拉普拉斯变换在求解微分方程中的应用总结归纳
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目录
引言 (1)
1 拉普拉斯变换以及性质 (1)
1.1拉普拉斯变换的定义 (1)
1.2拉普拉斯变换的性质 (1)
2 用拉普拉斯变换求解微分方程的一般步骤 (3)
3 拉普拉斯变换在求解常微分方程中的应用 (3)
3.1初值问题与边值问题 (3)
3.2常系数与变系数常微分方程 (4)
3.3含 函数的常微分方程 (5)
3.4常微分方程组 (6)
3.5拉普拉斯变换在求解非齐次微分方程特解中的应用 (6)
3.6拉普拉斯变换在求解高阶微分方程中的推广 (9)
4 拉普拉斯变换在求解偏微分方程中的应用 (10)
4.1齐次与非齐次偏微分方程 (10)
4.2有界与无界问题 (11)
5 综合比较，归纳总结 (14)
结束语 (15)
参考文献 (15)
英文摘要 (21)
致谢 (16)
拉普拉斯变换在求解微分方程中的应用
物理系0801班学生岳艳林
指导老师韩新华
摘 要：拉普拉斯变换在求解微分方程中有非常重要的作用，本文首先介绍拉普拉斯变换的定义及性质；
其次给出拉普拉斯变换求解微分方程的一般步骤；然后重点举例拉普拉斯变换在求解常微分方程（初值问题与边值问题、常系数与变系数常微分方程、含δ函数的常微分方程、常微分方程组、拉普拉斯变换在求解微分方程特解中的应用、拉普拉斯变换在求解高阶微分方程的推广）与典型偏微分方程（齐次与非齐次偏微分方程、有界与无界问题）中的应用举例；最后综合比较、归纳总结拉普拉斯变换在求解微分方程中的优势以及局限性。
关键词：拉普拉斯变换；拉普拉斯逆变换；常微分方程；偏微分方程；特解 引言
傅里叶变换和拉普拉斯变换是常用的积分变换，但对函数进行傅里叶变换时必须满足狄里希利和在+∞<<∞-t 内绝对可积，但是在物理、无线电技术等实际应用中，许多以时间t 为自变量的函数通常在0t <时不需要考虑或者没有意义，像这样的函数不能取傅里叶变换。为避免上述两个缺点，将函数进行适当改造，便产生了拉普拉斯变换[1]。 1 拉普拉斯变换以及性质 1.1 拉普拉斯变换的定义
设函数()f t 当0t ≥时有定义，而且积分
()st f t e dt +∞
-?
(s 是一个复参量)在s 的某一区域内收敛，
则此积分所确定的函数可写为0
()()st F s f t e dt +∞
-=
?
.我们称上式为函数()f t 的Laplace 变换式.记为
()[()]F s L f t =,()F s 称为()f t 的Laplace 变换（或称为象函数）.
若()F s 是()f t 的Laplace 变换，则称()f t 为()F s 的Laplace 逆变换（或称为象原函数），记为
1()[()]f t L F s -=[2].
Laplace 变换的存在定理 若函数()f t 满足下列条件:
1?在0t ≥的任一有限区间上分段连续；
2?当t →+∞时，()f t 的增长速度不超过某一指数函数，亦即存在常数0M >及0c ≥，使得
c ()0f t Me t ≤≤<+∞ｔ，成立（满足此条件的函数，称它的增大是不超过指数级的，c 为它的增长指数）.
则()f t 的Laplace 变换0
()st F
f t e dt +∞
-?（s ）=在半平面Re()s c >上一定存在，右端的积分在1Re()s c c ≥>的半平面内,()F s 为解析函数[2].
1.2 拉普拉斯变换的性质
⑴线性性质 若αβ，是常数，11[()]()L f t F s =, 22[()]()L f t F s =,
则有1212[()()][(t)]+[()]L f t f t L f L f t αβαβ+=,
1111212[()()][(s)]+[()]L F s F s L F L F s αβαβ---+=.
⑵微分性质 若[()]()L f t F s =,则有'[()]()(0)L f t sF s f =-. 高阶推广 若[()]()L f t F s =,则有2'[()]()(0)(0)L f t s F s sf f ''=--.
一般，12'(2)(1)[()]()(0)(0)(0)(0)n n n n n n L f t s F s s f s f sf f ----=---???--.
⑶积分性质 若[()]()L f t F s =,则0
1
[()][()]t
L f t dt L F s s
=
?. ⑷位移性质 若[()]()L f t F s =，则[()]()(Re())at L e f t F s a s a c =-->. ⑸延迟性质 若[()]()L f t F s =,又0t <时()=0f t ,
则对于任一非负实数τ，
有[()]()s L f t e F s ττ--=,或1[()]()s L e F s f t ττ--=-[2].
⑹相似性性质 若[()]()L f t F s =,则1[()]()s L f at F a a
=
. ⑺卷积性质 若11[()]()L f t F s =,22[()]()L f t F s =，
则11212[()()]()()L f t f t F s F s *=，
其中112120()()()()t
f t f t f f t d τττ*≡-?称为)(1t f 与)(2t f 的卷积[3].
由于从定义以及性质求拉普拉斯变换或拉普拉斯逆变换困难且复杂，在控制工程中，常常通过查阅已编好的“拉氏变换对照表”来实现。拉氏变换对照表列出了工程上常用的时间函数及其对应的拉氏变换，可以根据该表查找原函数的象函数，或者从象函数查找原函数。对于表中不能找到的形式，可以把它展开成部分分式，再求拉普拉斯变换或拉普拉斯逆变换。以下是本文将用到的几种常用的拉普拉斯变换函数对[3]:
原函数
象函数
原函数
象函数
1
表一：拉普拉斯变换函数表
2 用拉普拉斯变换求解微分方程的一般步骤
像其他方法求解微分方程一样，应用拉普拉斯变换求解微分方程也有规范的步骤，其一般步骤[4]
如下：
1、根据自变量的变化范围和方程及其定解条件的具体情况来决定对哪一个自变量进行拉普拉斯变换，然后对线性微分方程中每一项取拉普拉斯变换，使微分方程变为s 的代数方程；
2、解象函数的代数方程，得到有关变量的拉普拉斯变换表达式，即象函数；
3、对象函数取拉普拉斯逆变换，得到微分方程的时域解。
流程图法[5]如下：
图一：拉普拉斯变换求解微分方程的流程图
拉普拉斯变换在物理和工程等领域有着广泛的应用，通过拉普拉斯变换，可以方便地对线性控制系统进行分析、研究，可以对一些级数进行求和，还可以求解微分方程[1]。接下来重点讨论拉普拉斯变换在求解微分方程中的应用。 3 拉普拉斯变换在求解常微分方程中的应用 3.1 初值问题与边值问题
例：求解初值问题''''43,(0)(0)1t y y y e y y -++===[2]. 解：设)],([)(t y L s Y =对方程两边同时取拉普拉斯变换，有
2'1
[()(0)(0)]4[()(0)]3()1
s Y s sy y sY s y Y s s --+-+=
+, 结合初始条件，有21[()1]4[()1]3()1
s Y s s sY s Y s s --+-+=
+, 整理展开成部分分式，有222
66711131
()(1)(3)412(1)43
s s Y s s s s s s ++==?+?-?+++++.
1
微分方程的解
取拉普拉斯逆变换
取拉普拉斯变换 解代
数
方
原函数 象函数
微分方程 象函数的代数方程
由拉普拉斯变换函数表1
1[
]t L e s λλ-=-,可知11[]1t L e s --=+,131
[]3t L e s --=+. 由拉普拉斯变换函数表11!
