微积分初步形成性考核册答案--全
微积分初步形成性考核作业（一）解答
一、填空题（每小题2分，共20分） 1．函数)
2ln(1
)(-=
x x f 的定义域是 ．
解：020)2ln({>-≠-x x ， 2
3{>≠x x
所以函数)
2ln(1
)(-=
x x f 的定义域是),3()3,2(+∞?
2．函数x
x f -=
51)(的定义域是 ．
解：05>-x ，5 所以函数x x f -= 51)(的定义域是)5,(-∞ 3．函数24) 2ln(1 )(x x x f -++= 的定义域是 ． 解：?????≥->+≠+04020)2ln(2x x x ，?? ? ? ?≤≤-->-≠2 221 x x x 所以函数24)2ln(1)(x x x f -++=的定义域是]2,1()1,2(-?-- 4．函数72)1(2+-=-x x x f ，则=)(x f ． 解：72)1(2 +-=-x x x f 6)1(6122 2 +-=++-=x x x 所以=)(x f 62 +x 5．函数? ??>≤+=0e 02)(2x x x x f x ，则=)0(f ． 解：=)0(f 2202 =+ 6．函数x x x f 2)1(2 -=-，则=)(x f ． 解：x x x f 2)1(2 -=-1)1(1122 2 +-=-+-=x x x ，=)(x f 12 +x 7．函数1 3 22+--=x x x y 的间断点是 ． 解：因为当01=+x ，即1-=x 时函数无意义 所以函数1 3 22+--=x x x y 的间断点是1-=x 8．=∞ →x x x 1 sin lim ． 解：=∞ →x x x 1 sin lim 11 1sin lim =∞→x x x 9．若2sin 4sin lim 0=→kx x x ，则=k ． 解： 因为24 sin 44sin lim 4sin 4sin lim 00===→→k kx kx x x k kx x x x 所以2=k 10．若23sin lim 0=→kx x x ，则=k ． 解：因为23 33lim 33lim 00===→→k x x sim k kx x sim x x 所以2 3 = k 二、单项选择题（每小题2分，共24分） 1．设函数2 e e x x y +=-，则该函数是（ ）． A ．奇函数 B ．偶函数 C ．非奇非偶函数 D ．既奇又偶函数 解：因为y e e e e x y x x x x =+=+= -----2 2)()( 所以函数2 e e x x y +=-是偶函数。故应选B 2．设函数x x y sin 2 =，则该函数是（ ）． A ．奇函数 B ．偶函数 C ．非奇非偶函数 D ．既奇又偶函数 解：因为y x x x x x y -=-=--=-sin )sin()()(2 2 所以函数x x y sin 2 =是奇函数。故应选A 3．函数2 22)(x x x x f -+=的图形是关于（ ）对称． A ．x y = B ．x 轴 C ．y 轴 D ．坐标原点 解：因为)(222222)()()(x f x x x f x x x x -=+-=+?-=----- 所以函数222)(x x x x f -+=是奇函数 从而函数2 22)(x x x x f -+=的图形是关于坐标原点对称的 因此应选D 4．下列函数中为奇函数是（ ）． A ．x x sin B ．x ln C ．)1ln(2x x ++ D ．2 x x + 解：应选C 5．函数)5ln(4 1 +++= x x y 的定义域为（ ）． A ．5->x B ．4-≠x C ．5->x 且0≠x D ．5->x 且4-≠x 解：???>+≠+0504x x ，? ??->-≠54x x ，所以应选D 6．函数) 1ln(1 )(-= x x f 的定义域是（ ）． A ． ),1(+∞ B ．),1()1,0(+∞? C ．),2()2,0(+∞? D ．),2()2,1(+∞? 解：?? ?>-≠-010)1ln(x x ，???>≠1 2 x x ， 函数) 1ln(1 )(-= x x f 的定义域是),2()2,1(+∞?，故应选D 7．设1)1(2 -=+x x f ，则=)(x f （ ） A ．)1(+x x B ．2 x C ．)2(-x x D ．)1)(2(-+x x 解：1)1(2 -=+x x f ]2)1)[(1()1)(1(-++=-+=x x x x )2()(-=x x x f ，故应选C 8．下列各函数对中，（ ）中的两个函数相等． A ．2 )()(x x f =，x x g =)( B ．2)(x x f =，x x g =)( C ．2 ln )(x x f =，x x g ln 2)(= D ．3 ln )(x x f =，x x g ln 3)(= 解：两个函数相等必须满足①定义域相同②函数表达式相同，所以应选D 9．