有理数的除法例题讲解
《有理数的除法》典型例题一
例 计算：（1）)3(12-÷-； （2）)6
1
1(312
-÷ 分析：（1）题应选用除法法则（二）；（2）题应先把带分数化成假分数，然后运用除法
法则（一）进行计算．
解：（1）)3(12-÷-312÷= （除法法则（二））
4=
（2）)61
1(312-÷
)67
(37-÷= （将带分数化成假分数）
)7
6
(37-?= （除法法则（一）） 2-= （乘法法则）
说明：要注意负数的倒数仍是负数．
《有理数的除法》典型例题二
例 计算：
（1）（－25.6）÷（－0.064）；（2）14
11
713
÷-． 分析 根据两个数相除确定符号的方法，我们先确定商的符号，再把绝对值相除． 解 （1）（－25.6）÷（－0.064） ＝＋（25.6÷0.064） ＝400； （2）1411713
÷- )1411713(÷-=
)1114722(?-=
4-=
说明： （1）小学学过的一个数除以一个分数的方法在这里仍然适用，即除以一个数等于乘以这个数的倒数；（2）在小学除法可以转化为乘法进行，这里依然可以进行．这里和小学不同就在于确定商的符号；（3）在除法中零是不能做除数的．
《有理数的除法》典型例题三
例 化简（1）312- （2）1545
-- （3）3
21
-
解：（1）43123
12
-=÷-=- （2）
3)15()45(15
45
=-÷-=-- （3）613
1
21321321
-=???? ??-=÷??? ??-=-
说明：分数线“－”相当于“÷”的作用，利用有理数除法法则可化简带有分数线的
数．
有理数的除法》典型例题四
例 计算：
（1）)511()312(31
3-÷-÷；（2）)15(9
4
412
)81(-÷?÷-． 分析 （1）是连除法运算，我们可以按从左到右的顺序依次进行计算，也可以把除法变为乘法来做．（2）是乘除混合运算，但做法和（1）类似．
解 （1）方法一
)5
11()312(313-÷-÷ )511()312313(-÷÷-=
)511()73310(-÷?-=
)56(710-÷-=
65710?= 21
41= 方法二：
)511()312(313-÷-÷ )56()37(310-÷-÷= )65()73(310-?-?= 21
416573310=??= （2）)15(9
4
412)81(-÷?÷-
)151
(944981-??÷-=
)151
(949481-???-=
.15
11= 说明：（1）在连除和乘除混合运算中，如果含有分数一般将其变为乘法运算比较方便；（2）在除法和乘除混合运算中，不满足结合律和交换律；（3）连除运算和乘除混合运算也可以像几个有理数相乘一样先确定符号，确定符号的方法和几个数相乘确定符号的方法基本相同．
《有理数的除法》典型例题五
例 计算 （1）??
? ??-÷??? ??-+1211211
6
112
11 （2）733)64(317)64(?-+??
?
??-
÷-
（3）??
? ??-÷-÷????????? ??-+??? ??
-31)4(214211
（4）12291236
÷??
?
??- 解：（1）??
? ??-÷??? ??-+1211211
6
112
1
1 )12(12136723-???
?
??-+= )12(1213
)12(67)12(23-?--?+-?=
131418+--= 19-= （2）733)64(317)64(?-+??
?
??-
÷-
724)64(731)64(?-+??
?
??-?-=
???
??+-?-=724731)64(
)1()64(-?-= 64=
（3）??
? ??-÷-÷????????? ??-+??? ??-31)4(214211
)3(41)6(-????
??-?-=
214293416-=-=??
?
????-=
（4）12291236
÷??
?
??
- 12291236÷??? ?
?
--=
121291236???? ?
?
--=
112
2912
2136??-?-=
29
13--= 29
13
-= 说明：有理数的加减乘除混合运算中，如果有括号通常先算括号里面的；如果无括号，则按照“先乘除、后加减”的顺序进行，如第（3）题；在将混合运算中的除法转化为乘法后，有时运用乘法运算律会简化计算．如第（1）题；第（2）题是将除法转化乘法后，逆用了乘法分配律；第（4）题是将291236-转化成为29
1236--．达到简化计算的目的．
《有理数的除法》典型例题六
例 填空
（1）如果0,0<>b a ，那么
0____b a
（2）如果0,0>
a
（3）如果0,0<
0____b a
（4）如果0,0<=b a ，那么0____b
a
解：（1）＜ （2）＜ （3）＞ （4）＝
说明：此题是有理数除法法则中符号确定的应用，它将有理数除法，同号得正，异号得负，运用代数的方法表示出来。（1）（2）题是异号两数相除；（3）题是同号两数相除；（4）题是0除以任何不为0的数都为0。
《有理数的除法》典型例题七
例 三个数a 、b 、c 为不等于零的有理数，其积是负数，其和是正数．求
c
c b b a a ++的值．
分析：根据多个有理数相乘的符号法则，可知，若a 、b 、c 的积为负，则有奇数个负数，又其和为正，则a 、b 、c 三个数中必有二正一负．再根据绝对值的意义，化简绝对值．
