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等差数列单元测试题+答案

一、等差数列选择题

1．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且110a =，56S S ≥，下列四个命题：①公差d 的最大值为2-；②70S <；③记n S 的最大值为M ，则M 的最大值为30；④20192020a a >.其真命题的个数是（） A ．4个

B ．3个

C ．2个

D ．1个

2．在等差数列{}n a 中，3914a a +=，23a =，则10a =（） A ．11 B ．10

C ．6

D ．3

3．定义

12n

n p p p ++

+为n 个正数12,,

,n p p p 的“均倒数”，若已知数列{}n a 的前

n 项的“均倒数”为

12n ，又2n n a b =，则1223

910

111

b b b b b b +++

=（） A ．

17 B ．

1021

C ．

1123 D ．

919

4．在巴比伦晚期的《泥板文书》中，有按级递减分物的等差数列问题，其中有一个问题大意是：10个兄弟分100两银子，长兄最多，依次减少相同数目，现知第8兄弟分得6两，则长兄可分得银子的数目为（） A ．

825

两 B ．

845

两 C ．

865

两 D ．

885

两 5．已知数列{}n a 是等差数列，其前n 项和为n S ，若454a a +=，则8S =（） A ．16 B ．-16 C ．4

D ．-4

6．为了参加学校的长跑比赛，省锡中高二年级小李同学制定了一个为期15天的训练计划.已知后一天的跑步距离都是在前一天的基础上增加相同距离.若小李同学前三天共跑了

3600米，最后三天共跑了10800米，则这15天小李同学总共跑的路程为（） A ．34000米 B ．36000米 C ．38000米 D ．40000米 7．在等差数列{a n }中，a 3+a 7＝4，则必有（） A ．a 5＝4 B ．a 6＝4 C ．a 5＝2 D ．a 6＝2 8．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，则下列判断错误的是（） A ．S 5，S 10-S 5，S 15-S 10必成等差数列 B ．S 2，S 4-S 2，S 6-S 4必成等差数列 C ．S 5，S 10，S 15+S 10有可能是等差数列 D ．S 2，S 4+S 2，S 6+S 4必成等差数列 9．等差数列{}n a 的公差为2，若248,,a a a 成等比数列，则9S =（）

A ．72

B ．90

C ．36

D ．45

10．已知数列{}n a 的前n 项和2

21n S n n =+-，则13525a a a a +++

+=（）

A ．350

B ．351

C ．674

D ．675

11．已知{}n a 为等差数列，n S 是其前n 项和，且100S =，下列式子正确的是（）

A ．450a a +=

B ．560a a +=

C ．670a a +=

D ．890a a +=

12．已知等差数列{}n a 中，前n 项和2

15n S n n =-，则使n S 有最小值的n 是（）

A ．7

B ．8

C ．7或8

D ．9

13．若两个等差数列{}n a ，{}n b 的前n 项和分别为n S 和n T ，且3221n n S n T n +=+，则12

a b =（） A ．

B ．

7059

C ．

7159

D ．85

14．已知等差数列{}n a 满足48a =，6711a a +=，则2a =（） A ．10

B ．9

C ．8

D ．7

15．《张丘建算经》卷上第22题为：“今有女善织，日益功疾（注：从第2天开始，每天比前一天多织相同量的布），第一天织5尺布，现一月（按30天计）共织390尺”，则从第2天起每天比前一天多织（） A ．

尺布 B ．

尺布 C ．

尺布 D ．

尺布 16．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且2

n S n =.定义数列{}n b 如下：

()*1m m b m m

+∈N 是使不等式()

n a m m ≥∈N 成立的所有n 中的最小值，则13519 b b b b +++

+=（）

A ．25

B ．50

C ．75

D ．100

17．在等差数列{}n a 中，25812a a a ++=，则{}n a 的前9项和9S =（） A ．36

B ．48

C ．56

D ．72

18．在等差数列{}n a 中，520164a a +=，S ，是数列{}n a 的前n 项和，则S 2020=（） A ．2019

B ．4040

C ．2020

D ．4038

19．已知数列{}n a 中，11a =，22a =，对*n N ?∈都有333

122n n n a a a ++=+，则10a 等于

（） A ．10

C ．64

D ．4

20．已知等差数列{}n a 前n 项和为n S ，且351024a a a ++=，则13S 的值为（） A ．8

B ．13

C ．26

D ．162

二、多选题

21．意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，….，其中从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，后来人们把这样的一列数组成的数列{}n a 称为“斐波那契数列”，记n S 为数列{}n a 的前n 项和，则下列结论正确的是（） A ．68a =

