ; 两者没有必然联系 3、几种常见随机变量概率密度与分布律:两点分布，二项分布，泊松分布，均匀分布，二项分布，指数分布，正态分布。 ),,1(~p b X 即二点分布，则分布律为.1,0,)1(}{1=-==-k p p k x P k k ),,(~p n b X 即二项分布，则分布律为.,...,1,0,)1(}{n k p p C k x P k n k k n =-==- ),(~λπX 即泊松分布，则分布律为,......1,0,! }{== =-k k e k x P k λ λ ),,(~b a U X 即均匀分布，则概率密度为.,0),(,1 )(??? ??∈-=其它 b a x a b x f ),(~θE X 即指数分布，则概率密度为.,00 ,1)(?? ???>=-其它x e x f x θ θ ),,(~2σμN X 即正态分布，则则概率密度为+∞<<-∞= - x e x f x ,21)(2 2π .
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本文部分内容来自网络整理所得，本司不为其真实性负责，如有异议或侵权请及时联系，本司将立即予以删除！ == 本文为word格式，下载后可方便编辑修改文字！ == 入党申请书稿纸格式 入党申请书稿纸格式 入党申请书一般应包括以下几项内容 1)为什么要入党——对党的认识、政治信念和入党动机，以及在这方面的思想演变过程。 2)对待入党的态度和决心——怎样正确对待入党问题，以及怎样以实际行动积极争取入党。 3)本人的基本情况——成长的经历，有无政治历史问题，受过何种奖励和处分，自己思想、工作、学习、作风等方面的情况(包括优缺点)。 4)家庭成员和主要社会关系情况——直系亲属(包括养父母、养子女)以及与本人联系密切、对自己影响较深的亲戚、朋友的职业和政治情况。 2.入党申请书的格式 1)标题：“入党申请书”这几个字写在第一行的正中，字体可以稍大，也可以和正文一样。 2)称呼：写在入党申请书的开头，一般写给所在单位的党支部，也可以写给各级党组织，称呼后面加冒号。 3)正文：这是申请书的主要部分，写上申请书的主要内容。 4)结尾：在申请书的正文下面写上“此致敬礼”之类表示敬意的话。
5)署名和日期：在结尾下一行的后半行，写上申请人的姓名，署名的下面 应写上提出申请的年、月、日。 入党申请书写作注意事项： 入党申请书标志着申请人经过了郑重思考，向党组织表明自己有入党的志 愿和要求，使党组织了解申请人的政治信仰和追求，便于党组织对申请人有针 对性地进行培养、教育、考察，同时也是党组织确定入党积极分子和发展对象 的重要依据。入党申请书是要求入党的同志对党的认识和自我认识的反映。因此，每一位要求入党的同志，都应该认真写好入党申请书。 写好入党申请书不仅可以增加被批准的概率，而且写作本身这个过程也是 一次学习和反思，还可以锻炼和提高自己应用写作的能力。 入党誓词： 我志愿加入中国共产党，维护党的纲领，遵守党的章程，履行党员义务， 执行党的决定，严守党的纪律，保守党的秘密，对党忠诚，积极工作，为共产 主义奋斗终身，随时准备为党和人民牺牲一切，永不叛党。 入党申请书格式 根据《中国共产党章程》的规定，要求入党的同志必须亲自向党组织提出 申请。申请可分为口头申请和书面申请两种形式。通常情况下，申请入党的同 志应写书面申请。入党申请书的基本内容和写法如下： 标题 (1)标题。居中写“入党申请书"。 称谓 (2)称谓。申请人对党组织的称呼，如“敬爱的党组织”，顶格写在第一行，后面加冒号。 正文 (3)正文。这是入党申请书的关键部分，主要包括三方面内容：
概率论和数理统计知识点总结[超详细版]