[]n n n L t s
-+=,并结合位移性质[()]()t L e f t F s λλ-=+，
可知1
2
1
[
](1)
t L te s --=+， 对方程两边同时求反演，整理可得方程的解为
1337131
()[()][(72)3]4244
t t t t t y t L Y s e te e t e e ------==+-=+-。
例：求解边值问'''0,(0)0,(2)1y y y y π-===[2]. 解：设)],([)(t y L s Y =对方程两边同时取拉普拉斯变换，有 结合初始条件，有,0)()]0()(['2=--s Y y s Y s
整理展开成部分分式，有),11
11(21)0(1)0()('2'+--=-=s s y s y s Y
由拉普拉斯变换函数表,]1[
1
t e s L λλ=--可知,]11[1t e s L =--.]1
1
[1t e s L -=+- 对方程两边同时求反演，整理可得方程的解为 为了确定)0('y ，将条件1)2(=πy 代入上式可得,2sinh 1
)0('π
=y
所以，方程的解为.2sinh sinh )(π
t
t y =
3.2 常系数与变系数常微分方程
例：求解常系数微分方程2)1(,0)0(,02'''===+-y y y y y [2]. 解：设)],([)(t y L s Y =对方程两边同时取拉普拉斯变换，有 结合初始条件，有,0)()]([2)]0()(['2=+--s Y s sY y s Y s
整理展开成部分分式，有,)1()
0(12)0()(2
'2
'-=+-=s y s s y s Y 由拉普拉斯变换函数表,]
1(1[
2
1
t
te s L =-- 对方程两边同时求反演，整理可得方程的解为,)0()]([)('1t te y s Y L t y ==-
为了确定)0('y ，将条件2)1(=y 代入上式可得,2)0('e
y = 所以，方程的解为.22)]([)(11--===t t
te te e
s Y L t y 例：求解变系数微分方程
''''0020,(0)1,(0),(ty y ty y y c c ++===为常数）
[2]. 解：设)],([)(t y L s Y =对方程两边同时取拉普拉斯变换，,0][][2]['''=++ty L y L ty L
即,0][4][]['
''=++ty L y L ty L
亦即,0)()]0()([2)]0()0()(['2=--+---
s Y ds
d
y s sY y sy s Y s ds d 两边积分可得,0)()]0()([2)]0()()(2[2=--++--s Y ds
d
y s sY y s Y ds d s s sY
结合初始条件，有,0)(]1)([2]1)()(2[2=--++--s Y ds
d
s sY s Y ds d s s sY
整理可得,1
1
)s (2+-=s Y ds d
两边积分可得,arctan )(c s s Y +-=
欲求待定系数c,可利用0)(lim =∞→s Y s ，所以从2π
=
c ，s
s s Y 1
arctan arctan 2)(=-=
π
，
由拉普拉斯变换函数表,sin 1][arctan 1at t s a L =-可知.sin 1
][arctan 1t t
s L =-
对方程两边同时求反演，可得方程的解为.sin 1
)]([)(1t t
s Y L t y ==-
3.3 含δ函数的常微分方程
例：质量为m 的物体挂在弹簧系数为k 的弹簧一端，当物体在0t =时在x 方向受到冲击力
()()f t A t δ=(t),其中A 为常数。若物体自静止平衡位置0x =处开始运动，求该物体的运动规律
()x t [2].
解：根据牛顿定律，有,)(''kx t f mx -=
其中kx -由胡克定律所得，是使物体回到平衡位置的弹簧的恢复力。所以，物体运动的微分方
程为
.0)0()0(),0)(('''==≥=+x x t t f kx mx 且 这是二阶常系数非齐次微分方程，对方程两边取拉普拉斯变换，设
,)]([)]([),()]([A t A L t f L s X t x L ===δ并考虑到初始条件，则得
如果记,2
0m
k
=
ω有.1)(202
ω+?=s m A s X 由拉普拉斯变换函数表,sin ][
2
2
1t s L ωω
ω
=+-可知.sin 1
]1[00
2
2
1
t s L ωωω=+-
对方程两边同时取反演，从而方程的解为.sin )(00
t m A
t x ωω=
可见，在冲击力作用下，运动为一正弦振动，振幅是,0
ωm A
角频率是,0ω称0ω为该系统的自然频率（或称固有频率）。 3.4 常微分方程组 例：求解三维常微分方程组
'''''''
''0,0,(0)1,(0)(0)(0)(0)(0)00,x x y z x y y z x y z x y z x y z z ?-++=?+-+=======??++-=?
[2] 解：设)],([)(t x L s X =)],([)(t y L s Y =)],([)(t z L s Z =对方程组的两个方程两边分别取拉普拉斯变换并结合初始条件，有
解该方程组，整理展开成部分分式，有 取其逆变换，可得原方程组的解
3.5 拉普拉斯变换在求解非齐次微分方程特解中的应用
形如)('1)1(1)(x f y a y a y a y n n n n =++???++--的方程称为n 阶常系数非齐次线性微分方程，这里
n n a a a a ,,,1,21-???为常数，()f x 为连续函数。我们平时用到的()f x 主要有三种形式：()x f x e λ=,
212()()(())x n n f x e p x p x p x p x p x λ==+++其中,
()sin ()cos f x x f x x λλ==、[6].
该非齐次微分方程的解即该非齐次微分方程的特解与对应的齐次微分方程的通解。对于该方程的通解可用多种方法求特解，如：比较系数法、常数变易法、算子法等。下面将用拉普拉斯变换法求解该方程的特解。
设)],([)()],([)(x f L s F t y L s Y ==为求特解令初始条件为零，对方程两边同时取拉普拉斯变换，得到n
n n n a s a s a s s F s Y ++++=
--11
1)
()( ，下面结合f(x)的三种形式分别作介绍。
（1）x e x f λ=)( 此时，)
)((1
)(111n n n n a s a s a s s s Y ++++-=
-- λ，
对其进行部分分式分解，令)()(11121n n n n n n a s a s a s D
Cs Bs s A s Y ++++++++
-=---- λ， 则该齐次微分方程特解的形式与自由项f(x)有关，也就是说与变换项
λ
-s A
有关；对应的齐次微分方程的通解由)(11
121n n n n n n a s a s a s D
Cs Bs +++++++---- 决定，只要该项分母中不含有特解因子λ-s ，则特解只取决于
λ
-s A [7]
。
若,0111≠++++=--λ
s n n n n a s a s a s
则λ
λ=--*++++=
-=s n n n n a s a s a s x Y s A )
(1
)()(11
1 ，
即相应的拉普拉斯变换特解为].)
(1[1)(111λ
λ=--*++++?-=
s n n n n
a s a s a s s x Y
对方程两边同时求反演，整理可得原微分方程的特解为)].([)(1s Y L t y *-*= 例：求解常系数线性齐次方程x e y y 2'''=-的特解。 解：设)],([)(t y L s Y =令初始条件为零， 对方程两边同时取拉普拉斯变换，有.2
1)()(2-=-s s Y s s 整理展开成部分分式，有,2))(2(1)(2
2s
s C
Bs s A s s s s Y -++-=--= 此时,0)
(2
2≠-=s s s 则
对方程两边同时求反演，整理可得原微分方程的特解为 若,0)(])[(11111=++-=++++----==--m n m n m n s m
s n
n n n b s b s s a s a s a s λ
λ
λ
令)()()(11'
2'1'1'm n m n m n m n m n m b s b s D s C s B s A s Y --------++++++++-= λ，
同理，相应的拉普拉斯变换特解为
例：求解常系数线性齐次方程x e y y y y 2''''''485=-+-的特解。
解：设)],([)(t y L s Y =令初始条件为零，
对方程两边同时取拉普拉斯变换，有.2
1)()485(23-=-+-s s Y s s s 则,)
1()2)(2(1
)485)(2(1)(2
23---=-+--=
s s s s s s s s Y 此时,0485223=-+-=s s s s
令,)1()2()('
'3
'-++-=s B s A s A s Y 则相应的拉普拉斯变换特解为
对方程两边同时求反演，整理可得原微分方程的特解为 （2）))()(()(221n n x x p x p x p x p x p e x f +++== 其中λ. 例：求微分方程x xe y y y 2'''65=+-的特解。 解：设)],([)(t y L s Y =令初始条件为零，
对方程两边同时取拉普拉斯变换，有,)
2(1
)()65(2
2-=
+-s s Y s s 则,)
3)(2()2(1
)65()2(1)(2
22---=+--=
s s s s s s s Y 此时,06522=+-=s s s 令,6
5)2()(22+-++-+=
s s D
Cs s B As s Y
相应的拉普拉斯变换特解为,)