B ．733S =

C ．135********a a a a a +++???+=

D ．

222

122019

20202019

a a a a a ++??????+=22．题目文件丢失！

23．首项为正数，公差不为0的等差数列{}n a ，其前n 项和为n S ，则下列4个命题中正确的有（）

A ．若100S =，则50a >，60a <；

B ．若412S S =，则使0n S >的最大的n 为15；

C ．若150S >，160S <，则{}n S 中7S 最大；

D ．若89S S <，则78S S <.

24．意大利人斐波那契于1202年从兔子繁殖问题中发现了这样的一列数：

1,1,2,3,5,8,13,….即从第三项开始，每一项都是它前两项的和.后人为了纪念他，就把这列

数称为斐波那契数列.下面关于斐波那契数列{}n a 说法正确的是（） A ．1055a = B ．2020a 是偶数

C ．202020182022

3a a a =+

D ．123a a a +++…20202022a a +=

25．定义11222n n

n a a a H n

-++

为数列{}n a 的“优值”.已知某数列{}n a 的“优

值”2n

n H =，前n 项和为n S ，则（）

A ．数列{}n a 为等差数列

B ．数列{}n a 为等比数列

C ．

20202023

20202

S = D ．2S ，4S ，6S 成等差数列

26．等差数列{}n a 的首项10a >，设其前n 项和为{}n S ，且611S S =，则（） A ．0d > B ．0d < C ．80a = D ．n S 的最大值是8

S 或者9S

27．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若39S =，47a =，则（）

A ．2n S n =

B ．2

23n S n n =-

C ．21n a n =-

D ．35n a n =-

28．在下列四个式子确定数列{}n a 是等差数列的条件是（）

A ．n a kn b =+（k ，b 为常数，*n N ∈）；

B ．2n n a a d +-=（d 为常数，

*n N ∈）；

C ．(

)

2120n n n a a a n ++-+=∈N ； D ．{}n a 的前n 项和2

n S n n =++（*n N ∈）.

