中考数学综合练习题
42.等边三角形ABC的边长为6，在AC，BC边上各取一点E，F，连结AF，BE相交于点P （1）若AE=CF，
①求证：AF=BE，并求∠APB的度数；
②若AE=2，试求AP?AF的值；
（2）若AF=BE，当点E从点A运动到点C时，试求点P经过的路径的长．
43.合作学习
如图，矩形ABOD的两边OB，OD都在坐标轴的正半轴上，OD=3，另两边与反比例函数的图象分别相交于点E，F，且DE=2，过点E作EH⊥x轴于点H，过点F作FG⊥EH 于点G。回答下列问题：
①该反比例函数的解析式是什么？
②当四边形AEGF为正方形时，点F的坐标是多少？
（1）阅读合作学习内容，请解答其中的问题；
（2）小亮进一步研究四边形AEGF的特征后提出问题：“当AE>EG时，矩形AEGF与矩形DOHE能否全等？能否相似？”
针对小亮提出的问题，请你判断这两个矩形能否全等？直接写出结论即可；这两个矩形能否相似？若能相似，求出相似比；若不能相似，试说明理由．
44.九（3）班为了组队参加学校举行的“五水共治”知识竞赛，在班里选取了若干名学生，分
成人数相同的甲乙两组，进行了四次“五水共治”模拟竞赛，成绩优秀的人数和优秀率分别绘
制成如下统计图．
根据统计图，解答下列问题：
（1）第三次成绩的优秀率是多少？并将条形统计图补充完整；
（2）已求得甲组成绩优秀人数的平均数，方差，请通过计算说明，哪一组
成绩优秀的人数较稳定？
45.一种长方形餐桌的四周可坐6人用餐，现把若干张这样的餐桌按如图方式进行拼接．
（1）若把4张、8张这样的餐桌拼接起来，四周分别可坐多少人？
（2）若用餐的人数有90人，则这样的餐桌需要多少张？
46.在棋盘中建立如图所示的直角坐标系，三颗棋子A，O，B的位置如图，它们的坐标分别
是（-1，1），（0，0）和（1，0）．
（1）如图2，添加棋子C，使A，O，B，C四颗棋子成为一个轴对称图形，请在图中画出
该图形的对称轴；
（2）在其它格点位置添加一颗棋子P，使A，O，B，P成为一个轴对称图形，请直接写出
棋子P的位置的坐标（写出2个即可）．
47.如图，在平面直角坐标系中，A是抛物线上的一个动点，且点A在第一象限内．AE⊥轴于点E，点B坐标为（0，2），直线AB交轴于点C，点D与点C关于轴对称，直线DE与AB相交于点F，连结BD．设线段AE的长为，△BED的面积为
．
（1）当时，求的值．
（2）求关于的函数解析式．
（3）①若时，求的值；
②当时，设，猜想与的数量关系并证明．
48.类比梯形的定义，我们定义：有一组对角相等而另一组对角不相等的凸四边形叫做“等对角四边形” ．
（1）已知：如图1，四边形ABCD是“等对角四边形”，∠A≠∠C，∠A=70°，∠B=80°．求∠C，∠D的度数．
（2）在探究“等对角四边形”性质时：
①小红画了一个“等对角四边形”ABCD（如图2），其中∠ABC=∠ADC，AB=AD，此时她发现CB=CD成立．请你证明此结论；
②由此小红猜想：“对于任意‘等对角四边形’，当一组邻边相等时，另一组邻边也相等” ．你认为她的猜想正确吗？若正确，请证明；若不正确，请举出反例．
（3）已知：在“等对角四边形”ABCD中，∠DAB=60°，∠ABC=90°，AB=5，AD=4．求对角线AC的长．
49.实验数据显示，一般成人喝半斤低度白酒后， 1.5小时内其血液中酒精含量(毫克/百毫升)与时间（时）的关系可近似地用二次函数刻画；1.5小时后（包括 1.5
小时）与可近似地用反比例函数刻画（如图所示）．
（1）根据上述数学模型计算：
①喝酒后几时血液中的酒精含量达到最大值？最大值为多少？
②当时，，求的值．
（2）按国家规定，车辆驾驶人员血液中的酒精含量大于或等于20毫克/百毫升时属于“酒后驾驶”，不能驾车上路．参照上述数学模型，假设某驾驶员晚上20：00在家喝完半斤低度白酒，第二天早上7：00能否驾车去上班？请说明理由．
50.某汽车专卖店销售A，B两种型号的新能源汽车．上周售出１辆A型车和3辆B型车，销售额为96万元；本周已售出2辆A型车和1辆B型车，销售额为62万元。
（1）求每辆A型车和B型车的售价各为多少元。
（2）甲公司拟向该店购买A，B两种型号的新能源汽车共6辆，购车费不少于130万元，且不超过140万元。则有哪几种购车方案？
‘
答案
42.考点:等腰三角形
