初中数学试卷 金戈铁骑整理制作
二次函数专题集
1. 图,已知A 、B 是线段MN 上的两点,MN=4,MA=1,MB >1.以A 为中心顺时针旋转点M ,以B
为中心逆时针旋转点N ,使M 、N 两点重合成一点C ,构成△ABC ,设AB=x .
(1)求x 的取值范围;
(2)若△ABC 为直角三角形,求x 的值;
(3)探究:△ABC 的最大面积?
2.如图,抛物线y=错误!未找到引用源。x 2
+bx+c 经过A(-错误!未找到引用源。,0)
,B (0,-3)两点,此抛物线的对称轴为直线l ,顶点为C ,且l 与直线AB 交于点D .
(1)求此抛物线的解析式;
(2)直接写出此抛物线的对称轴和顶点坐标;
(3)连接BC ,求证:BC=CD .
2.已知:抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴为x=-1,与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C,其中A(-3,0),C(0,-2)
(1)求这条抛物线的函数表达式;
(2)已知在对称轴上存在一点P,使得△PBC的周长最小.请
求出点P的坐标;
(3)若点D是线段OC上的一个动点(不与点O、点C重合).过
点D作DE∥PC交x轴于点E.连接PD、PE.设CD的长为m,
△PDE的面积为S.求S与m之间的函数关系式.试说明S
是否存在最大值?若存在,请求出最大值;若不存在,请说
明理由.
4.如图所示,菱形ABCD的边长为6厘米,∠B=60度.从初始时刻开始,点P、Q同时从A 点出发,点P以1厘米/秒的速度沿A→C→B的方向运动,点Q以2厘米/秒的速度沿A→B→C→D的方向运动,当点Q运动到D点时,P、Q两点同时停止运动,设P、Q运动的时
间为x秒时,△APQ与△ABC重叠部分的面积为y平方厘米(这里规
定:点和线段是面积为O的三角形),解答下列问题:
(1)点P、Q从出发到相遇所用时间是_________秒;
(2)点P、Q从开始运动到停止的过程中,当△APQ是等边三角形
时x的值
是________秒;
(3)求y与x之间的函数关系式.
5.正方形ABCD在如图所示的平面直角坐标系中,A在x轴正半轴上,D在y轴的负半轴上,AB交y轴正半轴于E,BC交x轴负半轴于F,OE=1,OD=4,抛物
线y=ax2+bx-4过A、D、F三点.
(1)求抛物线的解析式;
(2)Q是抛物线上D、F间的一点,过Q点作平行于x轴的直线交边AD于M,交BC所在直线于N,若S四边形AFQM=错误!未找到引用源。S△FQN,则判断四边形AFQM的形状;
(3)在射线DB上是否存在动点P,在射线CB上是否存在动点H,使得AP⊥PH且AP=PH?若存在,请给予严格证明;若不存在,请说明理由.
6.如图,在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=错误!未找到引用源。x2-错误!未找到引用源。x-10与y轴的交点为点B,过点B作x轴的平行线BC,交抛物线于点C,连接AC.现有两动点P,Q分别从O,C两点同时出发,点P以每秒4个单位的速度沿OA向终点A移动,点Q以每秒1个单位的速度沿CB向点B移动,点P停止运动时,点Q也同时停止运动,线段OC,PQ相交于点D,过点D作DE∥OA,交CA于点E,射线QE交x轴于点F.设动点P,Q移动的时间为t(单位:秒).
(1)求A,B,C三点的坐标和抛物线的顶点的坐标;
(2)当t为何值时,四边形PQCA为平行四边形?
请写出计算过程;
(3)当0<t<错误!未找到引用源。时,△PQF
的面积是否总为定值?若是,求出此定值,若不
是,请说明理由;
(4)当t为何值时,△PQF为等腰三角形?请写
出解答过程.
7.如图,已知二次函数y=(x+m)2+k-m2的图象与x轴相交于两
个不同的点A(x1,0)、B(x2,0),与y轴的交点为C.设△ABC
的外接圆的圆心为点P.