29．公差为d 的等差数列{}n a ，其前n 项和为n S ，110S >，120S <，下列说法正确的有

A ．0d <

B ．70a >

C ．{}n S 中5S 最大

D ．49a a <

30．已知数列{}n a 是递增的等差数列，5105a a +=，

6914a a ?=-．12n n n n b a a a ++=??，数列{}n b 的前n 项和为n T ，下列结论正确的是（）

A ．320n a n =-

B ．325n a n =-+

C ．当4n =时，n T 取最小值

D ．当6n =时，n T 取最小值

【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除

一、等差数列选择题 1．B 【分析】

设公差为d ，利用等差数列的前n 项和公式，56S S ≥，得2d ≤-，由前n 项和公式，得

728S ≤，同时可得n S 的最大值，2d =-，5n =或6n =时取得，结合递减数列判断

D ．【详解】

设公差为d ，由已知110a =，56S S ≥，得5101061015d d ?+≥?+，所以2d ≤-，A 正确；

所以7710217022128S d =?+≤-?=，B 错误；

1(1)10(1)0n a a n d n d =+-=+-≥，解得10

1n d

≤-

+，11100n a a nd nd +=+=+≤，解得10n d

≥-，所以1010

1n d d

≤≤-+，当2d =-时，56n ≤≤，当5n =时，有最大值，此时51010(2)30M =?+?-=，

当6n =时，有最大值，此时61015(2)30M =?+?-=，C 正确．又该数列为递减数列，所以20192020a a >，D 正确．故选：B ．【点睛】

关键点点睛：本题考查等差数列的前n 项和，掌握等差数列的前n 和公式与性质是解题关

键．等差数列前n 项和n S 的最大值除可利用二次函数性质求解外还可由1

0n n a a +≥??≤?求得．

2．A

利用等差数列的通项公式求解1,a d ，代入即可得出结论. 【详解】

由3914a a +=，23a =，又{}n a 为等差数列，得39121014a a a d +=+=，

213a a d =+=，

解得12,1a d ==，则101+92911a a d ==+=；故选：A. 3．D 【分析】

由题意结合新定义的概念求得数列的前n 项和，然后利用前n 项和求解通项公式，最后裂项求和即可求得最终结果. 【详解】

设数列{}n a 的前n 项和为n S ，由题意可得：12n n S n

=，则：2

2n S n =，当1n =时，112a S ==，

当2n ≥时，142n n n a S S n -=-=-，且14122a =?-=，据此可得 42n a n =-，

故212

n a b n ==-，()()111111212122121n n b b n n n n +??==- ?-+-+??，据此有：

1223910

11111111233517191.21891919

b b b b b b +++

????????=

-+-++- ? ? ???????

????

=?= 故选：D 4．C 【分析】

设10个兄弟由大到小依次分得()1,2,,10n a n =???两银子，数列{}n a 是等差数列，

8106

100

a S =??

=?利用等差数列的通项公式和前n 项和公式转化为关于1a 和d 的方程，即可求得

长兄可分得银子的数目1a . 【详解】

设10个兄弟由大到小依次分得()1,2,,10n a n =???两银子，由题意可得设数列{}n a 的公差为d ，其前n 项和为n S ，

则由题意得8106100a S =??=?，即1

176109

101002a d a d +=??

??+=??，解得186585a d ?

=????=-??

. 所以长兄分得86

两银子. 故选：C. 【点睛】

关键点点睛：本题的关键点是能够读懂题意10个兄弟由大到小依次分得

()1,2,,10n a n =???两银子构成公差0d <的等差数列，要熟练掌握等差数列的通项公式和

前n 项和公式. 5．A 【详解】由()()184588848162

a a a a S +?+??====.故选A.

6．B 【分析】

利用等差数列性质得到21200a =，143600a =，再利用等差数列求和公式得到答案. 【详解】

根据题意：小李同学每天跑步距离为等差数列，设为n a ，

则123233600a a a a ++==，故21200a =，13141514310800a a a a ++==，故

143600a =，

则()()11521411

151********

n S a a a a =

+?=+?=. 故选：B. 7．C 【分析】

利用等差数列的性质直接计算求解【详解】

因为a 3+a 7＝2a 5＝4，所以a 5＝2. 故选：C 8．D 【分析】

根据等差数列的性质，可判定A 、B 正确；当首项与公差均为0时，可判定C 正确；当首项为1与公差1时，可判定D 错误. 【详解】

由题意，数列{}n a 为等差数列，n S 为前n 项和，

根据等差数列的性质，可得而51051510,,S S S S S --，和24264,,S S S S S --构成等差数列，所以，所以A ，B 正确；

当首项与公差均为0时，5101510,,S S S S +是等差数列，所以C 正确；

当首项为1与公差1时，此时2426102,31,86S S S S S =+=+=，此时24264,,S S S S S ++不构成等差数列，所以D 错误. 故选：D. 9．B 【分析】

由题意结合248,,a a a 成等比数列，有2

444(4)(8)a a a =-+即可得4a ，进而得到1a 、n a ，即可求9S . 【详解】

由题意知：244a a =-，848a a =+，又248,,a a a 成等比数列，

∴2

444(4)(8)a a a =-+，解之得48a =，

∴143862a a d =-=-=，则1(1)2n a a n d n =+-=，

∴99(229)

902

S ?+?=

=，

故选：B 【点睛】

思路点睛：由其中三项成等比数列，利用等比中项性质求项，进而得到等差数列的基本量 1、由,,m k n a a a 成等比，即2

k m n a a a =； 2、等差数列前n 项和公式1()

n n n a a S +=的应用. 10．A 【分析】先利用公式11,1

,2n n

n S n a S S n -=?=?

-≥?求出数列{}n a 的通项公式，再利用通项公式求出

13525a a a a +++

+的值.