2(1
)2(121)2(1)
2()(3
222
----=--?-=-+=*s s s s s s B As s Y 对方程两边同时求反演，整理可得原微分方程的特解为 （3）x x f x x f λλcos )(sin )(==、
例：求解微分方程x y y y 2sin 54'''=++的特解[7]。 解：设)],([)(t y L s Y =令初始条件为零，
对方程两边同时取拉普拉斯变换，有,4
2
)()54(2
2+=
++s s Y s s
令,5
44)(22+-++++=
s s D
Cs s B As s Y 相应的拉普拉斯变换特解为),4
2
48(65
1
)
4(65)14(24
)(2
22
2+-+?-=+--=++=*s s s s s s B As s Y 对方程两边同时求反演，整理可得原微分方程的特解为 3.6 拉普拉斯变换在求解高阶微分方程中的推广
对于n 阶常系数线性齐次微分方程()(1)'110n n n n y a y a y a y --++???++=满足以下两个引理[8]： 引理1 n 阶常系数线性齐次方程的解（积分曲线）具有平移不变性。也就是说，若y=y(x)为n 阶常系数线性齐次方程的一个解，则对任意的常数c,()y y x c =+也是n 阶常系数线性齐次方程的解。
引理 2 若),,(00y x x y y =为n 阶常系数线性齐次方程的一个解，),,(00y x x y y =经平移后变为
),,0,(00y x x y y -=则),0,(00y x x y y -=也是n 阶常系数线性齐次方程的解。
下面给出利用拉普拉斯变换方法求解三阶常系数线性齐次方程0''')3(=+++ry qy py y 满足在任意点的初始条件
2
00''100'00)(y ,)(,)(y x y x y y x y ===的解。
设方程的解为),,0,(),,(0000y x x y y x x y y -≡=这样，我们便将初值点平移到了00=-x x 点，于是可用如下的拉普拉斯变换方法求解该初值问题。 令),t )(,0,()(000x x y x x y t y -=-=其中
设)],([)(t y L s Y =对方程两边同时取拉普拉斯变换，得到,0][''')3(=+++ry qy py y L 由拉普拉斯变换的导数性质)0()()](['f s sF t f L -=以及
高阶导数推广)0()0()0()0()()]([)1()2('21------???---=n n n n n n f sf f s f s s F s t f L 可得， 结合初始条件，有 整理可得].)()[(1)(2
01
00223y y p s y q ps s r
qs ps s s Y ++++++++=
对上式两边同时取拉普拉斯逆变换，可得 进行变量还原，便得到所求初值问题的解为
例：求解二阶常系数线性齐次方程0''=+y y ，该方程满足初始条件
'()1,()144
y y ππ
==-[8] 解：首先转化初值条件).4
)(()1,0,4
()1,4
,
(π
π
π
-
==-
≡=x t t y x y x y y 其中
设)],([)(t y L s Y =对方程两边同时取拉普拉斯变换，得到,0][''=+y y L 即.0)(]1)([2=++-s Y s s Y s 整理成部分分式，有.1
1
111)(2
22+-+=+-=s s s s s s Y 由拉普拉斯变换函数表,cos ][
221
t s s L ωω=+-可知,cos ]1[2
1t s s L =+- 由拉普拉斯变换函数表,sin ][221t s L ωωω=+-可知,sin ]1
1
[21t s L =+-
对方程两边同时求反演，整理可得方程的解为.sin cos )]([)(1t t s Y L t y -==- 变量还原，得到原初值问题的解为
4 拉普拉斯变换在求解偏微分方程中的应用 4.1 齐次与非齐次偏微分方程 例：求解齐次偏微分方程
???
?
?????==+∞<>=???==.3,),,0(,02022y u x u y x y x y x u
x y [2] 解：对该定解问题关于y 取拉普拉斯变换，并利用微分性质及初始条件可得 这样，原定解问题转化为含参数s 的一阶常系数线性非齐次微分方程的边值问题：
方程222s x x dx dU s =-可转化为222s
x x dx dU s =-
解此微分方程，可得其通解为,32
33c s x s x U ++=其中c 为常数。 为了确定常数c ，将边界条件20
3s U
x =
=代入上式，可得.3
2
s
c = 所以，.3
3),(2233s s x s
x s x U ++
=
由拉普拉斯变换函数表,1]1
[1
=-s
L 可知.][221x s x L =-
由拉普拉斯变换函数表,]!
[11
n
n t s n L =+-可知,2]3[23331
y x s x L =-.3]3
[21y s
L =- 方程两边取反演，从而原定解问题的解为 例：求解非齐次偏微分方程
????
?
?
???==??=>>+??=??===.0,0,0),0,0((,0
22
222x t t u t u u t x g g x u a t u 为常数），[2] 解：对该问题关于t 取拉普拉斯变换，，并利用微分性质及初始条件可得
这样，原定解问题转化为含参数s 的二阶常系数线性非齐次微分方程的边值问题：
方程s g a U s a dx U d 2222211-=-可转化为,1122222s g
a U s a dx U d -=
解此微分方程，可得其通解为,),(3
21s
g
e
c e c s x U x a
s x a
s +
+=-其中为常数。21,c c 为了确定常数,,21c c 将边界条件0lim ,00
==∞
→=U U s x 代入上式，
可得,,03
21s g
c c -
== 所以，.)1(),(333s a x
x a
s
e s
g s g e s g s x U ---=-=
由拉普拉斯变换函数表,]![1
1
n
n t s n L =+-可知.2][2
3
1
t g s
g L =- 由拉普拉斯变换函数表,]!
[
1
1
n n t s n L =+-并结合延迟定理),()]([010t t f s F e L st -=--
可知).()(2][231
a x
t u a x t g e s
g L s a x
--=--
方程两边取反演，从而原定解问题的解为 （或）
4.2 有界与无界问题 例：求解有界偏微分方程
???
?
?
????=??===><
u ?[2]
解：对该定解问题关于t 取拉普拉斯变换，记
这样，原定解问题转化为含参数s 的二阶常系数线性齐次微分方程的边值问题：
该方程的通解为,),(21x a s
x a s e c e c s x U -+=其中21,c c 是常数。 为确定常数21,c c ，将边界条件,00
==x U
代入上式，可得,021=+c c 即
;21c c -= 将边界条件)(s U l
x φ==代入上式，可得.)(21l a
s l a
s e
c e
c s -+=φ
因此.)(21l a
s l a
s e
e s c c --=-=φ
从而
为了求(,)U x s 的拉普拉斯逆变换，注意到分母为,14s a
l
e --所以逆变换(,)u x t 是周期为a
l
4的关于ｌ的周期函数。根据周期函数的拉普拉斯变换式，其中
s a
l e
s 41)(--φ表明)(t ?是以
a
l
4为周期的周期函数，即 由拉普拉斯变换函数表),(]1)([
41t e
s L s a
l ?φ=---
并结合延迟定理),()]([010t t f s F e L st -=-- 可知).()(]1)
([
41
a
x
l t u a x l t e
e
s L s a
x
l s a
l ----
=?---
--?φ 同理可知
方程两边取反演，从而原定解问题的解为 其中)(a u 为单位阶跃函数，
?????===-==).(,0,
00
2222s U U U a s dx U d l x x φ
即???><=.0,1,
0,0)(a a a u
例：求解无界偏微分方程
???
?
?
????==>>-??=??==.0(),0,0x (,00022
2t x u u u t h hu x u
a t u 常数），为常数），（[2] 解：对该问题关于t 取拉普拉斯变换，记
这样，原定界问题转化为含参数s 的二阶常系数线性齐次微分方程的边值问题： 解此微分方程可得通解为
12(,)s h
s h
x x a
a
U x s c e
c e
++-
=+,其中1c ,2c 为常数。
为确定常数1c ,2c ，将边界条件s
u U
x 00
=
=代入上式，可得012u c c s +=;
将边界条件0lim =∞
→U x 代入上式，可得10c =.
因此，0
2u c s
=
. 所以，0(,)s h
x a
u U x s e
s
+-
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从而1
1
0(,)[(,][]s h
x a
u U x t L U x s L e
s
+-
--==），
由拉普拉斯变换函数表11
[]1L s -=，可知100[]u L u s
-=。
由拉普拉斯变换函数表2
1212
[](
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，
可知2
1
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s a x
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.
