(11)2017届高中数学一轮复习基础知识手册第十一编 不等式

第十一编 不等式

考纲要求 1.不等关系

了解现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系，了解不等式(组)的实际背景. 2.一元二次不等式

(1)会从实际问题的情境中抽象出一元二次不等式模型.

(2)通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系. (3)会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，会设计求解的程序框图. 3.二元一次不等式组与简单的线性规划问题 (1)会从实际情境中抽象出二元一次不等式组.

(2)了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组. (3)会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决.

4.基本不等式：

),02

a b

a b +≥> (1)了解基本不等式的证明过程.

(2)会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题. 5.推理与证明

(1)了解合情推理的含义，能进行简单的归纳推理和类比推理，体会并认识合情推理在数学发现中的作用.

(2)了解演绎推理的含义，了解合情推理和演绎推理的联系和差异；掌握演绎推理的“三段论”，能运用“三段论”进行一些简单的演绎推理.

(3)了解直接证明的两种基本方法：综合法和分析法；了解综合法和分析法的思考过程和特点.

(4)了解反证法的思考过程和特点.

(5)了解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题.

第一讲 不等式的性质、解法与简单的线性规划

知识能力解读

知能解读(一)不等式的有关概念 1不等式

用不等号(,,,,><≥≤≠)连接的式子叫做不等式. 2同向不等式

若两个不等式的左边都大于(小于)右边，则称这两个不等式为同向不等式. 3异向不等式

若一个不等式的左边大于右边，而另一个不等式的左边小于右边，则称这两个不等式为异向不等式.

知能解读(二)比较两实数大小的依据

对任意两实数,a b ，有0;0;0a b a b a b a b a b a b ->?>-=?=-?<.(对称性)

(2) ,a b b c a c >>?>.(传递性)

(3) a b a c b c >?+>+.(可加性)

(4) ,a b c d a c b d >>?+>+.(同向可加)

(5) ,0;,0a b c ac bc a b c ac bc >>?>>>>>?>.(同向正数可乘)

(7) ()0,1n

n

a b a b

n n >>?>∈≥N 且.

(8) )02a b n n >>?>∈≥N,且.

(9) 11,0a b ab a b

>>?

<.

对性质(2)，要正确处理带等号的情况：由,a b b c >≥或,a b b c ≥>均可推得a c >；而对于,a b b c ≥≥，可能有a c >，也可能当a b =且b c =时，有a c =.

对性质(4)，可推广为：两个或两个以上的同向不等式两边分别相加，所得不等式与原不等式同向.同样，对性质(6)，可推广为：两个或两个以上的都是正数的同向不等式两边分别相乘，所得不等式与原不等式同向. 需注意：①同向不等式不能相减.②异向不等式不能相加.③两边同乘或除以一个负数，不等号要反向.④,0a b c c d ac bd >>>>?>，但由,a b c d >>不一定得到ac bd >. 知能解读(四)二元一次不等式表示的平面区域

用二元一次不等式表示平面区域，常有一定的规律性，如图，大致可分为以下四种情形： (1) ()00,0Ax By C A B ++>>>； (2) ()00,0Ax By C A B ++<>>； (3) ()00,0Ax By C A B ++<><； (4) ()00,0Ax By C A B ++>><.

总之，主要看不等号与B 的符号是否同向，若同向，则在直线上方；若异向，则在直线下方.简记为“同上异下”

(4)

(3)

(2)

(1)

知能解读(五)区域划分的方法

一般地，平面内一条直线0Ax By C ++>把整个平面分成三部分，即直线两侧的点集及直线上的点集构成的不同的平面区域.

因为在直线0Ax By C ++>同一侧的所有点，把它的坐标(),x y 代入0Ax By C ++>，所得的实数符号都相同，所以只需在此直线的某一侧取一个特殊点()00,x y 作为测试点，由

000Ax By C ++>的正负即可判断()00Ax By C ++><表示直线哪一侧的平面区域. 特别地，当0C ≠时，常把原点作为此特殊点.

若0Ax By C ++≥或0Ax By C ++≤，则其表示的平面区域，应把边界的虚线画成实线.

知能解读(六)线性规划的有关概念

约束条件：关于,x y 的不等式组成的不等式组.

线性约束条件：关于,x y 的一次不等式组成的不等式组.

目标函数：欲达到最大值或最小值所涉及的关于变量,x y 的解析式. 线性目标函数：目标函数为关于变量,x y 的一次解析式.

线性规划问题：求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值问题. 可行解：满足线性约束条件的解(),x y .

可行域：所有可行解组成的集合.

最优解：使目标函数取得最大值或最小值的可行解. 知能解读(七)整点最优解问题 1平移找解法

先打网格，描整点，平移直线l ，最先经过或最后经过的整点便是整点最优解.这种方法应充分利用非整点最优解的信息，且要结合精确的作图. 2调整优值法

先求非整点最优解及最优值，再借助不定方程的知识调整最优值，最后筛选出整点最优解. 3逐一检验法 由于作图有误差，有时仅由图形不一定能准确而迅速地找到整点最优解，此时将数个可能解逐一代入目标函数求值，经比较求得整点最优解. 知能解读(八)有关概念及原理

1.如果两个不等式的解集相等，那么这两个不等式就叫做同解不等式.解不等式主要是依据不等式的性质和同解变形原理，求解原不等式的同解不等式.

2.不等式的同解变形原理主要有：

(1)不等式两边都加上(或减去)同一个数或同一个整式，所得不等式与原不等式同解； (2)不等式两边都乘(或除以)同一个正数或同一个大于零的整式，所得不等式与原不等式同解；

(3)不等式两边都乘(或除以)同一个负数或同一个小于零的整式，并把不等号改变方向后，所得不等式与原不等式同解.

知能解读(九)

知能解读(十)一元二次不等式的解法0a >

上表是一元二次不等式中二次项系数0a >时各种解的情况.如果0a <，可同解变形为0a ->，然后参照上表解决.

知能解读(十一)简单的的一元高次不等式的解法

先化成标准型()()()()()1230n P x x x x x x x x x =---?????->(或0<)，再利用穿根法写出解集.

化成标准型后，用穿根法解一元高次不等式的步骤如下： (1)将每个因式的根标在数轴上；(2)从右上方依次通过每个根所对应的点画出曲线，奇过偶不过；(3)根据曲线显示的()P x 值的符号变化写出不等式的解集。 如用穿根法可得不等式()()

()

2

3

1130x x x +--≤的解集为{}13x x -≤≤，如图所示

知能解读(十二)分式不等式的解法

1.

()

()

()()

00 f x

f x

g x

g x

>??>

2.

()

()

()()

00 f x

f x

g x

g x

3.

()

()

()()

()

0,

0.

f x

g x

f x

g x g x

??≥

?

≥??

≠

??

4.

()

()

()()

()

0,

0.

f x

g x

f x

g x g x

??≤

?

≤??

≠

??

知能解读(十三)无理不等式的解法

将无理不等式等价转化成有理不等式组来解决.

()

()

()()

0,

0,

.

f x

g x

f x

g x

?≥

?

?

?

<

?

()

()

()

()()

2

0,

0,

.

f x

g x g x

f x

g x

?≥

??

?

?

<

??

()

()

()

()()

2

0,

0,

.

f x

g x g x

f x

g x

?>

??

>?≥

?

?

>

??

或

()

()

0,

0.

f x

g x

?≥

?

?

<

??

知能解读(十四)指数、对数不等式的解法

解指数、对数不等式的主要思路是：将不等式经过同解变形，化成同底的指数不等式或对数不等式，然后根据指数函数和对数函数的单调性，将它转化为代数不等式(组)求解.

1指数不等式

()()()

01

f x

g x

a a a a

>>≠

且.

()()

()()

1;

01.

a f x g x

a f x f x

?>>

?

?

<<<

??

当时，

当时,

.

()()()

200

f x f x

Aa Ba C

++><，利用换元法(注意新元的范围)，令()f x

t a

=，将不等式化为()

200

At Bt C

++><来解.

2对数不等式

()()()

log log01

a a

f x

g x a a

>>≠

且.

当1

a>时，

()

()

()()

()

()()

0,

0,

0,

;

f x

g x

g x

f x

g x

f x

g x

?>

?>

??

>?

??

>

?

??

>

?

当01a <<时，()()()()

()()()0,

0,

0,;f x f x g x f x g x f x g x ?>?>??>???

log log 00a a A f x B f x C ??++>

=，将不等式化为()200At Bt C ++><来解. 知能解读(十五)绝对值不等式的解法 1绝对值的定义

若x ∈R ，则()()()0,00,0.

x x x x x x ?>?

