《光学教程》姚启钧课后习题解答

《光学教程》（姚启钧）习题解答

第一章 光的干涉

1、波长为500nm 的绿光投射在间距d 为0.022cm 的双缝上，在距离180cm 处的光屏上形成干涉条纹，求两个亮条纹之间的距离。若改用波长为700nm 的红光投射到此双缝上，两个亮纹之间的距离为多少？算出这两种光第2级亮纹位置的距离。

解：1500nm λ= 7011180500100.4090.022

r y cm d λ-?=

=??= 改用2700nm λ= 7022180700100.5730.022

r y cm d λ-?=

=??= 两种光第二级亮纹位置的距离为： 21220.328y y y cm ?=?-?=

2、在杨氏实验装置中，光源波长为640nm ，两狭缝间距为0.4mm ，光屏离狭缝的距离为50cm ，试求：⑴光屏上第1亮条纹和中央亮纹之间的距离；⑵若P 点离中央亮纹为0.1mm 问两束光在P 点的相位差是多少？⑶求P 点的光强度和中央点的强度之比。

解：⑴ 7050640100.080.04

r y cm d λ-?=

=??= ⑵由光程差公式

210

sin y

r r d d

r δθ=-== 0224

y d

r π

π

π?δλ

λ

?=

=

?=

⑶中央点强度：2

04I A =

P 点光强为：2

21cos

4I A π??

=+ ??

?

012

(1)0.8542I I =+=

3、把折射率为1.5的玻璃片插入杨氏实验的一束光路中，光屏上原来第5级亮条纹所在的位置变为中央亮条纹，试求插入的玻璃片的厚度。已知光波长为7610m -?

解： 1.5n =，设玻璃片的厚度为d

由玻璃片引起的附加光程差为：()1n d δ'=- ()15n d λ-= ()76455

61061061010.5

d m cm n λ---==??=?=?-

4、波长为500nm 的单色平行光射在间距为0.2mm 的双缝上。通过其中一个缝的能量为另一个的2倍，在离狭缝50cm 的光屏上形成干涉图样，求干涉条纹间距和条纹的可见度。

解： 7050500100.1250.02

r y cm d λ-?=

=??= 由干涉条纹可见度定义：

12min

2min

1221Max Max A A I I V I I A A ?? ?

-??=

=+??+ ???

由题意，设22

122A A =

，即

1

2

A A =

0.943

V ==

5、波长为700nm 的光源与菲涅耳双镜的相交棱之间距离为20cm ，棱到光屏间的距离L 为180cm ，若所得干涉条纹中相邻亮条纹的间隔为1mm ，求双镜平面之间的夹角

θ。

解：700,20,180,1nm r cm L cm y mm λ===?= 由菲涅耳双镜干涉条纹间距公式

()()()72sin 20180sin 700100.0035

22200.1

r L y r r L r y λ

θ

θλ-+?=

++=

=??=???

180

sin 0.003560123.14

θθ'≈=??

6、在题1.6 图所示的劳埃德镜实验中，光源S 到观察屏的距离为1.5m ，到劳埃德镜面的垂直距离为2mm 。劳埃德镜长40cm ，置于光源和屏之间的中央。⑴若光波波长500nm λ=，问条纹间距是多少？⑵确定屏上可以看见条纹的区域大小，此区域内共有几条条纹？（提示：产生干涉的区域P 1P 2可由图中的几何关系求得）

解：由图示可知：7

050050010,40.4, 1.5150nm cm d mm cm r m cm λ-==?====

①70150500100.018750.190.4

r y cm mm d λ-?=

=??== ②在观察屏上可以看见条纹的区域为P 1P 2间

P 2 P 1 P 0

题1.6图

010.750.2

2 1.160.750.2P P mm -=

?=+

02

0.750.2

2 3.450.750.2

P P mm +=?=- 即21 3.45 1.16 2.29P P mm =-=，离屏中央1.16mm 上方的2.29mm 范围内可看见条纹。

21

2.29120.19

P P N y =

==?