如果令,2
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由导数性质)0()()](['
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1
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由卷积定理),()()]()([21211s F s F t f t f L =*
可得],[][),(1
01
x a
h
s e
L s
u L t x U +---*=
令,2τ
νa x =
最后可得该定解问题的解为
5 综合比较，归纳总结
从以上的例题可以看出，用拉普拉斯变换方法求解微分方程有如下的优缺点[1~13]：
⑴拉普拉斯变换对像函数要求比傅里叶变换弱，其使用面更宽。但拉普拉斯变换像其他变换一样都有其局限性，只有满足其存在定理时才可以使用拉普拉斯变换。而在微分方程的一般解法中，并没有任何限制；
⑵用拉普拉斯变换方法求解微分方程，由于同时考虑初始条件，求出的结果便是需要的特解。而微分方程的一般解法中，先求通解，再考虑初始条件确定任意常数，从而求出特解的过程比较复杂；
⑶零初始条件、零边界条件使得拉普拉斯变换方法求解微分方程更加简单。而在微分方程的一般解法中，不会因此而有任何简化；
⑷用拉普拉斯变换求解微分方程，对于自变量是零的初始条件，求其特解是非常方便的。但微分方程的一般解法并没有简化；
⑸用拉普拉斯变换方法求解微分方程，对方程的系数可变与否、对区域有界与否、对方程和边界条件齐次与否并无特殊关系。而在微分方程的一般解法中，会遇到很多困难；
⑹用拉普拉斯变换方法求解微分方程组，可以在不知道其余未知函数的情况下单独求出某一个未知函数。但在微分方程的一般解法中通常是不可能的；
⑺拉普拉斯变换可以使解n 个自变量偏微分方程的问题，转化为解1n -个自变量的微分方程的问题，逐次使用拉普拉斯变换，自变量会逐个减少，有时还可将解n 个自变量偏微分方程的问题最终转化为解一个常微分方程的问题，比微分方程的一般解法更为简单、直接；
⑻比较系数法和常数变易法只需进行代数运算和积分运算，要求相对较低。相比之下，算子法要先将方程化为算子形式然后利用算子的性质进行分解，对初学者而言要求相对较高，然而算子法
却具备比较系数法和常数变易法无法具备的应用条件，有适应面广、计算量小、准确度高、简单易行的特点。
结束语
通过列举拉普拉斯变换在求解微分方程中的应用，可以看出拉普拉斯变换是一种特别成功的数学方法，求解微分方程的步骤比较明确、规律性比较强、思路清晰且容易掌握。灵活使用拉普拉斯变换，可以巧妙地推出一些复杂问题的答案，便于学生理解进而提高教学质量。
参考文献
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Application of Laplace Transform
to General Solutions of Differential Equations
Department of Physics 0801 Student Yanlin Yue
Tutor Xinhua Han
Abstract:Through to the Laplace transform in solving ordinary differential equation, the typical application of partial differential equation, for example, comprehensive comparison, summarizes the Laplace transform in solving differential equations and the advantage of the limitations.
Key words: Laplace transform; Laplace inverse transform; ordinary differential equation; partial differential equation; particular integral
致谢
感谢我的导师韩新华老师，她渊博的专业知识，言谨的治学态度，精益求精的工作作风，诲人不倦的高尚师德，严以律己、宽以待人的崇高风范，朴实无华、平易近人的人格魅力对我影响深远。不仅使我树立了远大的学术目标、掌握了基本的研究方法，还使我明白了许多待人接物与为人处事的道理。本论文从选题到完成，每一步都是在导师的细心指导下完成的，倾注了导师大量的心血。在此，谨向导师表示崇高的敬意和衷心的感谢！在论文即将完成之际，我的心情无法平静，本论文顺利完成，还有许多可敬的师长、同学、朋友给了我无言的帮助，在这里请接受我诚挚的谢意！
拉氏变换常用公式
常用拉普拉斯变换总结 1、指数函数 000)(≥
常微分方程知识点总结
常微分方程知识点总结 常微分方程知识点你学得怎么样呢？下面是的常微分方程知识 点总结，欢迎大家阅读！ 微分方程的概念 方程对于学过中学数学的人来说是比较熟悉的；在初等数学中 就有各种各样的方程，比如线性方程、二次方程、高次方程、指数方程、对数方程、三角方程和方程组等等。这些方程都是要把研究的问题中的已知数和数之间的关系找出来，列出包含一个数或几个数的一个或者多个方程式，然后取求方程的解。 但是在实际工作中，常常出现一些特点和以上方程完全不同的 问题。比如：物质在一定条件下的运动变化，要寻求它的运动、变化的规律；某个物体在重力作用下自由下落，要寻求下落距离随时间变化的规律；火箭在发动机推动下在空间飞行，要寻求它飞行的轨道，等等。 物质运动和它的变化规律在数学上是用函数关系来描述的，因此，这类问题就是要去寻求满足某些条件的一个或者几个函数。也就是说，凡是这类问题都不是简单地去求一个或者几个固定不变的数值，而是要求一个或者几个的函数。 解这类问题的基本思想和初等数学解方程的基本思想很相似， 也是要把研究的问题中已知函数和函数之间的关系找出来，从列出的包含函数的一个或几个方程中去求得函数的表达式。但是无论在方程
的形式、求解的具体方法、求出解的性质等方面，都和初等数学中的解方程有许多不同的地方。 在数学上，解这类方程，要用到微分和导数的知识。因此，凡是表示函数的导数以及自变量之间的关系的方程，就叫做微分方程。 微分方程差不多是和微积分同时先后产生的，苏格兰数学家耐普尔创立对数的时候，就讨论过微分方程的近似解。牛顿在建立微积分的同时，对简单的微分方程用级数来求解。后来瑞士数学家雅各布?贝努利、欧拉、法国数学家克雷洛、达朗贝尔、拉格朗日等人又不断地研究和丰富了微分方程的理论。 常微分方程的形成与发展是和力学、天文学、物理学，以及其他科学技术的发展密切相关的。数学的其他分支的新发展，如复变函数、李群、组合拓扑学等，都对常微分方程的发展产生了深刻的影响，当前计算机的发展更是为常微分方程的应用及理论研究提供了非常 有力的工具。 牛顿研究天体力学和机械力学的时候，利用了微分方程这个工具，从理论上得到了行星运动规律。后来，法国天文学家勒维烈和英国天文学家亚当斯使用微分方程各自计算出那时尚未发现的海王星 的位置。这些都使数学家更加深信微分方程在认识自然、改造自然方面的巨大力量。 微分方程的理论逐步完善的时候，利用它就可以精确地表述事物变化所遵循的基本规律，只要列出相应的微分方程，有了解方程的方法。微分方程也就成了最有生命力的数学分支。
微分方程总结
第十章：微分方程总结姓名：刘桥 学号：40905237 班级：工商49班 小组：第八小组 组长：刘洪材
一、 微分方程的基本概念 1. 微分方程及其阶的定义 微分方程：凡含有未知函数的导数或微分的方程叫微分方程. 分类1：常微分方程（未知函数为一元函数的微分方程） ()() ,dy axy a dx dy p x y Q x dx =+=为常数 偏微分方程（未知函数为多元函数，从而出现偏导数的微分方程） () 22,2224 2 u u f x y x y u u y x ??+=????=?? 微分方程的阶.：微分方程中出现的未知函数导数或微分的最高阶数. 分类2：一阶微分方程 (,,)0,(,);F x y y y f x y ''== 高阶(n )微分方程 ()(,,,,)0,n F x y y y '= ()(1)(,,, ,).n n y f x y y y -'= 分类3：线性与非线性微分方程. ()(),y P x y Q x '+=2()20;x y yy x ''-+= 分类4：单个微分方程与微分方程组. 32,2,dy y z dx dz y z dx ?=-??? ?=-?? 2. 微风方程的解 微分方程的解：代入微分方程能使方程成为恒等式的函数. 微分方程解的分类：通解（微分方程的解中含有任意常数,且任意常数的个数与 微分方程的阶数相同.）