解：因为0,0>++ 所以1111=-+=++c c b b a a ． 《有理数的乘法》典型例题一 例 计算： （1）（－2）×（－7）；（2）5 2)41 (? -． 分析 （1）和（2）都是两个有理数相乘，我们根据法则先来确定乘积的符号，再把绝对值相乘． 解 （1）（－2）×（－7）＝＋（2×7）＝14． （2）10 152)41(52)41 (-=?-=? -． 说明：（1）为了使结果不出现差错，初学者做题时，中间的步骤是必要的．（2）我们不 必死记法则，只需知道两个数相乘如何确定符号，其他就和小学的乘法一样了． 《有理数的乘法》典型例题二 例 计算：)81.0()12 5 ()2.7(913-?- ?-?时，应首先（ ） A ．把小数化为分数，或者把分数化为小数 B ．利用符号法则确定乘积的符号 C ．把带分数化为假分数 D ．考虑怎样使用乘法结合律或者交换律 分析 有理数乘法与小学所学乘法的区别在于符号，初学者进行有理数乘法运算最容易出现的错误也在于符号，发生错误的同学往往并不是没记住有理数乘法的运算法则，而在于重视符号的意识不强，所以初学者一定要把确定乘积的符号作为大事，放在首位，也就是说，完成有理数乘法运算要分两步走：先是确定乘积的符号，然后再计算乘积的绝对值． 解 选B ． 说明 进行两个以上有理数相乘的运算，首先确定乘积的符号，这样做不但有减少运算错误使运算简化的作用，与此同时，也能起到培养良好的学习习惯的作用． 就本题来讲，如果不先确定乘积的符号，可能在运算过程中就必须确定三次符号（头两个因数相乘，积的符号；与第三个因数相乘，积的符号；与第四个因数相乘，积的符号），这样就增加了运算步骤． 《有理数的乘法》典型例题三 例 计算7 4 3157)3(? ??? ??-???? ??-?- 分析：此题可先用乘法交换律、结合律将算式变形为?? ???????? ??-?????????? ??-?-745731)3(，再 计算，也可以先确定积的符号，然后在计算绝对值时，再运用交换律、结合律，使运算简便． 解法1：原式?? ? ??????? ??- ?????????? ??-?-=745731)3( ??? ??-?+=54)1( 5 4-= 解法2：原式5 47431573- =?? ? ?????-= 说明：本例的第二种解法比第一种解法简便． 《有理数的乘法》典型例题四 例 计算：).81.0()12 5 ()2.7(913-?- ?-? 分析 这类题目只不过比小学做过的题目多了一个符号问题，应该先确定乘积的符号，之后再考虑怎样运算更简便些．本题中，由于“81”是9（第一个因数的分母的倍数），“72”是12的倍数，可以使用乘法交换律与结合律简化运算． 解 ).81.0()12 5 ()2.7(913-?- ?-? . 56.7100 7563100928125107210081928) 1252.7(81.0)913(-=-=??-=? ?? ??????? ???-=???? ? ????-= 说明：（l ）如果运算基础较好，则完全可以不使用交换律与结合律，而把带分数化为假 分数，把小数化为分数形式后进行约分． （2）上面约分过程中没有把分母中的100与某个分子约分，是为了把结果化为小数时方便，这是思维灵活性的表现． 概括以上内容，就是“符号正负先定好，灵活准确做计算”． 《《有理数的乘法》典型例题五 例 计算： （1）)3 11(21)411(32)76(-??-?? -； （2）17.6×（－10）×（－0.5）． 分析 （1）和（2）是三个以上有理数相乘，我们可以根据乘法法则两个两个相乘，最后求出结果，在进行有理数的乘法时，过去学过的结合律和交换律仍是适用的． 解 （1）)31 1(21)411(32)76(-??-?? - )]34(21[)]45()74[(-??-?-= .21 10)32(75-=-?= （2）17.6×（－10）×（－0.5） ＝－176×（－0.5） ＝88． 说明：（1）乘法法则是对两个数相乘而言的，当三个数以上相乘时我们可以依法则两两相乘；（2）由该题我们可以发现，当三个以上非零有理数相乘时，积的正负由负因数的个数而定，当积中有偶数个负因数时积为正；当积中有奇数个负因数时积为负． 《有理数的乘法》典型例题六 例 计算： （1）)12()216131(-?+- ；（2）)3.05 4 1037.0()100(+--?-． 解 （1）)12()2 1 6131(-?+- )12(21 )12(61)12(31-?+-?--?= 624-+-= .8-= （2）)3.05 4 1037.0()100(+-- ?- 3.0)100()5 4 ()100()103()100(7.0)100(?-+-?-+-?-+?-= 30803070-++-= .10= 说明：在应用乘法对加法的分配律时，应注意符号的变化．初学者中间分别相乘的步骤是为避免出错而设的，熟练之后可以省略． 《有理数的乘法》典型例题七 例 计算：2002×20032003－2003×20022002． 分析 所乘积位数较多，直接计算较麻烦，两组因数结构相同，应该利用这一特点． 解 2002×20032003－2003×20022002 ＝2002×（2003×10001）－2003×（2002×10001） ＝2002×2003×10001－2003×2002×10001 ＝0． 说明： 冷静分析，尽量“绕”过繁琐的计算，这是计算中必须注意的．小括号的出现与“消失”，更是灵活性的体现． 《有理数的乘法》典型例题八 例 用简便方法计算 （1）211×555＋445×789＋555×789＋211×445； （2）－3.14×35.2＋6.28×（－23.2）－1.57×36.8． 分析：第（1）题是含有加法和乘法的混合运算，但仔细观察发现，只要把211×555与211×445交换位置，然后就可利用结合律将前两项结合，后两项结合，即分成两组，再分别在每组中“逆用”分配律即可．也可将445×789与211×445交换位置，方法同上．第（2）题粗看起来似乎没有什么简便算法，但如果仔细观察就会发现．3.14、6.28和1.57之间的倍数关系，因此也可逆用乘法分配律进行简便计算． 解：（1）211×555＋445×789＋555×789＋211×445 ＝211×445＋445×789＋555×789＋211×555 ＝445×（211＋789）＋555×（789＋211） ＝445×1000＋555×1000 ＝（445＋555）×1000＝1000000． 