7、试求能产生红光（700nm λ=）的二级反射干涉条纹的肥皂膜厚度。已知肥皂膜折射率为1.33，且平行光与法向成300角入射。

解：2700, 1.33nm n λ==

由等倾干涉的光程差公式：22

λ

δ=

222

λ

λ=

426d nm =

=

8、透镜表面通常镀一层如MgF 2（ 1.38n =）一类的透明物质薄膜，目的是利用干涉来降低玻璃表面的反射。为了使透镜在可见光谱的中心波长（550nm ）处产生极小的反射，则镀层必须有多厚？

解： 1.38n =

物质薄膜厚度使膜上下表面反射光产生干涉相消，光在介质上下表面反射时均存在半波损失。

由光程差公式：

122nh δλ== 555099.611044 1.38

h nm cm n λ-=

===??

9、在两块玻璃片之间一边放一条厚纸，另一边相互压紧，玻璃片l 长10cm

，纸厚为

0.05mm ，从600

的反射角进行观察，问在玻璃片单位长度内看到的干涉条纹数目是

多少？设单色光源波长为500nm

解：

02cos602

o

n h

δ=

+

相邻亮条纹的高度差为：605005001012cos60

21

2

o

h nm mm n λ

-?=

=

=???

可看见总条纹数60.0510050010

H N h -=

==?? 则在玻璃片单位长度内看到的干涉条纹数目为： 1001010

N n l =

== 即每cm 内10条。

10、在上题装置中，沿垂直于玻璃表面的方向看去，看到相邻两条暗纹间距为1.4mm 。已知玻璃片长17.9cm ，纸厚0.036mm ，求光波的波长。

解：

当光垂直入射时，等厚干涉的光程差公式： 22

nh λ

δ=+

可得：相邻亮纹所对应的厚度差：2h n

λ?=

由几何关系：

h H l l ?=?，即l h H l ??= 40.1422210.00360.563110563.117.9

l n h n H cm nm l λ-?=?==???=?=

11、波长为400760nm 的可见光正射在一块厚度为61.210m -?，折射率为1.5的薄玻璃片上，试问从玻璃片反射的光中哪些波长的光最强。

解：6

1.210, 1.5h m n -=?=

由光正入射的等倾干涉光程差公式：22

nh λ

δ=-

使反射光最强的光波满：足22

nh j λ

δλ=-=

()41

72002121

nh nm j j λ=

=?++

5,654.5j nm λ== 6,553.8j nm λ== 7,480.0j nm λ== 8,423.5j nm λ==

12、迈克耳逊干涉仪的反射镜M 2移动0.25mm 时，看到条纹移过的数目为909个，设光为垂直入射，求所用光源的波长。

解：

光垂直入射情况下的等厚干涉的光程差公式：22nh h δ== 移动一级厚度的改变量为：2

h λ?=

60.25109092

nm

λ

?=

M 1

M 2

60.25102

550.0909

nm λ??=

=

13、迈克耳逊干涉仪的平面镜的面积为244cm ?，观察到该镜上有20个条纹，当入射光的波长为589nm 时，两镜面之间的夹角为多少？

解：

由光垂直入射情况下的等厚干涉的光程差公式： 22nh h δ== 相邻级亮条纹的高度差：2

h λ?=

由1M 和2M '构成的空气尖劈的两边高度差为：

2010H h λ?=??=

7

10589100.0001472530.3944

H rad α-???''====

14、调节一台迈克耳逊干涉仪，使其用波长为500nm 的扩展光源照明时会出现同心圆环条纹。若要使圆环中心处相继出现1000条圆环条纹，则必须将移动一臂多远的距离？若中心是亮的，试计算第一暗环的角半径。（提示：圆环是等倾干涉图样，计

算第一暗环角半径时可利用21

sin ,cos 12

θθθθ≈≈-的关系。）

解：500nm λ=

出现同心圆环条纹，即干涉为等倾干涉 对中心 2h δ=

72

210001100050010 2.5100.252

h h cm mm

λ

--?=?=???=?=

15、用单色光观察牛顿环，测得某一亮环的直径为3mm ，在它外边第5个亮环的直径为4.6mm ，所用平凸透镜的凸面曲率半径为1.03m ，求此单色光的波长。

1M

2M '

解：由牛顿环的亮环的半径公式：r =

()2

2132122j R r λ

??

