2001年全国硕士研究生入学统一考试
数学二试题解析
一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上.) (1)2
13lim
21
-++--→x x x
x x =______.
【答案】26
-
【考点】洛必达法则 【难易度】★★ 【详解】解析:方法一:
21
1312(1)1
lim
lim 2(1)(2)31x x x x x x x x x x x →→--+-=?+--+-++111lim 22
x x →=-+2.6=- 方法二:使用洛必达法则计算
21
31lim
2
x x x
x x →--++-1
2121
321lim 1++-
--
=→x x x x 623221221-=--=.
(2)设函数)(x f y =由方程1)cos(2-=-+e xy e y
x 所确定,则曲线)(x f y =在点)1,0(处
的法线方程为______. 【答案】022=+-y x
【考点】隐函数的导数、平面曲线的法线 【难易度】★★ 【详解】解析:在等式2cos()1x y
e
xy e +-=-两边对x 求导,得
2(2')sin()(')0,x y e y xy y xy +?++?+=
将1,0==y x 代入上式,得'(0) 2.y =-故所求法线方程为1
1,2
y x -=
即 x ?2y +2=0. (3)
x x x x d cos )sin (22π2
π23?
-+=_______.
【答案】
8
π 【考点】定积分的换元法 【难易度】★★
【详解】解析:由题干可知,积分区间是对称区间,利用被积函数的奇偶性可以简化计算. 在区间[,]22
ππ
-
上,32cos x x 是奇函数,22sin cos x x 是偶函数, 故
()()3
2
2
3
2
2
2
2
2222
2
2
1sin cos cos sin cos sin 24x x xdx x x x x dx xdx π
π
π
πππ
--
-+=+=??? 22
1(1cos 4)8x dx π
π-=-?.8π=
(4)过点)0,21(
且满足关系式11in arcs 2
=-+
'x
y
x y 的曲线方程为______. 【答案】1
arcsin 2
y x x =-
【考点】一阶线性微分方程 【难易度】★★ 【详解】解析:方法一: 原方程2
'arcsin 11y y x x +
=-可改写为()'
arcsin 1,y x =
两边直接积分,得arcsin y x x C =+ 又由1()0,2y =解得1.2
C =- 故所求曲线方程为:1arcsin .2
y x x =- 方法二:
将原方程写成一阶线性方程的标准形式
211
'.arcsin 1arcsin y y x
x x
+
=
-解得
221
1
1arcsin 1arcsin ln arcsin ln arcsin 1arcsin 1arcsin 1(),arcsin dx
dx x x x x
x x y e C e dx x e C e dx x C x x
-
---???
?=+????????
=+????
=+?
?
又由1()0,2y =解得1.2
C =- 故曲线方程为:1arcsin .2
y x x =-
(5)设方程????
??????-=????????????
?
???
?
??
?????????211111111321x x x a a a 有无穷多个解,则a =______.
【答案】2-
【考点】非齐次线性方程组解的判定 【难易度】★★ 【详解】解析:方法一:
利用初等行变换化增广矩阵为阶梯形,有
2
11
111211
1011311201112a a
A a a a a a a a -????
????=→--???
?????---+????
()()()
()1
120113,0
01222a
a a a a a -??
?
?→--????-++??
可见,只有当a =?2 时才有秩()()23,r A r A ==<对应方程组有无穷多个解. 方法二:
当系数矩阵的行列式不为零时,方程组有唯一解,因此满足题设条件的a 一定使系数行列式
为零,即有211
1
1(2)(1)0,11a a a a a
=+-=解得2-=a 或1=a .
由于答案有两个,应将其带回原方程进行检验.显然,当1=a 时,原方程无解,因此只能是
2-=a .
二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一
项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.) (1)设???>≤=,
1||,0,
1||,1)(x x x f 则)]}([{x f f f 等于( ) (A )0.
(B )1.
(C )??
?>≤.
1||,0,1||,1x x
(D )??
?>≤.
1||,1,1||,0x x
【答案】B 【考点】复合函数 【难易度】★
【详解】本题涉及到的主要知识点:
复合函数中,内层函数的值域是包含于外层函数的定义域。
解析:由题易知1)(≤x f ,所以1)]([=x f f ,1)1()]}([{==f x f f f ,选B.
(2)设当0→x 时,)1ln()cos 1(2
x x +-是比n x x sin 高阶的无穷小,而n
x x sin 是比
)1(2
-x e 高阶的无穷小,则正整数n 等于( )
(A )1. (B )2. (C )3. (D )4.
