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广东省高三六校数学联考试题及答案

广东省六校2012届高三第一次联考试题数学（理）

本试卷共4页，21小题，满分150分．考试用时120分钟．

第 Ⅰ 卷

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．设U =R ，{|0}A x x =>，{|1}B x x =>，则U A B ?=

A ．{|01}x x ≤<

B ．{|01}x x <≤

C ．{|0}x x <

D ．{|1}x x >

2．已知

sin 4θ=

，且θ在第二象限，那么2θ在

A ．第一象限

B ．第二象限

C ．第三象限

D ．第四象限 3．已知命题p ：

,04x R x x ?∈-+≥，则命题p 的否定p ?是

A ．

21,04x R x x ?∈-+

< B ．

,04x R x x ?∈-+

≤ C ．

21,04x R x x ?∈-+

D ．

21,04x R x x ?∈-+

≥

4．已知

log

,23

==b a ,运算原理如右图所示，则输出的值为

A ．22

B ．2

C ．212-

D ．212+

5．函数

()log f x x x =-

A ．10,2?? ??

? B ．1,12?? ??? C ．()1,2 D ．()2,3

6．一个锥体的主视图和左视图如图所示，下面选项中，不可能是该锥体的俯视图的是

7．在△OAB 中，, OA a OB b ==

r ，OD 是AB

边上的高，若

，则实数λ等于 A ．()2||a b a a b ?--r r r r r B ．()2

||a a b a b ?--r r r

r r

C ．()

||a b a a b ?--r r r r r D ．(

)

||a a b a b ?--r r r r r

8．已知集合

{}

1,2,3,4A =，函数

()

f x 的定义域、值域都是A ，且对于任意i A ∈，

()f i i

≠，设

a ，

3a ，4a 是1，2，3，4的任意一个排列，定义数表()()()()12341234 a a a a f a f a f a f a ?? ???，若两个数表对应位

置上至少有一个数不同，就说这是两个不同的数表，那么满足条件的不同的数表共有

A ．216个

B ．108个

C ．48个

D ．24个第 Ⅱ 卷

二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．

（一）必做题：第9、10、11、12、13题是必做题，每道试题考生都必须做答． 9．设i 为虚数单位，复数z 满足i 1i z =-，则z = ．

10．在二项式5

21?

?? ??+x x 的展开式中，含4x 项的系数为_____________．（用数字作答）

11．《中华人民共和国道路交通安全法》规定：车辆驾驶员血液酒精浓度在2080: /100mg mL （不含80）之间，属于酒后驾车；血液酒精浓度在80/100mg mL （含80）以上时，属醉酒驾车。

B A C

据有关调查，在一周内，某地区查处酒后驾车和醉酒驾车共500人.如图是对这500人血液中酒精含量进行检测所得结果的频率分布直方图，则属于醉酒驾车的人数约为__________.

12．函数()214

f x x x =+--的最小值是 .

13．如果在一次试验中，某事件A 发生的概率为p ，那么在n 次独立重复试验中，事件A 发生偶数次的概率为 .

（二）选做题：第14、15题是选做题，考生只能从中选做一题． 14．（坐标系与参数方程选做题）

曲线1C ：1cos sin x y θθ=+??

=?（θ为参数）上的点到曲线2C

：12(112x t t y t ?

=-????=-??为参数）上的点的最短距离

为．

15．（几何证明选讲选做题）

如图，已知：ABC △内接于O e ，点D 在OC 的延长线上，AD 是O e 的切线，若30B ∠=?，1AC =，则AD 的长为．

三、解答题：本大题共6小题，满分80

16．（本题满分12分）

已知函数

()21cos cos 2f x x x x =+-

．

（Ⅰ）若

0, 2x π??∈??

??，求()f x 的最大值及取得最大值时相应的x 的值；（Ⅱ）在△ABC 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，若1

2A f ??

