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线性代数第二章习题答案

习题 2-1

1．由6名选手参加乒乓球比赛，成绩如下：选手1胜选手2、4、5、6而负于选手3；选手2胜选手4、5、6而负于选手1、3；选手3胜选手1、2、4而负于选手5、6；选手4胜选手5、6而负于选手1、2、3；选手5胜选手3、6而负于选手1、2、4；选手6胜选手2而负于选手1、3、4、5．若胜一场得1分，负一场得0分，使用矩阵表示输赢状况，并排序．

解： ?????

??000010

100100110000001011

1110001110106543216

54321，选手按胜多负少排序为：6,5,4,3,2,1．

2．设矩阵???? ??-=????

+-=2521

,03231

z x y x B A ，已知B A =，求z y x ,,．解：由于B A =得?????=-=+=-0253223z x y x ，解得：??

??===211

z y x 。

习题 2-2

1．设????

??=0112A ，???

? ??-=4021B ，求（1）B A 52-；（2）BA AB -；（3）2

2B A -．

解：（1）???

??--=???? ??--???? ??=???? ??--???? ??=-202892001050224402150112252B A ；

（2）????

??--=???? ??--???? ??--=???? ?????? ??--???? ??-???? ??=-2592041021820112402140210112BA AB ；

（3）???

??--=???? ??-???? ??=???? ??-???? ??--???? ?????? ??=-152441606112254021402101120112B A 22．

2．已知????? ??--=230412301321A ，???

? ??---=052110

35123

4B ，求B A 23-．解：???

? ??----?????

??--=052110351234223041230

323B -A

???

??----=????? ??----????? ??--=61941016151055011010422061024686901236903963

3．设????

? ??----=?????

??=101012121234,432112

122121B A ，求

（1）B A -3；（2）B A 32+；

（3）若X 满足B X A =-，求X ；

（4）若Y 满足()()O Y B Y A =-+-22，求Y ．

解：（1）???

??-----?????

??=-10101212123443211212

212133B A

???

??-=????? ??-----????? ??=13973

2828

1010121212341296336366363；（2）???

??----+?????

?=+101012121234343211212

2121232B A

????

?--=????? ??----+????? ??=561

2525278

131430303636369

12864224244242；（3）由B X A =-得，

???

?---=????? ??-----????? ??=-=53310404

1113101012121234

432112122121B A X ；（4）由()()O Y B Y A =-+-22得，

???????

??=?

???? ??=+=223

32340

0223

31033112020335532)(32B A Y 。 4．计算下列矩阵的乘积：

（1）????

? ??=????? ???+?+??+?-+??+?+?=????? ??????? ??-49635102775132)2(71112374127075321134；

（2）()???

?? ??12332110132231=?+?+?=；

（3）???

? ??---=????? ???-??-??-?=-????? ??63224223)1(321)1(122)1(2)21(312；

（4）??

? ??---???? ??-20413121023

143110412

???? ??-?+?+?-+??+-?+-?-+??+?+?-+?-?+?+?+??+-?+-?+??+?+?+?=)2(4132)1(2104)3(3)1()1(3144130)1(11)2(014212200)3(4)1(1324

0140112???

? ??---=55201076；（5）()???

? ??????? ??321333231232221131211321x x x a a a a a a a a a x x x

()???

? ??++++++=3213332231133

322221123

31221111x x x x a x a x a x a x a x a x a x a x a

333322311323322221121331221111)()()(x x a x a x a x x a x a x a x x a x a x a ++++++++=

33332322322223131132121122111)()()(x a x x a a x a x x a a x x a a x a ++++++++=。

（6）??

??---=

???????

??---???????

??9000

3400

4210

30003200

121013

3000120010100121。

5．设???

??=λλλ001001A ，求3A ．

解：????

?=????? ??????? ??=2λλλλλλλλλλλA 0020

120010010010012

????

? ??=????? ?

?????? ??==32

030

330010010020

12λλλλλλλλλλλλλλA A A 。 6．设?

??? ??=021032A ，????? ??=032001B ，?

???

? ??=542001C ，（1）求AB 及AC ；

（2）如果AC AB =，是否必有C B =？（3）求T

A B ．

解：（1）???? ??=????? ?????? ??=4162032001021032AB ，?

? ??=????

?????? ??=4162542001021032AC ；（2）由（1）知AC AB =，而C B ≠；

（3）???

? ??=???? ??==16424162T

(AB)A B T T 。

7．已知1)(2

--=x x x f ，????