==??

-

2几何意义

x 指数轴上坐标为x 的点到原点的距离，x m -指数轴上坐标为x 的点到坐标为m 的点的

距离.

3绝对值的运算性质 (l) a b a b ?=?.(2)

()0a

a b b b

=≠. (3) a b a b a b -≤+≤+ (当且仅当0ab ≥时，右边取“=”；当且仅当0ab ≤时，左边取“=”).

(4) a b a b a b -≤-≤+ (当且仅当0ab ≥时，左边取“=”；当且仅当0ab ≤时，右边取“=”).

(5) ()

*

123123n n a a a a a a a a n +++???+≤+++???+∈N .

(6)若0a >，则;x a a x a x a x a ?>或x a <-.

4含绝对值不等式的解法

解含绝对值不等式的方法是去掉绝对值符号，而去掉绝对值符号的方法有：等价转化法，零点分段法和利用绝对值的几何意义等.

(1) ()()()()

()()()0f x g x g x g x f x g x <>?-<<. (2)

()()()()()()0f x g x g x f x g x >>?>或()()f x g x <-.

(3) ()()()()2

2f x g x f x g x

(4)含有两个或两个以上绝对值符号的不等式可用“按零点分区间讨论”的方法来解. 知能解读(十六)不等式组的解法

分别求出不等式组中每个不等式的解集，然后求其交集，即是这个不等式组的解集.在求交集时，通常把每个不等式的解集画在同一条数轴上，取它们的公共部分.

解题方法荟萃

Ⅰ.数学思想方法

思想方法(一)分类讨论思想

含有参数的不等式，在具体求解时，都需要按情况对参数进行分类讨论. 思想方法(二)函数与方程思想

不等式与函数、方程是紧密联系的，特别是“三个二次”相互转化，为问题的解决提供了更多思路.

思想方法(三)换元法 Ⅱ.解题规律技巧

规律技巧(—)不等式的应用

规律技巧(二)求线性目标函数在约束条件下的最值 Ⅲ.易混易错辨析

易混易错 分类不准确而致误

高考命题研究

不等式是高中数学的主干内容，是求解数学问题的主要工具，也是高考的必考内容之一.新高考对不等式不仅考查基础知识、基本技能、方法，还考查运算能力、逻辑思维能力以及分析问题和解决问题的能力.整个不等式考点，考查内容相对集中的是基本不等式、线性规划问题，其次是不等式的性质以及不等式的解集情况的应用.从内容上看，选择题、填空题仍以考查不等式的性质与求解等为主，解答题可能是含有参数的不等式，考查分类讨论思想，也可能是不等式和函数、数列、解析几何等知识的综合命题，考查综合分析解决问题的能力.不等式、函数、方程三者密不可分，相互联系，要有意识地强化函数与方程思想、转化思想的应用.

高考热点(一)含参数的不等式问题

含参数的不等式问题，一般有两大类：一类是解含参数的不等式，解决这类问题一般需要对字母参数进行分类讨论；另一类是由不等式恒成立求参数的取值范围，解决这类问题一般转化为求函数的最值. 高考热点(二)解不等式

高考中常考查一元二次不等式(组)的解法以及分式不等式、绝对值不等式、指(对)数不等式的解法.

高考热点(三)线性规划问题

从内容上看，线性规划是高考的热点之一，考查内容涉及最优解、最值等，通常通过画可行域、移线，并利用数形结合思想解题. 附录 常用公式定理 常用结论

⑴一元一次不等式

()0,;00,.

b a x a

ax b a b a x a ?

>>??>≠???<

若则若则

(2)一元二次不等式

()200ax bx x a ++>≠，若0a >，则

()21212120,,,0;

0,;20,x x x x x x x x ax bx c b x a x ??><><++=?

?

?=≠-?

?

?<∈??

R 或且是方程的根 (3)高次不等式

()()()120n x a x a x a --???->，利用穿根法.

(4)分式不等式

()()

()()00f x f x g x g x >??>；

()()()()00f x f x g x g x ≥??≥且()0g x ≠； ()()

()()()()

()()00;

00f x f x f x g x f x g x g x g x

(5)无理不等式

()

()

()()

0,

0,

;

f x

g x

f x

g x

?≥

?

?>

?

?

<

?

()

()

()

()()

2

0,

0,

;

f x

g x g x

f x

g x

?≥

??

?

?

<

??

()

()

()

()()

2

0,

0,

;

f x

g x g x

f x

g x

?≥

??

>?≥

?

?

>

??

，或

()

()

0,

0.

f x

g x

?≥

?

?

<

??

(6)含绝对值的不等式

①()()()()()

f x

g x g x f x g x

≤?-≤≤；

②()()()()

f x

g x f x g x

≥?≥或()()

f x

g x

≤-；

③()()()()

22

f x

g x f x g x

(7)指数、对数不等式

①同底法：()()

f x

g x

a a

>?若1

a>，则()()

f x

g x

>；若01

a

<<，则()()

f x

g x

<.

()()

log log

a a

f x

g x

>?若1

a>，则

()()

()

,

0;

f x

g x

g x

?>

?

?

>

??

若01

a

<<，则

()()

()

,

0.

f x

g x

f x

?<

?

?

>

??

②换元法：形如()()()

200

f x f x

A a

B a C

?+?+><或()()()

2

log log00

a a

A f x

B f x C

??

?++><

??的不等式，可令

()

f x

t a

=或()

log

a

t f x

=转化成一元二次不等式.

第二讲推理与证明

知识能力解读

知能解读(一)合情推理与演绎推理

1合情推理

(1)归纳推理

由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理.简言之，归纳推理由部分到整体，由个别到一般的推理.

归纳推理是由特殊到一般，具体到抽象的一种推理形式，通过观察、实验，对有限的资料归纳整理，提出带有规律性的猜想.归纳推理得出的结论不一定正确.

(2)类比推理

由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理.简言之，类比推理是由特殊到特殊的推理.

(3)合情推理

归纳推理和类比推理都是根据已有事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出猜想的推理，我们把它们统称为合情推理.

2演绎推理

(1)演绎推理

一从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，我们把这种推理称为演绎推理.演绎推理又称为逻辑推理，它是从一般到特殊的推理.数学的证明主要是通过演绎推理进行的. (2)三段论

“三段论”是演绎推理的一般模式，是本节的重点，也是难点.它由大前提、小前提和结论组成.

“三段论”用集合的知识来说明，就是若集合M 的所有元素都具有性质,P S 是M 的一个子集，那么S 中所有元素也都具有性质P .“三段论”可以表示为

...

M P S M S P 大前提:是小前提:是结论:是 三段论的公式中包括三个判断：第一个判断为大前提，它提供了一个一般的原理；第二个判断为小前提，它指出了一个特殊情况.这两个判断联合起来，揭示了一般原理和特殊情况的内在联系，从而产生了第三个判断——结论. 3完全归纳推理

完全归纳推理是根据对某类事物中的每一对象的情况分析，进而作出关于该类事物的一般性结论的推理方法.

完全归纳法的一般推理形式是：设{}123,,,,n S A A A A =???，

由于1A 具有属性2,p A 具有属性,,n p A ???具有属性p ，因此推断S 中每一个对象都具有属性p .

知能解读 (二)直接证明与间接证明 1综合法与分析法 (1)综合法

一般地，利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法.综合法的推理方向是由已知到求证，表现为由因导果.用P 表示已知条件，已有的定义、公理、定理等，Q 表示所要证明的结论，则综合法可用框图表示为：

12221n P Q Q Q Q Q Q Q ?→?→?→???→?

(2)分析法

一般地，从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)为止，这种证明方法叫做分析法.分析法的推理方向是由结论到题设，表现为执果索因.用Q 表示要证明的结论，则分析法可用框图表示为：

11223Q P P P P P ?→?→?→???→

得到一个明显成立的条件

2反证法

(1)间接证明

间接证明不是从正面论证命题的真实性，而是考虑证明它的等价问题，间接地达到目的.最常见的间接证法是反证法. (2)反证法

一般地，假设原命题不成立(即在原命题的条件下，结论不成立)，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做反证法. (3)用反证法证明命题的一般步骤： ①分清命题的条件和结论；

②作出与命题结论相矛盾的假设；

③由假设出发，应用正确的推理方法，推出矛盾的结果；

④断定产生矛盾的原因，在于开始所作的假设不真，于是原结论成立，从而间接地证明命题为真.

知能解读(三)数学归纳法 1数学归纳法的原理

设()p n 是一个与正整数有关的命题，如果⑴证明起始命题()1p 成立；(2)在假设()p k 成立的前提下，推出()1p k +也成立，那么可以断定()p n 对一切正整数成立.

