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(新整理)最新北师大版九年级上相似三角形

学生编号学生姓名授课教师辅导学科九年级数学教材版本

下教

课题名称

相似三角形

课时进度总第（）课时授课时间 10月23日

教学目标掌握相似三角形的概念、性质及判定方法，能够灵活应用相似三角形的性质和判定方

法方法解决实际问题。

重点难点

重点：相似三角形的概念、判定定理和相似三角形的性质

难点：如何根据问题的结论，在较复杂的图形中找到所要证明的相似三角形．

同步教学内容及授课步骤

知识点归纳：

知识点1、有关相似形的概念

(1)、形状相同的图形叫相似图形，在相似多边形中，最简单的是相似三角形.

(2)、如果两个边数相同的多边形的对应角相等，对应边成比例，这两个多边形叫做相似多

边形．相似多边形对应边长度的比叫做相似比(相似系数)．

知识点2 比例线段的相关概念

（1）、如果选用同一单位量得两条线段b a ,的长度分别为n m ,，那么就说这两条线段的比是

n m b a =

，或写成n m b a ::=．注：在求线段比时，线段单位要统一。

（2）、在四条线段d c b a ,,,中，如果b a 和的比等于d c 和的比，那么这四条线段d c b a ,,,叫做

成比例线段，简称比例线段．注：①比例线段是有顺序的，如果说a 是d c b ,,的第四比

例项，那么应得比例式为：a d c b =．②()a c a b c d b d ==在比例式：：中，

a 、d 叫比例外项，

b 、

c 叫比例内项, a 、c 叫比例前项，b 、

d 叫比例后项，d 叫第四比例项，如果b=c ，即

a b b d =：：那么b 叫做a 、d 的比例中项，此时有2b ad =。

（3）、黄金分割：把线段AB 分成两条线段)(,BC AC BC AC >，且使AC 是BC AB 和的比例中

项，即2

AC AB BC =?，叫做把线段AB 黄金分割，点C 叫做线段AB 的黄金分割点，其

中AB AC 215-=≈0.618AB ，即

2AC BC AB AC -==

，简记为：512-长短＝＝全长注：黄金三角形：顶角是360的等腰三角形。黄金矩形：宽与长的比等于黄金数的矩形知识点3、比例的性质（注意性质立的条件：分母不能为0）（1）、基本性质：

①、bc ad d c b a =?=::；②、2

::a b b c b a c =?=?．

注：由一个比例式只可化成一个等积式，而一个等积式共可化成八个比例式，如bc ad =除

了可化为d c b a ::=，还可化为d b c a ::=，

b a d

c ::=，c a

d b ::=，c d a b ::=，b d a c ::=，a b c d ::=，a c b d ::=．

（2）、更比性质(交换比例的内项或外项)：()()()a b

c d a c d c

b d b a d b

c a ?=??

?=?=??

?=??

，

交换内项，交换外项．

同时交换内外项

（3）、反比性质(把比的前项、后项交换)： a c b d

b d a c

=?=．

（4）、合、分比性质：a c a b c d

b d b d

±±=?=．

注：实际上，比例的合比性质可扩展为：比例式中等号左右两个比的前项，后项之间

发生同样和差变化比例仍成立．如：???????+-=+--=-?=d

c d c b a b a c

d a a b d c b a 等等．

（5）、等比性质：如果)0(≠++++====n f d b n

f e d c b a ，那么

b a n f d b m e

c a =++++++++ ．注：

①、此性质的证明运用了“设k 法”（即引入新的参数k ）这样可以减少未知数的个数，这种方

法是有关比例计算变形中一种常用方法．②应用等比性质时，要考虑到分母是否为零． ③可利用分式性质将连等式的每一个比的前项与后项同时乘以一个数，再利用等比性质也成

立．如：

b a f d b e

c a f e

d c b a f

e d c b a =+-+-?=--=?==32323322；其中032≠+-

f d b ．

知识点4 、比例线段的有关定理

1、三角形中平行线分线段成比例定理:平行于三角形一边的直线截其它两边(或两边的延长

线)所得的对应线段成比例.

由DE ∥BC 可得：AC AE

AB AD EA EC AD BD EC

AE DB AD =

==或或注意：

①、重要结论：平行于三角形的一边,并且和其它两边相交的直线,所截的三角形的三边与原

三角形三边对应成比例.

②、三角形中平行线分线段成比例定理的逆定理：如果一条直线截三角形的两边(或两边的延

长线)所得的对应线段成比例.那么这条直线平行于三角形的第三边. 此定理给出了一种证明两直线平行方法,即：利用比例式证平行线.

③、平行线的应用：在证明有关比例线段时，辅助线往往做平行线,但应遵循的原则是不要破

坏条件中的两条线段的比及所求的两条线段的比.

2、平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,所截得的对应线段成比例. 已知AD ∥BE ∥CF,

可得

AB DE AB DE BC EF BC EF AB BC

BC EF AC DF AB DE AC DF DE EF =====或或或或等. 注意：平行线分线段成比例定理的推论：

平行线等分线段定理：两条直线被三条平行线所截，如果在其中一条上截得的线段相等，那么在另一条上截得的线段也相等。知识点5 、相似三角形的概念

对应角相等，对应边成比例的三角形，叫做相似三角形．相似用符号“∽”表示，读作“相似于” ．相似三角形对应边的比叫做相似比(或相似系数)．相似三角形对应角相等，对应边成比例．注意：

①、对应性：即两个三角形相似时，一定要把表示对应顶点的字母写在对应位置上，这样写

比较容易找到相似三角形的对应角和对应边． ②顺序性：相似三角形的相似比是有顺序的．

E D C

B A E A

③、两个三角形形状一样，但大小不一定一样．④全等三角形是相似比为1的相似三角形．二

者的区别在于全等要求对应边相等，而相似要求对应边成比例．

知识点6 、三角形相似的等价关系与三角形相似的判定定理的预备定理 (1)、相似三角形的等价关系：

①、反身性：对于任一ABC ?有ABC ?∽ABC ?． ②、对称性：若ABC ?∽'''C B A ?，则'''C B A ?∽ABC ?．

③、传递性：若ABC ?∽C B A '?''，且C B A '?''∽C B A ''''''?，则ABC ?∽C B A ''''''?