当0→x 时，下列变量中为无穷小量的是（ ）. A ． x 1 B ．x x sin C ．)1ln(x + D ．2x x 解：因为0)1ln(lim 0 =+→x x ，所以当0→x 时，)1ln(x +为无穷小量，所以应选C 10．当=k （ ）时，函数???=≠+=0, 0,1)(2x k x x x f ，在0=x 处连续. A ．0 B ．1 C ．2 D ．1- 解：因为1)1(lim )(lim 2 =+=→→x x f x x ，k f =)0( 若函数???=≠+=0,0 ,1)(2x k x x x f ，在0=x 处连续，则)(lim )0(0x f f x →=，因此1=k 。故应选B 11．当=k （ ）时，函数???=≠+=0, ,2)(x k x e x f x 在0=x 处连续. A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 解：3)2(lim )(lim )0(0 =+===→→x x x e x f f k ，所以应选D 12．函数2 33 )(2 +--= x x x x f 的间断点是（ ） A ．2,1==x x B ．3=x C ．3,2,1===x x x D ．无间断点 解：当2,1==x x 时分母为零，因此2,1==x x 是间断点，故应选A 三、解答题（每小题7分，共56分） ⒈计算极限4 2 3lim 222-+-→x x x x ． 解：423lim 222-+-→x x x x 41 21lim )2)(2()2)(1(lim 22=+-=-+--=→→x x x x x x x x 2．计算极限1 6 5lim 221--+→x x x x 解：165lim 221--+→x x x x 27 16lim )1)(1()6)(1(lim 11=++=-++-=→→x x x x x x x x 3．3 29lim 223---→x x x x 解：329lim 2 23---→x x x x 23 4613lim )3)(1()3)(3(lim 33==++=-+-+=→→x x x x x x x x 4．计算极限4 58 6lim 224+-+-→x x x x x 解：4586lim 2 24+-+-→x x x x x 3 2 12lim )4)(1()4)(2(lim 44=--=----=→→x x x x x x x x 5．计算极限6 586lim 222+-+-→x x x x x ． 解：6586lim 2 22+-+-→x x x x x 23 4 lim )3)(2()4)(2(lim 22=--=----=→→x x x x x x x x 6．计算极限x x x 1 1lim --→． 解：x x x 11lim --→) 11(lim )11()11)(11(lim 00+--=+-+---=→→x x x x x x x x x 21 1 11 lim -=+--=→x x 7．计算极限x x x 4sin 1 1lim --→ 解：x x x 4sin 11lim --→) 11(4sin ) 11)(11(lim 0+-+---=→x x x x x 81) 11(44sin 1lim 41)11(4sin lim 00-=+--=+--=→→x x x x x x x x 8．计算极限2 44sin lim -+→x x x ． 解：2 44sin lim -+→x x x ) 24)(24()24(4sin lim ++-+++=→x x x x x 16)24(44[lim 4)24(4sin lim 00=++=++=→→x x x sim x x x x x 微积分初步形成性考核作业（二）解答（除选择题） ————导数、微分及应用 一、填空题（每小题2分，共20分） 1．曲线1)(+=x x f 在)2,1(点的斜率是 ． 解：x x f 21)(= '，斜率2 1)1(= '=f k 2．曲线x x f e )(=在)1,0(点的切线方程是 ． 解：x e x f =')( ，斜率1)0(0 =='=e f k 所以曲线x x f e )(=在)1,0(点的切线方程是：1+=x y 3．曲线2 1-=x y 在点)1,1(处的切线方程是 ． 解：23 21--='x y ，斜率2 12 11 2 3 1-=-='==-=x x x y k 所以曲线2 1 -=x y 在点)1,1(处的切线方程是：)1(2 1 1-- =-x y ，即：032=-+y x 4．=')2 (x ． 解：=')2(x x x x x 22 ln 2 2ln 212 = ? 5．若y = x (x – 1)(x – 2)(x – 3)，则y '(0) = ．解：6)3)(2)(1()0(-=---='y 6．已知x x x f 3)(3+=，则)3(f '= ．解：3ln 33)(2x x x f +='，)3(f '3ln 2727+= 7．