利用导数求函数的单调性

利用导数求函数的单调性

例 讨论下列函数的单调性：

1．x x a a x f --=)(（0>a 且1≠a ）；

2．)253(log )(2-+=x x x f a （0>a 且1≠a ）；

3．)0,11(1

)(2≠<<--=b x x bx x f ． 分析：利用导数可以研究函数的单调性，一般应先确定函数的定义域，再求导数)(x f '，通过判断函数定义域被导数为零的点所划分的各区间)(x f '的符号，来确定函数)(x f 在该区间上的单调性．当给定函数含有字母参数时，分类讨论难于避免，不同的化归方法和运算程序往往使分类方法不同，应注意分类讨论的准确性．

解： 1．函数定义域为R ．

).(ln )(ln ln )(x x x x a a a x a a a a x f --+='-??-='

当1>a 时，.0)(,0,0ln >'∴>+>-x f a a a x x

∴函数)(x f 在),(+∞-∞上是增函数．

当10<+<-x f a a a x x

∴函数)(x f 在),(+∞-∞上是减函数．

2．函数的定义域是3

1>x 或.2-

2)(13(log )56()253(253log )(22+-+='-+?-+='x x e x x x x x e x f a a ①若1>a ，则当3

1>x 时，0)2)(13(,056,0log >+->+>x x x e a ， ∴0)(>x f ，∴函数)(x f 在??? ??∞+，

31

上是增函数； 当2-

②若10<

1>x 时，0)(<'x f ， ∴函数)(x f 在??

? ??∞+，31

上是减函数；

当2-'x f ，∴函数)(x f 在()2,-∞-上是增函数

3．函数)(x f 是奇函数，只需讨论函数在（0，1）上的单调性

当10<

222)1()1()1()(-'-?--?'?='x x x x x b x f 2

22)1()1(-+-=x x b 若0>b ，则0)(<'x f ，函数)(x f 在（0，1）上是减函数；

若0'x f ，函数)(x f 在（0，1）上是增函数．

又函数)(x f 是奇函数，而奇函数在对称的两个区间上有相同的单调性．所以当0>b 时，函数)(x f 在（－1，1）上是减函数，当0

说明：分类讨论是重要的数学解题方法．它把数学问题划分成若干个局部问题，在每一个局部问题中，原先的“不确定因素”不再影响问题的解决，当这些局部问题都解决完时，整个问题也就解决了．在判断含参数函数的单调性时，不仅要考虑到参数的取值围，而且要结合函数的定义域来确定)(x f '的符号，否则会产生错误判断．

分类讨论必须给予足够的重视，真正发挥数学解题思想作为联系知识与能力中的作用，从而提高简化计算能力．

利用导数求函数的单调区间

例 求下列函数的单调区间：

1．32)(24+-=x x x f ；

2．22)(x x x f -=；

3．).0()(>+

=b x b x x f 分析：为了提高解题的准确性，在利用求导的方法确定函数的单调区间时，也必须先求出函数的定义域，然后再求导判断符号，以避免不该出现的失误．

解：1．函数)(x f 的定义域为R ，x x x x x x f )1)(1(44)(4

+-=-='

令0)(>'x f ，得01<<-x 或1>x ．

∴函数)(x f 的单调递增区间为（－1，0）和),1(+∞；

令0)(<'x f ，得1-

∴函数)(x f 的单调递减区间为)1,(--∞和（0，1）．

2．函数定义域为.20≤≤x

.2122)2()(222x x x x x x x x f --=-'

-='

令0)(>'x f ，得10<

∴函数)(x f 的递增区间为（0，1）；

令0)(<'x f ，得21<

∴函数)(x f 的单调递减区间为（1，2）．

3．函数定义域为).)((11)(,022b x b x x x b x f x +-=-

='≠ 令0)(>'x f ，得b x >或b x -<．

∴函数)(x f 的单调递增区间为),(b --∞和),(+∞b ；

令0)(<'x f ，得b x b <<-且0≠x ，

∴函数)(x f 的单调递减区间是)0,(b -和),0(b ．

说明：依据导数在某一区间的符号来确定函数的单调区间，体现了形象思维的直观性和运动性．解决这类问题，如果利用函数单调性定义来确定函数的单调区间，运算显得繁琐，区间难以找准．学生易犯的错误是将两个以上各自独立单调递增（或递减）区间写成并集的形式，如将例1函数)(x f 的单调递增区间和递减区间分别写成),1()0,1(+∞- 和)1,0()1,( --∞ 的错误结果．这里我们可以看出，除函数思想方法在本题中的重要作用之外，还要注意转化的思想方法的应用．

求解析式并根据单调性确定参数

例 已知c x x f +=2)(，且).1()]([2+=x f x f f

1．设)]([)(x f f x g =，求)(x g 的解析式；

2．设)()()(x f x g x λ?-=，试问：是否存在实数λ，使)(x ?在()1,-∞-为减函数，且在（－1，0）是增函数．

分析：根据题设条件可以求出)(x ?的表达式，对于探索性问题，一般先对结论做肯定

存在的假设，然后由此肯定的假设出发，结合已知条件进行推理论证，由推证结果是否出现矛盾来作出判断．解题的过程实质是一种转化的过程，由于函数)(x ?是可导函数，因此选择好解题的突破口，要充分利用函数的单调性构造等价的不等式，确定适合条件的参数λ的取值围，使问题获解．