(2) 、三角形相似的判定定理的预备定理：平行于三角形一边的直线和其它两边(或两边延长

线)相交，所构成的三角形与原三角形相似．定理的基本图形：用数学语言表述是：BC DE // ， ∴ ADE ?∽ABC ?．知识点7 、三角形相似的判定方法

1、定义法：三个对应角相等，三条对应边成比例的两个三角形相似．

2、平行法：平行于三角形一边的直线和其它两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似．

3、判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似．简述为：两角对应相等，两三角形相似．

4、判定定理2：如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似．简述为：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似．

5、判定定理3：如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似．简述为：三边对应成比例，两三角形相似．

6、判定直角三角形相似的方法： (1)、以上各种判定均适用．

(2)、如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对

应成比例，那么这两个直角三角形相似．

(3)、直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似．

(1)

E A

(3)

E (2)

知识点8 、相似三角形常见的图形

1、下面我们来看一看相似三角形的几种基本图形：

如图：称为“平行线型”的相似三角形（有“A 型”与“X 型”图）

(2)、如图：其中∠1=∠2，则△ADE ∽△ABC 称为“斜交型”的相似三角形。（有“反A 共角型”、 “反A 共角共边型”、 “蝶型”）

如图：称为“垂直型”（有“双垂直共角型”、“双垂直共角共边型（也称“射影定理型”）”“三垂直型”）

(4)、如图：∠1=∠2，∠B=∠D ，则△ADE ∽△ABC ，称为“旋转型”的相似

三角形。

B E

A C D

D E

12A

C D

124

C A

D E

C (

D )

(1)

E A

(3)

E (2)

2、几种基本图形的具体应用：

（1）、若DE ∥BC （A 型和X 型）则△ADE ∽△ABC

（2）、射影定理若CD 为Rt △ABC 斜边上的高（双直角图形）

则Rt △ABC ∽Rt △ACD ∽Rt △CBD 且AC2=AD ·AB ，CD2=AD ·BD ，BC2=BD ·AB ；

E A D C

A D

A D C

（3）、满足1、AC2=AD ·AB ，2、∠ACD=∠B ，3、∠ACB=∠ADC ，都可判定△ADC ∽△ACB ．

（4）、当AD AE

AC AB

或AD ·AB=AC ·AE 时，△ADE ∽△ACB ．

A D

知识点9：全等与相似的比较：

三角形全等三角形相似

两角夹一边对应相等(ASA) 两角一对边对应相等(AAS) 两边及夹角对应相等(SAS) 三边对应相等(SSS)

直角三角形中一直角边与斜边对应相等(HL) 相似判定的预备定理

两角对应相等

两边对应成比例，且夹角相等三边对应成比例

直角三角形中斜边与一直角边对应成比例

知识点10 、相似三角形的性质

(1)、相似三角形对应角相等，对应边成比例．

(2)、相似三角形对应高的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比． (3)、相似三角形周长的比等于相似比． (4)、相似三角形面积的比等于相似比的平方．

注意：相似三角形性质可用来证明线段成比例、角相等，也可用来计算周长、边长等．

知识点11 、相似三角形中有关证（解）题规律与辅助线作法

1、证明四条线段成比例的常用方法：

(1)、线段成比例的定义 (2)、三角形相似的预备定理 (3)、利用相似三角形的性质

(4)、利用中间比等量代换 (5)、利用面积关系

知识点12 、相似多边形的性质

(1)、相似多边形周长比，对应对角线的比都等于相似比．

(2)、相似多边形中对应三角形相似，相似比等于相似多边形的相似比．

(3)、相似多边形面积比等于相似比的平方．

注意：相似多边形问题往往要转化成相似三角形问题去解决，因此，熟练掌握相似三角形知识是基础和关键．

知识点13 、位似图形有关的概念与性质及作法

1、如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应顶点的连线都交于一点，那么这样的两个

图形叫做位似图形.

2、这个点叫做位似中心，这时的相似比又称为位似比.

注意：

（1）、位似图形是相似图形的特例，位似图形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点. （2）、位似图形一定是相似图形，但相似图形不一定是位似图形.

（3）、位似图形的对应边互相平行或共线.

3、位似图形的性质：位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于相似比.

注：位似图形具有相似图形的所有性质.

4、画位似图形的一般步骤：

（1）、确定位似中心（位似中心可以是平面中任意一点）

（2）、分别连接原图形中的关键点和位似中心，并延长（或截取）.

（3）、根据已知的位似比，确定所画位似图形中关键点的位置.

（4）、顺次连结上述得到的关键点，即可得到一个放大或缩小的图形. ①②③④⑤注意：①、位似中心可以是平面内任意一点，该点可在图形内，或在图形外，或在图形上（图形边上或顶点上）。

②、外位似：位似中心在连接两个对应点的线段之外，称为“外位似”

（即同向位似图形）

③、内位似：位似中心在连接两个对应点的线段上，称为“内位似”（即反向位似图形）（5）、在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点O为位似中心，相似比为k（k>0）,原图形上点的坐标为（x,y）,那么同向位似图形对应点的坐标为(kx,ky), 反向

位似图形对应点的坐标为(-kx,-ky),

相似三角形经典例题透析

类型一、相似三角形的概念

1、判断对错：

(1)、两个直角三角形一定相似吗？为什么？

(2)、两个等腰三角形一定相似吗？为什么？

(3)、两个等腰直角三角形一定相似吗？为什么？

(4)、两个等边三角形一定相似吗？为什么？

(5)、两个全等三角形一定相似吗？为什么？

思路点拨：要说明两个三角形相似，要同时满足对应角相等，对应边成比例.要说明不相似，则只要否定其中的一个条件.

解：(1)、不一定相似.反例

直角三角形只确定一个直角，其他的两对角可能相等，也可能不相等.所以直角三角形不一定相似.

(2)、不一定相似.反例

等腰三角形中只有两边相等，而底边不固定.因此两个等腰三角形中有两边对应成比例，两底边的比不一定等于对应腰的比，所以等腰三角形不一定相似.

(3)、一定相似.

在直角三角形ABC与直角三角形A′B′C′中

(4)、一定相似.

因为等边三角形各边都相等，各角都等于60度，所以两个等边三角形对应角相等，对应边成比例，因此两个等边三角形一定相似.

(5)、一定相似.

全等三角形对应角相等，对应边相等，所以对应边比为1，所以全等三角形一定相似，且相似比为1.

【变式2】下列能够相似的一组三角形为( )

A、所有的直角三角形

B、所有的等腰三角形

C、所有的等腰直角三角形

D、所有的一边和这边上的高相等的三角形

类型二、相似三角形的判定

1、如图所示，已知中，E为AB延长线上的一点，AB=3BE，DE与BC相交于F，请找出图

中各对相似三角形，并求出相应的相似比.

2、已知在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，BC=6.在Rt△EDF中，∠F=90°，DF=3，EF=4，则

△ABC和△EDF相似吗？为什么？

举一反三

【变式1】、已知：如图正方形ABCD中，P是BC上的点，且BP=3PC，Q是CD的中点．求证：△ADQ∽△QCP．

【变式3】、已知：如图，AD是△ABC的高，E、F分别是AB、AC的中点．

求证：△DFE∽△ABC．

类型三、相似三角形的性质

1、△ABC∽△DEF，若△ABC的边长分别为5cm、6cm、7cm，而4cm是△DEF中一边的长度，你能

求出△DEF的另外两边的长度吗？试说明理由.