②数学归纳法的适用范围

数学归纳法以正整数的归纳公理作为它的理论基础，因此，数学归纳法的适用范围仅限于与正整数有关的命题.它能帮助我们判断种种与正整数n 有关的猜想的正确性. 3用数学归纳法证明与正整数有关的命题的步骤

第一步：证明当n 取第一个值()

*

00n n ∈N 时命题成立；

第二步：假设当()

*

0,n k k k n =∈≥N 时命题成立(归纳假设)，证明当1n k =+时命题也成

立.

综合第一步、第二步，就可以断定命题对从0n 开始的所有正整数n 都成立.

用数学归纳法进行证明时，要分两个步骤，缺一不可.(1)证明了第一步，就获得了递推的基础，但仅靠这一步还不能说明结论的普遍性.在第一步中，考察使结论成立的最小正整数就足够了，没有必要再多考察几个正整数，即使命题对这几个正整数都成立. (2)证明了第二步，就获得了递推的依据.只有把第一步和第二步结合在一起，才能获得普遍性的结论.因此，完成了第一步、第二步后，还要做一个总的结论.

由n k =到1n k =+的证明中寻找由n k =到1n k =+的变化规律是本节的难点，突破难点的关键是掌握由n k =到1n k =+的推证方法.在应用归纳假设时，应分析()p k 与

()1p k +的差异及联系，利用拆、添、并、放、缩等手段，或从归纳假设出发，或()

1p k +分离出()p k ，再进行局部调整.数学归纳法要运用“归纳假设”，没有运用“归纳假设”的证明不是数学归纳法. 4数学归纳法的应用

(1)用数学归纳法证明恒等式

用数学归纳法证明恒等式时，首先要搞清等式两边的结构特点，注意由到“n k =到

1n k =+”时等式两边项的变化情况，关键是如何将式子转化为与归纳假设结构相同的形式，

以便使用归纳假设.

特别是用数学归纳法证明三角恒等式时，要能熟练地运用有关的三角知识，特别是一些三角公式；要密切关注两边三角式的结构特征，特别是“假设n k =成立时，到1n k =+也成立”的等式右边的形式，可将此时等式右边的式子作为要证的目标，通过三角公式的变换使等式左边的式子逐步向右边靠拢，最终达到两边完全一致. (2)证明不等式

用数学归纳法证明不等式的命题，远比证明恒等式困难得多.证明时要灵活运用不等式的性质，结合不等式证明的其他方法，明确“1n k =+”成立时的形式，抓住关键，理清思路，变换出符合形式的不等式.第二步的思路是： 假设n k =时不等式成立，就是A B ≥，①

如果1n k =+时不等式也成立，形式是A B ''''> ②

为了要证明②式，可由①式再推出另一个不等式A B ''> ③ 使得A A '''= (或B B '''=).

于是只要能证出B B '''= (或A A '''=)，则根据不等式的传递性可以得到A A B B ''''''=≥≥ (或A A B B ''''''≥≥=)，即A B ''''≥.

以上推理的关键是由①式推出③式，至于在证明中究竟是使③式中的A A '''=为好，还是B B '''=为好，要根据实际条件来决定. (3)证明几何问题

用数学归纳法证明几何问题时，要注意结合几何图形的性质，在求由“n k =到1n k =+”增加的元素个数时，可以先用不完全归纳法找出其变化规律. (4)证明数或式的整除问题

用数学归纳法证明整除性问题必然会涉及数或式的整除性知识，学习时应适当复习. 例如：①如果a 能被c 整除，那么a 的倍数pa 也能被c 整除；

②如果,a b 都能被c 整除，那么它们的和或差a b ±也能被c 整除等.

解题方法荟萃

Ⅰ.数学思想方法

思想方法(一)类比、联想、归纳、猜想的思想

1.合清推理就是从具体的事实经验出发，通过观察、实验、类比、联想、归纳、猜想的一种推理.这种推理的途径是从观察、实验入手，或通过类比而产生联想，或通过归纳而作出猜想.这就是说，合情推理的条件与结论之间是以联想作为桥梁.

2.归纳推理与类比推理的特点与区别：归纳推理与类比推理的结论都是一种猜想，未必可靠.归纳推理是由特殊到一般的推理，类比推理则是由特殊到特殊的推理.

3.欲提高类比所得结论的可靠性，应尽量满足下列条件： (1)类比对象的共同属性或相似属性尽可能多些；

(2)这些共同属性或相似属性应是类比对象的主要属性；

(3)这些共同属性或相似属性应包括类比对象尽可能多的方面； (4)需推测的未知属性应该和共同属性或相似属性属于同一类型.

满足上述条件的类比，其结论的可靠性虽可得到提高，但是仍然不能保证一定正确.

4.在进行类比推理时要尽量从本质上去类比，不要被表面现象迷惑.否则，只抓住一点表面的相似甚至假象就去类比，那就会犯机械类比的错误. 思想方法(二)反证法 1学习中应注意的问题

反证法是假设原命题不成立，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明原命题成立的一种证明方法. 反证法推证问题模式框图

2思维方法，解题技巧

下面几种情况，往往用反证法处理较容易.

(1)问题共有n 种情况，现要证其中一种情况成立，可想到用反证法证明，把其他的()1n -种情况都排除，从而确定这种情况成立. (2)命题用否定形式叙述的.

(3)命题用“至少”的字样叙述的.

(4)命题成立非常明显，而是直接证明所用的理论太少. 思想方法(三)数学归纳法(理) 1.数学归纳法的实质：数学归纳法是用来证明一类与正整数有关的数学命题正确性的一种严格的推5里方法.它的形式是完全归纳法，而证明过程是通过演绎法实现的，第一步是递推的基础，第二步是递推的依据.此外，用数学归纳法证明问题时，在完成上面两个步骤后，还要写出一个总的结论.

2.为了进一步弄清第一步与第二步之间的关系，有必要把两步具体化，也就是说，是怎么通过这两步，完成命题的证明的，更具体地说，就是对于从0n 起的所有正整数，是怎么个个都适合命题的.

一旦这两步完成，该第二步命题中包括的无穷多个特殊命题

()()()000,1,2,P n P n P n ++???也顺次完成.其完成的全过程是：

k =n 0+2k +1=n 0+3

k +1=n 0+2

k =n 0+1P (n 0+3)P +2)

P (n 0+1)

k +1=n 0+1

k =n 0

P (n 0)

第一步第二步

从这个全过程的分析看出，第一个命题()0P n 是第一步单独完成的，而第二个難命题的假设建立在第一个命题的基础上，以后各个特殊命题都顺次建立在前一个特殊命题的基础上，可见，这些特殊命题不是同时成立的，而是先后成立的，这就对“归纳假设部分”有更深刻的理解.

3.用数学归纳法证明恒等式的步骤及注意事项： (1)明确首项取值0n ，并验证真假.(必不可少)

(2)假设n k =时命题正确，并写出命题形式.

(3)分析“1n k =+”时命题是什么，并找出与“n k =”时命题形式的差别，弄清左端应增加的项.

(4)明确等式左端变形目标，掌握恒等式变形常用的方法：乘法公式、因式分解、添拆项、配方等.

Ⅱ.解题规律技巧

规律技巧 综合法与分析法的比较

1.综合法证明是“由因导果”，分析法证明是“执果索因”.它们是两种思路截然相反的证明方法，分析法便于寻找解题思路，而综合法便于叙述，因此要注意两种方法在解题中的联合运用.

2.分析法和综合法是两种思路相反的证明推理方法：分析法是倒溯，综合法是顺推.两者各有优缺点：分析法容易探路，且探路与表述合一，缺点是表述易错；综合法条理清晰，易于表述，缺点是探路艰难，易生枝节.因此，对于难题，常把两者交互运用，互补优缺，形成了分析综合法.其常见的模式有：“两头凑”“等价法”“交替法”(三箭头交替用). Ⅲ.易混易错辨析

易混易错(一)用反证法证题时，弄错结论的否定而直致误 易混易错(二)用数学归纳法证明时，不适用归纳假设而致误

高考命题研究

在近几年的高考中，归纳推理和类比推理的题目时常出现，以选择题、填空题为主要形式，以类比推理的题目多一些.有时也会以解答题的形式出现，考查内容多以归纳推理和数列结合来考查学生们的逻辑思维能力和分析解决问题的能力.对于数学归纳法内容的考查，不但要求学生们能用数学归纳法去证明现有的结论，而且还加强了对不完全归纳法应用的考查，既要能归纳发现结论，还要能证明结论的正确性，因而初步形成“观察—归纳—猜想—证明”的考查模式.

