2021年高考数学第一轮复习教案人教版
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α A P O a α A P 2021年高考数学第一轮复习教案人教版
【教学目标】
正确理解和熟练掌握三垂线定理及其逆定理，并能运用它解决有关垂直问题。
【知识梳理】 1．斜线长定理
从平面外一点向这个平面所引的垂线段和斜线段中，
①射影相等的两条斜线段相等，射影较长的斜线段也较长；
②相等的斜线段的射影相等，较长的斜线段的射影也较长；
③垂线段比任何一条斜线段都短． 2．重要公式
如图，已知OB ⊥平面α于B ，OA 是平面α的斜线，A 为斜足，直线AC ?平面α，设∠OAB =θ1，又∠CAB =θ2，∠OAC =θ．那么
cos θ=cos θ1cos θ2．
3．直线和平面所成的角
①平面斜线与它在平面内的射影所成的角，是这条斜线和这个平面内任一条直线所成的角中最小的角．
②一个平面的斜线和它在这个平面内的射影的夹角，叫做斜线和平面所成的角(或斜线和平面的夹角)．如果直线和平面垂直，那么就说直线和平面所成的角是直角；如果直线和平面平行或在平面内，那么就说直线和平面所成的角是0的角．
名称
语言表述 图 示 字母表示 应 用
三垂线定 理 在平面内的一条直线,如果和这个平面的一条斜线的射影垂直,那么它也和这条斜线垂直. ①证两直线垂直
②作点线距
③作二面角
的平面角
三垂线定理的逆定理 在平面内的一条直线,如果和这个平面的一条斜线垂直,那么它也和这条斜线的射影垂直.
同 上 三垂线定理和三垂线定理的逆定理的主要应用是证明两条直线垂直，尤其是证明两条异面直线垂直，此外，还可以作出点到直线的距离和二面角的平面角．在应用这两个定理时，要抓住平面和平面的垂线，简称“一个平面四条线，线面垂直是关键”．
【点击双基】
1．下列命题中，正确的是 ( )
(A )垂直于同一条直线的两条直线平行
(B )平行于同一平面的两条直线平行
(C )平面的一条斜线可以垂直于这个平面内的无数条直线
(D )a 、b 在平面外，若a 、b 在平面内的射影是两条相交直线，则a 、b 也是相交直线
2．直线a 、b 在平面α内的射影分别为直线a 1、b 1，下列命题正确的是 ( )
(A )若a 1⊥b 1，则a ⊥b (B )若a ⊥b ，则a 1⊥b 1
(C )若a 1//b 1，则a 与b 不垂直 (D )若a //b ，则a 1与b 1不垂直
3．直线a 、b 在平面外，若a 、b 在平面内的射影是一个点和不过此点的一条直线，则a 与b C
D A B O
C
A P
B D M N Q l 是 ( )
(A )异面直线 (B )相交直线
(C )异面直线或相交直线 (D )异面直线或平行直线
4．P 是△ABC 所在平面外一点，若P 点到△ABC 各顶点的距离都相等，则P 点在平面ABC 内的射影是△ABC 的 ( )
(A )外心 (B )内心 (C )重心 (D )垂心
5．P 是△ABC 所在平面外一点，若P 点到△ABC 各边的距离都相等，且P 点在平面ABC 内的射影在△ABC 的内部，则射影是△ABC 的 ( )
(A )外心 (B )内心 (C )重心 (D )垂心
6．P 是△ABC 所在平面外一点，连结PA 、PB 、PC ，若PA ⊥BC ，PB ⊥AC ，则P 点在平面ABC 内的射影是△ABC 的 ( ) (A )外心 (B )内心 (C )重心 (D )垂心
7．从平面外一点向这个平面引两条斜线段，它们所成的角为θ．这两条斜线段在平面内的射影成的角为α(90?≤α<180?)，那么θ与α的关系是 ( ) (A )θ<α (B )θ>α (C )θ≥α (D )θ≤α
8．已知直线l 1与平面成30角，直线l 2与l 1成60角，则l 2与平面所成角的取值范围是 ( )
(A )[0,60] (B )[60,90] (C )[30,90] (D )[0,90]
【典例剖析】
例1．如果四面体的两组对棱互相垂直，求证第三组对棱也互相垂直．
已知：四面体ABCD 中，AB ⊥CD ，AD ⊥BC ；
求证：AC ⊥BD ；
证法一：作AO ⊥平面BCD 于O ， 连OB 、OC 、OD ，∵AB ⊥CD ，∴OB ⊥CD ，同理，由AD ⊥BC 得OD ⊥BC ， ∴O 是△BCD 的垂心，∴OC ⊥BD ，从而AC ⊥BD ．
证法二：设=a ，=b ，=c ，则=b a ，=c a ，=c b ，
∵AB ⊥CD ，AD ⊥BC ，∴a (c b )=0，c (b a )=0，则a c =a
b ，a
c =c b ．
∴a b =c b ，即a b c b =0，从而有b (c a )=0，故⊥．
例2．如图，在三棱锥P ABC 中，ACB =90，ABC =60，PC 平面ABC ，AB =8，PC =6，M 、N 分别是PA 、PB 的中点，设△MNC 所在平面与△ABC 所在平面交于直线l ．
(1)判断l 与MN 的位置关系，并进行证明； (2)求点M 到直线l 的距离．