= ???，b=l ，4c =，求a 的值．

17．（本题满分13分）已知数列

{}

n a 的前n 项和为n S ，且2n S n =．数列{}n b 为等比数列，且11b =，48b =．

（Ⅰ）求数列{}n a ，

{}

n b 的通项公式；

（Ⅱ）若数列

{}

n c 满足

n n b c a =，求数列

{}

n c 的前n 项和

T ．

18．（本题满分13分）

如图，在四棱锥P ABCD -中，底面为直角梯形，

//,90,AD BC BAD PA o

∠=⊥底面ABCD ，P

2PA AD AB BC ===，,M N 分别为,PC PB 的中点．

（Ⅰ）求证：PB DM ⊥；

（Ⅱ）求CD 与平面ADMN 所成的角的正弦值．

19．（本小题满分14分）

为了让更多的人参与2011年在深圳举办的“大运会”，深圳某旅游公司向国内外发行总量为2000万张的旅游优惠卡，其中向境外人士发行的是旅游金卡（简称金卡），向境内人士发行的是旅游银卡（简称银卡）。

现有一个由36名游客组成的旅游团到深圳参观旅游，其中3

4是境外游客，其余是境内游客。在境外游客中有13持金卡，在境内游客中有2

3持银卡．

（Ⅰ）在该团中随机采访3名游客，求恰有1人持金卡且持银卡者少于2人的概率；

（Ⅱ）在该团的省内游客中随机采访3名游客，设其中持银卡人数为随机变量X ，求X 的分布列及数学期望EX ．

20．（本小题满分14分）

如图，已知抛物线C 的顶点在原点O ，焦点为

()

0,1F ．

（Ⅰ）求抛物线C 的方程；

（Ⅱ）在抛物线C 上是否存在点P ，使得过点P 的直线交抛物线C 于另一点Q , 满足PF QF ⊥，且PQ 与抛物线C 在点P 处的切线垂直? 若存在, 求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由． 21．（本小题满分14分）

设函数()ln 1

f x x px =-+()0p >．（Ⅰ）求函数()f x 的极值点，并判断其为极大点还是极小值点；（Ⅱ）若对任意的x ＞0，恒有0)(≤x f ，求p 的取值范围；

（Ⅲ）证明：).2,()1(21

2ln 33ln 22ln 222222

2≥∈+--<+++n N n n n n n n Λ．

广东省六校2012届高三第一次联考试题数学（理）答案

本试卷共4页，21小题，满分150分．考试用时120分钟．

第20题图

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． B C A D C C B A

二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．

9． 1i --； 10． 10； 11．75； 12．92-

； 13．()11122

p ??+-??

选做题： 14． 1； 15．

三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（本题满分12分）

已知函数

(

)21

cos cos 2f x x x x =+-

．

（Ⅰ）若

0, 2x π??∈??

??，求()f x 的最大值及取得最大值时相应的x 的值；（Ⅱ）在△ABC 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，若1

2A f ??

= ???，b=l ，4c =，求a 的值．

解：（Ⅰ）

(

)21

cos cos 2f x x x x =+-

1cos 21

222x x +=

sin 26x π?

?=+ ?

??． ……………4分 ∵

02x π≤≤

，∴726

6x π

≤+

≤

，

∴1sin 2126x π??-

≤+≤ ???，即()11

2f x -≤≤． ∴

()m n 1

a f x =，此时

2x π

，∴

6x π

． ……………8分

（Ⅱ）∵sin 1

26A f A π???