【答案】B
【考点】无穷小量的比较 【难易度】★★
【详解】解析:由题易知:
3
41021lim 21lim 0sin )1ln()cos 1(lim 14
022020<+?=???=+-+→→→n n x
x x x x x x x x x n x n x n x
(3)曲线2
2)3()1(--=x x y 的拐点个数为( ) (A )0. (B )1.
(C )2.
(D )3.
【答案】C
【考点】函数图形的拐点
1
2
10lim lim 01
sin lim 2102002>?>+?==??=-+→→→n n x x x x x e x x n x n x x n x
【难易度】★★ 【详解】解析:
)
2(24)1(4)1(8)3(8)3(4)1(2)3)(1(8)3(2)1(2)1)(3(4)3)(1(4)3(2)1)(3(2)3)(1(22
2222
2-=-+-+-+-='''-+--+-=-+--+--+-=''--+--='x x x x x y x x x x x x x x x x y x x x x y
由0=''y 得,1=x 或3=x ,带入0≠'''y ,故)(x f 有两个拐点.
(4)已知函数)(x f 在区间)1,1(δδ+-内具有二阶导数,)(x f '严格单调减少,且
1)1()1(='=f f ,则( )
(A )在)1,1(δ-和)1,1(δ+内均有x x f <)(. (B )在)1,1(δ-和)1,1(δ+内均有x x f >)(.
(C )在)1,1(δ-内,x x f <)(,在)1,1(δ+内,x x f >)(. (D )在)1,1(δ-内,()f x x >,在)1,1(δ+内,()f x x <. 【答案】A
【考点】函数单调性的判别 【难易度】★★★
【详解】解析:令x x f x F -=)()(,则1)()(-'='x f x F , 因为在区间)1,1(δδ+-上,)(x f '严格单调减少,
所以当)1,1(δ-∈x 时,01)1()(=-'>'f x F ,)(x F 单调递增,01)1()1()(=-=≤f F x F ; 当)1,1(δ+∈x 时,01)1()(=-'<'f x F ,)(x F 单调递减,01)1()1()(=-=≤f F x F ; 故在)1,1(δ-和)1,1(δ+内均有0)( (5)设函数()f x 在定义域内可导,它的图形如下图所示,则其导函数)(x f y '=的图形为( ) 【答案】D 【考点】函数单调性的判别 【难易度】★★★ 【详解】解析:由图可知)(x f 有两个极值点,横坐标分别记作)(,2121x x x x <,故)(x f '在且仅在这两处的值为0,故选D 。其中,当0>x 时,)(x f 先增后减再增,故)(x f '先正再负再正,进一步排除B. 三、(本题满分6分) 求 ? ++?1)12(d 2 2 x x x 【考点】不定积分的第二类换元法 【难易度】★★★ 【详解】解析:设tan ,x u =则2 sec ,dx udu = 原式222cos (2tan 1)cos 2sin cos du udu u u u u = =++?? 2 sin sin 1 d u u =+? arctan(sin )u C =+ 2 arctan( )1x C x =++ 四、(本题满分7分) 求极限x t x x t x t sin sin )sin sin (lim -→,记此极限为)(x f ,求函数)(x f 的间断点并指出其类型. 【考点】两个重要极限、函数间断点的类型 【难易度】★★★ 【详解】解析:=)(x f x x x t x x x t x t x x t x t x x t e x t x t sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin )1sin sin 1(lim )sin sin ( lim =-+=-?-?-→-→ 由此表达式知x =0及x =k π(k =±1,±2,…)都是f (x )的间断点. 由于e e lim )(lim sin 0 ==→→x x x x x f ,所以x =0是f (x )的可去(或第一类)间断点;而 x =k π(k =±1,±2,…)均为第二类(或无穷)间断点. 五、(本题满分7分) 设)(x ρρ=是抛物线x y = 上任一点)1)(,(≥x y x M 处的曲率半径,)(x s s =是该抛物线 上介于点)1,1(A 与M 之间的弧长,计算2 22)d d (d d 3s s ρρρ-的值.(在直角坐标系下曲率公式为) ) 1(||2 3 2'+"= y y K 【考点】曲率半径、定积分的几何应用—平面曲线的弧长、由参数方程所确定的函数的导数 【难易度】★★★ 【详解】解析:"3 11',,24y y x x = = 抛物线在点(,)M x y 处的曲率半径 3 3 22 21(1')1 ()(41)."2 y x x K y ρρ+====+ 抛物线上AM 的弧长2 1 1 1()1'1.4x x s s x y dx dx x == +=+ ? ? 