【详解】

当1n =时，2

1112112a S ==+?-=；

当2n ≥时，()

()()2

121121121n n n a S S n n n n n -??=-=+---+--=+??

12a =不适合上式，

2,121,2n n a n n =?∴=?+≥?

因此，()()

3251352512127512235022

a a a a a a ?+?+++++=+=+=；

故选：A. 【点睛】

易错点睛：利用前n 项和n S 求通项n a ，一般利用公式11,1

,2n n

n S n a S S n -=?=?-≥?，但需要验证

1a 是否满足()2n a n ≥.

11．B 【分析】

由100S =可计算出1100a a +=，再利用等差数列下标和的性质可得出合适的选项. 【详解】

由等差数列的求和公式可得()

110101002

a a S +=

=，1100a a ∴+=，由等差数列的基本性质可得561100a a a a +=+=. 故选：B. 12．C 【分析】

215n S n n =-看作关于n 的二次函数，结合二次函数的图象与性质可以求解．

【详解】

152251524n S n n n ??=-=--

?，

∴数列{}n S 的图象是分布在抛物线2

1522524y x ??=--

?上的横坐标为正整数的离散的

点．

又抛物线开口向上，以15

2x =为对称轴，且1515|

7822

-=-|，所以当7,8n =时，n S 有最小值．故选：C 13．C 【分析】

可设(32)n S kn n =+，(21)n T kn n =+，进而求得n a 与n b 的关系式，即可求得结果．【详解】

因为{}n a ，{}n b 是等差数列，且

3221

n n S n T n +=+，所以可设(32)n S kn n =+，(21)n T kn n =+，

又当2n 时，有1(61)n n n a S S k n -=-=-，1(41)n n n b T T k n -=-=-， ∴

1215(6121)71(4151)59

a k

b k ?-==?-，故选：C ． 14．A 【分析】

利用等差数列的性质结合已知解得d ，进一步求得2a ．【详解】

在等差数列{}n a 中，设公差为d ，由

467811a a a =???

+=?4448

12311

a d a d a d =??=-?+++=?，24210a a d ∴=-=. 故选：A 15．D 【分析】

设该女子第()

N n n *∈尺布，前()

N n n *

∈天工织布n S 尺，则数列{}n a 为等差数列，设其公

差为d ，根据15a =，30390S =可求得d 的值. 【详解】

设该女子第()

N n n *∈尺布，前()

N n n *

∈天工织布n S 尺，则数列{}n a 为等差数列，设其公

差为d ，

由题意可得30130293015015293902

S a d d ?=+=+?=，解得16

29d =.

故选：D. 16．B 【分析】

先求得21n a n =-，根据n a m ≥，求得12m n +≥，进而得到2121

k k b --=，结合等差数列的求和公式，即可求解. 【详解】

由题意，等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且2

n S n =，可得21n a n =-，

因为n a m ≥，即21n m -≥，解得12

m n +≥

，当21m k =-，（*

k N ∈）时，1

m b k m

+=，即()()11212m m m mk m b m m +===++，

即2121

k k b --=

，从而()135191

13519502

b b b b ++++=

++++=.

故选：B. 17．A 【分析】

根据等差数列的性质，由题中条件，得出54a =，再由等差数列前n 项和公式，即可得出结果. 【详解】

因为{}n a 为等差数列，25812a a a ++=，所以5312a =，即54a =，所以()199998

3622

a a S +?===. 故选：A . 【点睛】

熟练运用等差数列性质的应用及等差数列前n 项和的基本量运算是解题关键. 18．B 【分析】

由等差数列的性质可得52012016024a a a a +==+，则

()15202020

202016202010102

a a a a S +=

?=?+可得答案. 【详解】等差数列{}n a 中, 52012016024a a a a +==+

()12020

202052016202010104101040402

a a a a S +=

==?=+?? 故选：B 19．D 【分析】

利用等差中项法可知，数列{}

3n a 为等差数列，根据11a =，22a =可求得数列{}

n a 的公

差，可求得3

10a 的值，进而可求得10a 的值. 【详解】

对*n N ?∈都有3

122n n n a a a ++=+，由等差中项法可知，数列{}

n a 为等差数列，

由于11a =，22a =，则数列{}

3n a 的公差为33

217d a a =-=，

所以，33

101919764a a d =+=+?=，因此，10

4a .