2、如图所示，已知△ABC中，AD是高，矩形EFGH内接于△ABC中，且长边FG在BC上，矩形

相邻两边的比为1：2，若BC=30cm，AD=10cm.求矩形EFGH的面积.

举一反三

【变式1】△ABC中，DE∥BC，M为DE中点，CM交AB于N，若，求.

类型四、相似三角形的应用

举一反三

【变式1】、如图：小明欲测量一座古塔的高度，他站在该塔的影子上前后移动，直到他本身影子的顶端正好与塔的影子的顶端重叠，此时他距离该塔18 m，已知小明的身高是1.6 m，他的影长是2 m．

【变式2】、已知：如图，阳光通过窗口照射到室内，在地面上留下1.5m宽的亮区DE.亮区一边到窗下的墙脚距离CE=1.2m，窗口高AB=1.8m，求窗口底边离地面的高BC？

类型五、相似三角形的周长与面积

1、已知：如图，在△ABC与△CAD中，DA∥BC，CD与AB相交于E点，且AE︰EB=1︰2，EF∥BC交

AC于F点，△ADE的面积为1，求△BCE和△AEF的面积．

【变式2】、如图，已知：△ABC中，AB=5，BC=3，AC=4，PQ//AB，P点在AC上(与点A、C不重合)，Q点在BC上．

(1)、当△PQC的面积与四边形PABQ的面积相等时，求CP的长；

(2)、当△PQC的周长与四边形PABQ的周长相等时，求CP的长；

类型六、综合探究

1、如图，AB∥CD，∠A=90°，AB=2，AD=5，P是AD上一动点(不与A、D重合)，PE⊥BP，P为

垂足，PE交DC于点E，

(1)、设AP=x，DE=y，求y与x之间的函数关系式，并指出x的取值范围；

(2)、请你探索在点P运动的过程中，四边形ABED能否构成矩形？如果能，求出AP的长；如

果不能，请说明理由.

中考链接：

例1、如图，已知等腰△ABC 中，AB ＝AC ，AD ⊥BC 于D ，CG ‖AB ，BG 分别交AD ，AC 于E 、 F ，求证：

BE 2＝EF·EG

证明：如图，连结EC ，∵AB ＝AC ，AD ⊥BC ， ∴∠ABC ＝∠ACB ，AD 垂直平分BC

∴BE ＝EC ，∠1＝∠2，∴∠ABC-∠1＝∠ACB-∠2，即∠3＝∠4，又CG ∥AB ，∴∠G ＝∠3，∴∠4＝∠G

又∵∠CEG ＝∠CEF ，∴△CEF ∽△GEC ，∴EG CE =CE EF

∴EC 2＝EG· EF ，故EB 2=EF·EG

【解题技巧点拨】

本题必须综合运用等腰三角形的三线合一的性质，线段的垂直平分线的性质和相似三角形的基本图形来得到证明．而其中利用线段的垂直平分线的性质得到BE=EC ，把原来处在同一条直线上的三条线段BE ，EF ，EC 转换到相似三角形的基本图形中是证明本题的关键。