?=+= ? ????? ，

在ABC ?中，∵0A π<<，76

6A π

，

∴

2A π

，

3A π

． ……………10分

又1b =，4c =，

由余弦定理得2

41241cos6013a =+-???=，

故a = …………………………………………………12分 17．（本题满分13分）已知数列

{}

n a 的前n 项和为n S ，且2n S n =．数列{}n b 为等比数列，且11b =，48b =．

（Ⅰ）求数列{}n a ，

{}

n b 的通项公式；

（Ⅱ）若数列

{}

n c 满足

n n b c a =，求数列

{}

n c 的前n 项和

T ．

解：（Ⅰ）∵ 数列{}

n a 的前n 项和为n S ，且2n S n =，

∴ 当2n ≥时，221(1)21

n n n a S S n n n -=-=--=-． ……………2分

当1n =时，111

a S ==亦满足上式，

故

n a n =-（*

n N ∈）． ……………4分又数列{}

n b 为等比数列，设公比为q ，

∵ 11

b =，

3418

b b q ==， ∴2q =． ……………6分

∴

2n n b -= （*

n N ∈）． ……………8分

（Ⅱ）

2121

n n n b n c a b ==-=-． ……………10分

123n n

T c c c c =+++L

12(21)(21)(21)n =-+-++-L 12(222)n n =++-L 2(12)

12n n

-=--．

所以

122n n T n

+=--． ………………13分

18．（本题满分13分）

如图，在四棱锥P ABCD -中，底面为直角梯形，

//,90,AD BC BAD PA o

∠=⊥底面ABCD ，P

2PA AD AB BC ===，,M N 分别为,PC PB 的中点．

（Ⅰ）求证：PB DM ⊥；

（Ⅱ）求CD 与平面ADMN 所成的角的正弦值．解：（Ⅰ）解法1：∵N 是PB 的中点，PA AB =， ∴AN PB ⊥．

∵PA ⊥平面ABCD ，所以AD PA ⊥．

又AD AB ⊥，PA AB A ?=，∴AD ⊥平面PAB ， AD PB ⊥．

又AD AN A ?=，∴PB ⊥平面ADMN ．

∵DM ?平面ADMN ，∴PB DM ⊥． ………………6分解法2：如图，以A 为坐标原点建立空间直角坐标系A xyz -，设1BC =，

可得，()0,0,0A ，()0,0,2P ，()2,0,0B ，()2,1,0C ，11,,12M ??

??，()0,2,0D ．因为 ()32,0,21,,10

2PB DM ?

??=-?-= ???u u u r u u u u r ，所以PB DM ⊥． ………………6分

（Ⅱ）解法

1：取AD 中点Q ，连接BQ 和NQ ，则//BQ DC ，又

A P

M N

PB ⊥平面ADMN ，∴CD 与平面ADMN 所成的角为BQN ∠．

设1BC =，在Rt BQN ?

中，则BN =

BQ =

sin 5BQN ∠=

．

所以CD 与平面ADMN

所成的角的正弦值为． ………………13分

解法2：因为

()()2,0,20,2,00

PB AD ?=-?=u u u r u u u r

．

所以 PB AD ⊥，又PB DM ⊥，所以PB ⊥平面ADMN ，因此

,PB DC

u u u r u u u r 的余角即是CD 与平面ADMN 所成的角．

因为

cos ,||||PB DC PB DC PB DC ?==u u u r u u u r

u u u r u u u r u u u

r u u u r ．所以CD 与平面ADMN

所成的角的正弦值为． ………………13分

19．（本小题满分14分）

现有一个由36名游客组成的旅游团到深圳参观旅游，其中3

4是境外游客，其余是境内游客。在境外游客中有13持金卡，在境内游客中有2

3持银卡．

（Ⅰ）在该团中随机采访3名游客，求恰有1人持金卡且持银卡者少于2人的概率；

（Ⅱ）在该团的省内游客中随机采访3名游客，设其中持银卡人数为随机变量X ，求X 的分布列及数学期望EX ．

解：（Ⅰ）由题意得，境外游客有27人，其中9人持金卡；境内游客有9人，其中6人持银卡。设事件B 为“采访该团3人中，恰有1人持金卡且持银卡者少于2人”，事件1A 为“采访该团3人中，1人持金卡，0人持银卡”，事件2

A 为“采访该团3人中，1人持金卡，1人持银卡”．.w.w.