故选：D. 20．B 【分析】

先利用等差数列的下标和性质将35102a a a ++转化为()410724a a a +=，再根据

()

11313713132

a a S a +=

=求解出结果.

【详解】

因为()351041072244a a a a a a ++=+==，所以71a =，又()

1131371313131132

a a S a +=

==?=，故选：B. 【点睛】

结论点睛：等差、等比数列的下标和性质：若(

2,,,,m n p q t m n p q t N +=+=∈，

（1）当{}n a 为等差数列，则有2m n p q t a a a a a +=+=；（2）当{}n a 为等比数列，则有2

m n p q t a a a a a ?=?=.

二、多选题

21．ABCD 【分析】

由题意可得数列{}n a 满足递推关系12211,1,(3)n n n a a a a a n --===+≥，对照四个选项可得正确答案. 【详解】

对A ，写出数列的前6项为1,1,2,3,5,8，故A 正确；对B ，71123581333S =++++++=，故B 正确；

对C ，由12a a =，342a a a =-，564a a a =-，……，201920202018a a a =-，可得：135********a a a a a +++???+=.故1352019a a a a +++???+是斐波那契数列中的第2020项.

对D ，斐波那契数列总有21n n n a a a ++=+，则2

121a a a =，()222312321a a a a a a a a =-=-，()233423423a a a a a a a a =-=-，……，()220182018201920172018201920172018a a a a a a a a =-=-，220192019202020192018a a a a a =-

2222123201920192020a a a a a a +++??????+=，故D 正确；

故选：ABCD. 【点睛】

本题以“斐波那契数列”为背景，考查数列的递推关系及性质，考查方程思想、转化与化归

思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意递推关系的灵活转换.

22．无

23．ABD 【分析】

利用等差数列的求和公式及等差数列的性质，逐一检验选项，即可得答案. 【详解】

对于A ：因为正数，公差不为0，且100S =，所以公差0d <，所以1101010()

a a S +=

=，即1100a a +=，根据等差数列的性质可得561100a a a a +=+=，又0d <，所以50a >，60a <，故A 正确；对于B ：因为412S S =，则1240S S -=，

所以561112894()0a a a a a a ++???++=+=，又10a >，所以890,0a a ><，所以115815815()15215022a a a S a +?=

==>，116891616()16()

022

a a a a S ++===，所以使0n S >的最大的n 为15，故B 正确；对于C ：因为1158

15815()15215022

a a a S a +?=

==>，则80a >， 116891616()16()022

a a a a S ++=

==，则890a a +=，即90a <，所以则{}n S 中8S 最大，故C 错误；

对于D ：因为89S S <，则9980S a S =->，又10a >，所以8870a S S =->，即87S S >，故D 正确，故选：ABD 【点睛】

解题的关键是先判断d 的正负，再根据等差数列的性质，对求和公式进行变形，求得项的正负，再分析和判断，考查等差数列性质的灵活应用，属中档题. 24．AC 【分析】

由该数列的性质，逐项判断即可得解. 【详解】

对于A ，821a =，9211334a =+=，10213455a =+=，故A 正确；对于B ，由该数列的性质可得只有3的倍数项是偶数，故B 错误；

对于C ，20182022201820212020201820192020202020203a a a a a a a a a a +=++=+++=，故C 正确；

对于D ，202220212020a a a =+，202120202019a a a =+，202020192018a a a =+，

32121,a a a a a ???=+=，

各式相加得()2022202120202021202020192012182a a a a a a a a a ++???+=+++???++，所以202220202019201811a a a a a a =++???+++，故D 错误. 故选：AC. 【点睛】