例2 、已知：如图，AD 是Rt △ABC 斜BC 上的高，E 是AC 的中点，ED 与AB 的延长线相交于F ，求证：BA FB =AC

证法一：如图，在Rt △ABC 中，∵∠BAC ＝Rt ∠，AD ⊥BC ，

∴∠3＝∠C ，又E 是Rt △ADC 的斜边AC 上的中点，

∴ED=21

AC ＝EC ，∴∠2＝∠C ，又∠1＝∠2，∴∠1＝∠3， ∴∠DFB ＝∠AFD ，∴△DFB ∽△AFD ，∴FD FB ＝AD BD

（1）

又AD 是Rt △ABC 的斜边BC 上的高，∴Rt △ABD ∽Rt △CAD ，∴AD BD =AC BA

（2）由（1）（2）两式得FD FB =AC BA ，故BA FB =AC FD

证法二：过点A 作AG ∥EF 交CB 延长线于点G ，则BA FB =AG FD

（1）

∵E 是AC 的中点，ED ∥AC ，∴D 是GC 的中点，又AD ⊥GC ，∴AD 是线段GC 的垂直平分线，∴AG ＝AC （2）

由（1）（2）两式得：BA FB =AC FD

，证毕。

【解题技巧点拨】

本题证法中，通过连续两次证明三角形相似，得到相应的比例式，然后通过中间比“AD BD

”过渡，使问题得证，证

法二中是运用平行线分线段成比例定理的推论，三角形的中位线的判定，线段的垂直平分线的判定与性质使问题得证．

一、如何证明三角形相似

例1、如图：点G 在平行四边形ABCD 的边DC 的延长线上,AG 交BC 、BD 于点E 、F ，则△AGD ∽ ∽ 。

例2、已知△ABC 中，AB=AC ，∠A=36°，BD 是角平分线，求证：△ABC ∽△BCD

例3：已知，如图，D 为△ABC 内一点连结ED 、AD ，以BC 为边在△ABC 外作∠CBE=∠ABD ，∠BCE=∠BAD

求证：△DBE ∽△ABC

A B C D

E F

G 1

4A B C D

例4、矩形ABCD 中，BC=3AB ，E 、F ，是BC 边的三等分点，连结AE 、AF 、AC ，问图中是否存在非全等的相

似三角形？请证明你的结论。

二、如何应用相似三角形证明比例式和乘积式

例5、△ABC 中，在AC 上截取AD ，在CB 延长线上截取BE ，使AD=BE ，求

证：DF ?AC=BC ?FE

例6、已知：如图，在△ABC 中，∠BAC=900，M 是BC 的中点，DM ⊥BC 于点E ，

交BA 的延长线于点D 。

求证：（1）MA 2

=MD ?ME ；（2）MD ME

AE =2

例7、如图△ABC 中，AD 为中线，CF 为任一直线，CF 交AD 于E ，交AB 于F ，求证：AE ：ED=2AF ：FB 。

三、如何用相似三角形证明两角相等、两线平行和线段相等。

例8、已知：如图E 、F 分别是正方形ABCD 的边AB 和AD 上的点，且3

==AD AF AB EB 。求证：∠AEF=∠FBD

E F

E M

E F K

A B

D E F

例9、在平行四边形ABCD 内，AR 、BR 、CP 、DP 各为四角的平分线，求证：SQ ∥AB ，RP ∥BC

例10、已知A 、C 、E 和B 、F 、D 分别是∠O 的两边上的点，且AB ∥ED ，BC ∥FE ，求证：AF ∥CD

例11、直角三角形ABC 中，∠ACB=90°，BCDE 是正方形，AE 交BC 于F ，FG ∥AC 交AB 于G ，求证：FC=FG

例12、Rt △ABC 锐角C 的平分线交AB 于E ，交斜边上的高AD 于O ，过O 引BC 的平行线交AB 于F ，求证：AE=BF

课后作业

学生姓名所属年级九年级辅导学科数学任课教师

作业时限

90分钟

布置时间

月日

一、填空题

1、已知：在△ABC 中，P 是AB 上一点，连结 CP ，当满足条件∠ACP= 或∠APC=

或

AC 2= 时，△ACP ∽△ABC ． 2、两个相似三角形周长之比为4∶9，面积之和为291，则面积分别是。

3、如图，DEFG 是Rt △ABC 的内接正方形，若CF ＝8，DG ＝42，则BE ＝。

4、如图，直角梯形 ABCD 中，AD ‖BC ，AD ⊥CD ，AC ⊥AB ，已知AD ＝4，BC ＝9，则 AC ＝

。

A B C

D S P R Q

B C D E F

A B

E F

O 123

A B C

D F

G E

5、△ABC 中，AB ＝15，AC ＝9，点D 是AC 上的点，且AD=3，E 在AB 上，△ADE 与△ABC 相似，则AE 的

长等于

。

6、如图，在正方形网格上画有梯形ABCD ，则∠BDC 的度数为

。

7、△ABC 中，AB ＝AC ，∠A ＝36°，BC ＝1，BD 平分∠ABC 交于D ，则BD ＝，AD ＝，设AB ＝x,则关于x 的方程是 .

8、如图，已知D 是等边△ABC 的BC 边上一点，把△ABC 向下折叠，折痕为MN ，使点A 落在点D 处，若BD ∶ DC ＝2∶3，则AM ∶MN=

。

二、选择题

9、如图，在正△ABC 中，D 、E 分别在AC 、AB 上，且AC AD =31

，AE=BE ，则有（）

A 、△AED ∽△BED

B 、△AED ∽△CBD

C 、△AE

D ∽△ABD

D 、△BAD ∽△BCD

10、如图，在△ABC 中，D 为AC 边上一点，∠DBC ＝∠A ，BC=6，AC ＝3，则CD 的长为（）

A 、1

B 、23

C 、2

D 、25

11、如图，□ABCD中，G是BC延长线上一点，AG与BD交于点E，与DC交于点F，则图中相似三角形共

有（）

A、3对

B、4对

C、5对

D、6对

12、P是Rt△ABC的斜边BC上异于B、C的一点，过点P作直线截△ABC，使截得的三角形与△ABC相似，

满足这样条件的直线共有（）

A、1条

B、2条

C、3条

D、4条

13、如图，在直角梯形ABCD中，AB＝7，AD＝2，BC=3，若在AB上取一点P，使以P、A、D为顶点的三

角形和以P、B、C为顶点的三角形相似，这样的P点有（）

A、1个

B、2个

C、3个

D、4个

三、解答下列各题

14、如图，长方形ABCD中，AB=5，BC＝10，点P从A点出发，沿AB作匀速运动，1分钟可以到达B点，点Q从B点出发，沿BC作匀速直线运动，1分钟可到C点，现在点P点Q同时分别从A点、B点出发，经过多少时间，线段PQ恰与线段BD垂直？

15、已知：如图，正方形DEFG内接于Rt△ABC，EF在斜边BC上，EH⊥AB于H．

求证：（1）△ADG≌△HED；（2）EF2＝BE·FC

(新整理)最新北师大版九年级上相似三角形讲解学习

(新整理)最新北师大版九年级上相似三角形

①、反身性：对于任一ABC ?有ABC ?∽ABC ?． ②、对称性：若ABC ?∽'''C B A ?，则'''C B A ?∽ABC ?． ③、传递性：若ABC ?∽C B A '?''，且C B A '?''∽C B A ''''''?，则ABC ?∽C B A ''''''? (2) 、三角形相似的判定定理的预备定理：平行于三角形一边的直线和其它两边(或两边延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似．定理的基本图形：用数学语言表述是：BC DE //Θ， ∴ ADE ?∽ABC ?．知识点7 、三角形相似的判定方法 1、定义法：三个对应角相等，三条对应边成比例的两个三角形相似． 2、平行法：平行于三角形一边的直线和其它两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似． 3、判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似．简述为：两角对应相等，两三角形相似． 4、判定定理2：如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似．简述为：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似． 5、判定定理3：如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似．简述为：三边对应成比例，两三角形相似． 6、判定直角三角形相似的方法： (1)、以上各种判定均适用． (2)、如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似． (3)、直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似．知识点8 、相似三角形常见的图形 (1) E A B C D (3) D B C A E (2) C D E A B

北师大版九年级下册知识点总结

北师大版九年级下册知识点总结 Last revision on 21 December 2020

北师大版初中数学定理知识点汇总[九年级(下册) 第一章直角三角形边的关系 ※一. 正切：定义：在Rt △ABC 中，锐角∠A 的对边与邻边的比叫做∠A 的正切．．，记作tanA ，即的邻边的对边 A A A ∠∠= tan ; ①tanA 是一个完整的符号，它表示∠A 的正切，记号里习惯省去角的符号“∠”； ②tanA 没有单位，它表示一个比值，即直角三角形中∠A 的对边与邻边的比； ③tanA 不表示“tan”乘以“A”； ④初中阶段，我们只学习直角三角形中，∠A 是锐角的正切； ⑤tanA 的值越大，梯子越陡，∠A 越大； ∠A 越大，梯子越陡，tanA 的值越大。 ※二. 正弦．．：定义：在Rt △ABC 中，锐角∠A 的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦，记作sinA ，即斜边的对边 A A ∠= sin ; ※三. 余弦：定义：在Rt △ABC 中，锐角∠A 的邻边与斜边的比叫做∠A 的余弦，记作cosA ，即斜边的邻边 A A ∠= cos ; ※余切：定义：在Rt △ABC 中，锐角∠A 的邻边与对边的比叫做∠A 的余切，记作cotA ，即的对边的邻边 A A A ∠∠= cot ; ※一个锐角的正弦、余弦、正切、余切分别等于它的余角的余弦、正弦、余切、正切。（通常我们称正弦、余弦互为余函数。同样，也称正切、余切互为余函数，可以概括为：一个锐角的三角函数等于它的余角的余函数）用等式表达：若∠A 为锐角，则 ①)90cos(sin A A ∠-?=； )90sin(cos A A ∠-?= ②)90cot(tan A A ∠-?=； )90tan(cot A A ∠-?= ※当从低处观测高处的目标时，视线与水平线 0o 30 o 45 o 60 o 90 o sin α 0 1 cos α 1 0 tan α 0 1 — cot α — 1