? ??-=011213113A ，求)(A f ．

解：????? ??-????? ??--????? ??-????? ??-=--=100010001011213113011213113011213113)(E A A A 2

????

??--=????? ??-????? ??--????? ??-=211301142910001000101121311310052145313。８．举反例说明下列命题是错误的：（1）若O A =2

，则O A =；

（2）若A A =2，则O A =或E A =；（3）若AY AX =，且O A ≠，则Y X =．

解：（1）举例若01111≠?

???

??--=A ，而02

=A ；（2）举例若???? ??=0011A ，A A =2

而0≠A 且E A ≠；

（3）举例若???? ??--=1111A ，???? ??=0011X ，???

??=1100Y ，AY AX =，且O A ≠而Y X ≠。

9．证明：如果BC CB AC CA ==, ，则有

（1）)()(B A C C B A +=+；（2）)()(AB C C AB =．证明：（1）)()(B A C CB CA BC AC C B A +=+=+=+；（2）)()(AB C (CA)B (AC)B A(CB)A(BC)C AB ===== 10．设B A ,均为n 阶矩阵，证明下列命题是等价的：（1）BA AB =；

（2）2

2)(B AB A B A ++=+；（3）2

2)(B AB A B A +-=-；

（4）2

))(())((B A B A B A B A B A -=+-=-+．

证明：（1）?（2）因为BA AB =，所以2

2)(B AB A B BA AB A B A ++=+++=+；

（2）?（1）2

2)(B AB A B BA AB A B A ++=+++=+，所以BA AB =；

（1）?（3）因为BA AB =，所以2

2)(B AB A B BA AB A B A +-=+--=-

（3）?（1）2

2)(B BA AB A B AB A B A +--=+-=-，所以BA AB =；

（1）?（4）因为BA AB =，所以2

))((B A B BA AB A B A B A -=-+-=-+

（4）?（1）2

))((B A B BA AB A B A B A -=-+-=-+，所以BA AB =。

11．设A 与B 是两个n 阶反对称矩阵，证明：当且仅当BA AB -=时，AB 是反对称矩阵．证明：先证当BA AB -=时，AB 是反对称矩阵。

因为AB BA A B (AB)T

-===，所以AB 是反对称矩阵。

反之，若AB 是反对称矩阵，即AB (AB)T

-=，则BA A B AB AB T

-=-=-=)(。

习题 2-3

1．判别下列方阵是否可逆，若可逆，求它们的逆矩阵：

（1）???? ??-3411；（2）????

?-θθθθ

cos sin sin cos ；（3）????? ??--523012101；（4）????? ??343122321；（5）?????

??987654321；（6）?

?????

? ??1000210032104321．解：（1）073

11≠=-=

A ，故1-A 存在，141322122111=-===A A A A

从而?????

??-=???? ??-==-717

47173

1413711*1

A A A （2）01cos sin sin cos ≠=-=

θθA ，故1-A 存在，

θθ

cos sin sin cos 22122111=-===A A A A

从而*1

1A A A

=-???

??-=θθθθcos sin sin cos （3）025

2301

≠=--=A ，故1

-A 存在，2,2,7,10,52221131211-====-=A A A A A ，

1,2,1,5233323123==-=-=A A A A

从而*1

1A A

A =-??????? ?

?----=211

27115211

（4）023

43122

21≠==A ，故1-A 存在，6,6,2,3,22221131211-===-==A A A A A ，

,5,4,233323123-==-==A A A A

从而*

1A A

-?????

? ??----=11125323231

（5）09

654

==A ，故1-A 不存在。（6）011

000210032104

321≠==

A ，故1-A 存在，2,0,0,0,12114131211-=====A A A A A ，

,0,0,131242322====A A A A 1,2,1,0,0,1,244434241343332=-=====-=A A A A A A A

从而??????? ??---==-10002100121001

211*1

A A

A 。

2．设?

???

? ??=????

??=????? ??=130231,3512,343122321C B A ，求矩阵X 使满足C AXB =．解：由1题中的（4）小题知 1

-A ?????? ?

?----=11125323231，又知???? ??--=-25131B 所以

==--1

1CB A X ?????

? ??----11125323231????? ??130231???? ??--2513????? ??---=???? ??--????? ??-=410410122513202011。 3．设???? ??=3152A ，???? ??-=1264B ，???

??-=1242C ，解下列矩阵方程：

（1）B AX =；（2）B XA =；（3）C AXB =．

解：???? ?

?--=-21

1A ，???