(1)求⊙P与y轴的另一个交点D的坐标;
(2)如果AB恰好为⊙P的直径,且△ABC的面积等于错误!未找
到引用源。,
求m和k的值.
8.已知抛物线y=x2-2x+a(a<0)与y轴相交于点A,顶点为M.直线y=错误!未找到引用源。x-a分别与x轴,y轴相交于B,C两点,并且与直线AM相交于点N.
(1)试用含a的代数式分别表示点M与N的坐标;
(2)如图,将△NAC沿y轴翻折,若点N的对应点N′恰好落在抛物线上,AN′与x轴交于点D,连接CD,求a的值和四边形ADCN的面积;
(3)在抛物线y=x2-2x+a(a<0)上是否存在一点P,使得以P,A,C,N为顶点的四边形是平行四边形?若存在,求出P点的坐标;若不存在,试说明理由.
9.如图,直线y=-x+4与两坐标轴分别相交于A、B点,点M是线段AB上任意一点(A、B 两点除外),过M分别作MC⊥OA于点C,MD⊥OB于D.
(1)当点M在AB上运动时,你认为四边形OCMD的周长是否发生变化并说明理由;
(2)当点M运动到什么位置时,四边形OCMD的面积有最大值?最大值是多少?
(3)当四边形OCMD为正方形时,将四边形OCMD沿着x轴的正方向移动,设平移的距离为a(0<a<4),正方形OCMD与△AOB重叠部分的面积为S.试求S与a的函数关系式并画出该函数的图象.
10.如图,抛物线y=-错误!未找到引用源。x2-x+2的顶点
为A,与y轴交于点B.
(1)求点A、点B的坐标;
(2)若点P是x轴上任意一点,求证:PA-PB≤AB;
(3)当PA-PB最大时,求点P的坐标.
11.如图,在平面直角坐标系中,已知矩形ABCD的三个顶点B(4,0)、C(8,0)、D(8,8).抛物线y=ax2+bx过A、C两点.
(1)直接写出点A的坐标,并求出抛物线的解析式;
(2)动点P从点A出发.沿线段AB向终点B运动,同时点Q从点C出发,沿线段CD向终点D运动.速度均为每秒1个单位长度,运动时间为t秒.过
点P作PE⊥AB交AC于点E.
①过点E作EF⊥AD于点F,交抛物线于点G.当t为何值时,
线段EG最长?
②连接EQ.在点P、Q运动的过程中,判断有几个时刻使得△
CEQ是等腰三角形?请直接写出相应的t值.
12.如图,已知抛物线y=x2+4x+3交x轴于A、B两点,交y轴于点C,抛物线的对称轴交x 轴于点E,点B的坐标为(-1,0).
(1)求抛物线的对称轴及点A的坐标;
(2)在平面直角坐标系xoy中是否存在点P,与A、B、C
三点构成一个平行四边形?若存在,请写出点P的坐标;
若不存在,请说明理由;
(3)连接CA与抛物线的对称轴交于点D,在抛物线上是
否存在点M,使得直线CM把四边形DEOC分成面积相等的
两部分?若存在,请求出直线CM的解析式;若不存在,
请说明理由.
13.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=3,AB=5.点P从点C出发沿CA以每秒1个单位长的速度向点A匀速运动,到达点A后立刻以原来的速度沿AC返回;点Q从点A出发沿AB 以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动.伴随着P、Q的运动,DE保持垂直平分PQ,且交PQ于点D,交折线QB-BC-CP于点E.点P、Q同时出发,当点Q到达点B时停止运动,点P 也随之停止.设点P、Q运动的时间是t秒(t>0).
(1)当t=2时,AP=______,点Q到AC的距离是________;
(2)在点P从C向A运动的过程中,求△APQ的面积S与t的函数关系式;(不必写出t 的取值范围)
(3)在点E从B向C运动的过程中,四边形QBED能否成为直
角梯形?若能,求t的值;若不能,请说明理由;
(4)当DE经过点C时,请直接写出t的值.