北师大版九年级数学下册教学计划.doc

九年级数学下册教学计划李艳娟一、学情分析：本学期我仍担任初三年级的数学教学工作，经过上一学期的努力，很多学生在学习风气上有了较大的改变，学习积极性有所提高，也有不少学生自知能力较差，特别是到了最后一学期，有些学生对自己要求不严，甚至自暴自弃，这些都需要针对不同情况采取相应的措施，耐心教育，此外，面临中考阶段对学生要有总体的掌握，使之考出好成绩。二、教材分析本学期的内容只剩两章，：圆与统计与概率。圆这一章的主要内容是圆的定义和性质，点、直线、圆与圆的位置关系，圆的切线，弧长和扇形的面积，圆锥的侧面展开图。本章设涉及的概念、定理较多，应弄清来龙去脉，准确理解和掌握概念和定理。垂径定理及推论、圆的切线的判定定理和性质定理是本章的重点。垂径定理、圆周角定理的证明、运用与圆有关的性质解决实际问题，是本章的难点。统计与概率这章有总体与样本、用样本估计这两节内容。统计是统计理论和应用的一项重要内容，其基本思想是通过部分估计全体。本章在介绍总体、个体、样本、样本容量的概念后，先后以百分比、平均数和方差为例，介绍了用样本估计总体的统计思想方法。除了这两章，还要复习初中数学教材其他的内容。三、教学目标： 1、知识与技能：理解点、直线、圆与圆的位置关系，弧长和扇形的面积，圆锥的侧面展开图，掌握圆的切线及与圆有关的角等概念和计算。教育学生掌握基础知识与基本技能，培养学生的逻辑思维能力、运算能力、空间观念和解决简单实际问题的能力，使学生逐步学会正确、合理的进行运算，逐步学会观察分析、综合、抽象、概括。会用归纳演绎、类比进行简单的推理，提高学生学习数学的兴趣，逐步培养学生具有良好的学习习惯，实事求是的态度，掌握初中数学教材、数学学科“基本要求”的知识点。 2、过程与方法：经历探索过程，让学生进一步体会数学来源与实践，又

北师大版九年级数学上相似三角形

一对一教案学生学校年级九年级教师授课日期授课时段课题相似三角形重点难点重点：掌握相似多边形和相似三角形的性质，运用相似三角形的判定解决问题。难点：运用相似三角形的判定解决问题。教学步骤及教学内容一、课前检测： 1．已知：如图，在梯形ABCD 中，AD//BC ，E 是CD 的中点， EF//BC 交AB 于F ，FG// BD 交AD 于G 。求证：AG = DG 。 2．如图，在△ABC 中，D 是AB 的中点，DE//BC 交AC 于E ，EF//AB 交BC 于F 。（1）求证：BF=CF ；（2）图中与DE 相等的线段有；（3）图中与EF 相等的线段有；（4）连结DF ，则DF 与AC 的位置关系是，数量关系是。 3.如图，在梯形ABCD 中，AB CD ∥， 129AB CD ==，，过对角线交点O 作 EF CD ∥交AD BC ，于E F ，，求EF 的长。 O F E D C B A A B C D F E A B C D G F E

三、主要练习：【知识点】：相似多边形定义：各角分别相等、各边成比例的两个多边形叫做相似多边形。相似多边形可以用符号“∽”表示，读作“相似于”。在记两个多边形相似时，要把表示对应顶点的字母写在对应的位置上。相似多边形对应边的比叫做相似比。【例题】： 1．以下五个命题：①所有的正方形都相似；②所有的矩形都相似；③所有的三角形都相似；④所有的等腰直角三角形都相似；⑤所有的正五边形都相似．其中正确的命题有_______． 2、若五边形ABCDE∽五边形MNOPQ ，且AB=12，MN=6，AE=7，则MQ= ． 3、矩形ABCD 与矩形EFGH 中，AB=4，BC=2，EF=2，FG=1，则矩形ABCD 与矩形EFGH 相似(填“一定”或“不一定”) 4、如图，在□ABCD 中，AB//EF ，若AB = 1，AD = 2，AE= 2 1 AB ，则□ABFE 与□BCDA 相似吗?说明理由．【课堂练习】： 1．下面图形是相似形的为 ( ) A ．所有矩形 B ．所有正方形 C ．所有菱形 D ．所有平行四边形 2．下列说法正确的是 ( ) A ．对应边成比例的多边形都相似 B ．四个角对应相等的梯形都相似 C ．有一个角相等的两个菱形相似 D ．有一个锐角相等的两个等腰三角形相似 3．□ABCD 与□ EFGH 中，AB = 4，BC = 2，EF = 2，FG=1，则□ABCD 与□ EFGH 相似(填“一定”或“不一定”) 4.如图，等腰梯形ABCD 与等腰梯形A′B′C′D′相似，∠A′=65°，A′B′=6 cm， AB=8 cm ， AD=5 cm ，试求梯形ABCD 的各角的度数与A′D′， B′C′的长． F E D C B A

2020新版北师大版数学九年级下册教案(全)

2020新版北师大版数学九年级下册教案(全) 第1课时 §1.1.1 锐角三角函数教学目标 1、经历探索直角三角形中边角关系的过程 2、理解锐角三角函数（正切、正弦、余弦）的意义;并能够举例说明 3、能够运用三角函数表示直角三角形中两边的比 4、能够根据直角三角形中的边角关系;进行简单的计算教学重点和难点重点：理解正切函数的定义难点：理解正切函数的定义教学过程设计 ? 从学生原有的认知结构提出问题直角三角形是特殊的三角形;无论是边;还是角;它都有其它三角形所没有的性质。这一章;我们继续学习直角三角形的边角关系。 ? 师生共同研究形成概念 1、梯子的倾斜程度在很多建筑物里;为了达到美观等目的;往往都有部分设计成倾斜的。这就涉及到倾斜角的问题。用倾斜角刻画倾斜程度是非常自然的。但在很多实现问题中;人们无法测得倾斜角;这时通常采用一个比值来刻画倾斜程度;这个比值就是我们这节课所要学习的——倾斜角的正切。 1）（重点讲解）如果梯子的长度不变;那么墙高与地面的比值越大;则梯子越陡； 2）如果墙的高度不变;那么底边与梯子的长度的比值越小;则梯子越陡； 3）如果底边的长度相同;那么墙的高与梯子的高的比值越大;则梯子越陡；通过对以上问题的讨论;引导学生总结刻画梯子倾斜程度的几种方法;以便为后面引入正切、正弦、余弦的概念奠定基础。 2、想一想（比值不变） ☆ 想一想书本P 2 想一想通过对前面的问题的讨论;学生已经知道可以用倾斜角的对边与邻边之比来刻画梯子的倾斜程度。当倾斜角确定时;其对边与邻边的比值随之确定。这一比值只与倾斜角的大小有关;而与直角三角形的大小无关。 3、正切函数（1）明确各边的名称（2）的邻边的对边 A A A ∠∠=tan （3）明确要求：1）必须是直角三角形；2）是∠A 的对边与 ∠A 的邻边的比值。 ☆ 巩固练习 a 、如图;在△ACB 中;∠C = 90°; 1） tanA = ；tanB = ； 2）若AC = 4;BC = 3;则tanA = ；tanB = ； 3）若AC = 8;AB = 10;则tanA = ；tanB = ； b 、如图;在△ACB 中;tanA = 。（不是直角三角形）（4） tanA 的值越大;梯子越陡 4、讲解例题 A B C A B C ∠A 的对边 ∠A 的邻边斜边 A B C