《概率论与数理统计》 第一章 概率论的基本概念 §2．样本空间、随机事件 1．事件间的关系 B A ?则称事件B 包含事件A ，指事件A 发生必然导致事件B 发生 B }x x x { ∈∈=?或A B A 称为事件A 与事件B 的和事件，指当且仅当A ，B 中至少有一个发生时，事件B A ?发生 B }x x x { ∈∈=?且A B A 称为事件A 与事件B 的积事件，指当A ，B 同时发生时，事件B A ?发生 B }x x x { ?∈=且—A B A 称为事件A 与事件B 的差事件，指当且仅当A 发生、B 不发生时，事件B A —发生 φ=?B A ，则称事件A 与B 是互不相容的，或互斥的，指事件A 与事件B 不能同时发生，基本事件是两两互不相容的 且S =?B A φ=?B A ，则称事件A 与事件B 互为逆事件，又称事件A 与事件B 互为对立事件 2．运算规则 交换律A B B A A B B A ?=??=? 结合律)()( )()(C B A C B A C B A C B A ?=???=?? 分配律 )()B (C A A C B A ???=??）（ ))(()( C A B A C B A ??=?? 徳摩根律B A B A A B A ?=??=? B — §3．频率与概率 定义 在相同的条件下，进行了n 次试验，在这n 次试验中，事件A 发生的次数A n 称为事 件A 发生的频数，比值n n A 称为事件A 发生的频率 概率：设E 是随机试验，S 是它的样本空间，对于E 的每一事件A 赋予一个实数，记为P （A ），称为事件的概率 1．概率)(A P 满足下列条件： （1）非负性：对于每一个事件A 1)(0≤≤A P （2）规范性：对于必然事件S 1)S (=P
《概率论与数理统计》课程教学大纲
《概率论与数理统计》课程教学大纲 一、课程基本信息 课程编号：450006 课程名称：概率论与数理统计 课程类别：公共基础课（必修） 学时学分：理论48学时/3学分 适用专业：计算机、自动化、经管各专业 开课学期：第一学期 先修课程：高等数学 后续课程： 执笔人： 审核人： 制（修）订时间：2015.9 二、课程性质与任务 概率论与数理统计是研究随机现象客观规律性的数学学科，是高等学校理、工、管理类本科各专业的一门重要的基础理论课。通过本课程的教学，应使学生掌握概率论与数理统计的基本概念，了解它的基本理论和方法，从而使学生初步掌握处理随机事件的基本思想和方法，培养学生运用概率统计方法分析和解决实际问题的能力。 三、课程教学基本要求 本课程以课堂讲授为主，致力于讲清楚基本的概率统计思想，使学生掌握基本的概率、统计计算方法。注意培养基本运算能力、分析问题和解决实际问题的能力。讲授中运用实例来说明本课程应用的广泛性和重要性。每节课布置适量的习题以巩固所学知识，使学生能够运用概率统计思想和方法解决一些实际问题。 四、课程教学内容及各教学环节要求 （一）概率论的基本概念
1、教学目的 理解随机现象、样本空间、随机事件、概率等概念，掌握事件的关系与运算，掌握古典概犁及其计算、条件概率的计算、全概率公式和贝叶斯公式的应用。 2、教学重点与难点 （1）教学重点 ① 概率、条件概率与独立性的概念； ② 加法公式；乘法公式；全概率公式；贝叶斯公式。 （2）教学难点 ① 古典概型的有关计算；② 全概率公式的应用； ③ 贝叶斯公式的应用。 3、教学方法 采用传统教学方式，以课堂讲授为主，课堂讨论、多媒体演示、课下辅导等为辅的教学方法。加强互动教学，学生对课程的某一学术问题通过检索资料、实际调查来提高自学能力和实践应用能力。 4、教学要求 （1）理解随机试验、样本空间、随机事件等基本概念；熟练掌握事件的关系及运算 （2）理解频率和概率定义；熟练掌握概率的基本性质 （3）理解等可能概型的定义性质；,会计算等可能概型的概率 （4）理解条件概率的定义；熟练掌握加法公式、乘法公式、全概率公式和贝叶斯公式（5）理解事件独立性概念,掌握应用独立性进行概率计算 （二）随机变量及其分布 1、教学目的 了解随机变量的概念；理解离散型随机变量的分布律和连续型随机变量的概率密度的概念及性质，会利用性质确定分布律和概率密度；理解分布函数的概念及性质，会利用此概念和性质确定分布函数，会利用概率分布计算有关事件的概率；掌握正态分布、均匀分布、指数分布、0-1分布、二项分布、泊松分布，会求简单的随机变量函数的分布 2、教学重点与难点 （1）教学重点 ① 随机变量及其概率分布的概念； ② 离散型随机变量分布律的求法；