14.已知平行于x轴的直线y=a(a≠0)与函数y=x和函数y=错误!未找到引用源。的图象分别交于点A和点B,又有定点P(2,0).
(1)若a>0,且tan∠POB=错误!未找到引用源。,求线段AB的长;
(2)在过A,B两点且顶点在直线y=x上的抛物线中,已知线段AB=错误!未找到引用源。,且在它的对称轴左边时,y随着x的增大而增大,试求出满足条件的抛物线的解析式;(3)已知经过A,B,P三点
的抛物线,平移后能得到y=
错误!未找到引用源。x2的图
象,求点P到直线AB的距离.
15.如图,已知抛物线经过坐标原点O和x轴上另一点E,顶点M的坐标为(2,4);矩形ABCD的顶点A与点O重合,AD、AB分别在x轴、y轴上,且AD=2,AB=3.
(1)求该抛物线所对应的函数关系式;
(2)将矩形ABCD以每秒1个单位长度的速度从如图所示的位置沿x轴的正方向匀速平行移动,同时一动点P也以相同的速度从点A出发向B匀速移动,设它们运动的时间为t秒(0≤t≤3),直线AB与该抛物线的交点为N(如图2所示).
①当t=错误!未找到引用源。时,判断点P是否在直线ME上,并说明理由;
②设以P、N、C、D为顶点的多边形面积为S,试问S是否存在最大值?若存在,求出这个最大值;若不存在,请说明理由.
16.如图,抛物线y=ax2+bx+c的交x轴于点A和点B(-2,0),
与y轴的负半轴交于点C,且线段OC的长度是线段OA的2倍,抛物线的对称轴是直线x=1.(1)求抛物线的解析式;
(2)若过点(0,-5)且平行于x轴的直线与该抛物线交于M、N两点,以线段MN为一边抛物线上与M、N不重合的任意一点P(x,y)为顶点作平行四边形,若平行四边形的面积为S,请你求出S关于点P的纵坐标y的函数解析式;
(3)当0<x≤错误!未找到引用源。时,(2)中的平行四边形的面积是否存在最大值?若存在,请求出来;若不存在,请说明理由.
17.如图,二次函数y=x2+px+q(p<0)的图象与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C(0,
-1),△ABC的面积为错误!未找到引用源。.
(1)求该二次函数的关系式;
(2)过y轴上的一点M(0,m)作y轴的垂线,若该垂线与△ABC的
外接圆有公共点,求m的取值范围;
(3)在该二次函数的图象上是否存在点D,使四边形ABCD为直角梯
形?若存在,求出点D的坐标;若不存在,请说明理由.
18.已知:抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A、B两点,
与y轴交于点C.其中点A在x轴的负半轴上,点C
在y轴的负半轴上,线段OA、OC的长(OA<OC)是
方程x2-5x+4=0的两个根,且抛物线的对称轴是直线
x=1.
(1)求A、B、C三点的坐标;
(2)求此抛物线的解析式;
(3)若点D是线段AB上的一个动点(与点A、B不重合),过点D作DE∥BC交AC于点E,连接CD,设BD的长为m,△CDE的面积为S,求S与m的函数关系式,并写出自变量m的取值范围.S是否存在最大值?若存在,求出最大值并求此时D点坐标;若不存在,请说明理由.
19.已知:如图所示,关于x的抛物线y=ax2+x+c(a≠0)与x轴交于点A(-2,0)、点B (6,0),与y轴交于点C.
(1)求出此抛物线的解析式,并写出顶点坐标;
(2)在抛物线上有一点D,使四边形ABDC为等腰梯
形,写出点D的坐标,并求出直线AD的解析式;
(3)在(2)中的直线AD交抛物线的对称轴于点M,抛物线上有一动点P,x轴上有一动点Q.是否存在以A、M、P、Q为顶点的平行四边形?如果存在,请直接写出点Q的坐标;如果不存在,请说明理由.
