广东省华南师范大学附属中学2017-2018学年高二10月月考数学理试题 含答案 精品

2017-2018 华附高二理科

一、选择题

1．设:p 实数x ，y 满足1x >且1y >，设:q 实数x ，y 满足2x y +>，则p 是q 的（ ）．

A ．充分不必要条件

B ．必要不充分条件

C ．充要条件

D ．既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】画出p ，q 表示的区域如下所示：

x

由图可以看出，p 表示的阴影区域是q 表示的划线区域的子集，所以p 是q 的充分不必要条件． 故选A ．

2．抛物线2

1(0)y x a a

=≠焦点坐标是（ ）

．

A ．0,4a ?? ???或0,4a ?

?- ??

?

B ．0,4a ?? ???

C ．10,4a ?? ???或10,4a ??- ???

D ．10,4a ??

???

【答案】B

【解析】解：将抛物线方程化为2x ay =，当0x >时，2a p =，焦点为0,4a ??

???

， 当0a <时，2a p =-，焦点为0,2p ??- ???，也是0,4a ??

???

故选B ．

3．下列命题中，假命题的是（ ）．

A ．x ?∈R ，120x ->

B ．x ?∈R

，sin x =C ．x ?∈R ，210x x -+>

D ．x ?∈R ，lg 2x =

【答案】B

【解析】A ．将指数1x -视为整体，利用指数函数性质判断为正确；

B ．利用正弦函数的有界性，判断为错误；

C ．0?<，可知21x x -+，判断为正确；

D ．方程lg 2x -的解是100x -，判断为正确．

故选B ．

4．函数2log ,0

()2,0x x x f x a x >??=?-+??

≤有且只有一个零点的充分不必要条件是（ ）．

A ．0a <

B ．1

02

a <<

C ．1

12

a <<

D ．0a ≤或1a >

【答案】A

【解析】∵当0x >时，1x =是函数()f x 的一个零点； 故当0x ≤时， 20x a -+≤恒成立；

即2x a ≤恒成立， 故0a ≤． 故选A ．

5．已知10a b <<，且1111M a b =+++，11a b

N a b =+

++，则M ，N 的大小关系是（ ）．

A ．M N >

B ．M N <

C ．M N =

D ．不能确定

【答案】A

【解析】解：∵1

0a b <<，

∴10a +>，10b +>，10ab ->， ∴1122011(1)(1)

a b ab

M N a b a b ----=

+=>++++， ∴M N >． 故选A ．

6．已知双曲线22

221(0,0)x y a b a b

-=>>的右焦点到左顶点的距离等于它到渐近线距离的2倍，

则其渐近线方程为（ ）．

A ．20x y ±=

B ．20x y ±=

C ．430x y ±=

D ．340x y ±=

【答案】C

【解析】由题意，设渐近线方程为0bx ay ±=，

右焦点到左顶点的距离为a c +，右焦点(,0)c

bc

b c

=

=， 因为2a c b +=，又有222a b c +=，解得4

3b a =，

故渐近线为430x y ±=． 故选C ．

7．设A ，B ，C ，D 是空间不共面的四个点，且满足0AB AC ?=u u u r u u u r ，0AC AD ?=u u u r u u u r ，0AD AB ?=u u u r u u u r

，

则BCD △的形状是（ ）．

A ．锐角三角形

B ．直角三角形

C ．钝角三角形

D ．等腰直角三角形

【答案】C

【解析】()()BC BD AC AB AD AB ?=--u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r

2||AC AD AC AB AB AD AB =?-?-?+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 2

||0AB =>u u u r ，

则cos 0B >，所以B 是锐角，同理D ，C 都是锐角， 故BCD △是锐角三角形． 故选C ．

8．（理）已知双曲线22

221x y a b

-=的左焦点为1F ，左、右顶点为1A 、2A ，P 为双曲线上任意一

点，则分别以线段1PF ，12A A 为直径的两个圆的位置关系为（ ）． A ．相交

B ．相切

C ．相离

D ．以上情况都有可

能 【答案】B

【解析】解：如图所示，若P 在双曲线左支，则

1221112111||||(||2)||222OO PF PF a PF a r r =

=+=+=+， 即圆心距为半径之和，两圆外切；

若P 在双曲线右支，则1212||O O r r =-，两圆内切， 所以两圆相切． 故选B ．

9．如图，1F ，2F 是椭圆2

21:14

x C y +=与双曲线2C 的公共焦点，A ，B 分别是1C ，2C 在第二、

四象限的公共点．若四边形12AF BF 为矩形，则2C 的离心率是（ ）．

A

B

C ．

3

2

D

【答案】D

【解析】设1||AF x =，2||AF y =，

因为点A 为椭圆2

21:14

x C y +=上的点，

所以24a =，1b =

，c

2221212||||||AF AF F F +=

，即2222(2)12x y c +===，

联立得：22

4

12x y x y +=??+=?，

解得2x =

2y =

设双曲线2C 的实轴长为2a '，焦距为2c '，

则212||||a AF AF y x '=-=-=

，c c '= 所以双曲线2C

的离心率c e a

'=

='．

故选D ．

10．已知抛物线2:8C y x =的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，Q 是直线PF 与C 的一个交