或211×555＋445×789＋555×789＋211×445 ＝211×555＋211×445＋555×789＋445×789 ＝211×（555＋445）＋789×（555＋445） ＝211×1000＋789×1000 ＝（211＋789）×1000 ＝1000000 （2）－3.14×35.2＋6.28×（－23.2）－1.57×36.8 ＝－1.57×2×35.2＋1.57×4×（－23.2）－1.57×36.8 ＝1.57×〔－2×35.2＋4×（－23.2）－368.8〕 ＝1.57×（－70.4－92.8－368.8） ＝1.57×（－200） ＝－314． 说明：分配律在有理数的运算以及今后的代数式运算及变形中都有着广泛的应用．它的顺用（即从左到右）与逆用（从右到左）对于不同形式的计算与变形起着简化作用． 《有理数的乘法》典型例题九 例 用“＞”或“＜”填空： 若m 、n 为有理数，则 （1）若0>mn ，且0>+n m ，则0____,0____n m ； （2）若0>mn ，且0<+n m ，则0____,0____n m ； （3）若0 解：（1）0,0>>n m （2）0,0< 《有理数的乘法》典型例题十 例 有理数b a 、在数轴的位置如图，则下面关系中正确的个数为（ ） ①0>-b a ②0 a 1 1> ④22b a > A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 分析 由图可知0,0<>b a 且b a <，因为)(b a b a -+=-，而.0,0>->b a 所以0)(>-+=-b a b a ，①正确． 由乘法法则知0 ,01<>b a 所以 b a 1 1>③正确． 因为2 2 22,b b a a ==，且b a < 所以2 2b a <，所以2 2b a <，④错． 综合起来有3个关系正确，应选C ． 解 选C ． 说明：（1）做这类题首先应详细观察图形，列出图形中给我们的信息；（2）把图中给的信息加以选择，结合有理数的运算法则加以应用，就可以使问题得到解决． 《有理数的乘法》典型例题十一 例 如图给出的b a 、两个数我们可以得出如下结论0,0+b a b a ，试通过改变表示数a 或数b 的点，其中一点的位置，使上面的两个结论同时发生改变． 分析 要使结论发生改变，我们就应考虑到可能得到的结论；由题可知结论可能有以下可能，0,0<+=+b a b a 和0,0>?=?b a b a ，而从前两个结论和后两个结论中各拿出一个进行组合我们就得到可能得到的结论： （1）.0,0=?=+b a b a （2）.0,0>?=+b a b a （3）.0,0=?<+b a b a （4）.0,0>?<+b a b a 下面我们就试着调整a 或b 的位置，看是否可以得到上面的结论． （1）调整a 和b 一点的位置要使0=+b a ，这时只能有b a -=，且a 和b 都不为0，所以0≠?b a ，这就是说结论（1）不可能由调整a 和b 其中一点的位置得到． （2）同理，当0=+b a 时，0>?b a ，不成立． （3）、（4）我们容易发现是不能通过调整b 的位置得到的，因为要使0<+b a ，且0>a ，这时必须有0?b a ，所以我们只有考虑调整a 的位置． 因为0=?b a ，又0 因为0,0<>?b b a ，所以0 解 如图①当a 的位置移动到原点时，可以得 0,0=?<+b a b a 如图②、③、④，当a 的位置移动到原点的左侧时，可以得 .0,0>?<+b a b a 所以，图①、②、③、④所示改变a 的位置的方法，都可以使原有的两个结论同时发生改变． 说明： 这类问题结论不惟一，所以我们要尽可能考虑的全面一些． 《有理数的除法》填空题 1．一个数与0.02的积是－0.6，这个数是____； 2．如果 0,0> xz ，那么0____x ； （填“＞”“＜”或“＝”） 3．两个数的商是314-，被除数是2 1 3，则除数是_______； 4．写下列各数的倒数－3____，____215-，____3 4 -，－1____； 5．用“＞”或“＜”填空： （1）如果0,0>>b a ，那么0____ab ； （2）如果0,0<>b a ，那么0____ab ； （3）如果0,0> ； （4）如果0,0< a ． 参考答案： 1．－30 2．＜ 3．6221- 4．4 3 11231，－，－－，－1 5． （1）＞；（2）＜；（3）＜；（4）＞． 《有理数的除法》选择题 1．若0 （A ）0,0<>b a （B ）0,0> （C ）0,0<>b a 或0,0> （A ）0除以任何数都得0 （B ）有理数的商必小于被除数 （C ）互为相反数的积为负数 （D ）0没有倒数 3．一个有理数和它的相反数之积（ ）． （A ）一定不大于0 （B ）一定不小于0 （C ）符号必为正 （D ）符号必为负 4．若0< （A ） b a 1 1< （B ）1 a 5．下列说法中不正确的是（ ）． （A ）一个数与它的倒数之积是1 （B ）一个数与它相反数之商是－1 （C ）两个数的商为－1，这两个数互为相反数 （D ）两个数的积为1，这两个数互为倒数 参考答案： 1． C 2． D 3．A 4．C 5．B 《有理数的除法》解答题 1．（1）如果51,21,3 1 =-=-=c b a ，求代数式b a c a 2+-的值． （2）已知a 、 b 互为相反数， c 、 d 互为倒数，求3 618 33+-+cd b a 的值． 2．计算： （1）911927 ÷??? ??- （2）?? ? ??-÷-÷-531)4()6( （3）?? ? ??-???? ??- ÷5313225.0 （4）??? ?? -÷??? ??-???? ??-41221143 （5）14 11 )25.0(6? -÷- 3．当5,2,3=-=-=c b a 时，求下列各代数式的值． （1）)(bc a ÷ （2）c ab ÷ （3） c b a + （4）b c a - （5）b b a -- （6）a c b -+- 4．如果a 、b 、c 为非0有理数，b a c c a b c b a k +=+=+=，请求出k 的值． 5．