+== ???

()2

2

2

4.62(5)122j R r λ

??

++== ???

以上两式相减得：

12.16

54R λ= 33

12.16

0.590310590.345 1.0310

mm nm λ-==?=???

16、在反射光中观察某单色光所形成的牛顿环，其第2级亮环与第3级亮环间距为

1mm ，求第19和20级亮环之间的距离。

解：牛顿环的反射光中所见亮环的半径为：

r =

即：2r =

3r =

19r =

20r =

则：)

2019320.16

0.40.4r r r r r mm ?=-==

-==

第2章 光的衍射

1、单色平面光照射到一小圆孔上，将其波面分成半波带。求第k 个带的半径。若极

点到观察点的距离0r 为1m ，单色光波长为450nm ，求此时第一半波带的半径。

解：

由公式

2

011H

R k r R λ??=+ ???

对平面平行光照射时，波面为平面，即：R →∞

2

0H R kr λ=

263

01450101100.45H R kr λ-==????=

H R =

2、平行单色光从左向右垂直射到一个有圆形小孔的屏上，设此孔可以像照相机光圈那样改变大小。问：⑴小孔半径应满足什么条件时，才能使得此小孔右侧轴线上距小孔中心4m 的P 点的光强分别得到极大值和极小值；⑵P 点最亮时，小孔直径应为多大？设此光的波长为500nm 。

解：⑴04400r m cm ==

H R =

==

当k 为奇数时，P 点为极大值

当C 数时，P 点为极小值

⑵由()11

2

P k A a a =

±，k 为奇，取“+”

；k 为偶，取“-” 当1k =，即仅露出一个半波带时，P 点最亮。

10.141,(1)H R cm k ==，0.282D cm =

3、波长为500nm 的单色点光源离光阑1m ，光阑上有一个内外半径分别为0.5mm 和1mm 的透光圆环，接收点P 离光阑1m ，求P 点的光强I 与没有光阑时的光强0I 之比。

解：

()12

3

21

1900.50.510111115001011H H R mm

R k r R λ--=?????

=+=

+= ? ??????

()22

3

22

2901110111145001011H H R mm

R k r R λ--=?????

=+=+= ? ????

?? 即从透光圆环所透过的半波带为：2，3，4 设1234a a a a a ==== 234P A a a a a =-+= 没有光阑时

()111

,2

,011

22

P k k P

A a a k a A a a '=±→∞→'==

光强之比：22

04

1

12I a I a ==?? ???

4、波长为632.8nm 的平行光射向直径为2.76mm 的圆孔，与孔相距1m 处放一屏，试问：⑴屏上正对圆孔中心的P 点是亮点还是暗点？⑵要使P 点变成与⑴相反的情况，至少要把屏分别向前或向后移动多少？

解：

由公式

2

011H

R k r R λ??=+ ???

对平面平行光照射时，波面为平面，即：R →∞

2

290 2.7623632.8101

H R k r λ-?? ???===??， 即P 点为亮点。 则 0113k r R ??

=?+

???