2018-2019-通用入党申请书内容格式要求word版本 (1页)
2018-2019-通用入党申请书内容格式要求word版本 本文部分内容来自网络，本司不为其真实性负责，如有异议或侵权请及时联系，本司将予以删除！ == 本文为word格式，下载后可随意编辑修改！ == 通用入党申请书内容格式要求 入党申请可分为口头申请和书面申请两种形式。通常情况下，申请入党的同志 应写书面申请。入党申请书的格式如下： (1)标题。一般写“入党申请书”或“入党申请”。 (2)称谓。申请人对党组织的称呼，如“敬爱的党组织”或“敬爱的某某党支部”等，顶格写在第一行，后面加冒号。 (3)正文。这是入党申请书的关键部分，主要包括三方面内容：一是对党 的认识和要求入党的动机，也就是为什么要入党。对党的认识，主要是对党的 性质、纲领、奋斗目标、宗旨、党的路线、方针、政策的认识;入党动机，就是参加中国共产党的目的，即为什么要加入党组织。写这部分要联系自己的思想 实际，可以写通过学习党的基础知识、听了党课、参加了有意义的活动以后的 思想演变过程，以及思想认识上有什么提高等。二是个人履历(学历和工作经历)、家庭成员和主要社会关系的情况。如果本人家庭成员和主要社会关系中，有人有政治历史问题、或者犯过什么错误、或受到过刑事处分的，都要写清楚 并表明自己的态度，以便让组织上了解。三是自己的优缺点和今后的努力方向。即个人在政治、思想、学习、工作、作风、纪律等方面的主要表现，特别是对 自己存在的缺点和不足要敢于指出，并向党组织表明改正的决心和努力方向， 如何以实际行动争取入党。 (4)结尾。入党申请书的结尾，一般可写"请党组织在实践中考验我"，或" 请党组织看我的实际行动"等作为正文的结束。正文写完之后，加上"此致、敬礼"等用语，亦可不写。 (5)署名和日期。入党申请书写完后，要署上申请人的姓名，申请时间年、月、日，以示郑重。 (6)最好将正文中关于“个人履历” 、“本人家庭成员和主要社会关系” 部分单独写成《本人自传》。 自传的内容主要是：姓名、出生年月、家庭出身、本人成份、个人履历， 家庭主要成员及社会关系的姓名、政治面貌、职业及工作单位。本人的政治历 史情况(如受到的奖励、处分等)，对重要情节要提出证明人。
(完整版)概率论与数理统计课程标准
《概率论与数理统计》课程标准 一、课程概述 （一）课程定位 《概率论与数理统计》(Probability Theory and Mathematical Statistics)，由概率论和数理统计两部分组成。它是研究随机现象并找出其统计规律的一门学科，是广泛应用于社会、经济、科学等各个领域的定量和定性分析的科学体系。从学科性质讲，它是一门基础性学科，它为建筑专业学生后继专业课程的学习提供方法论的指导。 （二）先修后续课程 《概率论与数理统计》的先修课程为《高等数学》、《线性代数》等，这些课程为本课程的学习奠定了理论基础。 《概率论与数理统计》的后续课程为《混凝土结构设计》、《地基与基础》等课程。通过该课程的学习可为这些课程中的模型建立等内容的知识学习奠定良好的基础,在教学中起到了承上启下的作用。 二.课程设计思路 本课程的基本设计思路是极力用较为通俗的语言阐释概率论的基本理论和数理统计思想方法;理论和方法相结合，以强调数理统计理论的应用价值。总之,强调理论与实际应用相结合的特点,力求在实际应用方面做些有益的探索，也为其它学科的
进一步学习打下一个良好的基础。 三、课程目标 《概率论与数理统计》是一门几乎遍及所有的科学技术领域以及工农业生产和国民经济各部门之中。通过学习该课程使学生掌握概率、统计的基本概念，熟悉数据处理、数据分析、数据推断的各种基本方法，并能用所掌握的方法具体解决工程实践中所遇到的各种问题。 （一）能力目标 力求在简洁的基础上使学生能从整体上了解和掌握该课程的内容体系，使学生能够在实际工作中、其它学科的学习中能灵活、自如地应用这些理论。 （二）知识目标 1.理解掌握概率论中的相关概念和公式定理； 2.学会应用概率论的知识解决一些基本的概率计算； 3.理解数理统计的基本思想和解决实际问题的方法。 （三）素质目标 1.培养学生乐于观察、分析、不断创新的精神； 2.培养具有较好的逻辑思维、较强的计划、组织和协调能力； 3.培养具有认真、细致严谨的职业能力。 四、课程内容 根据能力培养目标的要求，本课程的主要内容是随机事件、随机变量、随机向量、数字特征、极限定理。具体内容和学时分配见表4-1。 表4-1 课程内容和学时分配