试题解析:本题考查了等边三角形性质的综合应用以及相似三角形的判定及性质的应用，解
答本题的关键是注意转化思想的运用．（1）①证明△ABE≌△CAF，借用外角即可以得到答案；②利用勾股定理求得AF的长度，再用平行线分线段成比例定理或者三角形相似定理求
得的比值，即可以得到答案．（2）当点F靠近点C的时候点P的路径是一段弧，由题目
不难看出当E为AC的中点的时候，点P经过弧AB的中点，此时△ABP为等腰三角形，
继而求得半径和对应的圆心角的度数，求得答案．点F靠近点B时，点P的路径就是过点
B向AC做的垂线段的长度．（1）①证明：∵△ABC为等边三角形，∴AB=AC，∠C=∠CAB=60°，又∵AE=CF，在△ABE和△CAF中，AB＝AC，∠BAE＝∠CAF，AE ＝CF，∴△ABE≌△CAF（SAS），∴AF=BE，∠ABE=∠CAF．又∵∠APE=∠BPF=∠ABP+∠BAP，∴∠APE=∠BAP+∠CAF=60°．∴∠APB=180°-∠APE=120°．②∵∠C=∠APE=60°，
∠PAE=∠CAF，∴△APE∽△ACF，∴，即,所以AP?AF=12, （2）若AF=BE，
有AE=BF或AE=CF两种情况．①当AE=CF时，点P的路径是一段弧，由题目不难看出当
E为AC的中点的时候，点P经过弧AB的中点，此时△ABP为等腰三角形，且
∠ABP=∠ABP=30°，∴∠AOB=120°，又∵AB=6，∴OA=2，点P的路径是l＝．②当AE=BF时，点P的路径就是过点B向AC做的垂线段的长度；因
为等边三角形ABC的边长为6，所以点P的路径的长度为：．所以，点P经过的
路径长为或3．
答案:（1）①证明，120°；②12；（2）.
43.考点:反比例函数的实际应用
试题解析:本题考查了反比例函数的综合题：掌握反比例函数图象上点的坐标特征、矩形的
性质和图形全等的性质、相似的性质；理解图形与坐标的关系；会解一元二次方程．（1）①先根据矩形的性质得到D（2，3），然后利用反比例函数图象上点的坐标特征计算出k=6，
则得到反比例函数解析式为y=；②设正方形AEGF的边长为a，则AE=AF=6，根据坐标
与图形的关系得到B（2+a，0）），A（2+a，3），所以F点坐标为（2+a，3-a），于是利用反比例函数图象上点的坐标特征得（2+a）（3-a）=6，然后解一元二次方程可确定a的值，从而得到F点坐标；（2）当AE＞EG时，假设矩形AEGF与矩形DOHE全等，则AE=OD=3，AF=DE=2，则得到F点坐标为（3，3），根据反比例函数图象上点的坐标特征可判断点F（3，
3）不在反比例函数y=的图象上，由此得到矩形AEGF与矩形DOHE不能全等；当AE＞EG时，若矩形AEGF与矩形DOHE相似，根据相似的性质得AE：OD=AF：DE，即，设AE=3t，则AF=2t，得到F点坐标为（2+3t，3-2t），利用反比例函数图象上点的坐标特征
得（2+3t）（3-2t）=6，解得t1=0（舍去），t2=，则AE=3t=，于是得到相似比=．解：
（1）①∵四边形ABOD为矩形，EH⊥x轴，而OD=3，DE=2，∴E点坐标为（2，3），∴k=2×3=6，
∴反比例函数解析式为y=（x＞0）；②设正方形AEGF的边长为a，则AE=AF=a，∴B点
坐标为（2+a，0）），A点坐标为（2+a，3），∴F点坐标为（2+a，3-a），把F（2+a，3-a）
代入y=得（2+a）（3-a）=6，解得a1=1，a2=0（舍去），∴F点坐标为（3，2）；（2）①当
AE＞EG时，矩形AEGF与矩形DOHE不能全等．理由如下：假设矩形AEGF与矩形DOHE 全等，则AE=OD=3，AF=DE=2，∴A点坐标为（5，3），∴F点坐标为（3，3），而3×3=9≠６，
∴F点不在反比例函数y=的图象上，∴矩形AEGF与矩形DOHE不能全等；②当AE＞EG
时，矩形AEGF与矩形DOHE能相似．∵矩形AEGF与矩形DOHE能相似，∴AE：OD=AF：
DE，∴设AE=3t，则AF=2t，∴A点坐标为（2+3t，3），∴F点坐标为（2+3t，3-2t），把F（2+3t，3-2t）代入y=得（2+3t）（3-2t）=6，解得t1=0（舍去），t2=，∴AE=3t=，∴相似比=．
答案:（1）①；②；（2）这两个矩形不能全等，这两个矩形的相似比为
.