， 注：0,r R 取m 作单位 0

13

k r = 向右移，使得2k =，03

1.5, 1.510.52r m r m '=

=?=-= 向左移，使得4k =，03

0.75,10.750.254

r m r m '==?=-=

5、一波带片由五个半波带组成。第一半波带为半径1r 的不透明圆盘，第二半波带是半径1r 和2r 的透明圆环，第三半波带是2r 至3r 的不透明圆环，第四半波带是3r 至4r 的透明圆环，第五半波带是4r 至无穷大的不透明区域。

已知1234:::r r r r =用波长500nm 的平行单色光照明，最亮的像点在距波带片1m 的轴上，试求：⑴1r ；⑵像点的光强；⑶光强极大值出现在哪些位置上。

解： ⑴

由1234:::r r r r =

波带片具有透镜成像的作用，2

Hk

R f k λ

'=

2

129111150010,0.07r m r r cm

λ

λ-=

?==?=

⑵2242,

4A a a a I a =+==

无光阑时，2

2011

24I a a ??== ???

即：016I I =，0I 为入射光的强度。 ⑶由于波带片还有11,35f f ''…等多个焦点存在，即光强极大值在轴上11

,35

m m …

6、波长为λ的点光源经波带片成一个像点，该波带片有100个透明奇数半波带（1,3,5,…,199）。另外100个不透明偶数半波带。比较用波带片和换上同样焦距和口径的透镜时该像点的强度比0:I I 。

解：由波带片成像时，像点的强度为： ()2

100I a =

由透镜成像时，像点的强度为：

()2

0200I a = 即014

I I =

7、平面光的波长为480nm ，垂直照射到宽度为0.4mm 的狭缝上，会聚透镜的焦距为

60cm 。分别计算当缝的两边到P 点的相位差为/2π和/6π时，P 点离焦点的距离。

解：

对沿θ方向的衍射光，缝的两边光的光程差为：sin b δθ= 相位差为：22sin b π

π

?δθλ

λ

?==

对使2

π

??=

的P 点

2sin 2

b π

π

?θλ?=

=

sin 4b

λ

θ=

6

148010tan sin 6000.18440.4

y f f f mm b λ

θθ-?'''=?≈?==?=? 对使6

π

??=

的P `

点

2sin 6

b π

π

?θλ

?=

=

sin 12b

λ

θ=

6

148010tan sin 6000.0612120.4

y f f f mm b λ

θθ-?'''=??==?=?

8、白光形成的单缝衍射图样中，其中某一波长的第三个次最大值与波长为600nm 的

光波的第二个次最大值重合，求该光波的波长。

解：对θ方位，600nm λ=的第二个次最大位 1sin 22b

λθθ??≈=+ ??

? 对 λ'的第三个次最大位 1sin 32b

λθθ'??≈=+ ??

? 即：

5722b b λλ'?=? 55

600428.677

nm λλ'==?=

9、波长为546.1nm 的平行光垂直地射在1mm 宽的缝上，若将焦距为100cm 的透镜紧贴于缝的后面，并使光聚焦到屏上，问衍射图样的中央到⑴第一最小值；⑵第一最大值；⑶第三最小值的距离分别为多少？

解：⑴第一最小值的方位角1θ为：1sin 1b θλ=?

6

111546.110tan sin 10000.551

y f f f mm b λ

θθ-?'''=≈==?=

⑵第一最大值的方位角1θ'为：

11sin 12b

λ

θ??'=+ ???

6

111546.110tan sin 1.431000 1.430.781

y f f f mm b λ

θθ-?''''''=≈=?=??=

⑶第3最小值的方位角3θ为：3sin 3b

λ

θ=?

6

333546.110tan sin 310003 1.651

y f f f mm b λ

θθ-?'''=≈=?=??=

10、钠光通过宽0.2mm 的狭缝后，投射到与缝相距300cm 的照相底片上。所得的第一最小值与第二最小值间的距离为0.885cm ，问钠光的波长为多少？若改用X 射线（0.1nm λ=）做此实验，问底片上这两个最小值之间的距离是多少？

解：

单缝衍射花样最小值位置对应的方位θ满足： sin ,1,2,3,....k k b

λ

θ==±±±

则 11sin 1b

λ

θθ≈=?

22sin 2b

λ

θθ≈=?

()21x L L b

λ

θθ?=?-=

40.28.85 5.9105903000

b x mm nm L λ-=

?=?=?= 7

40.110300 1.5100.02

x L cm b λ

--?'?==?