某校10名学生的中考数学分数分别为120，115，112，107，108，115，115，110，102，120，小明为了计算10名同学的数学平均分，他分别用这些成绩减去110，得到10，5，2，－3，－2，5，5，0，－8，10，然后他计算出新数据的平均数． 4.2]10)8(055)2()3(2510[10 1 =+-++++-+-+++= x （分） 所以所求平均数为110＋2.4＝112.4（分） 小明的运算有道理吗？你能简单地说明一下吗？若每个数都减去115结果会变吗？这 种方法适合具有怎样特点的一组数据？ 参考答案 1．（1）52 (2)－2 2．（1）1134－ （2）1615－ （3）53 （4）21－ （5）7132 3．（1）103 （2）56 （3）－1 （4）4 （5）25－ （6）37 4．－1或2 1 ． 5．略． 《有理数的乘法》填空题 1．用字母a 、b 、c 表示乘法对于加法的分配律：__________； 2．若0< ))((y x y x -+； 3．计算：____)5(25 24 36 =-?； 4．若 2-=+b b a a ，则____=a b ab ； 5．若a 、b 为整数且12=ab ，则b a +的最大值为_________． 参考答案： 1． ac ab c b a +=+)( 2． ＞ 3． －175.2 4．1 5．13 选择题 1．若a 为有理数，则)(a a -的值（ ）． （A ）符号必为负 （B ）符号必为正 （C ）一定不大于0 （D ）一定不小于0 2．若a 、b 为有理数，且0=ab ，则（ ）． （A ）0=a （B ）0=b （C ）0=a 或0=b （D ）0=a 且0=b 3．若03)2()1(2 2=-+++-z y x ，则)3)(2)(1(+-+z y x 的值为（ ）． （A ）48 （B ）－48 （C ）0 （D ）不能确定 4．绝对值小于2004的所有整数的和与积分别为（ ）． （A ）0和0 （B ）1和0 （C ）2 2004-和0 （D ）0和4008 5．若a 、b 为有理数，它们在数轴上的位置如图所示： 下列式子正确的是（ ） （A ）0<+b a （B ）0<-b a （C ）0 参考答案： 1． C 2．C 3．B 4． A 5．C 《有理数的乘法》解答题 1．（1）计算： ①（－4）×（－0.07）×（－25）； ②?? ? ?? -+??? ??-???? ??- 132285131143； ③)56(14381174-??? ? ?--； ④（－17）×43＋17×（－21）－（－17）×164． （2）当75.13-==-=c b a 、、时，求下列代数式的值： ①c b a 7 1 32+ -；②b abc 42-；③))(2(c a b a +-；④)37)(2004(c a c b --． （3）一辆汽车沿一条东西向的公路行驶，它从A 地沿这条公路向东以40千米/时行驶了2.5小时，又反向以45千米/时行驶了2小时，到达B 地．问B 地在A 地的东边还是西边，它们之间的距离是多少千米？ 2．已知a 、b 为有理数0)7(32 =++-b a ，求代数式)]()[(b a b a ---+的值． 3．计算：16 7 2)25.0(?-． 4．计算：?? ? ??-??? ??-??? ??-??? ??-??? ??-121131120021120031120041 ． 5．有一种“二十四点”游戏，其游戏规则是这样的：任取四个1～13之间的自然数，将这四个数（每个数用且只用一次）进行加减乘除四则运算．使其结果等于24．例如：1，2，3，4可作运算4×1×2×3＝24，现有四个有理数3，4，6，10，运用上述规则写出两种不同方法的运算式，使其结果等于24． 6．有A 、B 、C 三只杯子，其中A 杯子口向下，B 、C 两只杯子口向上，要求每次翻动两只杯子使开口方向发生变化，经过若干次翻动，最终能否将三只杯子的开口都向上．若能请说出方案，若不能请简单做出解释．将3只杯子数改为5，7，…，)12(+n （n 为整数），情况又如何呢？ 参考答案 1．（1）①－7 ② 2 9 ③103 ④1700 （2）①－11.5 ②57 ③60 ④0 （3）40×2.5＝100，45×2＝90，B 地在A 地东边，距离为10千米． 2．7,3-==b a ，原式＝（3－7）〔－3－（＋7）〕＝40 3．－4 4． 2004 1 5．（4－6＋10）×3；（10－4）×3－（－6） 6．不能，因为设开口向下记为－1，开口向上记为1，初始状态可看作－1×1×1＝－1，若全开口向上可看作1×1×1＝1，而每次改变两个杯子的开口方向，即改变两个数的性质不变仍为－1，所以不能做到开口全向上．5，7，…，)12(+n （n 为整数）情况也相同． 创作编号： GB8878185555334563BT9125XW 创作者：凤呜大王* 有理数应用题专项练习30题（教师版） 组题：秦老师 1．某巡警骑摩托车在一条南北大道上来回巡逻，一天早晨，他从岗亭出发，中午停 留在A处，规定向北方向为正，当天上午连续行驶情况记录如下（单位：千米）：+5， ﹣4，+3，﹣7，+4，﹣8，+2，﹣1． （1）A处在岗亭何方？距离岗亭多远？ （2）若摩托车每行驶1千米耗油a升，这一天上午共耗油多少升？ 解：（1）∵+5﹣4+3﹣7+4﹣8+2﹣1=﹣6， 又∵规定向北方向为正，∴A处在岗亭的南方，距离岗亭6千米．（2）∵|+5|+|﹣4|+|+3|+|﹣7|+|+4|+|﹣8|+|+2|+|﹣1|=34， 又∵摩托车每行驶1千米耗油a升，∴这一天上午共耗油34a升． 2．某工厂生产一批零件，根据要求，圆柱体的内径可以有0.03毫米的误差，抽查5 个零件，超过规定内径的记作正数，不足的记作负数，检查结果如下：+0.025，﹣0.035， +0.016，﹣0.010，+0.041 （1）指出哪些产品合乎要求？ （2）指出合乎要求的产品中哪个质量好一些？ 解：（1）第一、三、四个产品符合要求，即（+0.025，+0.016，﹣0.010）． （2）其中第四个零件（﹣0.010）误差最小，所以第四个质量好些 3．