解：(1)l //MN ，证明如下： ∵M 、N 分别是PA 、PB 的中点，
∴MN AB ，MN 平面ABC ，AB 平面ABC ， ∴MN 平面ABC ．又∵MN 平面MNC ，
平面MNC 平面ABC =l ，∴MN l ．
(2)取AC 的中点Q ，连MQ ，则MQ PC ， 而PC 平面ABC ，∴MQ 平面ABC ．
作QD 直线l 于D ，连MD ，则MD 直线l ．
线段MD 的长即为M 到直线l 的距离．
在Rt △ABC 中，可求得AC =4，∴QC =2．
又MQ =PC =3，∠QCD =30?，∴QD =QC =．
于是 MD ==2．
D C O B A a
b c
N M P C B A 例3.如图，P 是ΔABC 所在平面外一点，且PA ⊥平面ABC 。若O 和Q 分别是ΔABC 和 ΔPBC 的垂心，试证：OQ ⊥平面PBC 。
证明： ∵O 是ΔABC 的垂心，∴BC ⊥AE 。 ∵PA ⊥平面ABC ，
根据三垂线定理得BC ⊥PE 。∴BC ⊥平面PAE 。∵Q 是ΔPBC
的垂心，故Q 在PE 上，则OQ 平面PAE ，∴OQ ⊥BC 。
∵PA ⊥平面ABC ，BF 平面ABC ，∴BF ⊥PA ，又∵O 是ΔABC 的垂心，∴BF ⊥AC ，故BF ⊥平面PAC 。因而FM 是BM 在平
面PAC 内的射影。因为BM ⊥PC ，据三垂线定理的逆定理，
FM ⊥PC ，从而PC ⊥平面BFM 。又OQ 平面BFM ，所以OQ ⊥PC 。
综上知 OQ ⊥BC ，OQ ⊥PC ，所以OQ ⊥平面PBC 。
说明：此题涉及直线与平面垂直，需用三垂线定理及逆定理。
例4.如图，在直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，底面ΔABC 是直角三角形，∠ABC=，2AB=BC=BB 1=a ，且A 1C ∩AC 1=D ，BC 1∩B 1C=E ，截面ABC 1与截面A 1B 1C 交于DE 。
（1）A 1B 1⊥平面BB 1C 1C ；（2）求证：A 1C ⊥BC 1；（3）求证：DE ⊥平面BB 1C 1C 。
证明：（1）∵三棱柱ABC-A 1B 1C 1是直三棱柱，
∴侧面与底面垂直，即平面A 1B 1C 1⊥平面BB 1C 1C ，又∵AB ⊥BC ，∴A 1B 1⊥B 1C 1
从而A 1B 1⊥平面BB 1C 1C 。
（2）由题设可知四边形BB 1C 1C 为正方形，∴BC 1⊥B 1C ，而A 1B 1⊥平面BB 1C 1C ，
∴ A 1C 在平面BB 1C 1C 上的射影是B 1C ，由三垂线定理得A 1C ⊥BC 1
（3）∵直三棱柱的侧面均为矩形，而D 、E 分别为所在侧面对角线的交点，∴D 为A 1C 的中点，E 为B 1C 的中点，∴DE ∥A 1B 1，而由（1）知A 1B 1⊥平面BB 1C 1C ，∴DE ⊥平面BB 1C 1C 。
例5．如图P 是ABC 所在平面外一点，PA ＝PB ，CB 平面PAB ，M 是PC 的中点， N 是AB 上的点，AN ＝3NB
（1）求证：MN AB ；（2）当APB ＝90，AB ＝2BC ＝4时，求MN 的长。
（1）证明：取的中点，连结，∵是的中点，
∴，∵ 平面 ，∴ 平面
∴是在平面内的射影 ，取 的中点，连结
，∵∴，又，∴
∴，∴，由三垂线定理得
（2）∵，∴，∴，∵平面
∴，且，∴
【知识方法总结】
运用三垂线定理及其逆定理的关键在于先确定线、斜线在平面上的射影，而确定射影的关键又是“垂足”，如果“垂足”，定了，那么“垂足”和“斜足”的连线就是斜线在平面上的射影。
【作业】
1. 在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，已知E 在上底面A 1B 1C 1D 1内，A 1B 1E=60，A 1B 1=2B 1E ，求证：AE B 1E
2.在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，M 是棱DD 1的中点，O 为是底面AC 的中心，P 为棱A 1B 1上任意的一点，则直线OP 与AM 所在的角等于。
A 90度
B 60度
C 45 度
D 30度
3. 如图：在平面β内有△ABC ，在平面β外有点S ，斜线SA
⊥AC ，SB ⊥BC ，且斜线SA 、SB 分别与平面β所成的角相等，
(1) 求证：AC ＝BC ；(2) 又设点S 与平面β的距离是4cm ，AC
⊥BC ，且AB =6cm ，求点S 与直线AB 的距离。
4.如图所示，在矩形ABCD 中，AB=，BC=3，沿对角线BD 将
BCD 折起，使点C 在平面ABD 上的射影O 恰在AB 上。（1）求证：BC 平面ACD ；（2）求点A 到平面BCD 的距离；（3）求直线AB 与平面BCD 所成的角的大小。
D A B C A B C
D O
5.直线a 平行于平面，l 为平面的斜线，a 直线l 在内的射影，求证：l a 。
6.G 为ABC 的垂心，GP 平面ABC ，且AP BP ，求证：AP CP