高考热点(一)合情推理与演绎推理

推理的考查多蕴含于各种题型中，考查学生应用数学知识解决问题的能力.类比推理与归纳推理主要体现在选择题与填空题中，演绎推理主要体现在解答题中. 高考热点(二)直接证明与间接证明

从内容上看，在高考中，直接在此知识点命题的机会不多，但作为证明和推理数学命题的方法，会隐含于很多题中. 高考热点(三)数学归纳法

本考点对知识的考查一般难度大，主要证明与正整数n 有关的恒等式或不等式问题. 常用公式定理 常用概念 ⑴推理方法 ①??

?归纳推理合情推理类比推理

②演绎推理——三段论推理 (2)证明方法

①???

综合法

直接证明分析法

②间接证明——反证法

③数学归纳法(理科)

第三讲 基本不等式及其应用

知识能力解读

知能解读(—)常用的不等式

1.若,a b ∈R ，则2

0a ≥ (当且仅当0a =时取“=”)，()2

0a b -≥ (当且仅当a b =时取

“=”).

2.若,a b ∈R ，则2

222

2

2,22a b a b a b ab ++??

+≥≥ ???

(当且仅当a b =时取“=”).

3.基本不等式

若(),0,a b ∈+∞

，则

2

a b

+≥当且仅当a b =时取“=”). 基本变形：

2

2a b a b ab +??

+≥≤ ???

.

基本应用(1)放缩，变形.

(2)求函数最值：

(

)(

)()()min

2max ,2

4ab p a b a b s

a b s a b s

ab ?===?

?+=??

?+===???=??

若常数，当且仅当若常数，当且仅当

注意

应用基本不等式求最值时需要同时满足“一正、二定、三相等”

4.若0a b <≤

，则22ab a b a b a b +≤≤≤≤+，

其中22

ab a b a b

=

++

为几何平均数，2a b +为算术平均数.

知能解读(二)应用基本不等式解决实际问题的步骤

1.理解题意，设变量.设变量时一般把要求最值的变量定为函数.

2.建立函数模型，把实际问题抽象为函数最值问题.

3.在定义域内求出函数的最值.

4.写出答案.

解题方法荟萃

Ⅰ.数学思想方法

思想方法(一)函数与方程思想 思想方法(二)分类讨论思想

思想方法(三)利用基本等式求条件最值的方法

Ⅱ.解题规律技巧

规律技巧(一)运用基本不等式求函数的最值或值域 规律技巧(二)运用基本不等式证明不等式 Ⅲ.易混易错辨析

易混易错(一)忽视等号成立的条件而致误

易混易错(二)多次使用基本不等式未注意等号成立的条件而致误

高考命题研究

高考中对不等式的性质的考查常与一些函数的性质的考查结合起来，一般多以选择题的形式

出现，有时与充要条件的知识结合起来，要求考生要有较扎实、较全面的基础知识，但难度不大，高考对基本不等式的考查形式有：①直接利用基本不等式求最值；②先利用配凑法等进行恒等变形，再利用基本不等式求最值.

近几年来高考对不等式的证明难度要求有所降低.单纯证明不等式的题目较少，但不等式的证明在综合题中频繁出现.这部分内容在高考中一旦出现，往往难度较高，综合能力较强，要求考生平时多做练习，仔细领会，掌握各种证题方法. 高考热带 用基本不等式求解最值问题

使用基本不等式求最值时要注意其使用条件：一正、二定、三相等.同时还要注意对代数式的变形，以适用公式的条件. 附录 常用公式定理 常用结论

(1)不等式的性质及推论.

(2) ()2

222

0;02a a b a b ab ≥-≥?+≥ (当且仅当a b =时取“=”).

(3)若(),0,a b ∈+∞，则a b +≥当且仅当a b =时取“=”). (4) ()()0;0x a a a x a x a a x a <>?-<<>>?>或x a <-.

(5) 2

2222a b a b ++??≥ ???

(当且仅当a b =时取“=”).

(6)若0a b <≤，则22ab a b a b a b +≤≤≤+(当且仅当a b =时取 “=”)

(完整版)不等式及其基本性质知识点复习及例题讲解

不等式的概念及其基本性质 一、知识点复习： 1. 用 不等号 连接起来的式子叫不等式；常见的不等号有“>，≥，<，≤，≠”。 2．不等式的基本性质： （1）不等式的两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号的方向不变。 如果a b >，那么c b c a +>+，c b c a ->-； （2）不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。 如果)0(>>c b a ，那么ac bc >，a b c c >； （3）不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。 如果)0(<>c b a ，那么bc ac <， c b c a <； （4）如果a b >，那么b a <； （5）如果a b >，b c >，那么a c >。 二、经典题型分类讲解： 题型1：考察不等式的概念 1. （2017春金牛区校级月考）式子：①02>；②14≤+y x ；③03=+x ；④7-y ；⑤35.2>-m 。其中不等式有（ ） A 、1个 B 、2个 C 、3个 D 、4个 题型2：考察不等式的性质 2.（2017连云港四模）已知b a >，下列关系式中一定正确的是（ ） A 、22b a < B 、b a 22< C 、22+<+b a D 、b a -<- 3. 若0a b <<，则下列式子：12a b +<+ , 1a b > , a b ab +< , 11a b <,其中正确的有（ ） A 、1个 B 、2个 C 、3个 D 、4个 4．下列说法不一定成立的是（ ） A ．若a b >，则a c b c +>+ B ．若a c b c +>+，则a b > C ．若a b >，则22ac bc > D ．若22ac bc >，则a b >

数学基础知识大全

数学基础知识大全 常用的数量关系式 1.每份数×份数＝总数总数÷每份数＝份数总数÷份数＝每份数 2.倍数×1倍数＝几倍数几倍数÷1倍数＝倍数几倍数÷倍数＝1倍数 3.速度×时间＝路程路程÷速度＝时间路程÷时间＝速度 4.单价×数量＝总价总价÷单价＝数量总价÷数量＝单价 5. 被除数÷除数＝商被除数÷商＝除数商×除数＝被除数 6. 被减数－减数＝差被减数－差＝减数差＋减数＝被减数 7. 加数＋加数＝和和－一个加数＝另一个加数 8.因数×因数＝积积÷一个因数＝另一个因数 9.工作效率×工作时间＝工作总量工作总量÷工作效率＝工作时间 工作总量÷工作时间＝工作效率

小学数学图形计算公式 1.正方形（C：周长S：面积a：边长） 周长＝边长×4 C=4a 面积=边长×边长S=a×a 2.正方体（V:体积a:棱长） 表面积=棱长×棱长×6 S表=a×a×6 体积=棱长×棱长×棱长V=a×a×a 3.长方形（C：周长S：面积a：边长） 周长=(长+宽)×2 C=2(a+b) 面积=长×宽S=ab 4.长方体(V:体积s:面积a:长b: 宽h:高) (1)表面积(长×宽+长×高+宽×高)×2 S=2(ab+ah+bh) (2)体积=长×宽×高V=abh 5、三角形（s：面积a：底h：高） 三角形高=面积×2÷底h=2s÷a 三角形底=面积×2÷高a=2s÷h 6、平行四边形（s：面积a：底h：高） 面积=底×高s=ah 7.梯形(s：面积a：上底b：下底h：高) 面积=(上底+下底)×高÷2 s=(a+b)× h÷2 8.圆形(S:面积C:周长л d:直径r:半径) (1)周长=直径×л=2×л×半径C=лd=2лr (2)面积=半径×半径×лs=лrr 9.圆柱体(v:体积h:高s：底面积r:底面半 径c:底面周长) (1)侧面积=底面周长×高=ch(2лr或лd) (2)表面积=侧面积+底面积×2 (3)体积=底面积×高

高中数学解不等式方法+练习题

不等式 要求层次 重难点 一元二次不等式 C 解一元二次不等式 （一） 知识容 1．含有一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式不等式，叫做一元二次不等式． 一元二次不等式的解集，一元二次方程的根及二次函数图象之间的关系如下表（以0a >为例）： 有关含有参数的一元二次不等式问题，若能把不等式转化成二次函数或二次方程，通过根的判别式或数形结合思想，可使问题得到顺利解决．其方法大致有：①用一元二次方程根的判别式，②参数大于最大值或小于最小值，③变更主元利用函数与方程的思想求解． 判别式 24b ac ?=- 0?> 0?= 0?< 二次函数 2y ax bx c =++ (0)a >的图象 一元二次方程 2 0ax bx c ++= (0)a ≠的根 有两相异实根 12,x x = 242b b ac a -±- 12()x x < 有两相等实根 122b x x a ==- 没有实根 一元二次不等式的解集 2 0ax bx c ++> (0)a > {1 x x x < 或}2x x > {R x x ∈，且 2b x a ?≠- ?? 实数集R 20ax bx c ++< (0)a > {}1 2x x x x << ? ? 例题精讲 高考要求 板块一：解一元二次不等式 解不等式

