齐次和非齐次线性方程组的解法(整理)
线性方程组解的结构（解法）
一、齐次线性方程组的解法
【定义】 r (A )= r (1) ,, ,n r -12ξξξ线性无关; (2) AX = 0 的)任一解都可由这组解线性表示. 则称,, ,n r -12ξξξ为AX = 0的基础解系. 称n r n r k k k --=++ +1122X ξξξ为AX = 0的通解 。其中k 1,k 2,…, k n-r 为任意常数). 齐次线性方程组的关键问题就是求通解， 而求通解的关键问题是求基础解系. 【定理】 若齐次线性方程组AX = 0有解，则 (1) 若齐次线性方程组AX = 0（A 为m n ?矩阵）满足()r A n =，则只有零解； (2) 齐次线性方程组有非零解的充要条件是()r A n <. （注：当m n =时，齐次线性方程组有非零解的充要条件是它的系数行列式0A =.） 注：1、基础解系不唯一，但是它们所含解向量的个数相同，且基础解系所含解向量的个数等于()n r A -. 2、非齐次线性方程组AX B =的同解方程组的导出方程组（简称“导出组”）为齐次线性方程组 AX O =所对应的同解方程组。 由上述定理可知，若m 是系数矩阵的行数（也即方程的个数），n 是未知量的个数，则有： （1） 当m n <时，()r A m n ≤<，此时齐次线性方程组一定有非零解，即齐次方程组中未知量的个数 大于方程的个数就一定有非零解； （2）当m n =时，齐次线性方程组有非零解的充要条件是它的系数行列式0A =； （3）当m n =且()r A n =时，若系数矩阵的行列式0A ≠，则齐次线性方程组只有零解； （4）当m n >时，若()r A n ≤，则存在齐次线性方程组的同解方程组； 若()r A n >，则齐次线性方程组无解。 1、求AX = 0（A 为m n ?矩阵）通解的三步骤 （1）?? →A C 行 （行最简形）; 写出同解方程组CX =0. (2) 求出CX =0的基础解系,,,n r -12ξξξ; (3) 写出通解n r n r k k k --=+++1122X ξξξ其中k 1,k 2,…, k n-r 为任意常数. 【例题1】 解线性方程组12 341 23412341 2 3 4 2350,320,4360,2470. x x x x x x x x x x x x x x x x +-+=??++-=?? +-+=??-+-=? 解法一：将系数矩阵A 化为阶梯形矩阵 12 472315071014312143001641367124726000743A --????-??-?? ??-????=→→-????-????--???? ???? 显然有()4r A n ==，则方程组仅有零解，即12340x x x x ====. 解法二：由于方程组的个数等于未知量的个数（即m n =）（注意：方程组的个数不等于未知量的个数（即m n ≠） ，不可以用行列式的方法来判断），从而可计算系数矩阵A 的行列式：231531 2132704 13 6 1247 A --= =≠---，知方程组仅有零解，即12340x x x x ====. 注：此法仅对n 较小时方便 【例题2】 解线性方程组12 34512 3452 34512 3 4 5 0,3230,2260,54330. x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ++++=??+++-=?? +++=??+++-=? 解：将系数矩阵A 化为简化阶梯形矩阵 1 111 13 2113012265 4331A ?? ??-? ?=?? ?? -??14 12 (5)(3)r r r r ?-+?-+????→ 11111012260122601226????----??????----?? 2123242 (1)(1)r r r r r r r ++?-+-?????→ 10115012260000000000---???????? ?? ?? 可得()2r A n =<，则方程组有无穷多解，其同解方程组为 13 4523 4 55,226. x x x x x x x x =++?? =---?（其中3x ，4x ，5x 为自由未知量） 令31x =，40x =，50x =，得121,2x x ==-； 令30x =，41x =，50x =，得121,2x x ==-； 令30x =，40x =，51x =，得125,6x x ==-， 于是得到原方程组的一个基础解系为 112100ξ????-????=????????，212010ξ????-????=????????，356001ξ????-????=???????? . 所以，原方程组的通解为 112233X k k k ξξξ=++（1k ，2k ，3k R ∈）. 二、非齐次线性方程组的解法 求 AX = b 的解（,()m n r r ?