,y y '=例;x y ce =通解 0,y y ''+=12sin cos ;y c x c x =+通解 特解（ 确定了通解中任意常数以后的解.） 初始条件：用来确定任意常数的条件. 初值问题: 求微分方程满足初始条件的解的问题. 积分曲线：微分方程的任一特解的图形都是一条曲线,称为微分方程的积分曲线 二、 一阶微分方程 1. 可分离变量的方程 可分离变量的微分方程：形如： ()()g y dy f x dx =的一阶微分方程. 例题回味：求方程()290y dy x dy ye ++ =的通解 分离变量得，21 9 y ye dy dx x = + 两边同时积分得， 2 1 9y ye dy dx x =- +?? 于是得到通解为，()11arctan 33 y x y e c -=+ 2. 齐次方程 如果一阶微分方程可化为()dy y f dx x =形如的方程，那么久称之为齐次方程. 解法：作变量代换,y u x = ,y xu =或 两边分求微分得， ,dy udx xdu =+ 代入原式得，(),du u x f u dx +=().du x f u u dx =-即 ()0,f u u -≠若则对上式分离变量得， ()du dx f u u x =-. 两边分别积分得， ()du dx f u u x =-? ? 求出积分后，将y u x = 代入，就求得了原微分方程的通解. 例题回味：求解微分方程(cos )cos 0.y y x y dx x dy x x -+=
拉普拉斯变换公式总结
拉普拉斯变换、连续时间系统的S 域分析 基本要求 通过本章的学习，学生应深刻理解拉普拉斯变换的定义、收敛域的概念：熟练掌握拉普拉斯变换的性质、卷积定理的意义及它们的运用。能根据时域电路模型画出S 域等效电路模型，并求其冲激响应、零输入响应、零状态响应和全响应。能根据系统函数的零、极点分布情况分析、判断系统的时域与频域特性。理解全通网络、最小相移网络的概念以及拉普拉斯变换与傅里叶变换的关系。会判定系统的稳定性。 知识要点 1. 拉普拉斯变换的定义及定义域 （1） 定义 单边拉普拉斯变换： 正变换0[()]()()st f t F s f t dt e ζ∞ -- ==? 逆变换 1 [()]()()2j st j F s f t F s ds j e σσζπ+∞ -∞ == ? 双边拉普拉斯变换： 正变换 ()()st B s f t dt e F ∞ --∞ =? 逆变换1 ()()2j st B j f t s ds j e F σσπ+∞ -∞ = ? （2） 定义域
若0σσ>时，lim ()0t t f t e σ-→∞ =则()t f t e σ-在0σσ>的全部范围内收敛，积分0()st f t dt e +∞ -- ? 存 在，即()f t 的拉普拉斯变换存在。0σσ>就是()f t 的单边拉普拉斯变换的收敛域。0σ与函数()f t 的性质有关。 2. 拉普拉斯变换的性质 （1） 线性性 若11[()]()f t F S ζ=,22[()]()f t F S ζ=,1κ,2κ为常数时，则11221122[()()]()()f t f t F s F s ζκκκκ+=+ （2） 原函数微分 若[()]()f t F s ζ=则() [ ]()(0)df t sF s f dt ζ-=- 1 1()0 ()[]()(0)n n n n r r n r d f t s F s s f dt ζ----==-∑ 式中() (0)r f -是r 阶导数() r r d f t dt 在0-时刻的取值。 （3） 原函数积分 若[()]()f t F s ζ=，则(1)(0)()[()]t f F s f t dt s s ζ---∞ =+? 式中0(1) (0)()f f t dt ---∞=? （4） 延时性 若[()]()f t F s ζ=，则000[()()]()st f t t u t t e F s ζ---= （5） s 域平移
(完整版)常微分方程的大致知识点
= + ?x = + ?x = + ?x 常微分方程的大致知识点 （一）初等积分法 1、线素场与等倾线 2、可分离变量方程 3、齐次方程（一般含有 x 或 y 的项） y x 4、一阶线性非齐次方程 常数变易法，或 y = e ? a ( x )dx [? b (x )e -? a ( x )dx dx + C ] 5、伯努力方程 令 z = y 1-n ，则 dz = (1 - n ) y -n dy ，可将伯努力方程化成一阶线性非齐次或一阶线性齐次 dx 6、全微分方程 若?M ?y 若 ?M ?y dx = ?N ，则u (x , y ) = C ，（留意书上公式） ?x ≠ ?N ，则找积分因子，（留意书上公式） ?x f (x f ( y , （二）毕卡序列 x y 1 y 0 0 x f (x , y 0 )dx ， y 2 y 0 0 x f (x , y 1 )dx ， y 3 y 0 0 f (x , y 2 )dx ，其余类推 （三）常系数方程 1、常系数齐次L (D ) y = 0 方法：特征方程 7、可降阶的二阶微分方程 d 2 y = , dy ) ，令 dy = d 2 y p ,则 = dy dx 2 d 2 y = dx dy ) ，令 dx dy = p ,则 dx 2 d 2 y dx = p dp dx 2 dx dx dx 2 dy 8、正交轨线族
? ? dy 单的实根, ， y = C e 1x + C e 2 x 1 2 1 2 单的复根1, 2 = ± i ， y = e x (C cos x + C 2 sin x ) 重的实根 = = ， y = (C + C x )e x 1 2 1 2 重的复根1, 2 = ± i ，3, 4 = ± i ， y = e x [(C + C 2 x ) c os x + (C 3 + C 4 x ) sin x ] 2、常系数非齐次L (D ) y = 方法：三部曲。 f (x ) 第一步求L (D ) y = 0 的通解Y 第二步求L (D ) y = f (x ) 的特解 y * 第三步求L (D ) y = f (x ) 的通解 y = Y + y * 如何求 y * ？ 当 f (x ) = P m (x )e x 时， y * = x k Q (x )e x 当 f (x ) = P m (x )e ux cos vx + Q (x )e ux sin vx 时， y * = x k e ux (R (x ) cos vx + S m (x ) sin vx ) 当 f (x ) 是一般形式时， y * = ? x W (x ,) f ()d ，其中 W(.)是郎斯基行列式 x 0 W () （四）常系数方程组 方法：三部曲。 第一步求 dX dt = A (t ) X 的通解， Φ(t )C 。利用特征方程 A - I = 0 ，并分情况讨论。 第二步求 dX dt 第三步求 dX dt = A (t ) X + f (t ) 的特解， Φ(t )?Φ-1 (s ) f (s )ds ，（定积分与不定积分等价） = A (t ) X + f (t ) 的通解， Φ(t )C + Φ(t )?Φ-1 (s ) f (s )ds （五）奇点与极限环 ? dx = ax + b y dt ? ? = cx + dy 1、分析方程组? dt 的奇点的性质，用特征方程： A - I = 0 特征方程的根有 3 种情况：相异实根、相异复根、相同实根。第一种情况：相异实根，1 ≠ 2 1 1 m m m
一阶常微分方程解法总结
页脚内容1 第 一 章 一阶微分方程的解法的小结 ⑴、可分离变量的方程： ①、形如 )()(y g x f dx dy = 当0)(≠y g 时，得到 dx x f y g dy )()(=，两边积分即可得到结果； 当0)(0=ηg 时，则0)(η=x y 也是方程的解。 例1.1、xy dx dy = 解：当0≠y 时，有xdx y dy =，两边积分得到)(2ln 2为常数C C x y += 所以)(11212 C x e C C e C y ±==为非零常数且 0=y 显然是原方程的解； 综上所述，原方程的解为)(1212 为常数C e C y x = ②、形如0)()()()(=+dy y Q x P dx y N x M 当0)()(≠y N x P 时，可有dy y N y Q dx x P x M ) ()()()(=，两边积分可得结果； 当0)(0=y N 时，0y y =为原方程的解，当0(0=） x P 时，0x x =为原方程的解。 例1.2、0)1()1(22=-+-dy x y dx y x
页脚内容2 解：当0)1)(1(22≠--y x 时，有dx x x dy y y 1 122-=-两边积分得到 )0(ln 1ln 1ln 22≠=-+-C C y x ，所以有)0()1)(1(22≠=--C C y x ； 当0)1)(1(22=--y x 时，也是原方程的解； 综上所述，原方程的解为)()1)(1(22为常数C C y x =--。 ⑵可化为变量可分离方程的方程： ①、形如)(x y g dx dy = 解法：令x y u = ，则udx xdu dy +=，代入得到)(u g u dx du x =+为变量可分离方程，得到)(0),,(为常数C C x u f =再把u 代入得到)(0),,(为常数C C x x y f =。 ②、形如)0(),(≠+=ab by ax G dx dy 解法：令by ax u +=，则b du adx dy +=，代入得到)(1u G b a dx du b =+为变量可分离方程，得到)(0),,(为常数C C x u f =再把u 代入得到)(0),,(为常数C C x by ax f =+。 ③、形如 )(222111c y b x a c y b x a f dx dy ++++= 解法：01、02211 =b a b a ，转化为)(by ax G dx dy +=，下同①； 02、0221 1 ≠b a b a ，???=++=++00222111c y b x a c y b x a 的解为),(00y x ，令???-=-=00y y v x x u