? ??-=-42611611

B （1）B AX ===?-B A X 1

???? ??--2153???

? ??-=???? ??-802321264 （2）B XA ===?-1

BA X ?

? ??--=???? ??--???? ??-85321821531264

(3)==?=--1

A X C AX

B ???? ??--2153 ???? ??-1242???? ??-4261161?

????? ??--=478

5417815

4．利用逆矩阵解下列线性方程组：

（1）?????=+-=-+=--114231124342321321321x x x x x x x x x ；（2）???

??=++=++=++3

5325221

32321

321321x x x x x x x x x ．

解：（1）取????? ??----=423243112A ，X ????? ??=321x x x ，???

?? ??=11114B ，则原方程组为B AX =

604232431

=----=A ，????? ??--=-111181111866126011A ∴?????

??==-1131

B A X ，即?????===1133

21x x x 。

（2）取????? ??=153522321A ，X ????? ??=321x x x ，???

??=321B ，则原方程组为B AX =

151535223

21==A ，????? ??---=-2141813413231511A ∴?????

??==-0011B A X ，即???

??===0013

21x x x 。

5．设O A =k

（k 为正整数），证明121

)

(--++++=-k A A A E A E ．

证明：因为))((1

-++++-k A

A A E A E

E )A A A (A A A A E k k k =++++-++++=--1212 （由O A =k ）

所以121

)

(--++++=-k A A A E A E 。

6．设方阵A 满足O E A A =--22

，证明A 和E A 2+都可逆，并求1

-A 和1

)2(-+E A ．

证明：因为O E A A =--22

可知E E)(A A =-?

21，所以A 可逆且)(2

1E A A -=-；又有O E A A =--22

得E A)E E A =-?

+3(4

)2(，所以E A 2+可逆且 )3(4

)2(1A E E A -=

+-。 7．设B A AB A 2,321011330+=???

?? ??-=，求B ．

解：因为B A AB 2+=，所以A B E A =-)2(，而???

??---=-121011

3322E A ，22=-E A ，

????

??---=--11131133121)2(1E A ，所以

????

??-=????? ??-?????

??---=-=-01132133032101133011131133121)2(1A E A B 。

8．设B A E AB A +=+????

? ??=2

,101020101，求矩阵B ．

解：由于B A E AB +=+2，有))(()(2

E A E A E A B E A +-=-=-

而????? ??=-001010100E A 且01≠-=-E A ，可知E A -可逆，所以???

? ??=+=201030102E A B 。

9．设*A 是n 阶方阵A 的伴随矩阵，证明：

（1）若A 可逆，则1

||*-=A A A ；（2）若0||=A ，则0|*|=A ；

（3）1

|||*|-=n A A ；

（4）若A 可逆，则A A A A |

|1*)()*(1

1==--；（5）若A 可逆，则T

*)()*(A A =．

证明：（1）∵E A AA =*

，而A 可逆，∴11

||*--==A A E A A

（2）0||=A ，当0=A ，则O A =*

，∴0=*A

当0≠A ，则由E A AA =*

0=，∴0=A 矛盾。∴0=*A

故当0=A 时，有0=*A 。

（3）若0=A 由（2）知0=*A 此时命题也成立，故有1

=n A

A 。

若0≠A ，则由?=*

E A AA n

A E A A A ==*

，∴1

=n A

综上有1

=n A

A 。

（4）∵E A AA =*

，而A 可逆，∴A A

A 1)

- 又E A E A

A A 1)(1

*11=

=---，∴A A A 1)(*1=-，即A A A A |

|1*)()*(11==--

（5）∵A 可逆，∴T A 可逆

又E A E A A A T T T ==*)(， E A E A A A A A T T T T ===)()()(** 即T

*)()*(A A A A T

=， ∴T

*)()*(A A =

10．设A 的伴随矩阵??????

? ??-=8030010100100001*A ，且E BA ABA 31

1+=--，

求矩阵B ．

解：由E BA ABA 311+=--A A B A AB A A B AB *

**33+=?+=?

E B A E E A B A B A 6)2(3**=-?+=?

而??????? ?

?-=--610210010100

100001

)2(1*A E ，∴??

? ??-=-=-10300606006000

06)2(61

*A E B 。 11．设ΛAP P =-1，其中???

? ??-=???? ??--=2001,1141ΛP ，求11

A ．解：∵Λ=-AP P 1

故1

-=P P A Λ，所以1

-=P P A Λ

而3=P ， ???? ??-=*1141P ， ???