44.考点:平均数、众数、中位数统计图的分析
试题解析:本题考查了优秀率、平均数和方差等概念以及运用．它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立．
1）利用优秀率求得总人数，根据优秀率
=优秀
人数除以总人数计算；（2）先根据方差的定义求得乙班的方差，再根据方差越小成绩越稳定，
进行判断．解：（1）总人数：（5+6）÷55%=20（人），第三次的优秀率：（8+5）÷
20×100%=65%，第四次乙组的优秀人数为：
20×85%-8=17-8=9（人）．补全条形统计图，如图所示：
（2）
=（6+8+5+9）÷4=7，S 2乙组=×[（6-7）2+（8-7）2
+
（5-7）2+（9-7）2]=2.5，S 2甲组＜S 2
乙组，所以甲组成绩优秀的人数较稳定．
答案:（1）65%，（2）甲组．
45.考点:代数式及其求值一次方程及其解法
试题解析:此题考查图形的变化规律，首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的，找出规律解决问题．（1）根据图形可知，每张桌子有4个座位，然后再加两端的各一
个，于是n 张桌子就有（4n+2）个座位；由此进一步求出问题即可；
（2）由（1）中的规律
列方程解答即可．解：（1）1张长方形餐桌的四周可坐4+2=6人，2张长方形餐桌的四周可
坐4×2+2=10人，3张长方形餐桌的四周可坐4×3+2=14人，…ｎ张长方形餐桌的四周可坐4n+2人；所以4张长方形餐桌的四周可坐4×4+2=18人，8张长方形餐桌的四周可坐
4×8+2=34
人；（2）设这样的餐桌需要x 张，由题意得
4x+2=90解得x=22答：这样的餐桌需要
22张．
答案:（1）18，34；（2）22.
46.考点:轴对称与轴对称图形
试题解析:此题主要考查了利用轴对称设计图案，正确把握轴对称图形的性质是解题关键．（1）根据A ，B ，O ，C 的位置，结合轴对称图形的性质进而画出对称轴即可；（2）利
用轴对称图形的性质得出
P 点位置．解：（1）如图②所示，C 点的位置为（-1，2），A ，O ，
B，C四颗棋子组成等腰梯形，直线l为该图形的对称轴；（2）如图①所示：P（0，-1），P′（-1，-1）都符合题意．
答案:（1）答案见图解（答案不唯一）；（2）（2,1），（0，-1）（答案不唯一）．
47.考点:二次函数的图像及其性质全等三角形的性质相似三角形判定及性质
试题解析:本题考查了二次函数的综合应用，涉及了三角形的面积、比例的性质及相似三角
形的判定与性质、全等三角形的性质，（1）首先可得点A的坐标为（m，m 2
），继而可得
点E的坐标及BE、OE的长度，易得△ABE∽△CBO，利用对应边成比例求出CO，根据轴对称的性质得出DO，继而可求解S的值；（2）分两种情况讨论，（I）当0＜m＜2时，将BE?DO转化为AE?BO，求解；（II）当m＞2时，由（I）的解法，可得S关于m的函数解析式；（3）①首先可确定点A的坐标，根据，可得，
，从而可得，代入即可得出k的值；②可得
，因为点A的坐标为（m，m 2
），S=m，代入可得k与m
的关系．解: ：（1）∵点A在二次函数y=x 2
的图象上，AE⊥y轴于点E，且AE=m，∴点
A的坐标为（m，m 2
），当m=时，点A的坐标为（，1），∵点B的坐标为（0，2），
∴BE=OE=1．∵AE⊥y轴，∴AE∥x轴，∴△ABE∽△CBO，
∴（2）（I）当0＜m＜2时（如图1），
∵点D和点C关于y轴对称，∴△BOD≌△BOC，∵△BEA∽△BOC，∴△BEA∽△BOD，∴，即BE?DO=AE?BO=2m．∴S=BE?DO=×2m=m；（II）当m＞2时（如图2），同（I）解法得：S=BE?DO=AE?OB=m，由（I）（II）得，S关于m的函数解析式为S=m（m＞0且m≠２）．（3）①如图3，连接
AD，∵△BED的面积为，∴S=m=，∴点A的坐标为（），∵∴S△ADF=k?S△BDF S△AEF=k?S△BEF，