2017入党申请书(最新版)
入党申请书 尊敬的党组织： 作为中国共产党的拥护者，我志愿申请加入中国共产党，愿意为共产主义事业奋斗终身。 加入中国共产党是我长久以来的愿望，我一直在各级党组织的关怀下成长，在身边党员干部和同志们的熏陶中进步。在伟大祖国的建设中，党带领全国各族人民取得的丰硕成果，使我深深体会到党的光荣和伟大，也加深了我对党的认识和感情，加入党组织的愿望也愈加强烈。但是我一直拥护党的纲领，拥护党的方针政策，严格自律，以党员的标准要求自己，向党员看齐。如有幸能加入中国共产党，我一定会严格遵守党的章程，认真履行党员义务，坚决执行党的决定，严守党的纪律，保守党的秘密，对党忠诚，积极工作，为共产主义奋斗终身，随时准备为党和人民牺牲一切。 我认真学习了中国共产党党史和党的知识，学习了党的十八大报告，自1921年建党至今的几十年里，中国共产党从小到大、从弱到强、从幼稚到成熟，不断发展壮大。党的辉煌历史，是中国共产党为民族解放和人民幸福，前赴后继，英勇奋斗的历史;是马克思主义普遍原理同中国革命和建设的具体实践相结合的历史;是坚持真理，修正错误，战胜一切困难，不断发展壮大的历史。中国共产党无愧是伟大、光荣、正确的党，是中国革命和建设事业的坚强领导核心。 作为一名生长在党的光辉照耀下的年轻人，我从小就认为中国共产党具有优良的传统和作风，具有极强的战斗力，只有她才能带领中国走向繁荣昌盛、国富民安和统一强大，并亲身感受到了党领导的改革开放对我国综合国力、人民生活水平的显著提高。没有追求与理想，人便会碌碌无为；没有信念，就缺少了人生航线上航标，人便会迷失方向甚至迷失自我，难以到达理想的彼岸，更不会完全发出自我的光和热，激
概率论与数理统计第一二部分作业题
第一部分作业题 1．将下列事件用A、B、C表示出来 （1）A发生， （2）A与B都发生而C不发生， （3）三个事件都发生， （4）三个事件中至少有一个发生， （5）三个事件中恰好有一个发生， （6）三个事件中至少有两个发生， （7）三个事件中恰好有两个发生， 2．一批产品由40件正品和10件次品组成，从中任取4件，问取得正品的概率多大. 3．在100件产品中有5件是次品，从中连续无放回地抽取3次，问第三次才取得次品的概率. 4．从自然数 1，2，...... N 中任取三个数，求以下事件的概率： （1）第一次取的数恰好小于 K 而后两次取的数均大于 K 。 （2）其中有一个数恰好小于 K 而另两次取的数均大于 K 。 （这里 1 < K < N） 5．一袋中有十个质地、形状相同且编号分别为1、2、…、10的球.今从袋中任意取出三个球并记录球上的号码，求（1）最小号码为5的概率，（2）最大号码为5的概率，（3）一个号码为5，另外两个号码一个大于5，一个小于5的概率。6．将3个球随机地放入4个杯子中去，求杯子中球的最大个数分别为1，2，3的概率。 7．已知，，，试求，， ，， 8．把 6 个小球随机投入 6 个盒子内，设球和盒均可识别，求前三个盒当中有空盒的概率。 9．袋中装有5枚正品硬币、3枚次品硬币（次品硬币两面均印有国徽）。从袋中任取一枚硬币，将它投掷3次，已知每次均出现国徽，问这枚硬币是正品硬币的概率是多少？ 10．甲、乙两人各自向同一目标射击，已知甲命中目标的概率为 0.7，乙命中目标的概率为0.8 求： (1)甲、乙两人同时命中目标的概率； (2)恰有一人命中目标的概率； (3)目标被命中的概率. 11．甲、乙、丙三人同时对飞机进行射击, 三人击中的概率分别为0.4、0.5、0.7. 飞机被一人击中而击落的概率为0.2,被两人击中而击落的概率为0.6, 若三人都击中, 飞机必定被击落, 求飞机被击落的概率. 12．一批产品中有20%的次品，现进行重复抽样，共抽取5件样品，分别计算这5件样品中恰好有3件次品及至多有3件次品的概率.