某奶粉每袋的标准质量为454克，在质量检测中，若超出标准质量2克，记作为 +2克，若质量低于3克以上的，则这袋奶粉为不合格，现在抽取10袋样品进行质量 检测，结果如下（单位：克）． 袋号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 记作﹣2 0 3 ﹣4 ﹣3 ﹣5 +4 +4 ﹣6 ﹣3 （1）这10袋奶粉中有哪几袋不合格？ （2）质量最多的是哪袋？它的实际质量是多少？ （3）质量最少的是哪袋？它的实际质量是多少？ 一、【正负数】 有理数的分类：★☆▲ _____________统称整数，试举例说明。 _____________统称分数，试举例说明。 ____________统称有理数。 [基础练习] 1☆把下列各数填在相应额大括号内： 1，－，-789，25，0，-20，，-590，6/7 ·正整数集｛ …｝；·正有理数集｛ …｝；·负有理数集｛ …｝ ·负整数集｛ …｝；·自然数集｛ …｝；·正分数集｛ …｝ ·负分数集｛ …｝ 2☆ 某种食用油的价格随着市场经济的变化涨落，规定上涨记为正，则元的意义 是 ；如果这种油的原价是76元，那么现在的卖价是 。 二、【数轴】 规定了 、 、 的直线，叫数轴 [基础练习] 1☆如图所示的图形为四位同学画的数轴，其中正确的是（ ） 2☆在数轴上画出表示下列各数的点，并按从大到小的顺序排列，用“>”号连接起来。 4，-|-2|， ， 1， 0 3下列语句中正确的是（ ） Ａ数轴上的点只能表示整数 Ｂ数轴上的点只能表示分数 Ｃ数轴上的点只能表示有理数 Ｄ所有有理数都可以用数轴上的点表示出来 4、★ ①比－3大的负整数是_______； ②已知ｍ是整数且-4 1.1 有理数 【知识点清单】 （一）学习温故 小学里学过的数可分为三类:、和，它们都是由于实际需要而产生的。 （二）正数 1、正数：大于0的数叫做正数。如：2，0.6，，，……※正数都比0要。 2、正数的表示方法：在正数前面加上一个“＋”，读作“正”号。如：，，，…… 其中“＋”号可以省略。 （三）负数 1、负数：在正数前面加上一个“－”号，这样的数叫做负数。如：，，，…… ※负数都比0要。 2、负数的表示方法：一个负数前的“－”号不可以省略。 3、0既不是正数也不是负数。 4、正数和负数的意义 在同一个问题中，分别用正数与负数表示的量具有__________的意义。如：如果80m表示向东走80m，那么-60m表示：______________。 （四）有理数 1、有理数的概念：整数和分数统称为有理数。 2、有理数的分类 【经典例题：】 例1：把下列各数分别填在题后相应的集合中： ，0，，0.73，2，，，，+28，，8，-，-3.5，102.3，-，1 （1）整数集合： { ……} （2）负整数集合：{ ……} （3）负分数集合：{ ……} （4）自然数集合：{ ……} （5）非负数集合：{ ……} 例2：在下面每个集合中任意写出3个符合条件的数： 例3：下列选项中均为负数的是（ ） A．，，B．，， C．，, D．，， 例4：下列说法中正确的是（） A. 整数又叫自然数 B. 0是整数 C. 一个数不是正数就是负数 D. 0不是自然数例5：下列说法正确的个数是（）。 ①一个有理数不是整数就是分数；②一个有理数不是正数就是负数； ③一个整数不是正的就是负的；④一个分数不是正的就是负的。 A．1B．2C．3D．4 例6：把下列各数填在相应的集合中： 1.2 数轴 【学习目标】 一、认识数轴 1、数轴的三要素：,________,_________。 2、用原点表示，在原点的左边，在原点的右边 画数轴要注意：⒈画直线. ⒉在直线上取一点作为原点.⒊确定正方向，并用箭头表示. ⒋根据需要选取适当单位长度. 说明：任何一个有理数都可以用数轴上的一个点来表示 【目标检测】 正数集负数集整数集自然数 有理数 一、学习目标： ● 理解正负数的意义，掌握有理数的概念和分类； ● 理解并会用有理数的加、减、乘、除和乘方五种运算法则进行有理数的运算； ● 通过熟练运用法则进行计算的同时，能根据各种运算定律进行简便运算； ● 通过本章的学习，还要学会借助数轴来理解绝对值，有理数比较大小等相关知识。 二、重点难点： ● 有理数的相关概念，如：绝对值、相反数、有效数字、科学记数法等,有理数的运算； ● 有理数运算法则尤其是加法法则的理解；有理数运算的准确性和如何选择简便方法进行简便运 算。 三、学习策略： ● 先通过知识要点的小结与典型例题练习，然后进行检测，找出漏洞，再进行针对性练习，从而达 到内容系统化和应用的灵活性。 四、知识框架： 五、知识梳理 1、知识点一：有理数的概念 （一）有理数： （1）整数与分数统称__________________ 按定义分类： _______________???????????????????? _ _ _ _ _ _ _ _ _有理数 _ _ _ _ __ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 按符号分类： __________??????????????? _ _ _ _ _ _ _ _有理数零 _ _ _ _ _ _ _ _ 注：①正数和零统称为_______________；②负数和零统称为_______________③正整数和零统称为_______________；④负整数和零统称为_______________. （2）认识正数与负数： ①正数：像1，1.1，17 ，2008等大于_______________的数，叫做_______________. 5 ，-2008等在正数前面加上“－”（读作负）号的数，叫__________注意：_________ ②负数：像-1，-1.1，-17 5 都大于零，___________都小于零.“0”即不是_________，也不是__________. （3）用正数、负数表示相反意义的量： 如果用正数表示某种意义的量，那么负数表示其___________意义的量，如果负数表示某种意义的量，则正数表示其___________意义的量.