=A A ） 用初等行变换求解，不妨设前r 列线性无关 1112 111222221()00r n r n rr rn r r c c c c d c c c d c c d d +???? ?? ?? ??→? ????? ????? ? A b 行 其中 0(1,2,,),ii c i r ≠= 所以知 1(1)0r d +≠时,原方程组无解. 1(2)0,r d r n +==时,原方程组有唯一解. 1(3)0,r d r n +=<时,原方程组有无穷多解. 其通解为01122n r n r k k k --=++++X ξξξη，12,,,n r k k k -为任意常数。 其中：12,,,n r -ξξξ为AX = b 导出组AX = 0的基础解系，0η为AX = b 的特解， 【定理1】 如果η是非齐次线性方程组AX=b 的解，α是其导出组AX=0的一个解，则ηα+是非齐次线性方程组AX=b 的解。 【定理2】如果0η是非齐次线性方程组的一个特解，α是其导出组的全部解，则αη+0是非齐次线性方程组的全部解。 由此可知：如果非齐次线性方程组有无穷多解，则其导出组一定有非零解，且非齐次线性方程组的全部解可表示为： r n r n C C C --++++αααη 22110 其中：0η是非齐次线性方程组的一个特解，r n -ααα,,,21 是导出组的一个基础解系。 【例题3】判断下列命题是否正确, A 为m ?n 矩阵. (1)若AX =0只有零解,则AX=b 有唯一解. 答:错, 因r (A )=n , r (A )= n = r (A |b )? (2)若AX =0有非零解,则AX=b 有无穷多解. 答:错, 因r (A ) (3)若AX=b 有唯一解,则AX =0只有零解. 答:对, r (A )= r (A |b ) =n. (4)若AX =0有非零解,则A T X=0也有非零解. 答:错,A 为m ?n , r (A )=m )=m , 这时A T X=0只有零解. 例如A 为3?4, R (A )=3 <4, r (A T )=3=m . (5)若r (A )=r =m ,则AX=b 必有解. 答:对,r (A )=r =m= r (A |b ) . (6)若r (A )=r =n , 则AX=b 必有唯一解. 答:错,A 为m ?n ,当m >n 时, 可以r (A |b ) =n +1. ⑴ 唯一解：()()r A r A n == ?线性方程组有唯一解 【例题4】 解线性方程组1231 231 2 3 21,224,44 2. x x x x x x x x x ++=?? -+=-??++=-? 解：2113(2)(4)1121112 1()2124032641420346r r r r A A B ?-++-+????????==--?????→---???? ????----???? ) )33231 1(224(3 r r r r r ?-?+?-+?????→21()3100110010306010200100010r ?---????????--?????→???????????? 可见()()3r A r A ==，则方程组有唯一解，所以方程组的解为123 1, 2,0.x x x =-?? =??=? ⑵ 无解：()()r A r A ≠?线性方程组无解（或若阶梯形方程组出现100r d +=≠，则原方程组无解） 【例题5】解线性方程组1231 231 2 3 21,22,2 4. x x x x x x x x x -++=?? -+=-??+-=? 解：1212132(1)21111212()1212033311240336r r r r r r A A B ??+?-+---????????==--?????→--????????--????23r r +????→121203330003--?? ??--?? ???? ， 可见()3()2r A r A =≠=，所以原方程组无解. ⑶ 无穷多解：()()r A r A n = 【例题6】解线性方程组1 2341 2 413 4 23,231,2210 4. x x x x x x x x x x +-+=?? +-=??--+=? 解：1213(2)2111231112 3()21031012752021040241410r r r r A A B ?-+?+--????????==-??????→---???? ????---???? 2321221(1)10 1520127500000r r r r r ?+?+?---?????????→-?????? 可见()()24r A r A ==<，则方程组有无穷多解，其同解方程组为 13423 425,527. x x x x x x =--+?? =+-? （其中3x ,4x 为自由未知量） 令340,0,x x ==得原方程组的一个特解2500η-???? ??=?????? . 又原方程组的导出组的同解方程组为13423 45,27. x x x x x x =-+?? =-?