20.如图,等边△ABC边长为4,E是边BC上动点,EH⊥AC于H,过E作EF∥AC,交线段AB于点F,在线段AC上取点P,使PE=EB.设EC=x(0<x≤2).
(1)请直接写出图中与线段EF相等的两条线段(不再另外添加辅助线);
(2)Q是线段AC上的动点,当四边形EFPQ是平行四边形时,
求平行四边形EFPQ的面积(用含x的代数式表示);
(3)当(2)中的平行四边形EFPQ面积最大值时,以E为圆
心,r为半径作圆,根据⊙E与此时平行四边形EFPQ四条边交
点的总个数,求相应的r的取值范围.
21.已知直线l:y=-x+m(m≠0)交x轴、y轴
于A、B两点,点C、M分别在线段OA、AB上,
且OC=2CA,AM=2MB,连接MC,将△ACM绕点M
旋转180°,得到△FEM,则点E在y轴上,点F在直线l上;取线段EO中点N,将ACM沿MN所在直线翻折,得到△PMG,其中P与A为对称点.记:过点F的双曲线为C1,过点M且以B为顶点的抛物线为C2,过点P以M为顶点的抛物线为C3.
(1)如图,当m=6时,①直接写出点M、F的坐标,②求C1、C2的函数解析式;
(2)当m发生变化时,①在C1的每一支上,y随x的增大如何变化请说明理由.②若C2、C3中的y都随着x的增大而减小,写出x的取值范围.
22.如图,在△ABC中,∠A=90°,BC=10,△ABC的面积为25,点D为AB边上的任意一点(D不与A、B重合),过点D作DE∥BC,交AC于点E.设DE=x,以DE为折线将△ADE翻折(使△ADE落在四边形DBCE所在的平面内),所得的△A'DE
与梯形DBCE重叠部分的面积记为y.
(1)用x表示△ADE的面积;
(2)求出0<x≤5时y与x的函数关系式;
(3)求出5<x<10时y与x的函数关系式;
(4)当x取何值时,y的值最大,最大值是多少?
23.如图所示,将矩形OABC沿AE折叠,使点O恰好落在BC上F处,以CF为边作正方形CFGH,延长BC至M,使CM=|CE-EO|,再以CM、CO为边作矩形CMNO.
(1)试比较EO、EC的大小,并说明理由;
(2)令m= 错误!未找到引用源。,请问m是否为
定值?若是,请求出m的值;若不是,请说明理由;
(3)在(2)的条件下,若CO=1,CE=错误!未找到引用源。,Q为AE上一点且QF=错误!未找到引用源。,抛物线y=mx2+bx+c经过C、Q两点,请求出此抛物线的解析式;
(4)在(3)的条件下,若抛物线y=mx2+bx+c与线段AB交于点P,试问在直线BC上是否存在点K,使得以P、B、K为顶点的三角形与△AEF相似?若存在,请求直线KP与y轴的交点T的坐标;若不存在,请说明理由.
24.已知:t1,t2是方程t2+2t-24=0的两个实数根,且t1
<t2,抛物线y=错误!未找到引用源。x2+bx+c的图象经
过点A(t1,0),B(0,t2).
(1)求这个抛物线的解析式;
(2)设点P(x,y)是抛物线上一动点,且位于第三象限,
四边形OPAQ是以OA为对角线的平行四边形,求平行四边
形OPAQ的面积S与x之间的函数关系式,并写出自变量x
的取值范围;
(3)在(2)的条件下,当平行四边形OPAQ的面积为24时,是否存在这样的点P,使?OPAQ 为正方形?若存在,求出P点坐标;若不存在,说明理由.
25.如图1,抛物线y=x2-2x+k与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C(0,-3).[图2、图3为解答备用图]
(1)k=_______,点A的坐标为__________,点B的坐标为________;
(2)设抛物线y=x2-2x+k的顶点为M,求四边形ABMC的面积;
(3)在x轴下方的抛物线上是否存在一点D,使四边形ABDC的面积最大?若存在,请求出
点D的坐标;若不存在,请说明理由;
(4)在抛物线y=x2-2x+k上求点Q,使△BCQ是以BC为直角边的直角三角形.