关键点点睛：解决本题的关键是合理利用该数列的性质去证明选项. 25．AC 【分析】由题意可知112222n n n

n a a a H n

-++

+==，即112222n n n a a a n -+++=?，则2

n ≥时，()()1

112

21212n n n n n a n n n ---=?--?=+?，可求解出1n a n =+，易知{}n a 是等差数

列，则A 正确，然后利用等差数列的前n 项和公式求出n S ，判断C ，D 的正误. 【详解】解：由112222n n n

n a a a H n

-++

+==，

得112222n n n a a a n -++

+=?，①

所以2n ≥时，()211212212n n n a a a n ---+++=-?，②

得2n ≥时，()()1

112

21212n n n n n a n n n ---=?--?=+?，

即2n ≥时，1n a n =+，

当1n =时，由①知12a =，满足1n a n =+．

所以数列{}n a 是首项为2，公差为1的等差数列，故A 正确，B 错，所以()

n n n S +=

，所以2020202320202S =，故C 正确．

25S =，414S =，627S =，故D 错，

故选：AC ．【点睛】

本题考查数列的新定义问题，考查数列通项公式的求解及前n 项和的求解，难度一般. 26．BD 【分析】

由6111160S S S S =?-=，即950a =，进而可得答案．【详解】

解：1167891011950S S a a a a a a -=++++==，因为10a >

所以90a =，0d <，89S S =最大，故选：BD ．【点睛】

本题考查等差数列的性质，解题关键是等差数列性质的应用，属于中档题． 27．AC 【分析】

利用等差数列{}n a 的前n 项和公式、通项公式列出方程组，求出11a =，2d =，由此能求出n a 与n S ．【详解】

等差数列{}n a 的前n 项和为n S ．39S =，47a =，

∴31413239237

S a d a a d ??

=+=???=+=?，解得11a =，2d =，

1(1)221n a n n ∴+-?=-=．

()21212

n n n S n +-=

故选：AC ．【点睛】

本题考查等差数列的通项公式求和公式的应用，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 28．AC 【分析】

直接利用等差数列的定义性质判断数列是否为等差数列．【详解】

A 选项中n a kn b =+（k ，b 为常数，*n N ∈），数列{}n a 的关系式符合一次函数的形式，所以是等差数列，故正确，

B 选项中2n n a a d +-=（d 为常数，*n N ∈），不符合从第二项起，相邻项的差为同一个常数，故错误；

C 选项中()

2120n n n a a a n ++-+=∈N ，对于数列{}n a 符合等差中项的形式，所以是等差

数列，故正确；

D 选项{}n a 的前n 项和21n S n n =++（*n N ∈），不符合2

n S An Bn =+，所以{}n a 不

为等差数列．故错误．故选：AC 【点睛】

本题主要考查了等差数列的定义的应用，如何去判断数列为等差数列，主要考查学生的运

算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型． 29．AD 【分析】

先根据题意得1110a a +>，1120a a +<，再结合等差数列的性质得60a >，70a <，

0d <，{}n S 中6S 最大，49a a <-，即：49a a <.进而得答案.

【详解】

解：根据等差数列前n 项和公式得：()111111102a a S +=>，()

112121202

a a S +=< 所以1110a a +>，1120a a +<，由于11162a a a +=，11267a a a a +=+，所以60a >，760a a <-<，所以0d <，{}n S 中6S 最大，由于11267490a a a a a a +=+=+<，所以49a a <-，即：49a a <. 故AD 正确，BC 错误. 故选：AD. 【点睛】

本题考查等差数列的前n 项和公式与等差数列的性质，是中档题. 30．AC 【分析】

由已知求出数列{}n a 的首项与公差，得到通项公式判断A 与B ；再求出n T ，由{}n b 的项分析n T 的最小值．【详解】

解：在递增的等差数列{}n a 中，由5105a a +=，得695a a +=，

又6914a a =-，联立解得62a =-，97a =，则967(2)

3963

a a d ---=

==-，16525317a a d =-=--?=-． 173(1)320n a n n ∴=-+-=-．

故A 正确，B 错误；

12(320)(317)(314)n n n n b a a a n n n ++==---

可得数列{}n b 的前4项为负，第5项为正，第六项为负，第六项以后均为正．而5610820b b +=-=>．

∴当4n =时，n T 取最小值，故C 正确，D 错误．

故选：AC ．

【点睛】

本题考查等差数列的通项公式，考查数列的求和，考查分析问题与解决问题的能力，属于中档题．