（其中3x ,4x 为自由未知量） 令31x =，40x =，得121,2x x =-=；令30x =，41x =，得125,7x x ==-， 于是得到导出组的一个基础解系为 11210ξ-??????=??????，25701ξ???? -??=?????? 。 所以，原方程组的通解为 1122X k k ηξξ=++（1k ，2k R ∈）. 【例题7】 求线性方程组：1 2341 2341 2 3 4 21, 22,2 3. x x x x x x x x x x x x +-+=?? ++-=??+++=? 的全部解. 解： 21111()1211211213A A B -????==-?????? 12 12 13(2)(1)r r r r r r ??-+?-+????→ 121120333301121-????---?? ??-?? 23 r r ????→ 121120112103333-????-????---?? 23 212(3)(2)(1) r r r r r ?-+?-+?-????→ 10 3340112100636????---????---?? 33331() 3123() 2 12 r r r r ?-? ?-?????→310012301002100112?? ??????-?????????? 可见()()34r A r A ==<，所以方程组有无穷多解，其同解方程组为 1 42 43 431,2 3,211.2x x x x x x ? =-?? ? =?? ? =-?? （其中4x 为自由未知量） 令40x =，可得原方程组的一个特解1010η?? ?? ??=?????? . 又原方程组的导出组的同解方程组为1 4243 43,2 3,21.2x x x x x x ? =-?? ? =?? ? =-?? （其中4x 为自由未知量） 令42x =-（注：这里取-2为了消去分母取单位向量的倍数），得1233,3,1x x x ==-=， 于是得到导出组的一个基础解系为3312ξ?? ?? -??=????-?? . 所以，原方程组的通解为 X k ηξ=+ （k R ∈）. 【例题8】求非齐次线性方程组???????=+-++-=---+=-++=+-++5 54931232362323354321543214 32154321x x x x x x x x x x x x x x x x x x x 的全部解。 解： ??????? ??----------→ ??????? ??-------=421 5 00 421500 421500 31 2331515493111231203162312331A ???? ? ? ? ??----→00000000000042150031 2331 因为52)()(<==A r A r ，所以非齐次线性方程组有无穷多组解，取自由未知量为542,,x x x ， 原方程组与方程组? ??-=-+-=+-++4253 23354354321x x x x x x x x 同解 取自由未知量542,,x x x 为? ??? ? ??000，得原方程组的一个特解： T ??? ??=0,0,54,0,530η 再求其导出组的基础解系，其导出组与方程组? ??=-+-=+-++0250 23354354321x x x x x x x x 同解 对自由未知量542,,x x x 分别取??? ? ? ?????? ? ????? ? ? ??100,010, 001，代入上式得到其导出组的一个基础解系为：???????? ??-=??????? ? ??=? ? ? ?? ? ?? ??-=100,010,0001352513515721ααα 则原方程组的全部解为：0332211ηααα+++=C C C X 三、证明与判断 【例题9】已知321,,ηηη是齐次线性方程组AX ＝0的一个基础解系，证明,,211ηηη+321ηηη++也是齐次线性方程组AX ＝0的一个基础解系。 证：由已知可得：齐次线性方程组AX ＝0的基础解系含有3个解向量，并且由齐次线性方程组解的性质可 知321211,,ηηηηηη+++都是AX ＝0的解；因此只要证明321211,,ηηηηηη+++线性无关即可。 设存在数321,,k k k 使 0)()(321321211=+++++ηηηηηηk k k 成立。 整理得： 0)()(332321321=+++++ηηηk k k k k k （1） 已知321,,ηηη是齐次线性方程组AX ＝0的一个基础解系，即得321,,ηηη线性无关，则由(1)得 ?? ? ??==+=++000332321k k k k k k ，解得：0321===k k k 所以321211,,ηηηηηη+++线性无关。 即321211,,ηηηηηη+++也是齐次线性方程组AX ＝0的一个基础解系。 【例题10】已知,,,1234ξξξξ是齐次线性方程组AX ＝0的一个基础解系，若 ,,,t t t =+=+=+112223334ξξξξξξηηη t =+441ξξη。 