已知x x f ln )(=，则)(x f ''= ．解：x x f 1)(='，21)(x x f -='' 8．若x x x f -=e )(，则='')0(f ． 解：x x xe e x f ---=')(，x x x x x xe e xe e e x f -----+-=---=''2)()(， ='')0(f 2- 9．函数y x =-312 ()的单调增加区间是 ． 解：0)1(6≥-='x y ，1≥x ，所以函数y x =-312 ()的单调增加区间是),1[+∞ 10．函数1)(2+=ax x f 在区间),0(∞+内单调增加，则a 应满足 ． 解：02)(≥='ax x f ，而0>x ，所以0≥a 二、单项选择题（每小题2分，共24分） 1．函数2 )1(+=x y 在区间)2,2(-是（ D ） A ．单调增加 B ．单调减少 C ．先增后减 D ．先减后增 2．满足方程0)(='x f 的点一定是函数)(x f y =的（ C ）. A ．极值点 B ．最值点 C ．驻点 D ． 间断点 3．若x x f x cos e )(-=，则)0(f '=（ C ）． A. 2 B. 1 C. -1 D. -2 4．设y x =lg2，则d y =（ B ）． A ． 12d x x B ．1d x x ln10 C ．ln10x x d D ．1 d x x 5．．设)(x f y =是可微函数，则=)2(cos d x f （ D ）． A ．x x f d )2(cos 2' B ．x x x f d22sin )2(cos ' C ．x x x f d 2sin )2(cos 2' D ．x x x f d22sin )2(cos '- 6．曲线1e 2+=x y 在2=x 处切线的斜率是（ C ）． A ．4 e B ．2 e C ．4 2e D ．2 7．若x x x f cos )(=，则='')(x f （ C ）． A ．x x x sin cos + B ．x x x sin cos - C ．x x x cos sin 2-- D ．x x x cos sin 2+ 8．若3sin )(a x x f +=，其中a 是常数，则='')(x f （ C ）． A ．2 3cos a x + B ．a x 6sin + C ．x sin - D ．x cos 9．下列结论中（ B ）不正确． A ．)(x f 在0x x =处连续，则一定在0x 处可微. B ．)(x f 在0x x =处不连续，则一定在0x 处不可导. C ．可导函数的极值点一定发生在其驻点上. D ．若)(x f 在[a ，b ]内恒有0)(<'x f ，则在[a ，b ]内函数是单调下降的. 10．若函数f (x )在点x 0处可导，则( B )是错误的． A ．函数f (x )在点x 0处有定义 B ．A x f x x =→)(lim 0 ，但)(0x f A ≠ C ．函数f (x )在点x 0处连续 D ．函数f (x )在点x 0处可微 11．下列函数在指定区间(,)-∞+∞上单调增加的是（ B ）． A ．sin x B ．e x C ．x 2 D ．3 - x 12.下列结论正确的有（ A ）． A ．x 0是f (x )的极值点，且f '(x 0)存在，则必有f '(x 0) = 0 B ．x 0是f (x )的极值点，则x 0必是f (x )的驻点 C ．若f '(x 0) = 0，则x 0必是f (x )的极值点 D ．使)(x f '不存在的点x 0，一定是f (x )的极值点 三、解答题（每小题7分，共56分） ⒈设x x y 1 2 e =，求y '． 解：x x x x e xe x e x xe y 11212 12)1 (2-=-+='x e x 1 )12(-= 2．设x x y 3 cos 4sin +=，求y '. 解：x x x y sin cos 34cos 42 -=' 3．设x y x 1 e 1 + =+，求y '. 解：21 11 21x e x y x - += '+ 4．设x x x y cos ln +=，求y '. 解：x x x x x y tan 2 3cos sin 23-=-+= ' 5．设)(x y y =是由方程42 2 =-+xy y x 确定的隐函数，求y d . 解：两边微分：0)(22=+-+xdy ydx ydy xdx xdx ydx xdy ydy 22-=- dx x y x y dy --= 22 6．设)(x y y =是由方程122 2 =++xy y x 确定的隐函数，求y d . 解：两边对122 2 =++xy y x 求导，得：0)(222='++'+y x y y y x 0='++'+y x y y y x ，)()(y x y y x +-='+，1-='y dx dx y dy -='= 7．