26.如图所示,已知抛物线y=x2-1
与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C.
(1)求A、B、C三点的坐标;
(2)过点A作AP∥CB交抛物线于点P,求四边形ACBP的面积;
(3)在x轴上方的抛物线上是否存在一点M,过M作MG⊥x轴于点G,使以A、M、G三点为顶点的三角形与△PCA相似?若存在,请求出M点的坐标;否则,请说明理由.
27.如图,抛物线F:y=ax2+bx+c的顶点为P,抛物线F与y轴交于点A,与直线OP交于点B.过点P作PD⊥x轴于点D,平移抛物线F使其经过
点A、D得到抛物线F′:y=a′x2+b′x+c′,抛物线
F′与x轴的另一个交点为C.
(1)当a=1,b=-2,c=3时,求点C的坐标(直接写
出答案);
(2)若a、b、c满足了b2=2ac
①求b:b′的值;
②探究四边形OABC的形状,并说明理由.
28.如图,抛物线y=a(x+3)(x-1)与x轴相交于A、B两点(点A在点B右侧),过点A 的直线交抛物线于另一点C,点C的坐标为(-2,6).
(1)求a的值及直线AC的函数关系式;
(2)P是线段AC上一动点,过点P作y轴的平行线,交抛物线于点M,交x轴于点N.
①求线段PM长度的最大值;
②在抛物线上是否存在这样的点M,使得△CMP与△APN相似?
如果存在,请直接写出所有满足条件的点M的坐标(不必写解
答过程);如果不存在,请说明理由.
29.在平面直角坐标系中,现将一块等腰直角三角板ABC放在第二象限,斜靠在两坐标轴上,且点A(0,2),点C(-1,0),如图所示:抛物线y=ax2+ax-2经过点B.
(1)求点B的坐标;
(2)求抛物线的解析式;
(3)在抛物线上是否还存在点P(点B除外),使△ACP
仍然是以AC为直角边的等腰直角三角形?若存在,求所
有点P的坐标;若不存在,请说明理由.
30.如图,Rt△ABC的顶点坐标分别为A(0,错误!未找到引用源。),B(-错误!未找到引用源。,错误!未找到引用源。),C(1,0),∠ABC=90°,BC与y轴的交点为D,D点坐标为(0,错误!未找到引用源。),以点D为顶点y轴为对称轴的抛物线过点B.(1)求该抛物线的解析式.
(2)将△ABC沿AC折叠后得到点B的对应点B',求证:四边形AOCB'是矩形,并判断点B'
是否在(1)的抛物线上.
(3)延长BA交抛物线于点E,在线段BE上取一点P,过点P作x轴
的垂线,交抛物线于点F,是否存在这样的点P,使四边形PADF是平
行四边形?若存在,求出点P的坐标;若不存在,说明理由.