点，若4FP FQ =u u u r u u u r

，则||QF =（ ）．

A ．

7

2

B ．

5

2

C ．3

D ．2

【答案】C

【解析】设Q 到l 的距离为d ，则||QF d =，

因为4FP FQ =u u u r u u u r ， 所以||3PQ d =，

所以直线PF

的斜率为- 因为(2,0)F ，

所以直线PF

的方程为2)y x =--， 与抛物线2:8C y x =的方程联立，可得1x =， 所以||13QF d =+=． 故选C ．

11．椭圆22

:143

x y C +=的左、右顶点分别为1A ，2A ，点M 在C 上且直线2MA 的斜率的取值范

围是[2,1]--，那么直线1MA 斜率的取值范围是（ ）．

A ．13,24??

????

B ．33,84??????

C ．1,12??????

D ．3,14??????

【答案】B

【解析】设P 点坐标为00(,)x y ，1(2,0)A -，2(2,0)A ． 则1002PA y k x =

+，20

02

PA y k x =-． 因为点P 在椭圆上，

所以2200

143

x y +=，

整理得202

03

44

y x =--， 而12

2

0002000224

PA PA y y y k k x x x ?=?=+--，

故123

4

PA PA k k ?=-．

又1[2,1]PA k ∈--， 故233,84PA k ??

∈????

．

故选B ．

12．设m ∈R ，过定点A 的动直线0x my +=和过定点B 的动直线30mx y m --+=交于点(,)P x y ，则||||PA PB +的取值范围是（ ）．

A ．

B ．

C ．

D ．

【答案】B

【解析】由动直线0x my +=知定点A 的坐标为(0,0)， 由动直线30mx y m --+=知定点B 的坐标为(1,3)， 且两直线互相垂直，故点P 在以AB 为直径的圆上运动． 故当点P 与点A 或点B 重合时，||||PA PB +取得最小值，

min (||||)||PA PB AB +=

当点P 与点A 或点B 不重合时，

在Rt PAB △中，有222||||||10PA PB AB +==． 因为22||||2||||PA PB PA PB +≥， 所以2222(||||)(||||)PA PB PA PB ++≥， 当且仅当||||PA PB =时取等号，

所以||||PA PB +

||||PA PB +≤ 故选B ．

二、填空题

13．命题“x ?∈R ，*n ?∈N ，使得2n x ≥”的否定形式是__________． 【答案】x ?∈R ，*n ?∈N ，使2n x <

【解析】“?”的否定是“?”，“?”的否定是“?”，“2n x ≥”的否定是“2n x <”． 故答案为x ?∈R ，*n ?∈N ，使2n x <．

14．已知(3,1,5)A ，(2,1,4)B --，则直线AB 与坐标平面xOy 的交点坐标为__________．

【答案】(22,9,0)--

【解析】设直线AB 与坐标平面xOy 的交点为(,,0)P x y ， 则AB BP λ=u u u r u u u r

，即(2,1,4)(3,1,5)(2,1,04)x y λ---=++-，(5,2,1)(2,1,4)x y λ---=++-？ ∴5(2)x λ-=+，2(1)y λ-=+，1(4)λ-=-？ ∴5

2x λ

-=

-，2

1y λ

-=

-，14

λ=

？ ∴22x =-，9y =-？

∴直线AB 与xOy 平面的交点坐标为(22,9,0)--．

15．已知1F 、2F 分别是椭圆22221(0)x y a b a b

+=>>的左、右焦点，P 为直线32a

x =上的点，

21F PF △是底角为30?的等腰三角形，则椭圆的离心率为__________． 【答案】

4

3

【解析】过点P 作PA x ⊥轴于点A ，如图所示：

由题意可得，21120PF F ∠=?， 所以260PF A ∠=?，232

a

AF c =

-， 所以22122322PF AF a c F F c ==-==， 所以

34c a =，即离心率34

e =． 故答案为3

4

．

16．定义：曲线C 上的点到直线l 的距离的最小值称为曲线C 到直线l 的距离．已知曲线

21:C y x a =+到直线:l y x =的距离等于曲线222:(4)2C x y ++=到直线:l y x =的距离，

则实数a =__________．

【答案】

4

9

【解析】

由图可知，曲线2C 到直线l 的距离2d

可以转化为圆心到直线的距离m 与圆半径r 的差．

2d m r =-=

由题意可知曲线1C 到直线l 的距离1

d = 即直线l 左上方距离1d =1l 与曲线1C 相切， 直线1l 方程设为y

x b =+

，1d ，

解得2b =；2b =-（舍去），

联立曲线1C 与直线1l 方程得220x x a -+-=，

根据0?=，解得94a =．

故本题正确答案为9

4

．

三、解答题

17．（本小题满分10分）

求与椭圆221259

x y +=有公共焦点，且离心率4

3e =的双曲线的方程．

【答案】见解析．