设)(x y y =是由方程4e e 2 =++x x y x 确定的隐函数，求y d . 解：两边微分，得：02=+++xdx dy xe dx e dx e y y x dx x e e dy xe y x y )2(++-=，dx xe x e e dy y y x 2++-= 8．设1e )cos(=++y y x ，求y d ． 解：两边对1e )cos(=++y y x 求导，得： 0)sin()1(='++'+-y e y y x y 0)sin()sin(='++'-+-y e y y x y y x )sin()]sin([y x y y x e y +='+- ) sin() sin(y x e y x y y +-+= ' dx y x e y x dx y dy y ) sin() sin(+-+='= 微积分初步形成性考核作业（三）解答（填空题除外） ———不定积分，极值应用问题 一、填空题（每小题2分，共20分） 1．若)(x f 的一个原函数为2 ln x ，则=)(x f 2 ln 2x x x c -+ 。 2．若)(x f 的一个原函数为x x 2e --，则=')(x f 24x e -- 。 3．若?+=c x x x f x e d )(，则=)(x f ()1x x e + ． 4．若?+=c x x x f 2sin d )(，则)(x f 2cos2x ． 5．若 c x x x x f +=? ln d )(，则=')(x f 1 x ． 6．若 ?+=c x x x f 2cos d )(，则=')(x f 4cos2x - ． 7．=? -x x d e d 2 2 x e dx - ． 8．='? x x d )(sin sin x c + ． 9．若 ?+=c x F x x f )(d )(，则?=-x x f d )32( ()1 232F x c -+ ． 10．若?+=c x F x x f )(d )(，则?=-x x xf d )1(2 ()2 112 F x c --+ ． 二、单项选择题（每小题2分，共16分） 1．下列等式成立的是（ ）． A ． )(d )(d d x f x x f x =? B ．)(d )(x f x x f ='? C ．)(d )(d x f x x f =? D ．)()(d x f x f =? 解：应选A 2．若 c x x x f x +=?22e d )(，则=)(x f （ ）. A. )1(e 22x x x + B. x x 22e 2 C. x x 2e 2 D. x x 2e 解：两边同时求导，得：x x e x xe x f 22222)(+==)1(e 22x x x +，所以应选A 3．若)0()(>+ =x x x x f ，则='?x x f d )(（ ）. A. c x x ++ B. c x x ++2 C. c x x ++23 2 23 D. c x x ++23 23 2 21 解：应选A 4．以下计算正确的是（ ） A ．3ln 3d d 3x x x = B ．)1(d 1d 2 2x x x +=+ C ．x x x d d = D ．)1d(d ln x x x = 解：应选A 5．=''? x x f x d )(（ ） A. c x f x f x +-')()( B. c x f x +')( C. c x f x +')(2 12 D. c x f x +'+)()1( 解：= ''?x x f x d )(??+-'='-'='c x f x f x dx x f x f x x f xd )()()()()(，所以应选A 6．? -x a x d d 2=（ ）． A ．x a 2- B ．x a a x d ln 22-- C ．x a x d 2- D ．c x a x +-d 2 解：应选C 7．如果等式?+-=- - C x x f x x 1 1 e d e )(，则=)(x f （ ） A.x 1- B. 21x - C. x 1 D. 21x 解：两边求导，得：2111)(x e e x f x x ? -=- - ，所以2 1)(x x f -=，故应选B 三、计算题（每小题7分，共35分） 1．? +-x x x x x d sin 33 解：? +-x x x x x d sin 33???+-=xdx dx x dx x sin 1 3 c x x x +--=cos 3 2 ln 323 2．x x d )12(10? - 解：x x d )12(10? -c x x d x +-+?=--= +?11010 )12(1 10121)12()12(21 c x +-=11)12(221 3．x x x d 1sin 2? 解：x x x d 1sin 2?c x x d x +=-=?1 cos )1(1sin 4．? x x x d 2sin 解：?x x x d 2sin ??