初三数学 二次函数 知识点总结 一、二次函数概念: 1.二次函数的概念:一般地,形如2y ax bx c =++(a b c ,,是常数,0a ≠)的函数,叫做二次函数。 这里需要强调:和一元二次方程类似,二次项系数0a ≠,而b c ,可以为零.二次函数的定义域是全体实数. 2. 二次函数2y ax bx c =++的结构特征: ⑴ 等号左边是函数,右边是关于自变量x 的二次式,x 的最高次数是2. ⑵ a b c ,,是常数,a 是二次项系数,b 是一次项系数,c 是常数项. 二、二次函数的基本形式 1. 二次函数基本形式:2y ax =的性质: a 的绝对值越大,抛物线的开口越小。 2. 2y ax c =+的性质: 上加下减。 3. ()2 y a x h =-的性质: 左加右减。 4. ()2 y a x h k =-+的性质: a 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 0a > 向上 ()00, y 轴 0x >时,y 随x 的增大而增大;0x <时,y 随 x 的增大而减小;0x =时,y 有最小值0. 0a < 向下 ()00, y 轴 0x >时,y 随x 的增大而减小;0x <时,y 随x 的增大而增大;0x =时,y 有最大值0. a 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 0a > 向上 ()0c , y 轴 0x >时,y 随x 的增大而增大;0x <时,y 随x 的增大而减小;0x =时,y 有最小值c . 0a < 向下 ()0c , y 轴 0x >时,y 随x 的增大而减小;0x <时,y 随x 的增大而增大;0x =时,y 有最大值c . a 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 0a > 向上 ()0h , X=h x h >时,y 随x 的增大而增大;x h <时,y 随x 的增大而减小;x h =时,y 有最小值0. 0a < 向下 ()0h , X=h x h >时,y 随x 的增大而减小;x h <时,y 随x 的增大而增大;x h =时,y 有最大值0.
21.1二次函数 教学目标 【知识与技能】 以实际问题为例理解二次函数的概念,并掌握二次函数关系式的特点. 【过程与方法】 能够根据实际问题熟练地列出二次函数的关系式,并求出函数的自变量的取值范围. 【情感、态度与价值观】 联系学生已有知识,让学生积极参与函数的学习过程,使学生体会函数的思想. 重点难点 【重点】 二次函数的概念. 【难点】 能够根据实际问题熟练地列出二次函数的关系式,并求出函数的自变量的取值范围. 教学过程 一、问题引入 1.一次函数和反比例函数是如何表示变量之间的关系的? [一次函数的表达式是y=kx+b(k≠0),反比例函数的表达式是y=(k≠0)] 2.如果改变正方体的棱长x,那么正方体的表面积y会随之改变,y和x之间有什么关系? (正方体的表面积y与棱长x之间的关系式是y=6x2.)
3.物体解放下落的距离s随时间t的变化而变化,s与t之间有什么关系?(下落的距离s随时间t变化的关系式是s=gt2.) 上面问题2、3中变量之间的关系可以用哪一种函数来表示?这种函数有哪些性质?它的图象是什么?它与以前学过的函数、方程等有哪些关系? 这就是本节课要学习的二次函数.(教师板书课题) 二、新课教授 师:我们再来看几个问题. 问题1某水产养殖户用长40m的围网,在水库中围一块矩形的水面,投放鱼苗.要使围成的水面面积最大,则它的边长应是多少米? 这个问题首先要找出围成的矩形水面面积与其边长之间的关系.设围成的矩形水面的一边长为x m,那么,矩形水面的另一边长应为(20-x)m.若它的面积为 Sm2,则有S=x(20-x)=-x2+20x. 问题2有一玩具厂,如果安排装配工15人,那么每人每天可装配玩具190个;如果增加人数,那么每增加1人,可使每人每天少装配玩具10个.问增加多少人才能使每天装配玩具总数最多?玩具总数最多是多少? 设增加x人,这时,共有(15+x)个装配工,每人每天可少装配10x个玩具,因此,每人每天只装配(190-10x)个玩具.