（二）主要方法 1．解一元二次不等式通常先将不等式化为20ax bx c ++>或20 (0)ax bx c a ++<>的形式，然后求出对应方程的根（若有根的话），再写出不等式的解：大于0时两根之外，小于0时两根之间； 2．分式不等式主要是转化为等价的一元一次、一元二次或者高次不等式来处理； 3．高次不等式主要利用“序轴标根法”解． （三）典例分析： 1.二次不等式与分式不等式求解 【例1】 不等式 1 12 x x ->+的解集是 ． 【变式】 不等式2230x x --+≤的解集为（ ） A ．{|31}x x x -或≥≤ B ．{|13}x x -≤≤ C ．{|31}x x -≤≤ D ．{|31}x x x -或≤≥ 【变式】 不等式 25 2(1)x x +-≥的解集是（ ） A ．132? ?-??? ? ， B ．132??-????， C ．(]11132??????U ，， D ．(]11132?? -???? U ，， 2.含绝对值的不等式问题 【例2】 已知n *∈N ，则不等式 220.011 n n -<+的解集为（ ） A ．{}|199n n n *∈N ≥， B ．{}|200n n n *∈N ≥， C ．{}|201n n n *∈N ≥， D ．{}|202n n n *∈N ≥， 【例3】 不等式 1 11 x x +<-的解集为（ ） A ．{}{}|01|1x x x x <<>U B ．{}|01x x << C ．{}|10x x -<< D ．{}|0x x < 【变式】 关于x 的不等式2121x x a a -+-++≤的解集为空集，则实数a 的取值围是 _． 【例4】 若不等式1 21x a x + -+≥对一切非零实数x 均成立，则实数a 的最大值是_________． 【例5】 若不等式34x b -<的解集中的整数有且仅有123，，，则b 的取值围为 ． 3.含参数不等式问题 【例6】 若关于x 的不等式22840x x a --->在14x <<有解，则实数a 的取值围是（ ） A ．4a <- B ．4a >- C ．12a >- D ．12a <- 【变式】 ⑴已知0a <，则不等式22230x ax a -->的解集为 . ⑵若不等式897x +<和不等式220ax bx +->的解集相同，则a b -=______．

(完整版)高考数学-基本不等式(知识点归纳)

高中数学基本不等式的巧用 一．基本不等式 1.（1）若R b a ∈,，则ab b a 22 2 ≥+ (2)若R b a ∈,，则2 2 2b a ab +≤（当且仅当b a =时取“=”） 2. (1)若*,R b a ∈，则ab b a ≥+2 (2)若* ,R b a ∈，则ab b a 2≥+（当且仅当b a =时取“=” ） (3)若* ,R b a ∈，则2 2?? ? ??+≤b a ab (当且仅当b a =时取“=”） 3.若0x >，则12x x + ≥ (当且仅当1x =时取 “=”）;若0x <，则1 2x x +≤- (当且仅当1x =-时取“=”） 若0x ≠，则11122-2x x x x x x +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”） 3.若0>ab ，则2≥+a b b a (当且仅当b a =时取“=”） 若0ab ≠，则 22-2a b a b a b b a b a b a +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=” ） 4.若R b a ∈,，则2 )2( 2 22b a b a +≤ +（当且仅当b a =时取“=”） 注：（1）当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的 积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”． （2）求最值的条件“一正，二定，三取等” (3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用． 应用一：求最值 例1：求下列函数的值域 （1）y ＝3x 2 ＋12x 2 （2）y ＝x ＋1x 解：（1）y ＝3x 2 ＋12x 2 ≥2 3x 2 ·12x 2 ＝ 6 ∴值域为[ 6 ，+∞） （2）当x ＞0时，y ＝x ＋1 x ≥2 x ·1 x ＝2； 当x ＜0时， y ＝x ＋1x = －（－ x －1 x ）≤－2 x ·1 x =－2 ∴值域为（－∞，－2]∪[2，+∞） 解题技巧： 技巧一：凑项 例1：已知5 4x < ，求函数14245 y x x =-+-的最大值。 解：因450x -<，所以首先要“调整”符号，又1 (42)45 x x --g 不是常数，所以对42x -要进行拆、凑项， 5,5404x x <∴->Q ，11425434554y x x x x ??∴=-+=--++ ?--? ?231≤-+= 当且仅当1 5454x x -= -，即1x =时，上式等号成立，故当1x =时，max 1y =。

基本不等式知识点和基本题型

基本不等式专题辅导 一、知识点总结 1、基本不等式原始形式 （1）若R b a ∈,，则ab b a 22 2 ≥+ （2）若R b a ∈,，则2 2 2b a ab +≤ 2、基本不等式一般形式（均值不等式） 若* ,R b a ∈，则ab b a 2≥+ 3、基本不等式的两个重要变形 （1）若* ,R b a ∈，则ab b a ≥+2 （2）若*,R b a ∈，则2 2?? ? ??+≤b a ab 总结：当两个正数的积为定植时，它们的和有最小值； 当两个正数的和为定植时，它们的积有最小值； 特别说明：以上不等式中，当且仅当b a =时取“=” 4、求最值的条件：“一正，二定，三相等” 5、常用结论 （1）若0x >，则1 2x x + ≥ (当且仅当1x =时取“=”） （2）若0x <，则1 2x x +≤- (当且仅当1x =-时取“=”） （3）若0>ab ，则2≥+a b b a (当且仅当b a =时取“=”） （4）若R b a ∈,，则2 )2(2 22b a b a ab +≤ +≤ （5）若* ,R b a ∈，则22111 2 2b a b a ab b a +≤ +≤≤+ 特别说明：以上不等式中，当且仅当b a =时取“=” 6、柯西不等式 （1）若,,,a b c d R ∈，则22222 ()()()a b c d ac bd ++≥+ （2）若123123,,,,,a a a b b b R ∈，则有：2222222 1231123112233()()()a a a b b b a b a b a b ++++≥++ （3）设1212,,,,,,n n a a a b b ??????与b 是两组实数，则有22212(n a a a ++???+)22212)n b b b ++???+(21122()n n a b a b a b ≥++???+ 二、题型分析 题型一：利用基本不等式证明不等式 1、设b a ,均为正数，证明不等式:ab ≥ b a 112+ 2、已知c b a ,,为两两不相等的实数，求证：ca bc ab c b a ++>++222 3、已知1a b c ++=，求证：2 2 2 13 a b c ++≥ 4、已知,,a b c R + ∈，且1a b c ++=，求证：abc c b a 8)1)(1)(1(≥--- 已知,,a b c R + ∈，且1a b c ++=，求证：1111118a b c ??????---≥ ??????????? 6、选修4—5：不等式选讲 设,,a b c 均为正数,且1a b c ++=,证明:(Ⅰ)13ab bc ca ++≤; (Ⅱ)222 1a b c b c a ++≥. 7、选修4—5：不等式选讲： 已知0>≥b a ，求证:b a ab b a 2 23322-≥- 题型二：利用不等式求函数值域

高中数学不等式训练习题

不等式训练1 A 一、选择题（六个小题，每题5分，共30分） 1．若02522 >-+-x x ，则221442-++-x x x 等于（ ） A ．54-x B ．3- C ．3 D ．x 45- 2．函数y ＝log 2 1（x ＋11+x ＋1） （x > 1）的最大值是 （ ） A ．－2 B ．2 C ．－3 D ．3 3．不等式x x --213≥1的解集是 ( ) A ．{x| 43≤x ≤2} B ．{x|4 3≤x ＜2} C ．{x|x ＞2或x ≤43} D ．{x|x ＜2} 4．设a ＞1＞b ＞－1,则下列不等式中恒成立的是 ( ) A ．b a 11< B ． b a 11> C ．a ＞b 2 D ．a 2＞2b 5．如果实数x,y 满足x 2＋y 2=1,则(1－xy) (1＋xy)有 ( ) A ．最小值 21和最大值1 B ．最大值1和最小值4 3 C ．最小值43而无最大值 D ．最大值1而无最小值 6．二次方程x 2＋(a 2＋1)x ＋a －2=0,有一个根比1大,另一个根比－1小, 则a 的取值范围是 ( ) A ．－3＜a ＜1 B ．－2＜a ＜0 C ．－1＜a ＜0 D ．0＜a ＜2 二、填空题（五个小题，每题6分，共30分） 1．不等式组? ??->-≥32x x 的负整数解是____________________。 2．一个两位数的个位数字比十位数字大2，若这个两位数小于30， 则这个两位数为____________________。 3．不等式0212<-+x x 的解集是__________________。 4．当=x ___________时，函数)2(22x x y -=有最_______值，其值是_________。 5．若f(n)=)(21)(,1)(,122N n n n n n n g n n ∈= --=-+?,用不等号 连结起来为____________.