--=-=)2cos 2cos (2 12cos 21xdx x x x xd c x x x ++-=2sin 4 1 2cos 21 5．? -x xe x d 解：?-x xe x d c e xe dx e xe xde x x x x x +--=--=-=-----? ?)( 四、极值应用题（每小题12分，共24分） 1． 设矩形的周长为120厘米，以矩形的一边为轴旋转一周得一圆柱体。试求矩形的边长为多少时，才能 使圆柱体的体积最大。 解：设矩形的一边长为x 厘米，则另一边长为x -60厘米，以x -60厘米的边为轴旋转一周得一圆柱体，则 体积V 为： )60(2x x V -=π，即：3260x x V ππ-= 23120x x dx dV ππ-=，令0=dx dV ，得： 0=x （不合题意，舍去） ，40=x ，这时2060=-x 由于根据实际问题，有最大体积，故当矩形的一边长为40厘米、另一边长为60厘米时，才能使圆柱体的体积最大。 2． 欲用围墙围成面积为216平方米的一成矩形的土地，并在正中用一堵墙将其隔成两块，问这块土地的长和宽选取多大尺寸，才能使所用建筑材料最省？ 解：设矩形的长为x 米，则矩形的宽为 x 216 米，从而所用建筑材料为： x x L 21632?+=，即：x x L 648 2+= 26482x dx dL -=，令0=dx dL 得：18=x （取正值），这时12216 =x 由于根据实际问题，确实有最小值，故当矩形的长为18米，宽为12米时，才能使所用建筑材料最省 五、证明题（本题5分） 函数x e x x f -=)(在（)0,∞-是单调增加的． 证明：因为x e x f -='1)(，当∈x （)0,∞-时，x e x f -='1)(0> 所以函数x e x x f -=)(在（)0,∞-是单调增加的． 微积分初步形成性考核作业（四）解答（选择题除外） ———定积分及应用、微分方程 一、填空题（每小题2分，共20分） 1． .______d )2cos (sin 1 1 2=-? -x x x x 解：3222cos sin d )2cos (sin 10 2 112111 12-=-=-=-????---dx x dx x xdx x x x x x 2． .______d )cos 4(2 2 5=+-? - x x x x π π 解： ???- - -+-=+-22 2 25 22 5 cos )4(d )cos 4(π ππ ππ πxdx dx x x x x x x 2sin 2cos 220 20 ===?π π x xdx 3．已知曲线)(x f y =在任意点x 处切线的斜率为x ，且曲线过)5,4(，则该曲线的方程是 。 解：由 c x dx x +=? 2332得所求的曲线方程由c x y +=23 3 2 确定 因为曲线过)5,4(，所以c +?=23 4325，解得：31 -=c 因此所求的曲线方程为3 1 3223 -=x y 解： =+-? -dx x x )235(1 1 3 442)35(1 11 1 13==+-???--dx dx dx x x 5．由定积分的几何意义知， x x a a d 0 22? -= 。 解：由定积分的几何意义知， x x a a d 0 22? -就等于圆222a y x =+在第Ⅰ象限的面积，即 圆2 2 2 a y x =+面积的41，因此x x a a d 022?-2 4 1a π= 6．=+?e 1 2d )1ln(d d x x x . 解：=+?e 12 d )1ln(d d x x x 0 7． x x d e 0 2? ∞ -= ． 解：x x d e 0 2?∞-0 2020 221lim )2(lim 21lim b x b b x b b x b e x d e dx e -∞→-∞→-∞→==?? 21)1(lim 212=-=-∞→b b e 8．微分方程1)0(,=='y y y 的特解为 . 解：由y y ='得 y dx dy =，dx y dy =，两边同时积分，得c x y +=ln 因为1)0(=y ，所以c +=01ln ，所以0=c 从而x y =ln ，因此微分方程1)0(,=='y y y 的特解为x e y = 9．微分方程03=+'y y 的通解为 . 解：03=+'y y ， 03=+y dx dy ，03=+dx y dy ，13ln c x y =+ x c y 3ln 1-=，x c e y 31-=，即x c e e y 31-?= 所以微分方程03=+'y y 的通解为x ce y 3-= 10．微分方程x y xy y sin 4)(7) 4(3=+''的阶数为 ． 解：微分方程x y xy y sin 4)(7) 4(3 =+''的阶数为4阶 二、单项选择题（每小题2分，共20分） 1．在切线斜率为2x 的积分曲线族中，通过点（1, 4）的曲线为（ A ）． A ．y = x 2 + 3 B ．