所以,增加人数后,每天装配玩具总数y可表示为 y=(190-10x)(15+x)=-10x2+40x+2 850. 这两个问题中,函数关系式都是用自变量的二次式表示的. 二次函数的定义:大凡地,形如y=ax2+bx+c(a、b、c是常数,a≠0)的函数叫做二次函数.其中,x是自变量,a叫做二次项的系数,b叫做一次项的系数,c叫做常数项. 二次函数的自变量的取值范围大凡都是全体实数,但是在实际问题中,自变量的取值范围应使实际问题有意义.如问题1中,0 初三数学二次函数经典题型 二次函数单元检测 (A) 姓名___ ____ 一、填空题: 1、函数2 1 (1)21m y m x mx +=--+是抛物线,则m = . 2、抛物线2 23y x x =--+与x 轴交点为 ,与y 轴交点为 . 3、二次函数2 y ax =的图象过点(-1,2),则它的解析式是 , 当x 时,y 随x 的增大而增大. 4.抛物线2)1(62 -+=x y 可由抛物线262 -=x y 向 平移 个单位得到. 5.抛物线342 ++=x x y 在x 轴上截得的线段长度是 . 6.抛物线() 422 2-++=m x x y 的图象经过原点,则=m . 7.抛物线m x x y +-=2 ,若其顶点在x 轴上,则=m . 8. 如果抛物线c bx ax y ++=2 的对称轴是x =-2,且开口方向与形状与抛物线 相同,又过原点,那么a = ,b = ,c = . 9、二次函数2 y x bx c =++的图象如下左图所示,则对称轴是 ,当函数值0y <时, 对应x 的取值范围是 . 10、已知二次函数2 1(0)y ax bx c a =++≠与一次函数2(0)y kx m k =+≠的图象相交于点 A (-2,4)和 B (8,2),如上右图所示,则能使1y 2y >成立的x 的取值范围 . 二、选择题: 11.下列各式中,y 是x 的二次函数的是 ( ) A .2 1xy x += B . 2 20x y +-= C . 2 2y ax -=- D .2 2 10x y -+= 2 2 3x y -= 12.在同一坐标系中,作2 2y x =、2 2y x =-、2 12 y x = 的图象,它们共同特点是 ( ) A . 都是关于x 轴对称,抛物线开口向上 B .都是关于y 轴对称,抛物线开口向下 B . 都是关于原点对称,顶点都是原点 D .都是关于y 轴对称,顶点都是原点 13.抛物线12 2+--=m mx x y 的图象过原点,则m 为( ) A .0 B .1 C .-1 D .±1 14.把二次函数122 --=x x y 配方成为( ) A .2 )1(-=x y B . 2)1(2--=x y C .1)1(2 ++=x y D .2)1(2 -+=x y 15.已知原点是抛物线2 (1)y m x =+的最高点,则m 的范围是( ) A . 1- 教材分析 本节课是数学新人教版九级(上)第二十二章《二次函数》第一节课内容 二次函数教学设计 一、教学目标知识方面: 1.理解并掌握二次函数的概念; 2.能根据实际问题中的条件列出二次函数的解析式。 3.经历探索、分析和建立两个变量之间的二次函数关系的过程,体会二次函数是刻画现实世界的一个有效的数学模型。 4.通过分析实际问题列出二次函数关系式,培养学生分析问题、解决问题的能力。情感方面:通过学生的主动参与,师生、学生之间的合作交流,提高学生的学习兴趣,激发他们的求知欲、培养合作意识。 二、教材分析 本节课是数学新人教版九年级(上)第二十二章《二次函数》第一节课内容.知识方面,它是在正比例函数,一次函数,对函数认识的完善与提高;也是对方程的理解的补充,同时也是以后学习初等函数的基础。根据本节的教学内容及学生学情,给彩虹、桥梁等图片这些丰富的生活实例,进一步让学生充分感受到二次函数的应用价值与实际意义。 重点是理解二次函数的概念,能根据已知条件写出函数解析式; 难点是从实例中抽象出二次函数的定义,会分析实例中的二次函数关系。 三、教学过程教学过程: 一、提出问题,导入新课。 1、回忆一下什么是正比例函数、一次函数?它们的一般形式是怎样的?图象形状各是什么? 2、教师提出问题:投篮球时篮球运行的路线是什么曲线?这种曲线的形状是怎样的?是否象以前学过的函数图象?能否用新的函数关系式来表示?