? ??--=-1141311

P ， ???? ??-=???? ??-=1111

1120012001Λ 故??????

??--???? ??-???? ??--=31313431

200111411111

A ???? ??--=???? ??----++=68468327322731242124213111111313 12．设P ΛAP =，其中????

? ??-=?????

?--=511,11120

1111ΛP ，

求)65()(2

A A E A A +-=?．

解：∵61112011

11-=--=P ，?????

??------=12130

3222*

P ，∴???????

? ??--=-61316121021313

131

1*1P

又??

??=????? ??-=0000000012)5()1()1()(????Λ

故????

? ??????? ??--==-000000001211120111

1)()(1

A P A ????????

? ??--

61316121021313

131

?????

??=444444444。 13．设矩阵A 、B 及B A +都可逆，证明：（1）11--+B A 也可逆，并且()

B B A A B A 11

11)(----+=+；

（2）A B A B B B A A 1

)

()(--+=+．

证明：（1）∵B B A A B E B B A A B A

11111

))(())()((-----++=++

E B B B B A B A B B B A A B B B ==++=++=------111111))(())((

∴11--+B A 可逆且()

B B A A B A 11

1)(----+=+

（2）∵)()()()()()(1

1111111-------++++=++AB BB B A B AB E B A B B A A B A B -

E BB B B A B A B ==++=---111)()(

∴A B A B B A --11

)()

(--+=+，又有（1）知()

B B A A B A 11

1)(----+=+

由逆矩阵的唯一性知，A B A B B B A A 1

1)()(--+=+。

习题 2-4

1．设矩阵???????

?--=100001004210

01A ，???

?-=1020013

6000

20021B ，用分块矩阵计算：（1）A k ；（2）B A +．

解：先对B A ,进行分块?

???

??-=E A E A 01，???

??=E B B B 210，其中???? ?

?=42

311A ，????

?=0221

1B ，???? ??-=20362B （1）A k ???? ??-=kE 0kA kE 1????

?--=k k k k k k k k 0

00000

420

30；（2）???? ??+=+0B A B E B A 211????

??-=0020003642123122。 2．设??????? ??-=1011012100100001A ，????

? ??---=02111

40110210101

B ，求AB ．解：先对B A ,进行分块???? ??=E A 0E A 1，???? ??=321B B E B B ，其中???

? ??-=11211A ，

???? ??-=21011B ，???? ??--=11012B ，?

??=02143B 则???

??++=312111B A B B A E B AB ，

而???? ??--=+1142211B B A ，???? ??=+133331B A ，所以??????

?---=131133

4210

210101AB 。 3．设???????

?=b b a a 100100000

001A ，????

??=b b a a 100000001000B ，求ABA ．解：先对B A ,进行分块???? ??=21A 00A A ，???? ??=21B 00B B ，其中1A =???

??a a 01，=2A ???? ??b b 11，1B =???

??a a 10，=2B ???? ??b b 10，则???? ??=2211B A 00B A AB ，???? ??=222111A B A 00A B A ABA 而=111A B A ???? ??+++a a a a a a 322312，=222A B A ???

??+++b b b b b b 231223223 ∴=ABA ??????

? ??++++++322

223230012200

000012b b b b b b a a a

a a a 4．设??????? ??-=22000

20000340043A ，求8

A 及4A ．解： ?

???

?? ?

?-=22023443O O A ，令???? ??-=34431A ???

? ??=22022A A 则???? ??=21

A O

O A A 是分块对角阵，故8

218

???? ?

?=A O O A A ???

??=828

1A O

O A 168

281810===A A A A A

??????

? ?

?=???? ?

?=46

444424

22025005O O A O

O A A

5．已知分块方阵???? ??=O B A O D ，???

??=B O C A F ，其中B A ,均为可逆方阵，证明D 和F 均可

逆，并求1-D 和1-F ．

证明：设有矩阵?

? ??=43211X X X X D ，使E DD =1，即????

??=???? ??E 00E BX BX AX AX 2143 则??

?????====E BX 0BX 0

AX E

AX 214

3，因B A ,均为可逆方阵，所以有???????====--12

1413B X 0X 0X A X ，即???? ??=--0A B 0D 111 从而D 可逆且=-1

D ???

? ??=--0A B 0D 111。

设有???? ??=43211X X X X F ，使E FF =1，即???

??=???? ??++E 00E BX BX CX AX CX AX 434231 ??????

?===+=+E BX 0BX 0CX AX E

CX AX 43

231，因B A ,均为可逆方阵，所以有???????==-==----14

311211B X 0X CB A X A X ，即???? ?