概率论与数理统计课本_百度文库
第二章随机变量及其分布第一节随机变量及其分布函数 一、随机变量 随机试验的结果是事件，就“事件”这一概念而言，它是定性的。要定量地研究随机现象，事件的数量化是一个基本前提。很自然的想法是，既然试验的所有可能的结果是知道的，我们就可以对每一个结果赋予一个相应的值，在结果(本事件)数值之间建立起一定的对应关系，从而对一个随机试验进行定量的描述。 例2-1 将一枚硬币掷一次，观察出现正面H、反面T的情况。这一试验有两个结果：“出现H”或“出现T”。为了便于研究，我们将每一个结果用一个实数来代表。比如，用数“1”代表“出现H”，用数“0”代表“出现T”。这样，当我们讨论试验结果时，就可以简单地说成结果是1或0。建立这种数量化的关系，实际上就相当于引入一个变量X，对于试验的两个结果，将X的值分别规定为1或0。如果与样本空间 { } {H,T}联系起来，那么，对于样本空间的不同元素，变量X可以取不同的值。因此，X是定义在样本空间上的函数，具体地说是 1,当 H X X( ) 0,当 T 由于试验结果的出现是随机的，因而X(ω)的取值也是随机的，为此我们称 X( )X(ω)为随机变量。 例2-2 在一批灯泡中任意取一只，测试它的寿命。这一试验的结果（寿命）本身就是用数值描述的。我们以X记灯泡的寿命，它的取值由试验的结果所确定，随着试验结果的不同而取不同的值，X是定义在样本空间 {t|t 0}上的函数 X X(t) t,t 因此X也是一个随机变量。一般地有 定义2-1 设 为一个随机试验的样本空间，如果对于 中的每一个元素 ，都有一个实数X( )与之相对应，则称X为随机变量。 一旦定义了随机变量X后，就可以用它来描述事件。通常，对于任意实数集合L,X在 L上的取值，记为{X L}，它表示事件{ |X( ) L}，即 。 {X L} { |X( ) L} 例2-3 将一枚硬币掷三次，观察出现正、反面的情况。设X为“正面出现”的次数，则X是一个随机变量。显然，X的取值为0，1，2，3。X的取值与样本点之间的对应关系如表2-1所示。 表2-1 表2-1
入党申请书Word模板
入党申请书 敬爱的党组织： 我志愿申请加入中国共产党，因为中国共产党是中国工人阶级的先锋队，同时是中国人民和中华民族的先锋队，是中国特色社会主义事业的领导核心。中国共产党始终代表中国先进生产力的发展要求，代表中国先进文化的前进方向，代表中国最广大人民的根本利益。中国共产党以实现共产主义为最终目标，以马克思列宁主义、毛泽东思想、邓小平理论和“三个代表”重要思想和科学发展观为行动指南，是用先进理论武装起来的党，是全心全意为人民服务的党，是有能力领导全国人民进一步走向繁荣富强的党。 九十多年来，中国共产党从小到大，从弱到强，从幼稚到成熟，不断发展壮大，从建党之初的五十几名党员，逐步发展成为在全国执政六十多年，拥有七千八百余万党员的大党。这九十多年，中国共产党领导我们完成了新民主主义革命任务，实现了民族独立和人民解放，建立了中华人民共和国、中华民族以崭新的姿态屹立于世界民族之林，中国人民从此站了起来。这九十多年，中国共产党领导我们建立了社会主义制度，实现了中国历史上最广泛最深刻的社会变革；领导我们创造性地实现了由新民主义到社会主义的发展，实现了中国社会变革和历史进步的巨大飞跃。这九十多年，中国共产党领导我们建立了人民民主专政的国家政权，建立了独立的和比较完整的国民经济体系，开创了建设有中国特色社会主义事业的新局面。这九十多年，我国的政治、经济、文化等飞速发展，综合国力和国际影响与日俱增。这九十多年，中国共产党把马克思列宁主义同中国实践相结合而不断追求真理、开拓创新，为民族解放、国家富强和人民幸福而不断艰苦奋斗、发奋图强，为完成肩负的历史使命而不断经受考验、发展壮大。 认真追溯党的发展历程后，我更加深深地体会到中国共产党不愧为伟大、光荣、正确的马克思主义政党，不愧为领导中国人民不断开创社会主义事业的核心力量。近几年，随着党的十八大和十八届三中、四中全会的召开，我国改革发展的宏伟蓝图正在我们面前逐步绘就。中国，正站在一个新的历史起点；中国共产党团结带领全国各族人民，在世界发展的潮流中，在中华民族伟大复兴的征程上，树起了一座里程碑；中国共产党的历史从此掀开了新的篇章，中国特色社会主义迈上了新的征程，中华民族伟大复兴正展现新的前景。
《概率论与数理统计》课程学习心得