如：若-5米表示向东走5米，则+3米表示向____________走3米；若+6米表示上升6米，则-2米表示____________；+7C表示零上7C，-7C则表示____________ . （4）有理数“0”的作用： 作用举例 表示数的性质0是自然数、是有理数、是整数 3个苹果用+3表示，没有苹果用0表 表示没有 示 表示某种状态00C表示冰点 表示正数与负数的 0非正非负，是一个中性数 界点 （二）数轴 （1）概念：规定了______________ 、______________和______________的直线 注：①______________、______________、______________称为数轴的三要素，三者缺一不可. ②单位长度和长度单位是两个不同的概念，前者指所取度量单位的，后者指所取度量单位的，即是一条人为规定的代表“1’的线段，这条线段，按实际情况来规定，同一数轴上的单位长度一旦确定，则不能再改变. （2）数轴的画法及常见错误分析 ①画一条水平的______________； ②在这条直线上适当位置取一实心点作为______________： ③确定向右的方向为______________，用______________表示； ④选取适当的长度作单位长度，用细短线画出，并对应标注各数，同时要注意同一数轴的要一致. 初中数学有理数的运算经典测试题含答案 一、选择题 1．2019年春节联欢晚会在某网站取得了同时在线人数超34200000的惊人成绩，创下了全球单平台网络直播记录，将数34200000用科学记数法表示为( ) A．8 0.34210 ?B．7 3.4210 ?C．8 3.4210 ?D．6 34.210 ? 【答案】B 【解析】 【分析】 科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数． 【详解】 将34200000用科学记数法表示为：3.42×107． 故选B． 【点睛】 此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 2．下列说法中，正确的是（） A．在数轴上表示-a的点一定在原点的左边 B．有理数a的倒数是1 a C．一个数的相反数一定小于或等于这个数 D．如果a a =-，那么a是负数或零 【答案】D 【解析】 【分析】 根据实数与数轴的对应关系、倒数、相反数、绝对值的定义来解答. 【详解】 解：A、如果a<0，那么在数轴上表示-a的点在原点的右边，故选项错误； B、只有当a≠0时，有理数a才有倒数，故选项错误； C、负数的相反数大于这个数，故选项错误； D、如果a a =-，那么a是负数或零是正确. 故选D. 【点睛】 本题考查了数轴、倒数、相反数、绝对值准确理解实数与数轴的定义及其之间的对应关系.倒数的定义：两个数的乘积是1，则它们互为倒数；相反数的定义：只有符号不同的两个数互为相反数；绝对值的性质：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相 单选题 1.如图，数轴上、两点分别对应有理数、，则下列结论正确的是（）。 A. B. C. D. 2.有理数，在数轴上表示的点如图所示，则，的大小关系是（）。 A. B. C. D. 3.有理数，在数轴的位置如图，则下面关系：①；②；③；④。其中正确的个数 为（）个。 A. B. C. D. 4 5.如图，有理数在数轴上的位置如图所示，则下列结论正确的是（）。 A. B. C. D. .如图，数轴上点表示数，点表示数，则下列结论正确的是（）。 A. B. C. D. 6.有理数，在数轴上的位置如图所示，且，下列各式中：①；②；③；④ ；⑤，正确的个数是（）。 A.个 B.个 C.个 D.个 7 8.若有理数、满足，且，则下列说法正确的是（）。 A.，可能一正一负 B.，都是正数 C.，中可能有一个为 D.，都是负数 .下列说法：①一定是负数；②一定是正数；③倒数等于它本身的数是；④绝对值等于它本身的数是。其中正确的个数是（）。 A.个 B.个 C.个 D.个 9.下列叙述中：①正数与它的绝对值互为相反数；②非负数与它的绝对值的差为；③的立方与它的平方互 为相反数；④的倒数与它的平方相等。其中正确的个数有（）。 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 10.两个不为的有理数相除，如果交换被除数与除数的位置，它们的商不变，那么这两个数（）。 A.一定相等 B.一定互为倒数 C.一定互为相反数 D.相等或互为相反数 判断题 1 11.互为相反数的两数相乘，积为负数。（） 单选题 2.两个非零有理数的和为零，则它们的积是（）。 B.负数 C.整数 D.不能确定 D.是非负数A. 1 13.若，则的值（）。 B.是非正数 A.是正数 C.是负数 4.设为最小的正整数，是最大的负整数，是绝对值最小的整数，是倒数等于自身的有理数，则 的值为（）。 A. B. C.或 D.或 15.下列说法：①若两数的差是正数，则这两个数都是正数；②任何数的绝对值一定是正数；③零减去任何一个 有理数，其差是该数的相反数；④在数轴上与原点距离越远的点表示的数越大；⑤正数的倒数是正数，负数的倒数是负数，任何数都有倒数。其中正确的有（）。 A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 1 16.现有四种说法：①几个有理数相乘，当负因数有奇数个时，积为负；②几个有理数相乘，积为负时，负因数有奇数个；③当时， B. ；④当时，。其中正确的说法有（）。 A. C. D. 7.下列关于的叙述：①的相反数是；②的绝对值是；③的倒数是；④是最小的整数；⑤是正数。正 有理数一．