∴∴=②k
与m之间的数量关系为k=m 2
，如图4，连接AD，
∵∴S△ADF=k?S△BDF S△AEF=k?S△BEF，
∴∵点A的坐标为（m，m 2
），S=m，
∴．
答案:（1）；（2）S=m（m＞0且m≠２）；（3）①,②(m>2)
48.考点:四边形
试题解析:本题主要考查了四边形的综合题，（1）利用“等对角四边形”这个概念来计算．（2）①利用等边对等角和等角对等边来证明；②举例画图；（3）（Ⅰ）当∠ADC=∠ABC=90°时，延长AD，BC相交于点E，利用勾股定理求解；（Ⅱ）当∠BCD=∠DAB=60°时，过点D作DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点F，求出线段利用勾股定理求解．证明：：（1）如图1∵等对角四边形ABCD，∠A≠∠C，∴∠D=∠B=80°，∴∠C=360°-70°-80°-80°=130°；
（2）①如图2，连接BD，∵AB=AD，∴∠ABD=∠ADB，
∵∠ABC=∠ADC，∴∠ABC-∠ABD=∠ADC-∠ADB，∴∠CBD=∠CDB，∴CB=CD，②不正确，反例：如图3，∠A=∠C=90°，AB=AD，但CB≠CD，（3）（Ⅰ）如
图4，当∠ADC=∠ABC=90°时，延长AD，BC相交于点E，∵∠ABC=90°，
∠DAB=60°，AB=5，∴AE=10，∴DE=AE-AD=10-4=6，∵∠EDC=90°，∠E=30°，∴CD=2，∴AC=（Ⅱ）如图5，当∠BCD=∠DAB=60°时，过点D作DE⊥AB
于点E，DF⊥BC于点F，∵DE⊥AB，∠DAB=60°AD=4，∴AE=2，DE=2，
∴BE=AB-AE=5-2=3，∵四边形BFDE是矩形，∴DF=BE=3，BF=DE=2，∵∠BCD=60°，∴CF=，∴BC=CF+BF=，∴AC=．
答案:（1）∠D=80°，∠C=130°（2）①证明见解析过程，②不正确，反例见解析过程；（3）49.考点:反比例函数的实际应用二次函数的实际应用
试题解析:此题主要考查了反比例函数与二次函数综合应用，（1）①利用y=-200x 2
+400x=-200
（x-1）2
+200确定最大值；②直接利用待定系数法求反比例函数解析式即可；（2）求出x=11
时，y的值，进而得出能否驾车去上班．解：（1）①y=-200x 2
+400x=-200（x-1）
2
+200，∴
喝酒后1时血液中的酒精含量达到最大值，最大值为200（毫克/百毫升）；②∵当x=5时，y=45，y=（k＞0），∴k=xy=45×5=225；（2）不能驾车上班；理由：∵晚上20：00到第二天早上7：00，一共有11小时，∴将x=11代入y=，则y=＞20，∴第二天早上7：00
不能驾车去上班．
答案:(1) ①喝酒后1时血液中的酒精含量达到最大值，最大值为200毫克/百毫升；②k=225(2) 不能驾车上班,理由见解析过程
50.考点:一元一次不等式的应用一次方程（组）的应用
试题解析:本题考查了一元一次不等式组的应用和二元一次方程组的应用．（1）每辆A型车和B型车的售价分别是x万元、y万元．则等量关系为：1辆A型车和3辆B型车，销售额为96万元，2辆A型车和1辆B型车，销售额为62万元；（2）设购买A型车a辆，则购买B型车（6-a）辆，则根据“购买A，B两种型号的新能源汽车共6辆，购车费不少于130万元，且不超过140万元”得到不等式组．解：（1）每辆A型车和B型车的售价分别是x万
元、y万元．则解得
．答：每辆A型车的售价为18万元，每辆B型车的售价为26万元；（2）设购买A 型车a辆，则购买B型车（6-a）辆，则依题意得
，解得2≤a≤３．∵a是正整数，∴a=2或a=3．∴共有两种方案：方案一：
购买2辆A型车和4辆B型车；方案二：购买3辆A型车和3辆B型车．
答案:（1）A型车为18万元，B型车为26万元；（2）共有两种方案：方案一：购买2辆A 型车和4辆B型车；方案二：购买3辆A型车和3辆B型车．