省潍坊市2018届高三数学(理)期末考试
2018.1
本试卷分第I 卷和第Ⅱ卷两部分,共6页.满分150分.考试用时120分钟.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回. 注意事项:
1.答卷前,考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的、学校、号填写在答题卡和试卷规定的位置上.
2.第I 卷每小题选出答案后,用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑;如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号,答案写在试卷上无效.
3.第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域相应的位置,不能写在试卷上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不能使用涂改液、胶带纸、修正带.不按以上要求作答的答案无效.
4.填空题请直接填写答案,解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
第I 卷(共60分)
一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.若集合{}{}
211log 1,A x x B x x A B =-<<==,则 A .()1,1-
B .(0,1)
C .(-l ,2)
D .(0,2)
2.下列函数中,图象是轴对称图形且在区间()0+∞,上单调递减的是 A .1
y x
=
B .2
1y x =-+
C .2x
y = D .2log y x =
3.若,x y 满足约束条件2040,24x y x y z x y y -+≤??
+-≥=-??≤?
则的最大值为
A .4-
B .1-
C .0
D .4
4.若角α终边过点()32,1sin 2A πα??-= ???
,则
A. 25
-
B. 5-
C .
5 D .
25
5.已知双曲线()22
2210x y a b a b -=>0,>的焦点到渐近线的距离为
3,且离心率为2,则该双曲线的实轴长为
A .1
B .3
C .2
D .23
6.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为 A .423+
B .442+
C .623+
D .642+
7.如图,六边形ABCDEF 是一个正六边形,若在正六边形任取一点,则恰好取在图中阴影部分的概率是
A .14
B .
1
3 C. 23
D .34
8.函数3sin 2cos 2y x x =
-的图象向右平移02π???
?<< ???
个单位后,得到函数()y g x =的
图象,若()y g x =为偶函数,则?的值为 A .
12
π
B .
6
π C .
4
π D .
3
π 9.某篮球队对队员进行考核,规则是:①每人进行3个轮次的投篮;②每个轮次每人投篮2次,若至少投中1次,则本轮通过,否则不通过.已知队员甲投篮1次投中的概率为2
3
,如果甲各次投篮投中与否互不影响,那么甲3个轮次通过的次数X 的期望是 A .3
B .
83
C .2
D .
53
10.已知抛物线2
4y x =与直线230x y --=相交A 、B 两点,O 为坐标原点,设OA ,OB 的斜率为1212
11
,k k k k +,则的值为 A .14
-
B .12
-
C .
14
D .
12
11.“干支纪年法”是中国历法上自古以来使用的纪年方法,甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸被称为“十天干”,子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥叫做“十二地支”.“天干”以“甲”字开始,“地支”以“子”字开始,两者按干支顺序相配,组成了干支纪年法,其相配顺序为:甲子、乙丑、丙寅…癸酉,甲戌、乙亥、丙子…癸未,甲申、乙酉、丙戌…癸巳,…,共得到60个组成,周而复始,循环记录.2014年是“干支纪年法”中的甲午年,那么2020年是“干支纪年法”中的
A .己亥年
B .戊戌年
C .庚子年
D .辛丑年 l2.已知函数()()
2
3x
f x x e =-,若关于x 的方程()()2
2
12
0f
x mf x e --
=的不同实数根的个数为n ,则n 的所有可能值为
A .3
B .1或3
C .3或5
D .1或3或5
第Ⅱ卷(共90分)
二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.
13.已知单位向量121212,,23
e e e e a e e a π
<>==-=,且,若向量,则__________.
14.()()5
2
11x x x +++展开式中4
x
的系数为___________(用数字作答).
15.已知正四棱柱的顶点在同一个球面O 上,且球O 的表面积为12π,当正四棱柱的体积最大时,正四棱柱的高为__________.