常微分方程的大致知识点
常微分方程的大致知识点Last revision on 21 December 2020
常微分方程的大致知识点 （一）初等积分法 1、线素场与等倾线 2、可分离变量方程 3、齐次方程（一般含有x y y x 或的项） 4、一阶线性非齐次方程 常数变易法，或])([)()(?+??=-C dx e x b e y dx x a dx x a 5、伯努力方程 令n y z -=1，则dx dy y n dx dz n --=)1(，可将伯努力方程化成一阶线性非齐次或一阶线性齐次 6、全微分方程 若x N y M ??=??，则C y x u =),(，（留意书上公式） 若 x N y M ??≠??，则找积分因子，（留意书上公式） 7、可降阶的二阶微分方程 ),(22dx dy x f dx y d =，令dx dy dx y d p dx dy ==22,则 ),(22dx dy y f dx y d =，令dy dp p dx y d p dx dy ==22,则 8、正交轨线族 （二）毕卡序列 ?+=x x dx y x f y y 0),(001，?+=x x dx y x f y y 0),(102，?+=x x dx y x f y y 0),(203，其余类推 （三）常系数方程 1、常系数齐次0)(=y D L 方法：特征方程 单的实根21,λλ，x x e C e C y 2121λλ+= 单的复根i βαλ±=2,1，)sin cos (21x C x C e y x ββα+= 重的实根λλλ==21，x e x C C y λ)(21+= 重的复根i βαλ±=2,1，i βαλ±=4,3，]sin )(cos )[(4321x x C C x x C C e y x ββα+++=
拉普拉斯变换公式总结
拉普拉斯变换公式总结Newly compiled on November 23, 2020
拉普拉斯变换、连续时间系统的S 域分析 基本要求 通过本章的学习，学生应深刻理解拉普拉斯变换的定义、收敛域的概念：熟练掌握拉普拉斯变换的性质、卷积定理的意义及它们的运用。能根据时域电路模型画出S 域等效电路模型，并求其冲激响应、零输入响应、零状态响应和全响应。能根据系统函数的零、极点分布情况分析、判断系统的时域与频域特性。理解全通网络、最小相移网络的概念以及拉普拉斯变换与傅里叶变换的关系。会判定系统的稳定性。 知识要点 1. 拉普拉斯变换的定义及定义域 （1） 定义 单边拉普拉斯变换： 正变换0[()]()()st f t F s f t dt e ζ∞ --==? 逆变换 1 [()]()()2j st j F s f t F s ds j e σσζπ+∞ -∞ ==? 双边拉普拉斯变换： 正变换 ()()st B s f t dt e F ∞--∞ =? 逆变换1 ()()2j st B j f t s ds j e F σσπ+∞ -∞ = ? （2） 定义域 若0σσ>时，lim ()0t t f t e σ-→∞ =则()t f t e σ-在0σσ>的全部范围内收敛，积分0()st f t dt e +∞ -- ? 存在，即()f t 的拉普拉斯变换存在。0σσ>就是()f t 的单边拉普拉斯变换的收敛域。0σ与函数()f t 的性质有关。 2. 拉普拉斯变换的性质
（1） 线性性 若11[()]()f t F S ζ=,22[()]()f t F S ζ=,1κ,2κ为常数时，则 11221122[()()]()()f t f t F s F s ζκκκκ+=+ （2） 原函数微分 若[()]()f t F s ζ=则() []()(0)df t sF s f dt ζ-=- 式中() (0)r f -是r 阶导数() r r d f t dt 在0-时刻的取值。 （3） 原函数积分 若[()]()f t F s ζ=，则(1)(0) ()[()]t f F s f t dt s s ζ---∞ =+?式中0(1)(0)()f f t dt ---∞=? （4） 延时性 若[()]()f t F s ζ=，则000[()()]()st f t t u t t e F s ζ---= （5） s 域平移 若[()]()f t F s ζ=，则[()]()at f t e F s a ζ-=+ （6） 尺度变换 若[()]()f t F s ζ=，则1[()]()s f at F a a ζ= （a >0） （7） 初值定理lim ()(0)lim ()t o s f t f sF s + +→→∞ == （8） 终值定理lim ()lim ()t s f t sF s →+∞ →∞ = （9） 卷积定理 若11[()]()f t F s ζ=，22[()]()f t F s ζ=，则有1212[()()]()()f t f t F s F s ζ*= 12121[()()][()()]2f t f t F s F s j ζπ= *= 121 ()()2j j F p F s p dp j σσπ+∞ -∞ -? 3. 拉普拉斯逆变换 （1） 部分分式展开法
2018年电大第三版常微分方程答案知识点复习考点归纳总结参考
习题1.2 1．dx dy =2xy,并满足初始条件：x=0,y=1的特解。 解：y dy =2xdx 两边积分有：ln|y|=x 2+c y=e 2x +e c =cex 2另外y=0也是原方程的解，c=0时，y=0 原方程的通解为y= cex 2,x=0 y=1时 c=1 特解为y= e 2x . 2. y 2dx+(x+1)dy=0 并求满足初始条件：x=0,y=1的特解。 解：y 2dx=-(x+1)dy 2y dy dy=-11+x dx 两边积分: -y 1=-ln|x+1|+ln|c| y=|)1(|ln 1+x c 另外y=0,x=-1也是原方程的解 x=0,y=1时 c=e 特解：y=|)1(|ln 1 +x c 3．dx dy =y x xy y 321++ 解：原方程为：dx dy =y y 21+31x x + y y 21+dy=31x x +dx 两边积分：x(1+x 2)(1+y 2)=cx 2 4. (1+x)ydx+(1-y)xdy=0 解：原方程为： y y -1dy=-x x 1+dx 两边积分：ln|xy|+x-y=c 另外 x=0,y=0也是原方程的解。 5．（y+x ）dy+(x-y)dx=0 解：原方程为：
dx dy =- y x y x +- 令x y =u 则dx dy =u+x dx du 代入有： -1 12++u u du=x 1 dx ln(u 2+1)x 2=c-2arctgu 即 ln(y 2+x 2)=c-2arctg 2x y . 6. x dx dy -y+22y x -=0 解：原方程为： dx dy =x y +x x ||-2)(1x y - 则令x y =u dx dy =u+ x dx du 211u - du=sgnx x 1 dx arcsin x y =sgnx ln|x|+c 7. tgydx-ctgxdy=0 解:原方程为：tgy dy =ctgx dx 两边积分：ln|siny|=-ln|cosx|-ln|c| siny=x c cos 1=x c cos 另外y=0也是原方程的解，而c=0时，y=0. 所以原方程的通解为sinycosx=c. 8 dx dy +y e x y 32+=0 解：原方程为：dx dy =y e y 2e x 3 2 e x 3-3e 2y -=c. 9.x(lnx-lny)dy-ydx=0 解：原方程为： dx dy =x y ln x y 令 x y =u ,则dx dy =u+ x dx du
常微分方程解题方法总结.doc
常微分方程解题方法总结 来源：文都教育 复习过半， 课本上的知识点相信大部分考生已经学习过一遍 . 接下来， 如何将零散的知 识点有机地结合起来， 而不容易遗忘是大多数考生面临的问题 . 为了加强记忆， 使知识自成 体系，建议将知识点进行分类系统总结 . 著名数学家华罗庚的读书方法值得借鉴， 他强调读 书要“由薄到厚、由厚到薄”，对同学们的复习尤为重要 . 以常微分方程为例， 本部分内容涉及可分离变量、 一阶齐次、 一阶非齐次、 全微分方程、 高阶线性微分方程等内容， 在看完这部分内容会发现要掌握的解题方法太多， 遇到具体的题 目不知该如何下手， 这种情况往往是因为没有很好地总结和归纳解题方法 . 下面以表格的形 式将常微分方程中的解题方法加以总结，一目了然，便于记忆和查询 . 常微分方程 通解公式或解法 ( 名称、形式 ) 当 g( y) 0 时，得到 dy f (x)dx ， g( y) 可分离变量的方程 dy f ( x) g( y) 两边积分即可得到结果； dx 当 g( 0 ) 0 时，则 y( x) 0 也是方程的 解 . 解法：令 u y xdu udx ，代入 ，则 dy 齐次微分方程 dy g( y ) x dx x u g (u) 化为可分离变量方程 得到 x du dx 一 阶 线 性 微 分 方 程 P ( x)dx P ( x) dx dy Q(x) y ( e Q( x)dx C )e P( x) y dx