选择题 5、有理数a、b、c在数轴上的位置如图所示，b a c -1 1 a b 则下列结论正确的是 （ ） A. a ＞b ＞0＞c B. b ＞0＞a ＞c C. b ＜－c ＜0＜－a D. a ＜b ＜c ＜0 6、在数轴上，把表示-4的点移动2个单位长度后，所得到的对应点表示的数是（ ） A.-1 B.-6 C.-2或-6 D.无法确定 7.下列正确的式子是 ( ) A.021>- - B.4)4(--=-- C.5 4 65->- D.π->-14.3 8、 若a<0，b<0，则下列各式正确的是( ) A 、a-b<0 B 、a-b>0 C 、a-b=0 D 、(-a)+(-b)>0 9、已知|1|a +与|4|b -互为相反数，则ab 的值是（ ）。 A.-1 B.1 C.-4 D.4 2．下列各组数中，相等的是( )． A ．32与23 B ．－22与(－2)2 C ．－|－3|与|－3| D ．－23与(－2)3 16、l 米长的小棒，第1次截止一半，第2次截去剩下的一半，如此下去，第6次后剩下的小棒长为（ ） A 、 121 B 、32 1 C 、641 D 、1281 15．两个非零有理数的和为零，则它们的商是（ ） A ．0 B ．1- C ．+1 D ．不能确定 17．如果a a -=||，下列成立的是（ ） A ．0>a B ．0，且0ab <，那么（ ） Ａ．0,0a b >> ; Ｂ．0,0a b << ;Ｃ．a 、b 异号 D. a 、b 异号且负数和绝对值较小 1、下列各数对中，数值相等的是（ ） A 、+32与+23 B 、—23与（—2）3 C 、—32与（—3）2 D 、3×22与（3×2）2 5、已知有理数a 、b 在数轴上的位置如图所示，下列结论正确的是（ ） A 、a ＞b B 、ab ＜0 C 、b —a ＞0 D 、a +b ＞0 新浙教版七年级上册数学第一章《有理数》知识点及典型例题 知识框图 将考点与相应习题联系起来 考点一、关于“……说法正确的是……”的题型（只可能是选择题） 1、下列语句：① 带“-”号的数是负数；② 如果a 为正数，则-a 一定是负数；③ 不存在既不是正数又不是负数的数；④ 00 C 表示没有温度，正确的有（ ）个 2、下列说法不正确的是（ ） A.数轴是一条直线； B.表示-1的点，离原点1个单位长度； C.数轴上表示-3的点与表示- 1的点相距2个单位长度； D.距原点3个单位长度的点表示—3或3。 3、下列说法中不正确的是（ ） A.－5表示的点到原点的距离是5； B. 一个有理数的绝对值一定是正数； C. 一个有理数的绝对值一定不是负数； D. 互为相反数的两个数的绝对值一定相等. 4、如图：下列说法正确的是（ ） 比b 大 比a 大 、b 一样大 、b 的大小无法确定 5、若｜a ＋b|＝－（a ＋b ）,下列结论正确的是（ ） ＋b ≤0 ＋b<0 ＋b=0 ＋b>0 6、下列说法：① 一个数的绝对值的相反数一定是负数；② 只有负数的绝对值是它的相反数；③ 正数和零的绝对值都等于它本身；④互为相反数的两个数的绝对值相等，错误的个数是( ) 个 个 个 个 7、如果a 表示有理数，那么下列说法中正确的是（ ） A.+a 与-(-a)互为相反数 B. +a 与-a 一定不相等 一定是负数 D. -(+a)与+(-a)一定相等 8、已知字母a 、b 表示有理数，如果a +b =0，则下列说法正确的是（ ） A.a 、b 中一定有一个是负数 B.a 、b 都为0 C.a 与b 不可能相等 D.a 与b 的绝对值相等 9、下列说法正确的是（ ） A. -|a|一定是负数 B. 只有两个数相等时，它们的绝对值才相等 C. 若|a|=|b|，则a 与b 互为相反数 D. 若一个数小于它的绝对值，则这个数为负数 10、给出下面说法：① 互为相反数的两个数绝对值相等；② 一个数的绝对值等于它本身，这个数不是负数； ③ 若|m|>m ，则m<0；④ 若|a|>|b|，则a>b ，其中正确的有（ ） A.①②③ B.①②④ C.①③④ D.②③④ 考点二、具有相反意义的量、相反数、数轴、绝对值、有理数的分类等概念的直接考题 1、某项科学研究，以45分钟为1个时间单位，并记每天上午10时为0，10时以前记为负，10时以后记为正，例如9：15记为-1，10：45记为1等等，以此类推，上午7：45应记为 2、在时钟上，把时针从钟面数字“12”按顺时针方向拨到“6”，计做拨了“+1 2 ”周，那么，把时针从“12”开始，拨了“1 4 ”周后，该时针所指的钟面数字是 3、若a 与b 互为相反数，则下列式子：①a+b=0；②a=-b ；③|a|=|-b|；④a=b ，其中一定成立的序号为 4、数轴上到数-1所表示的点的距离为5的点所表示的数是 5、绝对值最小的有理数是 ；绝对值最小的整数是 ；| －π|= _________ 6、写出所有不小于-4并且小于的整数： 有理数应用题专项练习30题（教师版）组题：秦老师 1．某巡警骑摩托车在一条南北大道上来回巡逻，一天早晨，他从岗亭出发，中午停留在A处，规定向北方向为正，当天上午连续行驶情况记录如下（单位：千米）：+5，﹣4，+3，﹣7，+4，﹣8，+2，﹣1． （1）A处在岗亭何方？距离岗亭多远？ （2）若摩托车每行驶1千米耗油a升，这一天上午共耗油多少升？ 解：（1）∵+5﹣4+3﹣7+4﹣8+2﹣1=﹣6， 又∵规定向北方向为正，∴A处在岗亭的南方，距离岗亭6千米． （2）∵|+5|+|﹣4|+|+3|+|﹣7|+|+4|+|﹣8|+|+2|+|﹣1|=34， 又∵摩托车每行驶1千米耗油a升，∴这一天上午共耗油34a升． 2．某工厂生产一批零件，根据要求，圆柱体的内径可以有0.03毫米的误差，抽查5个零件，超过规定内径的记作正数，不足的记作负数，检查结果如下：+0.025，﹣0.035，+0.016，﹣0.010，+0.041 （1）指出哪些产品合乎要求？ （2）指出合乎要求的产品中哪个质量好一些？ 解：（1）第一、三、四个产品符合要求，即（+0.025，+0.016，﹣0.010）． （2）其中第四个零件（﹣0.010）误差最小，所以第四个质量好些 3．