=?

11、以纵坐标表示强度，横坐标表示屏上的位置，粗略地画出三缝的夫琅禾费衍射（包括缝与缝之间的干涉）图样。设缝宽为b ，相邻缝间的距离为d ，3d b =

。注意

缺级问题。

12、一束平行白光垂直入射在每毫米50条刻痕的光栅上，问第一级光谱的末端和第二光谱的始端的衍射角θ之差为多少？（设可见光中最短的紫光波长为400nm ，最长的红光波长为760nm ）

解：每毫米50条刻痕的光栅，即1

0.0250

d mm mm =

= 第一级光谱的末端对应的衍射方位角1θ末为

111sin 1sin d d

θλλθθ=?≈=

红

末红末末

第二级光谱的始端对应的衍射方位角2θ始为

1sin 22sin d d

θλλθθ=?≈=

2始紫

紫2始2始 ()()66321112240010760102100.02

rad d θθθλλ---?=-=-=??-?=?红始末紫

13、用可见光（760400nm ）照射光栅时，一级光谱和二级光谱是否重叠？二级和三级怎样？若重叠，则重叠范围是多少？

解：光谱线对应的方位角θ：sin k d

λ

θθ≈=

21400760

21d d

θθ=?

>=?

始末 即第一级光谱与第二级光谱无重叠 237601520400120023d d d d

θθ=?

=>=?=末始 即第二级光谱与第三级光谱有重叠 由215201520

3,506.73

nm nm d d

λ

θλ=

=?=

=末 即第三级光谱的400506.7nm 的光谱与第二级光谱重叠。

14、用波长为589nm 的单色光照射一衍射光栅，其光谱的中央最大值和第二十级主最大值之间的衍射角为01510'，求该光栅1cm 内的缝数是多少？

解：第20级主最大值的衍射角由光栅方程决定 20sin 20d θλ= 2020sin 20

d

λ

θθ==

156010

20180603.14

d

λ?+=?

解得2

0.4510d cm -=? 1

222/N cm d

==条

15、用每毫米内有400条刻痕的平面透射光栅观察波长为589nm 的钠光谱。试问：⑴光垂直入射时，最多功能能观察到几级光谱？⑵光以030角入射时，最多能观察到几级光谱？

解：61

,58910400

d mm mm λ-=

=?

⑴光垂直入射时，由光栅方程：sin d j θλ= 61

11

sin 4.24458910400

j d θλ

-=

=

?=≈?

即能看到4级光谱

⑵光以30o

角入射 (

)sin sin 30

o

d j θλ+=

()1sin sin 304162o

d

j θλ??

=+=+= ???

16、白光垂直照射到一个每毫米250条刻痕的平面透射光栅上，试问在衍射角为030处会出现哪些波长的光？其颜色如何？

解：1

250

d mm =

在30o

的衍射角方向出现的光，应满足光栅方程：sin 30o

d j λ=

11111sin 3020002502o d mm nm j j j

λ=

=??=? 3,667j nm λ==

4,500j nm λ== 5,400j nm λ==

17、用波长为624nm 的单色光照射一光栅，已知该光栅的缝宽b 为0.012mm ，不透明部分的宽度a 为0.029mm ，缝数N 为310条。求：⑴单缝衍射图样的中央角宽度；⑵单缝衍射图样中央宽度内能看到多少级光谱？⑶谱线的半宽度为多少？

解：0.012,

0.029b mm a mm ==

0.041d a b mm =+= 1000N =

⑴6

062410220.1040.012

rad b λ

θ-??==?

= ⑵j 级光谱对应的衍射角θ为：

11sin sin 1d j d

θλ

λθθ==?

112 3.43d

k b

θθ?===→

即在单缝图样中央宽度内能看到()2317?+=条（级）光谱 ⑶由多缝干涉最小值位置决定公式：sin j Nd

λ

θ'=?

6

512

62410 1.521010000.041rad Nd λ

θ--??===??