怎样计算篮球达到最高点时的高度?这将在本章——二次函数中学习。 3、你能举出一些生活中类似的曲线吗? 二、合作交流,形成概念。1.列式表示下面函数关系。 问题1:正方体的六个面是全等的正方形,如果正方形 的棱长为x,表面积为y,写出y与x的关系。 问题2:某工厂一种产品现在的年产量是20件,计划今后两年增加产量.如果每年都比上一年的产量增加x倍,那么两年后这种产品的数量y将随计划所定的x的值而定,y与x之间的关系怎样表示? 活动中教师关注: (1)学生参与小组合作讨论后,能否明白题意,写出相应关系式。 (2)问题3中可先分析一年后的产量,再得出两年后的产量。 2.教师引导学生观察,分析上面三个函数关系式的共同点。 学生小组交流、讨论得出结论,它们的共同点: (1)等号左边是变量y,右边是关于自变量x的整式。 a,b,c为常数,且a≠0 (2)等式的右边最高次数为,可以没有一次项和常数项,但不能没有二次项。(3)x的取值范围是任意实数。 教师口述二次函数的定义并板书在黑板上:一般地,形如y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,a≠0)的函数,叫二次函数。 22.1二次函数的图像和性质(一) 一、学习目标 1.知识与技能目标: (1)理解并掌握二次函数的概念; (2)能判断一个给定的函数是否为二次函数,并会用待定系数法求函数解析式; (3)能根据实际问题中的条件确定二次函数的解析式。 二、学习重点难点 1.重点:理解二次函数的概念,能根据已知条件写出函数解析式; 2.难点:理解二次函数的概念。 三、教学过程 (一)创设情境、导入新课: 回忆一下什么是正比例函数、一次函数、反比例函数?它们的一般形式是怎样的? (二)自主探究、合作交流: 问题1:正方体的六个面是全等的正方形,如果正方形的棱长为x,表面积为y,写出y与x的关系。问题2:n边形的对角线数d与边数n之间有怎样的关系? 问题3:某工厂一种产品现在的年产量是20件,计划今后两年增加产量.如果每年都比上一年的产量增加x倍,那么两年后这种产品的数量y将随计划所定的x的值而定,y与x之间的关系怎样表示? 问题4:观察以上三个问题所写出来的三个函数关系式有什么特点? 小组交流、讨论得出结论:经化简后都具有的形式。 问题5:什么是二次函数? 形如。 问题6:函数y=ax2+bx+c,当a、b、c满足什么条件时,(1)它是二次函数? (2)它是一次函数?(3)它是正比例函数? (三)尝试应用: 例1. 关于x 的函数 是二次函数, 求m 的值. 注意:二次函数的二次项系数必须是 的数。 例2. 已知关于x 的二次函数,当x=-1时,函数值为10,当x=1时,函数值为4,当x=2时,函数值为7。求这个二次函数的解析式.(待定系数法) (四)巩固提高: 1.下列函数中,哪些是二次函数? (1)y=3x -1 ; (2)y=3x 2+2; (3)y=3x 3+2x 2; (4)y=2x 2-2x+1; (5)y=x 2-x(1+x); (6)y=x - 2+x . 2.一个圆柱的高等于底面半径,写出它的表面积S与半径R之间的关系式。 3、n 支球队参加比赛,每两支队之间进行一场比赛。写出比赛的场数m 与球队数n 之间的关系式。 4、已知二次函数y=x2+px+q ,当x=1时,函数值为4,当x=2时,函数值为- 5, 求这个二次函数的解析式. (五)小结: 1.二次函数的一般形式是 。2.会用 法求二次函数解析式。 (六)作业设计 22.1二次函数 y=ax 2的图像和性质(二) 一.学习目标: m m 2 21)x (m y --= 二次函数知识点归纳及相关典型题 第一部分 基础知识 1.定义:一般地,如果c b a c bx ax y ,,(2 ++=是常数,)0≠a ,那么y 叫做x 的二次函数. 2.二次函数2 ax y =的性质 (1)抛物线2 ax y =的顶点是坐标原点,对称轴是y 轴. (2)函数2 ax y =的图像与a 的符号关系. ①当0>a 时?抛物线开口向上?顶点为其最低点; ②当0a 时,开口向上;当0(完整版)初三数学二次函数所有经典题型
人教版九年级数学上册二次函数教案
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