北师大版初三上数学相似三角形(一)

相似三角形【知识要点】 1 ．对应角相等，对应边成比例的三角形叫做相似三角形。 2．相似三角形的判定：①如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。 ②如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似。 ③如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似。 3．相似三角形具有下述性质： ①相似三角形对应角相等、对应边成比例； ②相似三角形对应高、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比； ③相似三角形周长的比等于相似比； ④相似三角形面积的比等于相似比的平方。 4．熟悉如图中形如“A”型，“X”型，“子母型”等相似三角形。【典型例题】例1．在梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC，BD相交于O，BM∥CD交CA的延长线于M，求证：OC2 =OA·OM

B G D 例2 . 如图，三个正方形组成一个矩形，AB=AG=GH=HD=a ，求证：∠AFB+∠ACB=45°。例3 . 已知CD 是直角三角形ABC 斜边AB 上的高，E 是CD 的中点，AE 的延长线交BC 于F ， AB FG ⊥，垂足是G ，求证：FB FC FG ?=2 A B C D E G H

例4．如图，已知△ABC 中，点D 、E 、F 分别是AB 、AC 、BC 上的点，DE ∥BC ，EF ∥AB 。（1）求证：△ADE ∽△EFC 。（2）如果△ADE 和△EFC 的面积分别是20和45，求四边形BFED 的面积。例5. 如图所示，△ABC 中AB=AC ，D 为CB 的延长线上一点，E 为BC 延长线上一点，满足AB 2=DB ·CE 。（1）求证：△ADB ∽△EAC ；（2）若∠BAC=40°，求∠EAD 的大小例6.已知：如图，在△ABC 中，AD ⊥BC 于D ，DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F 求证：△AEF ∽△ACB A D B C E

北师大版九年级初三数学下册第二学期教学计划

九年级数学下册教学计划一、学情分析：本学期我仍担任初三年级的数学教学工作，经过上一学期的努力，很多学生在学习风气上有了较大的改变，学习积极性有所提高，也有不少学生自知能力较差，特别是到了最后一学期，有些学生对自己要求不严，甚至自暴自弃，这些都需要针对不同情况采取相应的措施，耐心教育，此外，面临中考阶段对学生要有总体的掌握，使之考出好成绩。二、教材分析本学期的内容只剩两章，：圆与统计与概率。圆这一章的主要内容是圆的定义和性质，点、直线、圆与圆的位置关系，圆的切线，弧长和扇形的面积，圆锥的侧面展开图。本章设涉及的概念、定理较多，应弄清来龙去脉，准确理解和掌握概念和定理。垂径定理及推论、圆的切线的判定定理和性质定理是本章的重点。垂径定理、圆周角定理的证明、运用与圆有关的性质解决实际问题，是本章的难点。统计与概率这章有总体与样本、用样本估计这两节内容。统计是统计理论和应用的一项重要内容，其基本思想是通过部分估计全体。本章在介绍总体、个体、样本、样本容量的概念后，先后以百分比、平均数和方差为例，介绍了用样本估计总体的统计思想方法。除了这两章，还要复习初中数学教材其他的内容。三、教学目标： 1、知识与技能：理解点、直线、圆与圆的位置关系，弧长和扇形的面积，圆锥的侧面展开图，掌握圆的切线及与圆有关的角等概念和计算。教育学生掌握基础知识与基本技能，培养学生的逻辑思维能力、运算能力、空间观念和解决简单实际问题的能力，使学生逐步学会正确、合理的进行运算，逐步学会观察分析、综合、抽象、概括。会用归纳演绎、类比进行简单的推理，提高学生学习数学的兴趣，逐步培养学生具有良好的学习习惯，实事求是的态度，掌握初中数学教材、数学学科“基本要求”的知识点。 2、过程与方法：经历探索过程，让学生进一步体会数学来源与实践，又反应用于实践，通过探索、学习，使学生逐步学会正确、合理的进行运算，

新北师大版九年级数学下册圆的教学设计

课时教学设计首页授课时间2016年月日

授课时间2016年月日教师行为学生行为 2、请你说一说为什么上述游戏中排成圆形（或圆弧形）队形比较公平？二、冋题引申，探究圆的定义. 1、观察下列画圆的过程, 你能根据自己的理解试着给圆下个定义吗？课堂变化及处理主要环节的效果一、创设问题情境，激发学生兴趣? 1、如图3-1 一些学生正在做投圈游戏，他们的投圈目标都是图中的花瓶。如果他们呈“一”字型排开, 这样的队形对每个人都公平吗？你认为他们应当什么样的队形才公平？学生积极思考把自己带入游戏的快乐中，并举手回答：如果单纯考虑队形因素，即只考虑 “距离”对投圈结果的影响，那么排成圆形（或圆弧形）队形比较公平。学生抢答：因为圆上的点道圆心的距离相等引导学生发现：每一人到玩具的距离相等时才公平.为抽象出“平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆”的概念做准备. 2、你能在图中找到圆心，半径，并会表示这个圆吗? 学生通过阅读课文独立回答圆心：固定的端点叫作圆心；半径：线段OA的长度叫作这个圆的半径. 圆的表示方法：以点O为圆心的圆，记作“O O”，读作“圆O”通过游戏引出圆的概念教学时要对学生合理的想法给予肯定并引导完善学生小组合作、分组讨论，通过动画演示，发现圆可以看成是平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形；

授课时间2016年月日教师行为学生行为 4、请你说一说圆上各点、定点、定长有何关系呢？ (1 )圆心的距离都等于定长 (2)到定点的距离等于定长的点 5、那么确定一个圆要几个要素：一是圆心，圆心确定其位置，二是半径，半径确定其大小. 三、进一步探究圆的相关概念，培养学生的自学探究精神。请同学们结合图3-2小组交流讨论解决以下问题. 弦：直径：弧、弧的表示方法: 半圆：等圆：等弧：优弧：劣弧: 四、问题深入，探究点和圆的关系 1、在平面上任取一点，这点可能在圆的什么地方？ 2、如图3-3所示，O O是一个半径为r的圆，圆上分别取一点，点到圆心的距离为d，你能用r与d的大小关系刻画它们的位置特征吗? 小组讨论，组内互相交流协商、组内统一意见?各组派代表表述本组讨论结果? 学生根据自己的理解口头作答，最后由一名学生小结? 学生通过自己阅读课文，与同伴交流完成圆的相关概念的认识。学生抢答：这点可能在圆外、在圆上、或在圆内。学生口答并完成课文66页想一想。点P在圆外，？ d> r; 点P在圆上，？ d= r; 点P在圆内，？ d v r. 课堂变化及处理主要环节的效果学生发言踊跃，思维得到了有效的激发，多数学生能抓住到定点的距离相等的条件，只是表达还不够准确、完善? 对还有疑虑的问题, 教师可以作引导性讲解生回答教师引导通过此问题的探究，使学生理解点与圆的位置关系，并体会定性分析与定量分析的关系?