《概率论与数理统计》课程学习感想 概率论与数理统计是研究随机现象统计规律的科学，既是重要的基础理论，又是实践性很强的应用科学。 概率论与数理统计是现代数学的一个重要分支。近二十年来，随着计算机的发展以及各种统计软件的开发，概率统计方法在金融、保险、生物、医学、经济、运筹管理和工程技术等领域得到了广泛应用。主要包括：极限理论、随机过程论、数理统计学、概率论方法应用、应用统计学等。极限理论包括强极限理论及弱极限理论；随机过程论包括马氏过程论、鞅论、随机微积分、平稳过程等有关理论。概率论方法应用是一个涉及面十分广泛的领域，包括随机力学、统计物理学、保险学、随机网络、排队论、可靠性理论、随机信号处理等有关方面。它主要是通过数学建模，理论分析、推导，数值计算以及计算机模拟等理论分析、统计分析和模拟分析，以求研究和分析所涉及的理论问题和实际问题。 实用性赋予了概率论与数理统计强大的生命力。17世纪概率论与数理统计作为学科诞生后，其方法就被英国古典政治经济学创始人佩蒂引进到社会经济问题的研究中，他提倡让实际数据说话，其对资本主义经济的研究从流通领域进入生产领域，对商品的价值量做了正确的分析。 生活中会遇到这样的事例：有四张彩票供三个人抽取，其中只有一张彩票有奖。第一个人去抽，他的中奖概率是25％，结果没抽到。第二个人看了，心里有些踏实了，他中奖的概率是33％，结果他也没抽到。第三个人心里此时乐开了花，其他的人都失败了，觉得自己很幸运，中奖的机率高达50％，可结果他同样没中奖。由此看来，概率的大小只是在效果上有所不同，很大的概率给人的安慰感更为强烈。但在实质上却没有区别，每个人中奖的概率都是50％，即中奖与不中奖。 同样的道理，对于个人而言，在生活中要成功做好一件事的概率是没有大小之分的，只有成功或失败之分。但这概率的大小却很能影响人做事的心态。 如果说概率有大小之分，那应该不是针对个体而言，而是从一个群体出发，因为不同的人有不同的信念，有不同的做事方法。把地球给撬起来，这在大多数
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【最新】入党申请书格式样板-精选word文档 本文部分内容来自网络，本司不为其真实性负责，如有异议请及时联系，本司将予以删除 == 本文为word格式，简单修改即可使用，推荐下载！ == 入党申请书格式样板 一、转正申请书地根本格式转正申请，是预备党员在预备期满时向党组织提出转为正式党员地书面材料。转正申请书地根本书写格式及内容通常 ⑴标题。通常为“转正申请书”，居中书写。 ⑵称谓。即申请人对党组织或党支部地称谓，通常写“亲爱地党组织”或“党支部”。顶格书写在标题地下一行，后面加冒号。 ⑶正文。首要内容包含：写明自己被赞同为中共预备党员地时间及预备期 满地时间。延长预备期地党员要写明什么时间被延长地，到什么时间延长期满 以及延长预备期地缘由，并向党组织恳求转为中共正式党员。汇报自己在预备 期间地表现状况，这是转正申请地主体部分。这部分应当写得全面、具体、具体。首先，从总地方面写自己人党后，在党组织地教育下，在提高思想政治醒悟、加强党性锤炼、解决思想入党情况等方面所获得地收获。其次，写明自己 以党员规范要求自己，在政治、思想、工作、学习及发扬党员先锋模范作用等 方面所获得地进步和胜利。再次，对自己入党时存在地毛病，如今克服改正得 怎样，还存在哪些不足要实事求是地写出来。特别是延长预备期地要重点说明延长期间地毛病情况改正状况。写明今后地勤奋方向。应当针对自己地毛病来写，最佳要制定出实在可行地具体措施。假如还有什么状况和情况，在入党时 没有向党组织讲明地，或在预备期发生啦什么应当向党组织说明地情况，也应 写分明。应向党组织表明情愿接受长期考验地态度。 ⑷结尾。在转正申请书地最后，要署名和注明申请日期。通常居右书写 “申请人***”，下一行写上“****年*月*日”。转正申请通常应在预备期满 之前主动交给所在党支部。 二、写转正申请书应留神地情况⒈转正申请书要适时写出，交给党组织太早、太晚都不行，通常在转正到期前一个月为好。⒉转正申请书不能过火简单、概括，要体现思想进步地连续性。既要与预备期思想相联系，也要与申清入党 进程中地思想变化相联系，留神思想地深度。⒊延长预备期后提出转正申请，在写转正申请书前还需要与党组织相关担任人正式谈话，征求看法。
概率论与数理统计学习地总结
概率论与数理统计 学习报告 学院 学号： 姓名：