解：1．由题意得c c x c x f x f f ++=+=2

22)()()]([， )1()]([.)1()1(2222+=++=+x f x f f c x x f ，

∴.1,1,)1()(2

22222=∴+=+∴++=++c x c x c x c c x

∴.1)1()1()]([)(,1)(2222++=+==+=x x f x f f x g x x f

2．)2()2()()()(24λλλ?-+-+=-=x x x f x g x ．

若满足条件的λ存在，则.)2(24)(3x x x λ?-+='

∵函数)(x ?在()1,-∞-是减函数，∴当1-

即0)2(243<-+x x λ对于)1,(--∞∈x 恒成立．

∴.44,1,4)2(222-<-∴-<∴->-x x x λ

∴4)2(2-≥-λ，解得4≤λ．

又函数)(x ?在（－1，0）上是增函数，∴当01<<-x 时，0)(>'x ?

即0)2(243>-+x x λ对于)0,1(-∈x 恒成立，

∴.044,01,4)2(222<<-∴<<--<-x x x λ

∴4)2(2-≤-λ，解得4≥λ．

故当4=λ时，)(x ?在()1,-∞-上是减函数，在（－1，0）上是增函数，即满足条件的λ存在．

说明：函数思维实际上是辩证思维的一种特殊表现形式，它包含着运动、变化，也就存在着量与量之间的相互依赖、相互制约的关系．因此挖掘题目中的隐含条件则是打开解题思路的重要途径，具体到解题的过程，学生很大的思维障碍是迷失方向，不知从何处入手去沟通已知与未知的关系，使分散的条件相对集中，促成问题的解决．不善于应用a x f <)(恒成立a x f )(恒成立a x f >?min )]([，究其原因是对函数的思想方法理解不深．

利用导数比较大小

例 已知a 、b 为实数，且e a b >>，其中e 为自然对数的底，求证：a b b a >．

分析：通过考察函数的单调性证明不等式也是常用的一种方法．根据题目自身的特点，适当的构造函数关系，在建立函数关系时，应尽可能选择求导和判断导数都比较容易的函数，一般地，证明),(),()(b a x x g x f ∈>，可以等价转化为证明0)()()(>-=x g x f x F ，如果0)(>'x F ，则函数)(x F 在),(b a 上是增函数，如果0)(≥a F ，由增函数的定义可知，当),(b a x ∈时，有0)(>x F ，即)()(x g x f >．

解：证法一：

e a b >> ，∴要证a b b a >，只要证b a a b ln ln >，

设)(ln ln )(e b b a a b b f >-=，则b

a a

b f -='ln )(． e a b >> ，∴1ln >a ，且1

a ，∴.0)(>'

b f ∴函数b a a b b f ln ln )(-?=在),(+∞e 上是增函数．

∴0ln ln )()(=-=>a a a a a f b f ，即0ln ln >-b a a b ，

∴.,ln ln a b b a b a a b >∴>

证法二：要证a b b a >，只要证)(ln ln b a e b a a b <<>?， 即证b b a a ln ln >，设)(ln )(e x x x x f >=，则0ln 1)(2<-='x

x x f ， ∴函数)(x f 在),(+∞e 上是减函数．

又)()(,b f a f b a e >∴<< ，即.,ln ln a b b a b

b a a >∴> 说明：“构造”是一种重要而灵活的思维方式，应用好构造思想解题的关键是：一要有明确的方向，即为什么目的而构造；二是要弄清条件的本质特点，以便重新进行逻辑组合．解决这种问题常见的思维误区是不善于构造函数或求导之后得出)()()()(x g x f x g x f >?'>'的错误结论．

判断函数在给定区间上的单调性

例 函数??

? ??

+=x y 11log 21在区间),0(+∞上是（ ）

A ．增函数，且0>y

B ．减函数，且0>y

C ．增函数，且0

D ．减函数，且0

分析：此题要解决两个问题：一是要判断函数值y 的大小；二是要判断此函数的单调性． 解：解法一：令x

u 11+=，且1),,0(>∴+∞∈u x ， 则0log 2

1<=u y ，排除A 、B ．

由复合函数的性质可知，u 在 ),0(+∞上为减函数． 又u y 21log =亦为减函数，故??

? ??+

=x y 11log 21在 ),0(+∞ 上为增函数，排除D ，选C ． 解法二：利用导数法

0log )1(11log 111

2221>+=??? ??-??+='e x x x e x y （),0(+∞∈x ），故y 在),0(+∞上是增函数．

由解法一知0

说明：求函数的值域，是中学教学中的难关．一般可以通过图象观察或利用不等式性质求解，也可以用函数的单调性求出最大、最小值等（包括初等方法和导数法）．对于复合函数的单调性问题，简单的复合函数是可以利用复合函数的性质进行判断，但是利用导数法判断一些较复杂的复合函数还是有很大优势的．