伯努利方程 解法：令 u y1 n，有 du (1 n) y n dy ， dy P( x) y Q( x) y n（n≠0,1）代入得到du (1 n) P(x)u (1 n)Q(x) dx dx 求解特征方程：2 pq 三种情况： 二阶常系数齐次线性微分方程 y p x y q x y0 二阶常系数非齐次线性微分方程 y p x y q x y f ( x) (1)两个不等实根：1, 2 通解： y c1 e 1x c2 e 2x (2) 两个相等实根：1 2 通解： y c1 c2 x e x (3) 一对共轭复根：i , 通解： y e x c1 cos x c2 sin x 通解为 y p x y q x y 0 的通解与 y p x y q x y f ( x) 的特解之和. 常见的 f (x) 有两种情况： x （ 1）f ( x)e P m ( x) 若不是特征方程的根，令特解 y Q m ( x)e x；若是特征方程的单根，令特 解 y xQ m ( x)e x；若是特征方程的重根， 令特解 y*x2Q m (x)e x； （2）f (x) e x[ P m ( x) cos x p n ( x)sin x]
常微分方程期末试题知识点复习考点归纳总结参考
期末考试 一、填空题（每空2 分，共16分）。 1．方程22d d y x x y +=满足解的存在唯一性定理条件的区域是 ． 2. 方程组 n x x x R Y R Y F Y ∈∈=,),,(d d 的任何一个解的图象是 维空间中的一条积分曲线. 3．),(y x f y '连续是保证方程),(d d y x f x y =初值唯一的 条件． 4．方程组???????=-=x t y y t x d d d d 的奇点)0,0(的类型是 5．方程2)(2 1y y x y '+'=的通解是 6．变量可分离方程()()()()0=+dy y q x p dx y N x M 的积分因子是 7．二阶线性齐次微分方程的两个解)(1x y ?=,)(2x y ?=成为其基本解组的充要条件是 8．方程440y y y '''++=的基本解组是 二、选择题（每小题 3 分，共 15分）。 9．一阶线性微分方程 d ()()d y p x y q x x +=的积分因子是（ ）． （A ）?=x x p d )(e μ （B ）?=x x q d )(e μ （C ）?=-x x p d )(e μ （D ）?=-x x q d )(e μ 10．微分方程0d )ln (d ln =-+y y x x y y 是（ ） （A ）可分离变量方程 （B ）线性方程 （C ）全微分方程 （D ）贝努利方程 11．方程x (y 2－1)d x+y (x 2－1)d y =0的所有常数解是（ ）． (A) 1±=x (B)1±=y
(C )1±=y , 1±=x (D )1=y , 1=x 12．n 阶线性非齐次微分方程的所有解（ ）． （A ）构成一个线性空间 （B ）构成一个1-n 维线性空间 （C ）构成一个1+n 维线性空间 （D ）不能构成一个线性空间 13．方程222+-='x y y （ ）奇解． （A ）有一个 （B ）有无数个 （C ）只有两个 （D ）无 三、计算题（每小题8分，共48分）。 14．求方程22 2d d x y xy x y -=的通解 15．求方程0d )ln (d 3=++y x y x x y 的通解 16．求方程2 221)(x y x y y +'-'=的通解
常微分方程基本知识点
常微分方程基本知识点 第一章 绪论 1. 微分方程的概念（常微分与偏微），什么是方程的阶数，线性与非线性，齐次与非齐次，解、特解、部分解和通解的概念及判断！ （重要） 例：03)(22=-+y dx dy x dx dy （1阶非线性）； x e dx y d y =+22sin 。 2.运用导数的几何意义建立简单的微分方程。（以书后练习题为主） （习题1，2，9题） 例：曲线簇cx x y -=3满足的微分方程是：__________. 第二章 一阶方程的初等解法 1.变量分离方程的解法（要能通过适当的变化化成变量分离方程）；（重要） 2.齐次方程的解法（变量代换）；（重要） 3.线性非齐次方程的常数变易法； 4.分式线性方程、贝努利方程、恰当方程的概念及判断（要能熟练的判断各种类型的一阶方程）（重要）； 例题：(1).经变换_____y c u os =___________后， 方程1cos sin '+=+x y y y 可化为___线性_____方程； (2).经变换_____y x u 32-=____________后， 方程1 )32(1 '2+-=y x y 可化为____变量分离__方程； (3).方程0)1(222=+-dy e dx ye x x x 为：线性方程。
(4).方程221 'y x y -=为：线性方程。 5.积分因子的概念，会判断某个函数是不是方程的积分因子； 6.恰当方程的解法（分项组合方法）。（重要） 第三章 一阶方程的存在唯一性定理 1.存在唯一性定理的内容要熟记，并能准确确定其中的h ； 2.会构造皮卡逐步逼近函数序列来求第k 次近似解！（参见书上例题和习题 3.1的1，2，3题） 第四章 高阶微分方程 1.n 阶线性齐次（非齐次）微分方程的概念，解的概念，基本解组，解的线性相关与线性无关，齐次与非齐次方程解的性质； 2.n 阶线性方程解的Wronskey 行列式与解的线性相关与线性无关的关系； 3.n 阶线性齐次（非齐次）微分方程的通解结构定理！！（重要） 4.n 阶线性非齐次微分方程的常数变易法（了解）； 5.n 阶常系数线性齐次与非齐次微分方程的解法（Eurler 待定指数函数法确定基本解组），特解的确定（比较系数法、复数法）；（重要） 例题：t te x x 24=-''，确定特解类型？ （习题4.2相关题目） 6.2阶线性方程已知一个特解的解法（作线性齐次变换）。（重要） 7.其他如Euler 方程、高阶方程降阶、拉普拉斯变换法等了解。
拉普拉斯变换公式总结..
拉普拉斯变换公式总结..
拉普拉斯变换、连续时间系统的S 域分析 基本要求 通过本章的学习，学生应深刻理解拉普拉斯变换的定义、收敛域的概念：熟练掌握拉普拉斯变换的性质、卷积定理的意义及它们的运用。能根据时域电路模型画出S 域等效电路模型，并求其冲激响应、零输入响应、零状态响应和全响应。能根据系统函数的零、极点分布情况分析、判断系统的时域与频域特性。理解全通网络、最小相移网络的概念以及拉普拉斯变换与傅里叶变换的关系。会判定系统的稳定性。 知识要点 1. 拉普拉斯变换的定义及定义域 （1） 定义 单边拉普拉斯变换： 正变换0[()]()()st f t F s f t dt e ζ∞-- ==? 逆变换 1 [()]()()2j st j F s f t F s ds j e σσζπ+∞ -∞ == ? 双边拉普拉斯变换： 正变换 ()()st B s f t dt e F ∞ --∞ =? 逆变换1 ()()2j st B j f t s ds j e F σσπ+∞ -∞ =? （2） 定义域
若0 σσ>时，lim ()0 t t f t e σ-→∞ =则()t f t e σ-在0 σσ>的全部范围内 收敛，积分0()st f t dt e +∞ -- ? 存在，即()f t 的拉普拉斯变换 存在。0 σσ>就是()f t 的单边拉普拉斯变换的收敛域。0 σ与函数()f t 的性质有关。 2. 拉普拉斯变换的性质 （1） 线性性 若 11[()]() f t F S ζ=, 22[()]() f t F S ζ=, 1 κ, 2 κ为常数时，则 11221122[()()]()() f t f t F s F s ζκκκκ+=+ （2） 原函数微分 若[()]()f t F s ζ=则() []()(0)df t sF s f dt ζ- =- 1 1()0 ()[]()(0)n n n n r r n r d f t s F s s f dt ζ----==-∑ 式中() (0) r f -是r 阶导数() r r d f t dt 在0- 时刻的取值。 （3） 原函数积分 若 [()]() f t F s ζ=，则 (1)(0) ()[()]t f F s f t dt s s ζ---∞ =+ ? 式中 (1)(0)()f f t dt ---∞ =? （4） 延时性 若[()]()f t F s ζ=，则0 [()()]() st f t t u t t e F s ζ---= （5） s 域平移 若[()]()f t F s ζ=，则[()]() at f t e F s a ζ-=+ （6） 尺度变换
常微分方程初值问题的数值解法