新版九年级数学上册知识点归纳(北师大版)

2014年（新版）九年级数学上册知识点归纳（北师大版）（八下前情回顾）※平行四边的定义：两线对边分别平行的四边形叫做平行四边形．．．．．，平行四边形不相邻的两顶点连成的线段叫做它的对角线．．．。 ※平行四边形的性质：平行四边形的对边相等,对角相等,对角线互相平分。 ※平行四边形的判别方法：两组对边分别平行的四边形是平行四边形。两组对边分别相等的四边形是平行四边形。一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。两条对角线互相平分的四边形是平行四边形。 ※平行线之间的距离：若两条直线互相平行，则其中一条直线上任意两点到另一条直线的距离相等。这个距离称为平行线之间的距离。第一章特殊平行四边形 1菱形的性质与判定菱形的定义：一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。 ※菱形的性质：具有平行四边形的性质,且四条边都相等,两条对角线互相垂直平分,每一条对角线平分一组对角。菱形是轴对称图形，每条对角线所在的直线都是对称轴。 ※菱形的判别方法：一组邻边相等的平行四边形是菱形。对角线互相垂直的平行四边形是菱形。四条边都相等的四边形是菱形。 2矩形的性质与判定 ※矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫矩形．．。矩形是特殊的平行四边形。 ※矩形的性质：具有平行四边形的性质，且对角线相等，四个角都是直角。（矩形是轴对称图形，有两条对称轴） ※矩形的判定：有一个内角是直角的平行四边形叫矩形(根据定义)。对角线相等的平行四边形是矩形。四个角都相等的四边形是矩形。 ※推论：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。 3正方形的性质与判定正方形的定义：一组邻边相等的矩形叫做正方形。 ※正方形的性质：正方形具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质。（正方形是轴对称图形，有两条对称轴） ※正方形常用的判定：有一个内角是直角的菱形是正方形；邻边相等的矩形是正方形；对角线相等的菱形是正方形；对角线互相垂直的矩形是正方形。正方形、矩形、菱形和平行边形四者之间的关系(如图3所示)： ※梯形定义：一组对边平行且另一组对边不平行的四边形叫做梯形。

北师大版九年级数学下册各章知识点汇总

第一章直角三角形的边角关系 1 锐角三角函数 2 30°，45°，60°角的三角函数值 3 三角函数的计算 4 解直角三角形 5 三角函数的应用 6 利用三角函数测高 ※一. 正切：定义：在Rt △ABC 中，锐角∠A 的对边与邻边的比叫做∠A 的正切．．，记作tanA ，即的邻边的对边 A A A ∠∠= tan ; ①tanA 是一个完整的符号，它表示∠A 的正切，记号里习惯省去角的符号“∠”； ②tanA 没有单位，它表示一个比值，即直角三角形中∠A 的对边与邻边的比； ③tanA 不表示“tan ”乘以“A ”； ④初中阶段，我们只学习直角三角形中，∠A 是锐角的正切； ⑤tanA 的值越大，梯子越陡，∠A 越大； ∠A 越大，梯子越陡，tanA 的值越大。 ※二. 正弦．．：定义：在Rt △ABC 中，锐角∠A 的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦，记作sinA ，即斜边的对边 A A ∠= sin ; ※三. 余弦：定义：在Rt △ABC 中，锐角∠A 的邻边与斜边的比叫做∠A 的余弦，记作cosA ，即斜边的邻边 A A ∠= cos ;

※余切：定义：在Rt △ABC 中，锐角∠A 的邻边与对边的比叫做∠A 的余切，记作cotA ，即的对边的邻边 A A A ∠∠= cot ; ※一个锐角的正弦、余弦、正切、余切分别等于它的余角的余弦、正弦、余切、正切。 0o 30 o 45 o 60 o 90 o sin α 0 2 1 2 2 2 3 1 cos α 1 23 2 2 2 1 0 tan α 0 3 3 1 3 — cot α — 3 1 3 3 0 （通常我们称正弦、余弦互为余函数。同样，也称正切、余切互为余函数，可以概括为：一个锐角的三角函数等于它的余角的余函数）用等式表达：若∠A 为锐角，则 ①)90cos(sin A A ∠-?=； )90sin(cos A A ∠-?= ②)90cot(tan A A ∠-?=； )90tan(cot A A ∠-?= ※当从低处观测高处的目标时，视线与水平线所成的锐角称为仰角．． ※当从高处观测低处的目标时，视线与水平线所成的锐角称为俯角．． ※利用特殊角的三角函数值表，可以看出，(1)当角度在0°～90°间变化时，正弦值、正切值随着角度的增大(或减小)而增大(或减小)；余弦值、余切值随着角度的增大(或减小)而减小(或增大)。(2)0≤sin α≤1，0≤cos α≤1。 ※同角的三角函数间的关系：倒数关系：tg α·ctg α=1。

北师大版九年级数学上相似三角形

一对一教案

新北师大版九年级数学上册知识点

实用文档北师大版初中数学九年级(上册)各章知识点第一章特殊平行四边形第二章一元二次方程第三章概率的进一步认识第四章图形的相似第五章投影与视图第六章反比例函数第一章特殊平行四边形 1.1菱形的性质与判定菱形的定义：一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。 ※菱形的性质：具有平行四边形的性质,且四条边都相等,两条对角线互相垂直平分,每一条对角线平分一组对角。菱形是轴对称图形，每条对角线所在的直线都是对称轴。 ※菱形的判别方法：一组邻边相等的平行四边形是菱形。对角线互相垂直的平行四边形是菱形。四条边都相等的四边形是菱形。 1.2矩形的性质与判定 ※矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫矩形．．。矩形是特殊的平行四边形。 ※矩形的性质：具有平行四边形的性质，且对角线相等，四个角都是直角。（矩形是轴对称图形，有两条对称轴） ※矩形的判定：有一个内角是直角的平行四边形叫矩形(根据定义)。对角线相等的平行四边形是矩形。四个角都相等的四边形是矩形。 ※推论：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。