基本不等式学习知识梳理

基本不等式 【考纲要求】 1. 2 a b +≤ 的证明过程，理解基本不等式的几何意义，并掌握定理中的不等号“≥”取等号的条件是：当且仅当这两个数相等； 2. 2 a b +≤ 解决最大（小）值问题. 3.会应用基本不等式求某些函数的最值；能够解决一些简单的实际问题 【知识网络】 【考点梳理】 考点一：重要不等式及几何意义 1．重要不等式： 如果,R a b ∈，那么2 2 2a b ab +≥（当且仅当a b =时取等号“=”）. 2．基本不等式： 如果,a b 是正数，那么 2a b +≥（当且仅当a b =时取等号“=”）. 要点诠释：22 2a b ab +≥ 和2 a b +≥ （1）成立的条件是不同的：前者只要求,a b 都是实数，而后者要求,a b 都是正数；

（2）取等号“=” 的条件在形式上是相同的，都是“当且仅当a b =时取等号”。 （3）2 2 2a b ab +≥可以变形为：222a b ab +≤，2a b ab +≥可以变形为：2()2 a b ab +≤. 3.如图，AB 是圆的直径，点C 是AB 上的一点，AC a =,BC b =，过点C 作DC AB ⊥交圆于点D ，连接AD 、BD . 易证~Rt ACD Rt DCB ??，那么2 CD CA CB =?，即CD ab = . 这个圆的半径为2b a +，它大于或等于CD ，即ab b a ≥+2 ，其中当且仅当点C 与圆心重合，即a b =时，等号成立. 要点诠释：1.在数学中，我们称 2 b a +为,a b 的算术平均数，称ab 为,a b 的几何平均数. 因此基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数. 2.如果把 2 b a +看作是正数,a b 的等差中项，ab 看作是正数,a b 的等比中项，那么基本不等式可以叙述为：两个正数的等差中项不小于它们的等比中项. 考点二：基本不等式2 a b ab +≤的证明 1. 几何面积法 如图，在正方形ABCD 中有四个全等的直角三角形。 设直角三角形的两条直角边长为a 、b 22a b +4个直角三角形 的面积的和是2ab ，正方形ABCD 的面积为2 2 a b +。由于4个直角三角形的面积小于正方形的面积，所 以：22 2a b ab +≥。当直角三角形变为等腰直角三角形，即a b =时，正方形EFGH 缩为一个点，这时有2 2 2a b ab +=。

高中数学必修1-5知识点归纳与公式大全

必修 1 数学知识点 第一章、集合与函数概念 § 1.1.1 、集合 1、把研究的对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合。集合三要素：确定性、互异性、无序性。 2、只要构成两个集合的元素是一样的，就称这两个集合相等。 3、常见集合：正整数集合：N*或N，整数集合：Z，有理数集合：Q，实数集合：R . 4、集合的表示方法：列举法、描述法 . § 1.1.2 、集合间的基本关系 1、一般地，对于两个集合 A 、 B ，如果集合 A 中任意一个元素都是集合 B 中的元素，则称集合A是集合 B的 子集。记作 A B . 2、如果集合A B ，但存在元素 x B ，且 x A ，则称集合A是集合B的真子集.记作：A B. 3、把不含任何元素的集合叫做空集 .记作：.并规定：空集合是任何集合的子集. 4、如果集合 A 中含有 n 个元素，则集合 A 有2n个子集 . § 1.1.3 、集合间的基本运算 1、一般地，由所有属于集合 A 或集合 B 的元素组成的集合，称为集合A与 B的并集 .记作：A B . 2、一般地，由属于集合 A 且属于集合 B 的所有元素组成的集合，称为A与 B的交集.记作：A B . 3、全集、补集？C U A { x | x U , 且 x U } § 1.2.1 、函数的概念 1、设 A、 B 是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系 f ，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都 有惟一确定的数 f x和它对应，那么就称 f: A B 为集合A到集合B的一个函数，记作：y f x , x A . 2、一个函数的构成要素为：定义域、对应关系、值域. 如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致， 则称这两个函数相等 . § 1.2.2 、函数的表示法 1、函数的三种表示方法：解析法、图象法、列表法. § 1.3.1 、单调性与最大（小）值 1、注意函数单调性证明的一般格式： 解：设 x1 , x2a, b 且 x1x2，则： f x1 f x2=, §1.3.2 、奇偶性 1 、一般地，如果对于函数 f x 的定义域内任意一个x ，都有 f x f x ，那么就称函数 f x 为偶函数. 偶函数图象关于y 轴对称. 2、一般地，如果对于函数 f x 的定义域内任意一个x ，都有 f x f x ，那么就称函数 f x 为奇函数. 奇函数图象关于原点对称. 第二章、基本初等函数（Ⅰ） § 2.1.1 、指数与指数幂的运算 1、一般地，如果x n a ，那么x叫做a的n次方根。其中n 1, n N . 2、当n为奇数时，n a n a ； n n a n

高中数学不等式练习题

1、设恒成立的c的取值范围是 A．B．C．D． 2、设，且（其中），则M的取值范围是A．B．C．D． 3、若实数、满足，则的取值范围是 A．B．C．D． 4、已知，，，则的最小值是（） （Ａ）（Ｂ）4（Ｃ）（Ｄ） 5、若不等式组所表示的平面区域被直线分为面积相等的两部分，则的值是 (A)(B)(C)(D) 6、已知，若在上恒成立，则实数的取值范围是（）

A．B．C．D． 7、已知正实数满足，则的最小值为。 8、如图，目标函数可行域为四边形（含边界），若是该目标函数的最优解，则的取值范围是() （A）（B）（C）（D） 的最大值与最小值之和为 9、函数，当时，恒成立,则 D. 10、已知正数满足，则的最小值为 A．3B．C．4D． 11、二次函数轴两个交点的横坐标分别为。（1）证明：；（2）证明：； （3）若满足不等式的取值范围。 12、设满足约束条件，若目标函数的最大值为10，则的最小值为.

13、已知对任意实数x，二次函数f(x)=ax2+bx+c恒非负，且a

高中数学基本不等式题型总结

专题 基本不等式 【一】基础知识 基本不等式：)0,0a b a b +≥>> （1）基本不等式成立的条件： ； （2）等号成立的条件：当且仅当 时取等号. 2.几个重要的不等式 （1）()24a b ab +≤(),a b R ∈；（2）)+0,0a b a b ≥>>； 【二】例题分析 【模块1】“1”的巧妙替换 【例1】已知0,0x y >>，且34x y +=，则41x y +的最小值为 . 【变式1】已知0,0x y >>，且34x y +=，则4x x y +的最小值为 . 【变式2】（2013年天津）设2,0a b b +=>， 则 1||2||a a b +的最小值为 . 【例2】（2012河西）已知正实数,a b 满足 211a b +=，则2a b +的最小值为 . 【变式】已知正实数,a b 满足 211a b +=，则2a b ab ++的最小值为 .

【例3】已知0,0x y >>，且280x y xy +-=，则x y +的最小值为 . 【例4】已知正数,x y 满足21x y +=，则 8x y xy +的最小值为 . 【例5】已知0,0a b >>，若不等式 212m a b a b +≥+总能成立，则实数m 的最大值为 . 【例6】（2013年天津市第二次六校联考）()1,0by a b +=≠与圆221x y +=相交于,A B 两点，O 为坐标原点，且△AOB 为直角三角形，则 2212a b +的最小值为 .

【例7】（2012年南开二模）若直线()2200,0ax by a b -+=>>始终平分圆222410x y x y ++-+=的周长，则 11a b +的最小值为 . 【例8】设12,e e 分别为具有公共焦点12,F F 的椭圆和双曲线的离心率，P 为两曲线的一个公共点，且满足 120PF PF ?=，则2 2214e e +的最小值为 【例9】已知0,0,lg 2lg 4lg 2x y x y >>+=，则11x y +的最小值是（ ） A ．6 B ．5 C ．3+ D ． 【例10】已知函数()4141 x x f x -=+，若120,0x x >>，且()()121f x f x +=，则()12f x x +的最小值为 .