第七章 常微分方程初值问题的数值解法 --------学习小结 一、本章学习体会 通过本章的学习，我了解了常微分方程初值问题的计算方法，对于解决那些很难求解出解析表达式的，甚至有解析表达式但是解不出具体的值的常微分方程非常有用。在这一章里求解常微分方程的基本思想是将初值问题进行离散化，然后进行迭代求解。在这里将初值问题离散化的方法有三种，分别是差商代替导数的方法、Taylor 级数法和数值积分法。常微分方程初值问题的数值解法的分类有显示方法和隐式方法，或者可以分为单步法和多步法。在这里单步法是指计算第n+1个y 的值时,只用到前一步的值，而多步法则是指计算第n+1个y 的值时，用到了前几步的值。通过对本章的学习，已经能熟练掌握如何用Taylor 级数法去求解单步法中各方法的公式和截断误差，但是对线性多步法的求解理解不怎么透切，特别是计算过程较复杂的推理。 在本章的学习过程中还遇到不少问题，比如本章知识点多，公式多，在做题时容易混淆，其次对几种R-K 公式的理解不够透彻，处理一个实际问题时，不知道选取哪一种公式，通过课本里面几种方法的计算比较得知其误差并不一样，，这个还需要自己在往后的实际应用中多多实践留意并总结。 二、本章知识梳理 常微分方程初值问题的数值解法一般概念 步长h ，取节点0,(0,1,...,)n t t nh n M =+=，且M t T ≤，则初值问题000 '(,),()y f t y t t T y t y =≤≤?? =?的数值解法的一般形式是 1(,,,...,,)0,(0,1,...,)n n n n k F t y y y h n M k ++==-
微分方程总结
第七章 微分方程 1.一阶微分方程 （1）微分方程的基本概念： ①、微分方程：含有未知函数、未知函数的导数即自变量的等式叫做微分方程。未知函数是一元函数，叫做常微分方程；未知函数是多元函数，叫做偏微分方程。 ②、微分方程的阶：微分方程中所出现的未知函数导数的最高阶数，叫做微分方程的阶。 ③、微分方程的解：若某个函数代入微分方程能使该方程成为恒等式，这个函数就叫做该微分方程的解。 ④、微分方程的通解：若微分方程的解中所含相互独立的任意常数的个数与微分方程的阶数相同，这样的解叫做微分方程的通解。 ⑤、微分方程的初始条件、特解：用来确定微分方程通解中任意常数的条件叫做初始条件。确定了通解中任意常数的解称为微分方程的特解。 （2）可分离变量方程：形如)()(dx dy x g x f =的方程称为可分离变量微分方程。设g(y)≠0,则可将方程化为dx )() (dy x f y g ，其特点是方程的一端只含有y 的函数dy ，另一端只含有x 的函数dx ，即将两个变量分离在等式两端，其接法是分离变量后两边积分得到通解。 （3）齐次方程：形如)(y x y f =＇的方程称为齐次方程。其解法是做变换x y u =，则y=ux,dx du dx dy x u +=,代入方程化为可分离变量的微分方程。 （4）一阶线性微分方程：形如)()(dx dy x Q y x P =+的方程称为一阶线性微分呢方程，其特点是方程中的未知函数及其导数为一次的。如果0)(≡x Q ，则称为一阶线性齐次微分方程；如果Q(x)不恒等于零 ，则称为一阶线性非齐次微分方程，其通解为 C dx e x Q e y dx x P dx x P +?=??-)()()((。 （5）伯努利方程：形如)1,0()()('≠=+n y x Q y x P y n 的方程称为伯努利方程。次方程的特点是未知函数的导数仍是一次的，但未知函数出现n 次方幂。其解法是做变量替换n y z -=1，则： ,dx dz 11dx dy ,dx dy )1(dx dz 11n y y n n n -=-=--即 代入原方程，得： ),()1()()1(dx dz x Q n z x P n -=-+ 这是一个线性非齐次微分方程，再按线性非齐次微分方程的解法求出通解；最后以n y z -=1换回原变量，即为所求。 2、高阶微分方程，常系数线性微分方程： （1）可降价的高阶微分方程： ①、)()(x f y n =：其特点是右端仅含有自变量x ，通过连续积分n 次得到通解。 ②、)',(''y x f y =：其特点是方程不显含未知函数y 。令'''),('p y x p y ==则，代入原方程化为一阶微分
《常微分方程》知识点
《常微分方程》复习资料 1．（变量分离方程）形如 ()()dy f x y dx ?=（1.1）的方程，称为变量分离方程，这里(),()f x y ?分别是,x y 的连续函数． 解法：（1）分离变量，当()0y ?≠时，将（1.1）写成 ()() dy f x dx y ?=，这样变量就“分离”了； （2）两边积分得 ()()dy f x dx c y ?=??+（1.2） ，由（1.2）所确定的函数(,)y x c ?=就为（1.1）的解． 注：若存在0y ，使0()0y ?=，则0y y =也是（1.1）的解，可能它不包含在方程（1.2）的通解中，必须予以补上． 2．（齐次方程）形如 (dy y g dx x =的方程称为齐次方程，这里是u 的连续函数． ()g u 解法：（1）作变量代换（引入新变量）y u x =，方程化为()du g u u dx x -=，（这里由于dy du x u dx dx =+）； （2）解以上的分离变量方程； （3）变量还原． 3．（一阶线性微分方程与常数变异法）一阶线性微分方程() ()()0dy a x b x y c x dx ++=在的区间上可写成()0a x ≠()()dy P x y Q x dx =+（3.1），这里假设在考虑的区间上是(),()P x Q x x 的连续函数．若，则（3.1）变为()0Q x =()dy P x y dx =（3.2），（3.2）称为一阶齐次线性方程．若()0Q x ≠，则（3.1）称为一阶非齐次线性方程． 解法：（1）解对应的齐次方程()dy P x y dx =，得对应齐次方程解()p x y ce dx ?=，为任意常数； c （2）常数变异法求解（将常数变为c x 的待定函数，使它为（3.1）的解）：令为（3.1）的 解，则 ()c x ()()p x dx y c x e ?=()()()()()p ??p x dx p x dy dc x e c x x e dx dx =+dx ，代入（3.1）得()() ()p x dx dc dx x Q x e -?=)，积分得； ()p x dx c ?=+ ()()c x Q x e -?（3）故（3.1）的通解为()()(()p x dx p x dx y e Q x e dx -??c =+? ． 4．（伯努利方程）形如 ()()n dy P x y Q x y dx =+的方程，称为伯努利方程，这里为(),()P x Q x x 的连续函数． 解法：（1）引入变量变换，方程变为1n z y -=(1)()(1)()dz n P x z n Q x dx =-+-； （2）求以上线性方程的通解； （3）变量还原． 5．（可解出的方程）形如y (,)dy y f x dx =(5.1)的方程，这里假设(,)f x y '有连续的偏导数． 解法：（1）引进参数dy p dx = ，则方程（5.1）变为(,)y f x p =（5.2）； （2）将（5.2）两边对x 求导，并以dy p dx =代入，得f f p p x p x ???=+???（5.3），这是关于变量,x p 的一阶微分方 程； （3）（i ）若求得（5.3）的通解形式为(,)p x c ?=，将它代入（5.2） ，即得原方程（5.1）的通解(,(,))y f x x c ?=，为任意常数； c
最新常微分方程第二版答案第6章6-1知识点复习考点归纳总结参考
习 题 6-1 1． 求出齐次线性微分方程组 y t A dt dy )(=的通解，其中A （t ）分别为： （1）???? ??=1011)(t A ；（2）? ??? ??-=0110)(t A ；（3）? ??? ? ??=000010100)(t A 。 （1）方程组的分量形式为： 211y y dt dy += ，22y dt dy = 从后一式容易求出2y 的通解为 t ke y =2 ，其中K 为任意常数，可分别取02=y 和 t e y =2，代入前一式得到两个相应的特解，t e y =1和 t te y =2这样就求得方程组的一个解矩阵为 ()0 t t t e te t e ??Φ= ??? 又 2det ()0t t e Φ=≠ 。因此，)(t Φ是方程组的一个基解矩阵，根据定理6.1 ,方程的通解为 ??? ? ??+???? ??=???? ??t t t e te c e c y y 21210 （2）方程的分量形式为 ?????-==122 1 y dt dy y dt dy 由①、②可和 21 120d y y dt += 由观察法知，t y cos 1=，t y sin 1=为此方程的两个特解，将其代入②式可得两个相应的特解，将其代入②式可得两个相应的特解：2sin y t =-，2cos y t =。这样就 求得方程组的一个解矩阵为 cos int ()int cos t s t s t ?? Φ= ?-?? 又 []01)(det ≠=Φ=t ，因此 )(t Φ中方程组的一个基解矩阵。故方程组的通解为1122cos int int cos y t s c c y s t ?????? =+ ? ? ?-???? ?? ① ②