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《线性代数》模拟试卷B及答案

《线性代数》模拟试卷B 及答案

一、选择题（每小题3分，共30分）（1）若A 为4阶矩阵，则3A =（）

(A) 4A (B) 43A (C) 34A (D)3A （2）设A ，B 为n 阶方阵，0A ≠且0AB =，则（）

(A)0B = (B)0BA = (C)222()A B A B +=+ (D)00A B ==或（3）A ，B ，C 均为n 阶方阵，则下列命题正确的是（）

(A) AB BA = (B)0,00A B AB ≠≠≠则 (C) AB A B = (D) ,AB AC B C ==若则（4）222()2A B A AB B +=++成立的充要条件是（）

(A)AB BA = (B) A E = (C)B E = (D)A B =

（5）线性方程组(1)22(1)k x y a

x k y b

-+=??+-=?有唯一解，则k 为（）

(A)任意实数 (B) 不等于 (C) 等于 (D) 不等于0 （6）若A 为可逆阵，则1()A *-=（）

(A)A A (B)A A * (C)1

A - (D)1

A -*

（7）含有4个未知数的齐次方程组0AX =，如果()1R A =，则它的每个基础解系中解向量的个数为（）

(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3

（8）设A 为m n ?矩阵，齐次方程组0AX =仅有零解的充要条件是A 的（）

(A) 列向量线性无关 (B) 列向量线性相关 (C) 行向量线性无关 (D) 行向量线性相关

（9）已知矩阵A=3111??

?-??

,下列向量是A 的特征向量的是（）

(A)10?? ??? (B)12?? ??? (C)12-?? ??? (D) 11-??

???

（10）二次型222123123121323(,,)44224f x x x x x x x x x x x x λ=+++-+为正定二次型，则λ 的取值范围是（）

(A)21λ-<< (B)12λ<< (C)32λ-<<- (D)2λ> 二、计算题（第1、2小题每题5分，第3、4小题每题10分，共30分）

1、计算行列式 4x a a a

a x a a

D a a x a a a a x = 。（5分）

2、设321A=315323?? ?

? ???

，求A 的逆-1A 。（5分）

3、求矩阵方程AX B X +=，其中01011111,2010153A B -???? ? ?

=-= ? ? ? ?---????

。（10分）

4、求向量组()1=-1143T

α，()2=2-135T

α，()3=1078T

α，

()4=5-327T

α的秩，并求出它的一个最大无关组。（10分）

三、证明题（第1小题9分，第2小题6分，共15分）

1、已知向量组123,,ααα线性无关，112123123,,βαβααβααα==+=++，试证向量组123,,βββ线性无关。（9分）

2、设A 、B 分别为m ，n 阶可逆矩阵，证明：

00A H B ??=

???可逆，且11

100B H A ---??

= ???

。（6分）

四、综合题（第1小题15分，第2小题10分，共25分）

1、λ取何值时，非齐次线性方程组

123

x x x

λλ

++=

?++=

，（1）有唯一解；（2）

无解；（3）有无穷多个解？并在有无穷多个解时求其通解。（15分）

2、已知A 为n 阶方阵，且满足2230A A E --= （1）证明：2A E -可逆，并求()1

2A E --。（5分）（2）若1A =，求46A E +的值。（5分）

《线性代数》模拟试卷四参考答案与评分标准

一、选择题（30分）

每题3分，共10题，共30分

(1) B （2） D （3） C （4）A （5） B (6) C (7) D (8) A (9) D （10）A 二、计算题（30分）

第1、2小题每题5分，第3、4小题每题10分，共30分。 1

、

4x a a a a x a a D a a x a a a a x =

=00000

0x a a

a a x x a

a x x a a x x a ------=30

00000000x a a

a a x a x a x a

+--- =3

()(3)x a x a -+

或以其它方式计算视情况酌情给分，结果正确得5分。 2、对(,)A E 作初等行变换，当A 变为E 时，E 则变为1

A -,

1723100

321100632(,)315010~010

112(,)32300111001

022A E E A --?

? ?

?=--= ? ? ? ?

-?? ???

……4分则1

7236321121102

2A --??

? ?=-- ? ?

- ?

??……………………………………………………. 5分

也可用求伴随矩阵的方法求该矩阵的逆，视情况都可酌情给分。

3、由AX B X +=，得()A E X B -=-，求X ，我们同样可以用上面题目的方法，对

()

,A E B --进行初等变换，当A E -变为E 时，B -则变为

1()X A E B -=--，

()1101111011,10120~011111025300333A E B ----????

? ?

--=----- ? ? ? ?-----????……........5分 10031~010*******-??

? ?-??=()1,()E A E B ---……………………………………..8分则，1()X A E B -=--=312011-??

? ?-??

…………………………………………..…10分

4、作矩阵()1

412

15110343723587A αααα-??

?-- ?

???

经过初等行变换可化为行

最简形矩阵10150

11200000

00-??

???

，得()2R A =，即向量组1234,,,αααα的秩为

2，……….6分

可取12αα，为向量组的一个最大无关组 (10)

由题意可知向量组中的任何两个（因对应分量不成比例）都可以做为它的一个最大无关组。

三、证明题（15分）

第1小题9分，第2小题6分，共15分。

1、证明：设有123,,λλλ使1122330λβλβλβ++=，……………………….........2分即

112123123()()()0λαλααλααα+++++=， (4)

亦即 123123233()()0λλλαλλαλα+++++=，…………………………….6分

因123,,ααα线性无关，故有123233000λλλλλλ++=??

+=??=?

，……………………………8分

故方程组只有零解1230λλλ===，所以向量组123,,βββ线性无关。…..9分. 2、证明：11

0000m

m n n E A B HH

E E B A --+-????

??=== ? ? ?????

??…………………..4分故H 可逆且11

100B H

A ---??

= ???

………………………………………..6分四、综合题（25分）

第1小题15分，第2小题10分，共25分。 1、计算线性方程组的系数行列式

22111111011(1)(2)11002A λλ

λλλλλλλλ

==---=-+--……………..6分

当0A ≠，方程组有唯一解，即

（1）12λλ≠≠-当且时，方程组有唯一解；…………………………….8分（2）当2λ=-时，方程组的增广矩阵为

211110101212~011011240001B --???? ? ?=--- ? ? ? ?-????

，

则()2,()3R A R B ==，方程组无解；………………………………10分

（3）当1

λ=时，方程组的增广矩阵为 111111111111~000011110000B ???? ? ?

= ? ? ? ?????

，()()1R A R B ==，……….12分

方程组有无穷多个解，可得通解为123231(,)x x x x x =--可任意取值

即：1212123111100,(,)010x x c c c c R x --???????? ? ? ? ?

=++∈ ? ? ? ? ? ? ? ?????????

……………….…15分

2、（1）证明：由2

230A A E --=，得(2)3A A E E -=，则………….…..1分由A 为n 阶方阵，2330n

A A E E -==≠，………………….....3分 20A E ∴-≠，2A E ∴-可逆，由上可得：(2)3

A E E -=， ()

A E -∴-=

…………………………………………………....….5 分（2）由2

230A A E --=，可得2

23A A E =+， (1)

则2

246A A E =+，所以2246A A E =+，由1A =，…………... 3分

得2

246222n

A E A A +==?=………………………………........5 分