故 3 213 (41)4 22 6.1 14d x d dx x ds ds dx x ρρ?+?===+ 22 1616 ().211414d d d ds ds dx ds x x dx x ρρ=?=?=++ 因此()23 222163()314369.214d d x x ds ds x ρρρ-=?+?-=+ 六、(本题满分7分) 设函数)(x f 在),0[+∞上可导,0)0(=f ,且其反函数为)(x g .若 ,e d )(2) (0 x x f x t t g =? 求)(x f . 【考点】积分上限的函数及其导数、一阶线性微分方程 【难易度】★★★ 【详解】本题涉及到的主要知识点:)())((d )() (0x f x f g t t g x f '?='?? ? ??? 解析:等式两边对x 求导得:x x e x xe x f x f g 22)())((+='?, 又因为)(x g 是)(x f 的反函数,故x x f g =))((, 所以有x x xe e x f +='2)( C xe e dx xe e e dx xe e x f x x x x x x x ++=++=+=??])([)2()( 又因为)(x f 在0=x 处连续,由0)0(1)(lim 0 ==+=+→f C x f x 得1-=C 故1)(-+=x x xe e x f . 七、(本题满分7分) 设函数)(x f ,)(x g 满足)(e 2)(),()(x f x g x g x f x -='=',且0)0(=f ,2)0(=g ,求 .d ))1() (1)(( π 2 x x x f x x g ? +-+ 【考点】自由项为指数函数的二阶常系数非齐次线性微分方程、定积分的分部积分法 【难易度】★★★★ 【详解】解析:因为)(e 2)(),()(x f x g x g x f x -='=',所以)(e 2)(x f x f x -='' 其对应的齐次微分方程为0)()(=+''x f x f 特征方程为012 =+r ,i ±=r 所以齐次微分方程的通解为x C x C x f sin cos )(21+= 设非齐次微分方程的特解为x Ce x f =)(* ,则,)(,)(**x x Ce x f Ce x f =" ='代入微分方程得 1=C , 所以非齐次微分方程的通解为x e x C x C x f ++=sin cos )(21, 又0)0()0(,0)0(='==f g f ,x e x C x C x f ++-='cos sin )(21, 得1,121=-=C C , 故x e x x x f ++-=sin cos )( 求积分: x x f x x f x f x x x x f x x g +=+++=?? ????+-+??? ?1) (d )11(d )()(d 11d )1()(1)(00π π02ππ π 1e 101)0(π1)π(1)(π 0++= +-+=+=π f f x x f . 八、(本题满分9分) 设L 是一条平面曲线,其上任意一点)0)(,(>x y x P 到坐标原点的距离恒等于该点处的切线 在y 轴上的截距,且L 经过点).0,2 1 ( (1)试求曲线L 的方程; (2)求L 位于第一象限部分的一条切线,使该切线与L 以及两坐标轴所围图形的面积最小. 【考点】齐次微分方程、平面曲线的切线、函数的最大值与最小值 【难易度】★★★ 【详解】解析:(1)设曲线L 过点),(y x P 的切线方程为)(x X y y Y -'=-, 令0=X ,得切线在y 轴上的截距y x y Y '-=. 由题设知 y x y y x '-=+2 2 , 令y u x = ,则此方程可化为.12 u x u '-=+ 分离变量得 ,d 1d 2 x x u u - =+ 积分得C x u u ln ln )1ln(2+-=++,即 .22C y x y =++ 代入条件02 1== x y 得21=C ,于是得L 的方程2122=++y x y , 即24 1x y -=. (2)曲线L ∶)21 0(412≤≤-=x x y 在点),(y x 处的切线方程为 ),(2)4 1(2 x X x x Y --=-- 即4122++-=x xX Y . 它在x 轴与y 轴上的截距分别为 )41(212+x x 与4 12 +x . 所围面积,d )41 ()4 1(21. 21)(21 0222x x x x x S ?--+= 令0)413)(41(41)41(2)41(241 )(2 222222 =-+=????? ?+-?+?= 'x x x x x x x x x S . 得)(x S 在]2 1,0[内的唯一驻点6 3= x , 易知6 3 = x 是最小值点. 由此,所求切线为41 363632++?-=X Y ,即3 133+-=x y . 九、(本题满分7分) 一个半球体状的雪堆,其体积融化的速率与半球面面积S 成正比,比例常数0>K .