概率论与数理统计学习报告 通过短短一学期的学习，虽然学习、研究地并不深入，但该课程的每一处内容都有不同的奇妙吸引着我，让我对它在生活中饰演的角色充满遐想；它将我带入了一个由随机变量为桥梁，通过表面偶然性找出其内在规律性，从而与其它的数学分支建立联系的世界，让我对这种进行大量的随机重复实验，通过分析研究得出统计规律性的过程产生了极大地兴趣。我很喜欢这门课程，但也不得不说课后在它上面花的时间并不多，因此学得还不深入，但它真的深深地吸引了我，我一定会找时间进一步深入地学习它。 先简单地介绍一下概率论与数理统计这门学科。 概率论是基于给出随机现象的数学模型，并用数学语言来描述它们，然后研究其基本规律，透过表面的偶然性，找出其内在的规律性，建立随机现象与数学其他分支的桥梁，使得人们可以利用已成熟的数学工具和方法来研究随机现象，进而也为其他数学分支和其他新兴学科提供了解决问题的新思路和新方法。数理统计是以概率论为基础，基于有效的观测、收集、整理、分析带有随机性的数据来研究随机现象，进而对所观察的问题作出推断和预测，直至为采取一定的决策和行动提供依据和建议。 概率论与数理统计是研究随机现象及其规律性的一门数学学科。研究随机现象的规律性有其独特的思想方法，它不是寻求出现每一现象的一切物理因素，不能用研究确定性现象的方法研究随机现象，而是承认在所研究的问题中存在一些人们不能认识或者根本不知道的
随机因素作用下，发生随机现象。这样，人们既可以通过试验来观察随机现象，揭示其规律性，作出决策，也可根据实际问题的具体情况找出随机现象的规律，作出决策。 至今，概率论与数理统计的理论与方法已经广泛应用于自然科学、社会科学以及人文科学等各个领域中，并随着计算机的普及，概率论与数理统计已成为处理信息、制定决策的重要理论和方法。它们不仅是许多新兴学科，如信息论、控制论、排队论、可靠性论以及人工智能的数学理论基础，而且与其他领域的新兴学科的相互交叉而产生了许多新的分支和边缘学科，如生物统计、统计物理、数理金融、神经网络统计分析、统计计算等。 概率论应用随机变量与随机变量的概率分布、数字特征及特征函数为数学工具对随机现象进行描述、分析与研究，其前提条件是假设随机变量的概率分布是已知的；而数理统计中作为研究对象的随机变量的概率分布是完全未知的，或者分布类型已知，但其中的某些参数或某些数字特征是未知的。概率论研究问题的方法是从假设、命题、已知的随机现象的事实出发，按一定的逻辑推理得到结论，在方法上是演绎式的。而统计学的方法是归纳式的，从所研究地对象的全体中随机抽取一部分进行试验或观测，以获得试验数据，依据试验数据所获取的信息，对整体进行推断，是归纳而得到结论的。因此掌握它特有的学习方法是很重要的。 在学习的过程中，不论是老师提出的一些希望我们课后讨论的问题还是自己在做作业看书过程中遇到的一些问题都引发了我的一些
《概率论与数理统计》习题一答案详解
《概率论与数理统计》习题及答案 习题一 1． 略.见教材习题参考答案. 2.设A，B，C为三个事件，试用A，B，C的运算关系式表示下列事件： （1）A发生，B，C都不发生； （2）A与B发生，C不发生； （3）A，B，C都发生； （4）A，B，C至少有一个发生； （5）A，B，C都不发生； （6）A，B，C不都发生； （7）A，B，C至多有2个发生； （8）A，B，C至少有2个发生. 【解】（1）A BC（2）AB C（3）ABC （4）A∪B∪C=AB C∪A B C∪A BC∪A BC∪A B C∪AB C∪ABC=ABC (6) ABC (5) ABC=A B C (7) A BC∪A B C∪AB C∪AB C∪A BC∪A B C∪ABC=ABC=A∪B∪C (8) AB∪BC∪CA=AB C∪A B C∪A BC∪ABC 3. 略.见教材习题参考答案 4.设A，B为随机事件，且P（A）=0.7,P(A-B)=0.3，求P（AB）. 【解】P（AB）=1-P（AB）=1-[P(A)-P(A-B)] =1-[0.7-0.3]=0.6 5.设A，B是两事件，且P（A）=0.6,P(B)=0.7,求： （1）在什么条件下P（AB）取到最大值？ （2）在什么条件下P（AB）取到最小值？ 【解】（1）当AB=A时，P（AB）取到最大值为0.6. （2）当A∪B=Ω时，P（AB）取到最小值为0.3. 6.设A，B，C为三事件，且P（A）=P（B）=1/4，P（C）=1/3且P（AB）=P（BC）=0， P（AC）=1/12，求A，B，C至少有一事件发生的概率.