?-=----1111

1B 0

CB A A F ，从而F 可逆且=-1

F ???

??-=----11111B 0CB A A F 。 6．求下列矩阵的逆阵：

（1）???????

?2500380000120025；（2）????

??4121031200210001．解：（1）记原方阵为???? ??21A 00A ，则???? ??--=-522111A ，???

? ??--=-85321

2A ∴=

?-1

2500380000120025

121-???? ??A 00A ???? ??=--121

1A 00A ??

????

? ??----=85003200005200

21 （2）记原方阵为???? ??32

A A

0A ，则可直接凑得???? ??-=-----1311

2131

1A A A A 0A A 而???? ??-=-212

1011

A ，??????

??-=-4112103113A ，?

????

??-=--24581612111213A A A

∴=??

?-1

4121031200210001?

??? ?

?-----131

12131

1A A A A 0A =????????

??-----411212458

1031612

10021

210001

习题 2-5

1．对下列矩阵作初等行变换，先化为行阶梯形矩阵，再化为行最简形矩阵：

（1）?????

??211152223420；（2）??????? ??-------31370130313111044321；（3）??????

? ??---------12433023221453334311；（4）??????? ??------34732038234202173132；（5）??????? ??-------37413741174316923

；（6）???????? ??----0321050713541420．解：（1）3

212313420100021112342052222111211152223420r r r r r r ???

? ??-????? ???????? ?? ????? ??100034202111（行阶梯形矩阵）????? ??-?---1000021001012

1)3(212132321r r r r r （行最简形矩阵）

（2）??????? ??-------313701303131110443213424213224840012

42003111044

32175r r r r r r r +?????

??-------+-- ??????? ??-----000001242003111044321（行阶梯形矩阵）??????

? ??-----?000006

21003111044321213

r ????

? ??---+-+000006

21003101080001232321r r r r r （行最简形矩阵）

（3）1

4131232312433023221453334

311r r r r r r ---??

???

?--------- ?????

??--------10105006630088

40034

311)

41(454322

3-?--r r r r r ??

??---00000000002210034311（行阶梯形矩阵）

13r r -??

?---00000000002210032

1（行最简形矩阵） (4) ??

??------34732038234202173132

132421242321711877

012988

0111104202

1232r r r r r r r r r r r r r r r ?---??

???

??-----?---

???????

?---00000410001111042021（行阶梯形矩阵）

?---?-+0000041000

30110

202

)1(223221r r r r r （行最简形矩阵）

（5）??????? ??-------37413741174316923??????

? ??----+???

???? ??-----?+++00001430001431037

417000045217014310374132331322134r r r r r r r r r r （行阶梯形矩阵）????

??-+-??????? ??---?-00001000031005011459000010001431059501)1431(43

23132

1r r r r r r r （行最简形矩阵）（

）

???????? ??----0321050713541420???????? ??------????????? ??------?++1050105022110210

541211050105022110420541232212523r r r r r r r ???

??---+-+0000000002105415511252423r r r r r r （行阶梯形矩阵）?????

? ??--???????? ??---?0000000002103014000000000210541)1(211r r r （行最简形矩阵）

2．把可逆矩阵???

?? ??--=023111021A 分解为初等阵的乘积．

解：因为????? ??--=023111021A ???

? ??-??? ??-?-????? ??-?-????? ??++1003106018128003100213310130021332132321223r r r r r r r r r r r

???

??-+100010001363231r r r r

即E A E E E E E E E E =----))3(2,3())1(1,2())3(3,2()3,2())2(2,1())8

(3())6(3,1())3(3,2(

))3(3,2())6(3,1())8(3()2(2,1()3,2()))3(3,2())1(1,2())3(3,2(E E E E E E E E A ----=

3．设???

??=????? ??????? ??963852741101010001010100001A ，求A ．

解：????? ??=????? ?

?????? ??963852741101010

001010100001A 可以写成????

??=963852741))1(1,3()3,2(AE E

从而))1(1,3(963852741)3,2())1(1,3(963852

741)3,2(1

-????

??=????? ??=--E E E E A

????

??---=-????? ??=856966746))1(1,3(852963741E

4．用初等行变换求下列矩阵的逆矩阵：

（1）????? ??--523012101；（2）????

?343122

321；（3）?????

??---11110

3231；（4）??

?-----121023211220

1023．

解：（1）?

? ??---+-????? ??--=1032200122100011

0132100523010012001101),(1312r r r r E A