假设在融化过程中雪堆始终保持半球体状,已知半径为0r 的雪堆在开始融化的3小时内,融化了其 体积的 8 7 ,问雪堆全部融化需要多少小时? 【考点】导数的物理意义、微分方程初始条件的概念 【难易度】★★★★ 【详解】解析:设雪堆在t 时刻的体积3 π3 2r V = ,侧面积22r π,雪堆半径)(t r r =. 由题设知 kS t V -=d d , 所以有,π2d d π222r k t r r ?-=即.d d k t r -= 积分得C kt r +-=.又由00 r r t ==,有0r C =,于是kt r r -=0. 又由0 3|8 1 |===t t V V ,即3030π3 281)3(π32r k r ?=-,得061 r k =,从而).6(60t r r -= 令0=r 得雪堆全部融化所需时间为6=t 小时. 十、(本题满分8分) 设)(x f 在区间)0](,[>-a a a 上具有二阶连续导数,0)0(=f , (1)写出)(x f 的带拉格朗日余项的一阶麦克劳林公式; (2)证明在],[a a -上至少存在一点η,使.d )(3 )(3 x x f f a a a ? -="η 【考点】泰勒中值定理、介值定理 【难易度】★★★★ 【详解】解析:(1)对任意],[a a x -∈, , ! 2 22)()0(!2)()0()0()(x f x f x f x f f x f ξξ''+'=''+ '+=其中ξ在0与x 之间. (2)令t t f x F x d )()(0 ? = ,则)(x F 在],[a a -具有三阶连续导数,其二阶麦克劳林展开 式为3 2! 3)(!2)0()0()0()(x F x F x F F x F ξ'''+''+'+= ,3)(!2)0(!3)(!2)0()0(03 232x f x f x f x f x f ξξ''+'=''+'++= 所以,312!3)(!2)0()(a f a f a F ξ''+'=)0(! 3)(!2)0()(123 22a a a f a f a F <<<<-''-'=-ξξξ, 又 ,!2 ) ()(·3)]()([3)()(d )(213213ξξξξf f a f f a a F a F x x f a a ''+''=''+''=--=? - 由于)]()([2 1 21ξξf f ''+''介于)(1ξf ''和)(2ξf ''之间,由介值定理知存在[]a a ,-∈η,使得 )]()([21 )(21ξξηf f f ''+''='', 则有)(3 d )(3 ηf a x x f a a ''=?-. 十一、(本题满分6分) 已知矩阵???? ??????=??????????=011101110,11011001B i A , 且矩阵X 满足E BXA AXB BXB AXA ++=+, 其中E 是3阶单位阵,求X . 【考点】矩阵方程、逆矩阵的概念 【难易度】★★★ 【详解】解析:由题设的关系式得()(),AX A B BX B A E -+-= 即()().A B X A B E --= 由于行列式111 0110,001A B ---=-≠所以矩阵A B -可逆, ()1 111000 11010001 001110101100112010011010011001001001001A B E --?? ?-=-????→ ? ?? ? -???? ? ????→ ? ? ? ?? ?? ? 第3行加到 第1,2行 第2行加到第1行 所以()1112011,001A B -?? ? -= ? ? ?? 故()21X A B -??=-?? 125012.001?? ?= ? ??? 十二、(本题满分6分) 已知4321,,,αααα是线性方程组0=Ax 的一个基础解系,若211ααβt +=,322ααβt +=, 433ααβt +=,144ααβt +=,讨论实数t 满足什么关系时,4321,,,ββββ也是0=Ax 的 一个基础解系. 【考点】齐次线性方程组的基础解系 【难易度】★★★★ 【详解】 由于1234,,,ββββ均为1234,,,αααα的线性组合,所以1234,,,ββββ均为0Ax =的解. 下面证明1234,,,ββββ线性无关.设112233440k k k k ββββ+++=,即 141122233344()()()()0k tk tk k tk k tk k αααα+++++++=, 由于1234,,,αααα线性无关,因此其系数全为零,即 1412 23340, 0, 0, k tk tk k tk k tk k +=??+=?? +=??+=?其系数行列式4 100100101000 1 t t t t t =- 可见,当4 10t -≠,即1t ≠±时,上述方程组只有零解12340k k k k ====,因此向量组 1234,,,ββββ线性无关,又因0Ax =的基础解系是4个向量,故1234,,,ββββ也是0Ax =的 一个基础解系.