12()()()

P B P A P A =+

12111921962133

3636C C C C C C C =+ 92734170=+

85=

．

所以在该团中随机采访3人，恰有1人持金卡且持银卡者少于2人的概率是

85． ………6分

（Ⅱ）X 的可能取值为0，1，2，3

0363391(0)84C C P X C ===,

12633

(1)14C C P X C === 21633915(2)28C C P X C ===，

363

915

(3)21C P X C ===， ………10分

所以X 的分布列为

故

131550123284142821EX =?

+?+?+?=． ……………………14分

20．（本小题满分14分）

如图，已知抛物线

C 的顶点在原点O ，焦点为()

0,1F ．

（Ⅰ）求抛物线C 的方程；

（Ⅱ）在抛物线C 上是否存在点P ，使得过点P 的直线交抛物线C 于另一点Q , 满足PF QF ⊥，且PQ 与抛物线C 在点P 处的切线垂直? 若存在, 求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．

（Ⅰ）解：设抛物线C 的方程是2

2x py =，由于焦点为()0,1F ，

∴12p =，即2p =，

故所求抛物线C 的方程为2

4x y =． …………………4分

（Ⅱ）解：设

()

11,P x y ，

()

22,Q x y ，则抛物线C 在点P 处的

切线斜率为

|2x x x k y ='==

，

切线方程是：

2y x x y -=

，直线PQ 的方程是

y x x y ++-

=． …………………6分

将上式代入抛物线C 的方程，得

()211

420x x y x +

-+=，

故

1218

x x x +=-

，12184x x y ?=--， …………………8分

∴2118x x x =-

-，222111444y x y y ==++。

又

()11,1FP x y =-u u u r ，

()22,1FQ x y =-u u u r

， ∴

()()

121211FP FQ x x y y ?=+--u u u r u u u r

()1212121

x x y y y y =+-++

()11111144424241

y y y y y y ????

=-++++-+++ ? ?????

()()2

41y y y -+= …………………12分

令

0FP FQ ?=u u u r u u u r

，得y1＝4, 此时, 点P 的坐标是()4, 4± . 经检验, 符合题意.

所以, 满足条件的点P 存在, 其坐标为()4, 4± . …………………14分

21．（本小题满分14分）

设函数()ln 1

f x x px =-+()0p >．（Ⅰ）求函数()f x 的极值点，并判断其为极大点还是极小值点；（Ⅱ）若对任意的x ＞0，恒有0)(≤x f ，求p 的取值范围；

（Ⅲ）证明：).2,()1(21

2ln 33ln 22ln 222222

2≥∈+--<+++n N n n n n n n Λ．

解：（1）),0()(,1ln )(+∞∴+-=的定义域为x f px x x f Θ，

x px

p x x f -=-=

'11)(， …………2分

令

x x f x f p x x f 随、，)()(),,0(1

0)('+∞∈=

∴='的变化情况如下表：

从上表可以看出：当p>0 时，()f x 有唯一的极大值点

p x 1

． …………5分

（Ⅱ）

p 处取得极大值11()ln

f p

p =，此极大值也是最大值，要使()0f x ￡恒成立，只需11

()ln 0f p p =?， ∴1p 3

∴p 的取值范围为[1，+∞)． …………9分

（Ⅲ）令p=1，由（Ⅱ）知，2,1

ln ,01ln ≥∈-≤∴≤+-n N n x x x x Θ， ∴1ln 2

-≤n n ，

∴2222

11ln n n n n

n -=-≤ …………11分

∴)1

1()311()211(ln 33ln 2

2ln 2

22222222n n n -++-+-≤+++ΛΛ )13121(

)1(222n n +++--=Λ

))1(1

431321(

)1(+++?+?--

)

141313121()1(+-++-+---=n n n Λ

)1(21

2)1121()1(2+--=

+---=n n n n n

∴结论成立． …………14分