讨论t 满足什么条件时,,,,1234ηηηη是齐次线性方程组AX ＝0的一个基础解系 解：首先，,,,1234ηηηη是齐次线性方程组AX ＝0的解，只须证,,,1234ηηηη线性无关. 由已知有：(,,,)(,,,)t t t t ?? ?= ? ??? 123412341 00100010001ξξξξηηηη 因为：,,,1234ηηηη线性无关0t t t t ? ≠1001000100 01， 即t t t t =10 0100 0100 01 t -≠041， 所以当t ≠ ±1时, ,,,1234ηηηη是齐次线性方程组AX ＝0的一个基础解系 【例题11】已知n 阶矩阵A 的各行元素之和均为零,且r (A )=n -1,求线性方程组AX =0的通解. 解 ：由r (A )=n -1知AX =0的基础解系有一个非零解向量. 又0, ,, ,i i in a a a i n ++ +==1212， 即0i i in a a a ?+?++?=12111 T (,, ,),k ∴=111X （k 为任意常数）为所求通解. 【例题12】设X 1,X 2,…, X t 是非齐次线性方程组 AX =b ≠0 的解向量, 证明： 对于X 0=k 1 X 1+k 2 X 2+…+k t X t 当k 1 +k 2+…+k t =1时, X 0是AX =b 的解；当k 1 +k 2+…+k t =0时, X 0是AX =0的解. 证 ：AX 0=A (k 1 X 1+k 2 X 2+…+k t X t ) =k 1 AX 1+k 2 AX 2+…+k t AX t =k 1 b +k 2 b +…+k t b =(k 1+k 2+…+k t )b 故：当k 1+k 2 +…+k t =1时, AX 0 =b 当k 1 +k 2+…+k t =0时, AX 0=0 由此可见, 非齐次方程组的解对于线性组合并不一定封闭,只有组合系数的和等于1的时候,解向量组的线性组合才是非齐次方程组的解! 【例题13】已知,12ηη为=AX β的两个不同解,12,ξξ是0AX =的一个基础解系.12,k k 为任意常数. 则=AX β的通解为（ ） 答案B (A)().k k -+++ 12 112122 ξξξηη (B)().k k ++-+ 12 112122 ξξξηη (C)().k k -+++ 12 112122 ξηηηη (D)().k k ++-+ 12 112122 ξηηηη 【例题14】设321,,ηηη是四元非齐次线性方程组AX ＝b 的三个解向量，且矩阵A 的秩为3， ()()T T 3,2,1,0,4,3,2,1321=+=ηηη，求AX ＝b 的通解。 解：因为A 的秩为3，则AX ＝0的基础解系含有4－3＝1个解向量。 由线性方程组解的性质得：)()(21312132ηηηηηηη-+-=-+是AX ＝0的解， 则解得AX ＝0的一个非零解为：()T 5,4,3,22132----=-+ηηη。 由此可得AX ＝b 的通解为：()()T T c 5,4,3,24,3,2, 1+。 【例题15】设A 是4阶方阵, β(≠0)是4×1矩阵, 1234()2,,,,=r A ηηηη是AX =β的解, 且满足 122334232401,2,3030831???????????? +=+=+=?????????????????? ηηηηηη 试求方程组AX =β的通解. 解：先求AX =β的一个特解12112()02 4* ?? ??=+=?????? ηηη 再求AX =β的一个基础解系 112230112()(2)123 3????=+-+=??-????ξηηηη，21234272()(3)015?? ??=+-+=?????? ξηηηη 因为124()2, ,R -=A ξξ线性无关，所以12,ξξ是0AX =的一个基础解系. 故方程组AX =β的通解是 1122k k *=++=X ξξη121022*********k k ?????? ?????? ++??????-???????????? ， 12,k k 为任意常数. 【例题16】设矩阵A ＝() ()s n ij n m ij b B a ??=,。 证明：AB ＝0的充分必要条件是矩阵B 的每一列向量都是齐次方程组AX=0的解。 证：把矩阵B 按列分块：()s B B B B ,,,21 =，其中i B 是矩阵B 的第i 列向量),2,1(s i =， 零矩阵也按列分块()s s m O O O O ,,,21 =? 则()s AB AB AB AB ,,,21 = 必要性：AB ＝0可得： ),,2,1(, s i O AB i i ==，即i B 是齐次方程组AX=0的解。 充分性：矩阵B 的每一列向量都是齐次方程组AX=0的解， 即有 ),,2,1(, s i O AB i i == 得：()s AB AB AB AB ,,,21 =()s O O O ,,,21 =，即证。