1.3正方形的性质与判定正方形的定义：一组邻边相等的矩形叫做正方形。 ※正方形的性质：正方形具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质。（正方形是轴对称图形，有两条对称轴） ※正方形常用的判定：有一个内角是直角的菱形是正方形；邻边相等的矩形是正方形；对角线相等的菱形是正方形；对角线互相垂直的矩形是正方形。正方形、矩形、菱形和平行边形四者之间的关系(如图3所示)： ※梯形定义：一组对边平行且另一组对边不平行的四边形叫做梯形。 ※两条腰相等的梯形叫做等腰梯形。一个内角为直角菱形 ※一条腰和底垂直的梯形叫做直角梯形。一组邻边相等（或对角线相等）一组邻边相等且一个内角为直角平行四边形正方形（或对角线互相垂直平分）一邻边相等一内角为直角矩形或对角线垂直鹏翔教图3 ※等腰梯形的性质：等腰梯形同一底上的两个内角相等，对角线相等。同一底上的两个内角相等的梯形是等腰梯形。 ※三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半。 ※夹在两条平行线间的平行线段相等。 ※在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半第二章一元二次方程 2.1认识一元二次方程．．．．．． 2.2用配方法求解一元二次方程．．．．．．．．．．．．．．． 2.3用公式法求解一元二次方程 2.4用因式分解法求解一元二次方程 2.5一元二次方程的跟与系数的关系 2.6应用一元二次方程 ※只含有一个未知数的整式方程，且都可以化为ax2bxc0（a、b、c为常数，a≠0）的形式，这样的方程叫一元二次方程。

北师大版数学九年级下册知识点总结及例题不错!)

北师大版数学九年级下册知识点总结及例题第一章直角三角形的边角关系 1．正切：在Rt △ABC 中，锐角∠A 的对边与邻边的比叫做∠A 的正切．．，记作tanA ，即的邻边的对边 A A A ∠∠= tan ; ①tanA 是一个完整的符号，它表示∠A 的正切，常省去角的符号“∠”； ②tanA 没有单位，它表示一个比值，即直角三角形中∠A 的对边与邻边的比； ③tanA 不表示“tan”乘以“A”； ④tanA 的值越大，梯子越陡，∠A 越大； ∠A 越大，梯子越陡，tanA 的值越大。例在Rt △ABC 中，如果各边长度都扩大为原来的2倍，那么锐角A 的正弦值（） A.扩大2倍 B.缩小2倍 C.扩大4倍 D.没有变化 2. 正弦．．：在Rt △ABC 中，锐角∠A 的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦，记作sinA ，即斜边的对边 A A ∠= sin ; 例在ABC ?中，若90C ∠=?，1 sin 2 A =，2A B =，则AB C ?的周长为 3. 余弦：在Rt △ABC 中，锐角∠A 的邻边与斜边的比叫做∠A 的余弦，记作cosA ，即斜边的邻边 A A ∠= cos ; 例等腰三角形的底角为30°，底边长为23，则腰长为（） A ．4 B ．23 C ．2 D ．22

4. 一个锐角的正弦、余弦分别等于它的余角的余弦、正弦。例 △ABC 中，∠A ，∠B 均为锐角，且有2 |tan 3|2sin 30B A -+ -=（），则△ABC 是（） A ．直角（不等腰）三角形 B ．等腰直角三角形 C ．等腰（不等边）三角形 D ．等边三角形 5.当从低处观测高处的目标时，视线与水平线所成的锐角称为仰角．．当从高处观测低处的目标时，视线与水平线所成的锐角称为俯角．． 6.在直角三角形中，除直角外，一共有五个元素，即三条边和二个锐角。由直角三角形中除直角外的已知元素，求出所有未知元素的过程，叫做解直角三角形。 7.在△ABC 中，∠C 为直角，∠A 、∠B 、∠C 所对的边分别为a 、b 、c ，则有 (1)三边之间的关系：a 2+b 2=c 2； (2)两锐角的关系：∠A ＋∠B=90°； (3)边与角之间的关系： ,tan , cos ,sin b a A c b A c a A = == ,tan , cos , sin a b B c a B c b B === 30 o 45 o 60 o sin α 2 1 2 2 2 3 cos α 23 2 2 2 1 tan α 3 3 1 3

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新北师大版九年级数学下册知识点总结第一章直角三角形边的关系一?锐角三角函数 1. 正切：定义：在Rt △ ABC 中，锐角/A 的对边与邻边的比叫做/A 的正切，记作 tanA , ① tanA 是一个完整的符号，它表示/A 的正切，记号里习惯省去角的符号“/”； ② tanA 没有单位，它表示一个比值，即直角三角形中/A 的对边与邻边的比； ③ tanA 不表示"tan ”乘以"A ”； ④ 初中阶段，我们只学习直角三角形中，/A 是锐角的正切； ⑤ tanA 的值越大，梯子越陡，ZA 越大；ZA 越大，梯子越陡，tanA 的值越大。 2. 正弦：定义：在Rt △ ABC 中，锐角/A 的对边与斜边的比叫做/A 的正弦，记作sinA ，即sin A A 的对边 ................................... """■ 斜边 3. 余弦：定义：在Rt △ ABC 中，锐角/A 的邻边与斜边的比叫做/A 的余弦，记作cosA ，即cosA A 的邻边 .............................. ■■■■■ 斜边之变化三?三角函数的计算 1. 仰角：当从低处观测高处的目标时，视线与水平线所成的锐角称为仰角 2. 俯角：当从高处观测低处的目标时，视线与水平线所成的锐角称为俯角值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）；余弦值随着角度的增大 < sin a< 1， 0< cos a< 1。 4. 坡度：如图2,坡面与水平面的夹角叫做坡角坡角的正切称为坡度 i tan A l 5. 方位角：从某点的指北方向按顺时针转到目标方向的水平角，叫做方位角...。如图3，OA OB OC 的方位角分别为 45 °、135 °、225 °。 6. 方向角：指北或指南方向线与目标方向线所成的小于 90°的水平角，叫做方向角.。如图4，OA 、即 tanA A 的对边 A 的邻边锐角A 的正弦、余弦和正切都是/A 的三角函数当锐角 A 变化时，相应的正弦、余弦和正切之也随 30 o 45 o 60 o sin a 1 亞矗 2 2 2 cos a 旦返 1 2 2 2 tan a 迴 3 1 3. 规律：禾U 用特殊角的三角函数值表，可以看岀, （1）当角度在0 °?90°间变化时，正弦值、正切（或减小）而减小（或增大）。（2）0 （或坡比）。用字母i 表示，即二?特殊角的三角函数值图2

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