不等式知识点不等式基础知识

不等式的知识要点 1.不等式的基本概念 2.不等式的基本性质 （1）a b b a （对称性） （2）c a c b b a >?>>,（传递性） （3）c b c a b a +>+?>（加法单调性） （4）d b c a d c b a +>+?>>,（同向不等式相加） （5）d b c a d c b a ->-?<>,（异向不等式相减） （6）bc ac c b a >?>> 0,. （7）bc ac c b a 0,（乘法单调性） （8）bd ac d c b a >?>>>>0,0（同向不等式相乘） (9)0,0a b a b c d c d >><（异向不等式相除） 11(10),0a b ab a b >>? <（倒数关系） （11）)1,(0>∈>?>>n Z n b a b a n n 且（平方法则） （12）)(0*2N n a n ∈≥（开方法则） 3.几个重要不等式 （1）非负式：0,0||,2≥≥∈a a R a 则若；.0,0≥≥a a 则若 （2）)2||2(2,2222ab ab b a ab b a R b a ≥≥+≥+∈+或则、若（当仅当a=b 时取等号） （3）二元均值不等式：如果a ,b 都是正数，那么 .2 a b +（当仅当a=b 时取等号） 常用为：a b +≥a=b 时取等号），2()2 a b ab +≤（当仅当a=b 时取等号） 极值定理：若,,,,x y R x y S xy P +∈+==则： ○ 1如果P 是定值, 那么当x=y 时，S 的值最小； ○ 2如果S 是定值, 那么当x =y 时，P 的值最大. 利用极值定理求最值的必要条件： 一正、二定、三相等. 不等式链：如果a ,b 都是正数，那么 2 112a b a b +≤+（当仅当a=b 时取等号） ,3 a b c a b c R +++∈(4)三元均值不等式：若、、则a=b=c 时取等号） 0,2b a ab a b >+≥(5)若则（当仅当a=b 时取等号） 4.几个著名不等式 （1）柯西不等式： 时取等号当且仅当（则 若n n n n n n n n b a b a b a b a b b b b a a a a b a b a b a b a R b b b b R a a a a ====+++++++≤++++∈∈ΛΛΛΛΛΛ332211223222122322212332211321321))(();,,,,,,,,

高中数学基本不等式专题复习

第11课：基本不等式与双√函数 一、双√函数 形如.0,0,>>+=q p x q px y 图像如右图所示： （1）0>x 时，当p q x =时取到pq y 2min =； （2）值域： （3）当0,0<-+=x x x y 正确解法： 两者联系： （1）基本不等式去等号时的值即为双勾函数的拐点，

（2）凡是利用“积定和最小”求最值的函数均可换元为双勾函数！ 三、利用基本不等式求最值 类型一：形如()()0,1≠++ +=c a d cx b ax y 采取配积为定！ 1、求??? ??>-+ =455434x x x y 的最小值 2、求??? ??<-+=455433x x x y 的最大值 3、求()π,0,sin 2sin ∈+ =x x x y 的最小值的值域 4、求()的最小值01 1>-+=x e e y x x 的最小值 类型二：形如()0,2≠+++=c a d cx c bx ax y 采取配凑——分离术！ 1、求0,92>++=x x x x y 的最小值 2、求0,192>+++=x x x x y 的最小值 3、求?? ????-∈+++=1,31,12122x x x x y 的值域 4、求4,1822-<+++=x x x x y 的最值

初中不等式知识点总结

初中不等式知识点总结 一、不等式的概念 1、不等式 用不等号表示不等关系的式子，叫做不等式。 2、不等式的解集 对于一个含有未知数的不等式，任何一个适合这个不等式的未知数的值，都叫做这个不等式的解。 对于一个含有未知数的不等式，它的所有解的集合叫做这个不等式的解的集合，简称这个不等式的解集。 求不等式的解集的过程，叫做解不等式。 二、不等式基本性质 1、不等式两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号的方向不变。 2、不等式两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。 3、不等式两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。 三、一元一次不等式 1、一元一次不等式的概念 一般地，不等式中只含有一个未知数，未知数的次数是 1，且不等式的两边都是整式，这样的不等式叫做一元一次不等式。 2、一元一次不等式的.解法 一般步骤： （1）去分母； （2）去括号； （3）移项； （4）合并同类项； （5）将 x 项的系数化为 1。 四、一元一次不等式组 1、一元一次不等式组的概念 几个一元一次不等式合在一起，就组成了一个一元一次不等式组。 几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫做它们所组成的一元一次不等式组的解集。 求不等式组的解集的过程，叫做解不等式组。 当任何数 x 都不能使不等式同时成立，我们就说这个不等式组无解或其解为空集。 2、一元一次不等式组的解法 （1）分别求出不等式组中各个不等式的解集。 （2）利用数轴求出这些不等式的解集的公共部分，即这个不等式组的解集。

第九章不等式与不等式组 一、目标与要求 1.感受生活中存在着大量的不等关系，了解不等式和一元一次不等式的意义，通过解决简单的实际问题，使学生自发地寻找不等式的解，会把不等式的解集正确地表示到数轴上; 2.经历由具体实例建立不等模型的过程，经历探究不等式解与解集的不同意义的过程，渗透数形结合思想; 3.通过对不等式、不等式解与解集的探究，引导学生在独立思考的基础上积极参与对数学问题的讨论，培养他们的合作交流意识;让学生充分体会到生活中处处有数学，并能将它们应用到生活的各个领域。 二、知识框架 三、重点 理解并掌握不等式的性质; 正确运用不等式的性质; 建立方程解决实际问题，会解"ax+b=cx+d"类型的一元一次方程; 寻找实际问题中的不等关系，建立数学模型; 一元一次不等式组的解集和解法。 四、难点 一元一次不等式组解集的理解; 弄清列不等式解决实际问题的思想方法，用去括号法解一元一次不等式; 正确理解不等式、不等式解与解集的意义，把不等式的解集正确地表示到数轴上。 五、知识点、概念总结 1.不等式：用符号"<"，">"，"≤"，"≥"表示大小关系的式子叫做不等式。 2.不等式分类：不等式分为严格不等式与非严格不等式。 一般地，用纯粹的大于号、小于号">"，"<"连接的不等式称为严格不等式，用不小于号(大于或等于号)、不大于号(小于或等于号)"≥"，"≤"连接的不等式称为非严格不等式，或称广义不等式。 3.不等式的解：使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解。 4.不等式的解集：一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集。 5.不等式解集的表示方法： (1)用不等式表示：一般的，一个含未知数的不等式有无数个解，其解集是一个范围，这个范围可用最简单的不等式表达出来，例如：x-1≤2的解集是x≤3 (2)用数轴表示：不等式的解集可以在数轴上直观地表示出来，形

高中数学必修1、3、4、5知识点归纳与公式大全

必修1数学知识点 §1.1.1、集合 1、 把研究的对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合。集合三要素：确定性、互异性、无序性。 2、 只要构成两个集合的元素是一样的，就称这两个集合相等。 3、 常见集合：正整数集合：*N 或+N ，整数集合：Z ，有理数集合：Q ，实数集合：R . 4、集合的表示方法：列举法、描述法. §1.1.2、集合间的基本关系 1、 一般地，对于两个集合A 、B ，如果集合A 中任意一个元素都是集合B 中的元素，则称集合A 是集合B 的 子集。记作B A ?. 2、 如果集合B A ?，但存在元素B x ∈，且A x ?，则称集合A 是集合B 的真子集.记作：A B. 3、 把不含任何元素的集合叫做空集.记作：?.并规定：空集合是任何集合的子集. 4、 如果集合A 中含有n 个元素，则集合A 有n 2个子集. §1.1.3、集合间的基本运算 1、 一般地，由所有属于集合A 或集合B 的元素组成的集合，称为集合A 与B 的并集.记作：B A . 2、 一般地，由属于集合A 且属于集合B 的所有元素组成的集合，称为A 与B 的交集.记作：B A . 3、全集、补集？{|,}U C A x x U x U =∈?且 §1.2.1、函数的概念 1、 设A 、B 是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都 有惟一确定的数()x f 和它对应，那么就称B A f →:为集合A 到集合B 的一个函数，记作： ()A x x f y ∈=,. 2、 一个函数的构成要素为：定义域、对应关系、值域.如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致， 则称这两个函数相等. §1.2.2、函数的表示法 1、 函数的三种表示方法：解析法、图象法、列表法. §1.3.1、单调性与最大（小）值 1、 注意函数单调性证明的一般格式： 解：设[]b a x x ,,21∈且21x x <，则：()()21x f x f -=… §1.3.2、奇偶性 1、 一般地，如果对于函数()x f 的定义域内任意一个x ，都有()()x f x f =-，那么就称函数()x f 为偶函数. 偶函数图象关于y 轴对称. 2、 一般地，如果对于函数()x f 的定义域内任意一个x ，都有()()x f x f -=-，那么就称函数()x f 为奇函数.奇函数图象关于原点对称. 第二章、基本初等函数（Ⅰ） §2.1.1、指数与指数幂的运算 1、 一般地，如果a x n =，那么x 叫做a 的n 次方根。其中+∈>N n n ,1. 2、 当n 为奇数时，a a n n =； 当n 为偶数时，a a n n =. 3、 我们规定：