16.在如图所示的平面四边形ABCD 中,1,3,AB BC ACD
==
?为等腰直角三角形,且90ACD ∠=,则BD 长的最大值为
___________.
三、解答题:共70分.解答应写出文字说明、证明过程或
演算步骤.第17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题,考生根据要求作答.
(一)必考题:共60分. 17.(本小题满分12分)
若数列{}n a 的前几项和n S 满足:()20,n n S a n N λλ*
=->∈.
(I)证明:数列{}n a 为等比数列,并求n a ; (Ⅱ)若(
)24,log n
n n a n b n N a n λ*??==∈?
??为奇数为偶数
,求数{}n b 的前2n 项和2n T . 18.(本小题满分12分)
在4,22,45,PABC PA PC P D ==∠=中,是PA 中点(如图1).将△PCD 沿CD 折起到图2中1
PCD ?的位置,得到四棱锥P 1—ABCD .
(I)将△PCD 沿CD 折起的过程中,CD ⊥平面1P DA 是否成立?并证明你的结论;
(Ⅱ)若1P D 与平面ABCD 所成的角为60°,且△1P DA 为锐角三角形,求平面1P AD 和平面1P BC 所成角的余弦值.
19.(本小题满分12分)
为研究某种图书每册的成本费y (元)与印刷数x (千册)的关系,收集了一些数据并作了初步处理,得到了下面的散点图及一些统计量的值.
表中8
1
11,8i i i i u u u x ===∑.
(I)根据散点图判断:=d
y a bx y c x
=++
与哪一个更适宜作为每册成本费y(元)与印刷数x (千册)的回归方程类型?(只要求给出判断,不必说明理由)
(Ⅱ)根据(I)的判断结果及表中数据,建立y 关于x 的回归方程(回归系数的结果精确到0.01); (III)若每册书定价为10元,则至少应该印刷多少千册才能使销售利润不低于78840元?(假设能够全部售出。结果精确到1)
(附:对于一组数据()()()1122,,,,,,n n ωυωυωυ???,其回归直线υαβω=+的斜率和截距的最
小二乘估计分别为(()()
()
1
2
1
,n
i
i i n
i
i w
w
ω
ωυυ
βαυβω==--=
=--∑∑)
20.(本小题满分12分)
已知椭圆()22
22:10x y C a b a b
+=>>上动点P 到两焦点12,F F 的距离之和为4,当点P 运动到
椭圆C 的一个顶点时,直线1PF 恰与以原点O 为圆心,以椭圆C 的离心率e 为半径的圆相切. (I)求椭圆C 的方程;
(Ⅱ)设椭圆C 的左右顶点分别为A 、B ,若PA 、PB 交直线6x =于M 、N 两点.问以MN 为直径的圆是否过定点?若是,请求出该定点坐标;若不是,请说明理由. 21.(本小题满分12分)
已知函数()2
2ln 2f x x ax x =-+有两个极值点()1212,x x x x <.
(I)数a 的取值围;
(Ⅱ)设()2
ln c g x x bx x =--,若函数()f x 的两个极值点恰为函数()g x 的两个零点,当
32a ≥
()12
122x x y x x g +??
'=- ???
的最小值. (二)选考题:共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.
22.(本小题满分10分)【选修4—4:坐标系与参数方程】 在平面直角坐标系xOy 中,曲线1C 的参数方程为2cos 22sin x y α
α
=??
=+?(α为参数),以原点为极点,
x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线2C 的极坐标方程为2cos sin ρθθ= (限定0,0ρθπ≥≤<).
(I)写出曲线1C 的极坐标方程,并求1C 与2C 交点的极坐标; (Ⅱ)射线63π
πθββ??=≤≤
???
与曲线1C 与2C 分别交于点A 、B(A 、B 异于原点),求OA OB 的取值围.
23.(本小题满分10分)【选修4—5:不等式选讲】 已知函数()()110f x x x a a =++--<≤. (I)求关于x 的不等式()1f x >的解集; (Ⅱ)记()f x 的最小值为m ,证明:m ≤1.