【解】 P （A ∪B ∪C ）=P (A )+P (B )+P (C )-P (AB )-P (BC )-P (AC )+P (ABC ) =14+14+13-112=34 7. 从52张扑克牌中任意取出13张，问有5张黑桃，3张红心，3张方块，2张梅花的概率 是多少？ 【解】 p =533213 1313131352C C C C /C 8. 对一个五人学习小组考虑生日问题： （1） 求五个人的生日都在星期日的概率； （2） 求五个人的生日都不在星期日的概率； （3） 求五个人的生日不都在星期日的概率. 【解】（1） 设A 1={五个人的生日都在星期日}，基本事件总数为75，有利事件仅1个，故 P （A 1）=517=（17 ）5 （亦可用独立性求解，下同） （2） 设A 2={五个人生日都不在星期日}，有利事件数为65，故 P （A 2）=5567=(67)5 (3) 设A 3={五个人的生日不都在星期日} P （A 3）=1-P (A 1)=1-(17 )5 9. 略.见教材习题参考答案. 10.一批产品共N 件，其中M 件正品.从中随机地取出n 件（n 本文部分内容来自网络，本司不为其真实性负责，如有异议请及时联系，本司将予以删除 == 本文为word格式，下载后可编辑修改，推荐下载使用！== 入党申请书 敬爱的党组织： 中国共产党是中国工人阶级的先锋队，是中国各族人民利益的忠实代表，是中国社会主义事业的领导核心。党的最终目标是实现共产主义的社会制度。中国共产党以马列主义、毛泽东思想、邓小平理论、“三个代表”重要思想和科学发展观作为自己的行动指南。自1921年建党至今，我们的党已经走过了近93年光荣的斗争道路。这几十年，中国共产党从小到大、从弱到强、从幼稚到成熟，不断发展壮大。在长期的革命过程中，先后形成了分别以毛泽东、邓小平、江泽民、胡锦涛为核心的四代党中央领导集体。当前，习总书记，正带领全国各族人民，为实现“中国梦”而努力奋斗。 党的辉煌历史，是中国共产党为民族解放和人民幸福，前赴后继，英勇奋斗的历史;是马克思主义普遍原理同中国革命和建设的具体实践相结合的历史;是坚持真理，修正错误，战胜一切困难，不断发展壮大的历史。中国共产党无愧是伟大、光荣、正确的党，是中国革命和建设事业的坚强领导核心。 习总书记站在党和国家发展的历史高度，反复强调：“全党同志必须坚持以邓小平理论、“三个代表”重要思想、科学发展观为指导，毫不动摇坚持和发展中国特色社会主义，坚持马克思主义的发展观点，坚持实践是检验真理的唯一标准，发挥历史的主动性和创造性，清醒认识世情、国情、党情的变和不变，永远要有逢山开路、遇河架桥的精神，锐意进取，大胆探索，敢于和善于分析回答现实生活中和群众思想上迫切需要解决的问题，不断深化改革开放，不断有所发现、有所创造、有所前进，不断推进理论创新、实践创新、制度创新。”“历史和现实都告诉我们，只有社会主义才能救中国，只有中国特色社会主义才能发展中国，这是历史的结论、人民的选择。随着中国特色社会主义不断发展，我们的制度必将越来越成熟，我国社会主义制度的优越性必将进一步显现，我们的道路必将越走越宽广。我们就是要有这样的道路自信、理论自信、制度自信，真正做到“千磨万击还坚劲，任尔东西南北风”。“我国工人阶级一定要在坚持中国道路、弘扬中国精神、凝聚中国力量上发挥模范带头作用，万众一心、众志成城，为实现中华民族伟大复兴的中国梦而不懈奋斗。幸福不会从天而降，梦想不会自动成真。‘空谈误国，实干兴邦’，实干首先就要脚踏实地劳动。” 可能是耳濡目染了各革命前辈对党的执著追求的原因，我从小就树立了一定要加入中国共产党的远大志向，并且一直持续到了今天，热情更是有增无减。为了早 《概率论与数理统计》复习参考资料 第一章随机事件及其概率 §1.1 随机事件 一、给出事件描述，要求用运算关系符表示事件： 二、给出事件运算关系符，要求判断其正确性： §1.2 概率 古典概型公式：P （A ）= 所含样本点数 所含样本点数 ΩA 实用中经常采用“排列组合”的方法计算 补例1：将n 个球随机地放到n 个盒中去，问每个盒子恰有1个球的概率是多少？解：设A ：“每个盒子恰有1个球”。求：P(A)=？ Ω所含样本点数：n n n n n =???... Α所含样本点数：!1...)2()1(n n n n =??-?-? n n n A P ! )(=∴ 补例2：将3封信随机地放入4个信箱中，问信箱中信的封数的最大数分别为1、2、3的概率各是多少？ 解：设A i ：“信箱中信的最大封数为i”。(i =1,2,3)求：P(A i )=？ Ω所含样本点数：6444443 ==?? A 1所含样本点数：24234=?? 8 3 6424)(1==∴A P A 2所含样本点数： 36342 3=??C 16 96436)(2== ∴A P A 3所含样本点数：443 3=?C 16 1 644)(3==∴A P 注：由概率定义得出的几个性质： 1、0【最新】入党申请书(word格式) (2页)
概率论与数理统计知识点总结