基本不等式知识点归纳

基本不等式知识点归纳 1基本不等式.ab空 2 (1) 基本不等式成立的条件： a . 0,b .0. (2) 等号成立的条件：当且仅当a =b时取等号. ［探究］1.如何理解基本不等式中“当且仅当”的含义？ 提示：①当a = b时，乞_卫_ ab取等号，即a = b= 皂卫hJ ab. 2 2 ②仅当a二b时，-—丄」ab取等号，即 -—=.-；：ab = a =b. 2 2 2?几个重要的不等式 2 2 b a a b 丄2ab(a,b R); 2(ab 0). a b 2 2 a + b 2 a +b 2 a +b ab 臥)(a,b R);( ) (a,b R) 2 2 2 3?算术平均数与几何平均数 设a 0,b 0,则a,b的算术平均数为』~卫，几何平均数为,ab，基本不等式可叙述为：两个正实数的算术 2 平均数不小于它的几何平均数. 4?利用基本不等式求最值问题 已知x 0, y - 0,则 (1) 如果积xy是定值p,那么当且仅当x=y时，x y有最小值是2「p.(简记：积定和最小). 2 (2) 如果和x y是定值p,,那么当且仅当x = y时，xy有最大值是—.(简记：和定积最大). ［探究］2.当利用基本不等式求最大(小)值时，等号取不到时，如何处理？ 1 提示：当等号取不到时，可利用函数的单调性等知识来求解?例如，y=x 在x_2时的最小值，利用单调 x 5 性，易知X = 2时丫皿山二. 2 ［自测?牛刀小试］ 1.已知m?0, n ? 0,且mn =81，则m ? n的最小值为() A. 18 B. 36 C. 81 D . 243 解析：选 A 因为n>0, n>0,所以m+ n>2 mn= 2 81 = 18.

高二数学不等式练习题及答案

不等式练习题 一、选择题 1、若a,b 是任意实数,且a ＞b,则 ( ) （A ）a 2＞b 2 （B ） a b ＜1 （C ）lg(a-b)＞0 （D ）(21)a ＜(2 1)b 2、下列不等式中成立的是 ( ) （A ）lgx+log x 10≥2(x ＞1) （B ） a 1 +a ≥2 (a ≠0) （C ）a 1＜b 1 (a ＞b) （D ）a 21+t ≥a t (t ＞0,a ＞0,a ≠1) 3、已知a >0,b >0且a +b =1, 则()11 )(1122--b a 的最小值为 ( ) (A )6 (B ) 7 (C ) 8 (D ) 9 4、已给下列不等式(1)x 3+ 3 >2x (x ∈R ); (2) a 5+b 5> a 3b 2+a 2b 3(a ,b ∈R ); (3) a 2+b 2≥2(a －b －1), 其中正确的个数为 ( ) (A ) 0个 (B ) 1个 (C ) 2个 (D ) 3个 5、f (n ) = 12+n －n , ?(n )= n 21 , g (n ) = n 12--n , n ∈N ,则 ( ) (A ) f (n )

高中数学基本不等式练习题

一．选择题 1．已知直线ax+by=1经过点（1，2），则2a+4b的最小值为（） A．B．2C．4 D．4 2．已知x，y都是正数，且xy=1，则的最小值为（） A．6 B．5 C．4 D．3 3．若a，b都是正数，则的最小值为（） A．7 B．8 C．9 D．10 4．下列关于不等式的结论中正确的是（） A．若a＞b，则ac2＞bc2B．若a＞b，则a2＞b2 C．若a＜b＜0，则a2＜ab＜b2D．若a＜b＜0，则＞ 5．若m、n是任意实数，且m＞n，则（） A．m2＞n2B．C．lg（m﹣n）＞0 D． 6．若直线=1（a＞0，b＞0）过点（1，1），则a+b的最小值等于（） A．2 B．3 C．4 D．5 7．若直线mx+ny+2=0（m＞0，n＞0）截得圆（x+3）2+（y+1）2=1的弦长为2，则+的最小值为（）A．6 B．8 C．10 D．12 8．已知不等式的解集为{x|a＜x＜b}，点A（a，b）在直线mx+ny+1=0上，其中mn＞0，则的最小值为（）A．B．8 C．9 D．12 9．若m+n=1（mn＞0），则+的最小值为（） A．1 B．2 C．3 D．4 10．已知x+3y=2，则3x+27y的最小值为（） A． B．4 C． D．6 11．若x＜0，则x+的最大值是（） A．﹣1 B．﹣2 C．1 D．2 12．已知a，b，c，是正实数，且a+b+c=1，则的最小值为（） A．3 B．6 C．9 D．12 二．填空题 1．已知正数x，y满足x+y=1，则的最小值为． 2．已知a＞0，b＞0，且a+b=2，则的最小值为． 3．已知x＞1，则函数的最小值为． 4．设2＜x＜5，则函数的最大值是． 5．函数f（x）=1+log a x（a＞0，a≠1）的图象恒过定点A，若点A在直线mx+ny﹣2=0上，其中mn＞0，则的最小值为． 6．已知x＞1，则函数y=2x+的最小值为．

不等式知识点总结及题型归纳

不等式的基本知识 一、解不等式 1、一元二次不等式的解法 一元二次不等式()0002 2 ≠<++>++a c bx ax c bx ax 或的解集： 设相应的一元二次方程()002 ≠=++a c bx ax 的两根为2121x x x x ≤且、，ac b 42 -=?，则 不等式的解的各种情况如下表： 0>? 0=? 0a ）的图象 c bx ax y ++=2 c bx ax y ++=2 c bx ax y ++=2 一元二次方程 ()的根 00 2>=++a c bx ax 有两相异实根 )(,2121x x x x < 有两相等实根 a b x x 221- == 无实根 的解集)0(02>>++a c bx ax {}2 1 x x x x x ><或 ???? ??-≠a b x x 2 R 的解集 )0(02><++a c bx ax {}21 x x x x << ? ? 2、简单的一元高次不等式的解法： 标根法：其步骤是： 1）分解成若干个一次因式的积，并使每一个因式中最高次项的系数为正； 2）将每一个一次因式的根标在数轴上，从最大根的右上方依次通过每一点画曲线；并注意奇穿过偶弹回； 3）根据曲线显现()f x 的符号变化规律，写出不等式的解集。()()()如：x x x +--<11202 3

3、分式不等式的解法：分式不等式的一般解题思路是先移项使右边为0，再通分并将分子分母分解因式，并使每一个因式中最高次项的系数为正，最后用标根法求解。解分式不等式时，一般不能去分母，但分母恒为正或恒为负时可去分母。 ()()0() () 0()()0;0()0() ()f x g x f x f x f x g x g x g x g x ≥?>?>≥??≠? 4、不等式的恒成立问题：常应用函数方程思想和“分离变量法”转化为最值问题 若不等式()A x f >在区间D 上恒成立,则等价于在区间D 上()min f x A > 若不等式()B x f <在区间D 上恒成立,则等价于在区间D 上()max f x B < 二、线性规划 1、用二元一次不等式（组）表示平面区域 二元一次不等式Ax +By +C ＞0在平面直角坐标系中表示直线Ax +By +C =0某一侧所有点组成的平面区域.（虚线表示区域不包括边界直线） 2、二元一次不等式表示哪个平面区域的判断方法 由于对在直线Ax +By +C =0同一侧的所有点(y x ,)，把它的坐标（y x ,)代入Ax +By +C ，所得到实数的符号都相同，所以只需在此直线的某一侧取一特殊点（x 0,y 0)，从Ax 0+By 0+C 的正负即可判断Ax +By +C ＞0表示直线哪一侧的平面区域.（特殊地，当C ≠0时，常把原点作为此特殊点） 3、线性规划的有关概念： ①线性约束条件：在上述问题中，不等式组是一组变量x 、y 的约束条件，这组约束条件都是关于x 、y 的一次不等式，故又称线性约束条件． ②线性目标函数： 关于x 、y 的一次式z =a x +b y 是欲达到最大值或最小值所涉及的变量x 、y 的解析式，叫线性目标