y = x 2 + 4 C ．22 +=x y D ．12 +=x y A ．1 B ．-1 C ．0 D ．2 1 3．下列定积分中积分值为0的是（ A ）． A ．x x x d 2 e e 1 1?--- B ．x x x d 2 e e 1 1?--+ C ．x x x d )cos (3?-+ππ D ． x x x d )sin (2 ?- +π π 4．设)(x f 是连续的奇函数，则定积分=? a a x x f -d )(（ D ） A ．? -d )(2 a x x f B ．?0 -d )(a x x f C ．?a x x f 0 d )( D ． 0 5． =?x x d sin 22 -π π（ D ） ． A ．0 B ．π C ．2 π D ．2 6．下列无穷积分收敛的是（ B ）． A ． ? +∞ d e x x B ．?+∞ -0 d e x x C ． ? ∞ +1 d 1 x x D ．?∞+1d 1x x 7．下列无穷积分收敛的是（ B ）． A ． ? ∞ +0 d in x x s B ．? ∞ +-0 2d e x x C ． ? ∞ +1 d 1 x x D ．?∞+1d 1x x 8．下列微分方程中，（ D ）是线性微分方程． A ．y y yx '=+ln 2 B ．x xy y y e 2 =+' C ．y y x y e ='+'' D ．x y y x y x ln e sin ='-'' 9．微分方程0='y 的通解为（ C ）． A ．Cx y = B ． C x y += C ．C y = D ．0=y 10．下列微分方程中为可分离变量方程的是（ B ） A. y x x y +=d d ； B. y xy x y +=d d ； C. x xy x y sin d d +=； D. )(d d x y x x y += 三、计算题（每小题7分，共56分） 1． x x x d )e 1(e 22 ln 0 +? 解：x x x d ) e 1(e 2 2ln 0+? 3 19389)1(3 1 )1()1(2 ln 0 3 22 ln 0 =- =+=++=? x x x e e d e 2． x x x d ln 51e 1?+ 解：x x x d ln 51e 1?+??++=+=e e x d x x d x 1 1)ln 51()ln 51(51ln )ln 51( 21)16(101)ln 51(21511 2 =-=+?=e x 3． x xe x d 10 ? 解：x xe x d 10 ?1)1(10 101010=--=-=-==??e e e e dx e xe xde x x x x 4． ?π 0d 2sin x x x 解：?π0d 2sin x x x ??-==ππ002 cos 2)2(2sin 2x xd x d x x dx x dx x x x ??=--=πππ 0002 cos 2)2cos 2cos (2 42sin 4)2(2cos 40 0===?π π x x d x 5． ? π 20 d sin x x x 解： ? π20 d sin x x x )cos cos (cos 20 20 20 ? ?--=-=π π π xdx x x x xd 1sin 20 ==π x 6．求微分方程12+=+ 'x x y y 满足初始条件4 7 )1(=y 的特解． 解：微分方程的通解为? +?? =-])([)()(c dx e x q e y dx x p dx x p 这里 x x p 1)(= ，1)(2 +=x x q 代入得微分方程的通解为)2 141(12 4c x x x y ++= 将初始条件4 7 )1(=y 代入上式，解得1=c 所以微分方程的特解为)12 141(12 4++=x x x y 7．求微分方程x x x y y 2sin 2=-'的通解。 解：微分方程的通解为? +?? =-])([)()(c dx e x q e y dx x p dx x p 这里x x p 1 )(- =，x x x q 2sin 2)(= 代入得微分方程的通解为)2cos (c x x y +-= 四、证明题（本题4分） 证明等式?? +-=-a a a x x f x f x x f 0)]()([)(d d 。 证明： ??? +=--a a a a dx x f dx x f dx x f 0 )()()( 考虑积分? -0 )(a dx x f ，令t x -=，则dt dx -=，从而 ????? -=-=--=--=-a a a a a dx x f dt t f dt t f dt t f dx x f 0 )()()(])[()( 所以 ??? +=--a a a a dx x f dx x f dx x f 0 0)()()( ??? +-=+-=a a a dx x f x f dx x f dx x f 0 )]()([)()(