某奶粉每袋的标准质量为454克，在质量检测中，若超出标准质量2克，记作为+2克，若质量低于3克以上的，则这袋奶粉为不合格，现在抽取10袋样品进行质量检测，结果如下（单位：克）． 袋号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 记作﹣2 0 3 ﹣4 ﹣3 ﹣5 +4 +4 ﹣6 ﹣3 （1）这10袋奶粉中有哪几袋不合格？ （2）质量最多的是哪袋？它的实际质量是多少？ （3）质量最少的是哪袋？它的实际质量是多少？ 解：（1）4、6、9号袋不合格； （2）质量最多是7，8号袋，它的实际质量是454+4=458克； （3）质量最少是9号袋，它的实际质量是454﹣6=448克 4．蜗牛从某点0开始沿一东西方向直线爬行，规定向东爬行的路程记为正数，向西爬行的路程记为负数．爬过的各段路程依次为（单位：厘米）：+4，﹣3，+10，﹣9，﹣6，+12，﹣10． ①求蜗牛最后的位置在点0的哪个方向，距离多远？ ②在爬行过程中，如果每爬1厘米奖励一粒芝麻，则蜗牛一共得到多少粒芝麻？ ③蜗牛离开出发点0最远时是多少厘米？ 解：①（+4）+（﹣3）+（+10）+（﹣9）+（﹣6）+（+12）+（﹣10） =（﹣3）+（﹣9）+（﹣6）+（+4）+（+12）+（+10）+（﹣10）=（﹣18）+（+16）+0=﹣2（厘米），所以蜗牛最后的位置在点0西侧，距离点0为2厘米； ②|+4|+|﹣3|+|+10|+|﹣9|+|﹣6|+|+12|+|﹣10|=4+3+10+9+6+12+10=54（厘米），所以蜗牛一共得到54 料芝麻； ③如图所示，最远时为11厘米． 有理数经典测试题含答案一、选择题 1．在–2，+3.5，0， 2 3 -，–0.7，11中．负分数有( ) A．l个B．2个C．3个D．4个【答案】B 【解析】 根据负数的定义先选出负数，再选出分数即可． 解：负分数是﹣2 3 ，﹣0.7，共2个． 故选B． 2．下列说法中，正确的是（） A．在数轴上表示-a的点一定在原点的左边 B．有理数a的倒数是1 a C．一个数的相反数一定小于或等于这个数 D．如果a a =-，那么a是负数或零 【答案】D 【解析】 【分析】 根据实数与数轴的对应关系、倒数、相反数、绝对值的定义来解答. 【详解】 解：A、如果a<0，那么在数轴上表示-a的点在原点的右边，故选项错误； B、只有当a≠0时，有理数a才有倒数，故选项错误； C、负数的相反数大于这个数，故选项错误； D、如果a a =-，那么a是负数或零是正确. 故选D. 【点睛】 本题考查了数轴、倒数、相反数、绝对值准确理解实数与数轴的定义及其之间的对应关系.倒数的定义：两个数的乘积是1，则它们互为倒数；相反数的定义：只有符号不同的两个数互为相反数；绝对值的性质：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0. 3．在﹣3，﹣1，1，3四个数中，比2大的数是（） A．﹣3 B．﹣1 C．1 D．3 【答案】D 【解析】 【分析】 根据有理数比较大小的方法解答即可． 【详解】 解：比2大的数是3． 故选：D ． 【点睛】 本题考查了有理数比较大小，掌握有理数比较大小的比较方法是解题的关键． 4．已知a b >，下列结论正确的是（ ） A ．22a b -<- B ．a b > C ．22a b -<- D ．22a b > 【答案】C 【解析】 【分析】 直接利用不等式的性质分别判断得出答案． 【详解】 A. ∵a>b ，∴a ?2>b ?2，故此选项错误； B. ∵a>b ，∴|a|与|b|无法确定大小关系，故此选项错误； C.∵a>b ，∴?2ab,∴a 2与b 2无法确定大小关系，故此选项错误； 故选：C. 【点睛】 此题考查绝对值，不等式的性质，解题关键在于掌握各性质定义. 5．已知实数a ，b 在数轴上的位置如图所示，下列结论错误的是（ ） A ．1a b << B ．11b <-< C ．1a b << D ．1b a -<<- 【答案】A 【解析】 【分析】 首先根据数轴的特征，判断出a 、-1、0、1、b 的大小关系；然后根据正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小，逐一判断每个选项的正确性即可． 【详解】 解：根据实数a ，b 在数轴上的位置，可得 a ＜-1＜0＜1＜ b ， ∵1＜|a|＜|b|， ∴选项A 错误； 初中数学有理数经典测试题附答案 一、选择题 1．下列语句正确的是（） A．近似数0．010精确到百分位 B．｜x-y｜=｜y-x｜ C．如果两个角互补，那么一个是锐角，一个是钝角 D．若线段AP=BP，则P一定是AB中点 【答案】B 【解析】 【分析】 A中,近似数精确位数是看小数点后最后一位;B中,相反数的绝对值相等;C中,互补性质的考查;D中,点P若不在直线AB上则不成立 【详解】 A中,小数点最后一位是千分位,故精确到千分位,错误; B中,x－y与y－x互为相反数,相反数的绝对值相等,正确； C中，若两个角都是直角，也互补，错误； D中，若点P不在AB这条直线上，则不成立，错误 故选：B 【点睛】 概念的考查，此类题型，若能够举出反例来，则这个选项是错误的 2．在﹣3，﹣1，1，3四个数中，比2大的数是（） A．﹣3 B．﹣1 C．1 D．3 【答案】D 【解析】 【分析】 根据有理数比较大小的方法解答即可． 【详解】 解：比2大的数是3． 故选：D． 【点睛】 本题考查了有理数比较大小，掌握有理数比较大小的比较方法是解题的关键． 3．如图是一个22 的方阵，其中每行，每列的两数和相等，则a可以是（） A ．tan 60? B ．()20191- C ．0 D ．()20201- 【答案】D 【解析】 【分析】 根据题意列出等式，直接利用零指数幂的性质以及绝对值的性质和立方根的性质分别化简得出答案． 【详解】 解：由题意可得：03282a +-=+， 则23a +=， 解得：1a =， Q 3tan 603 ?=,()201911-=-,()202011-= 故a 可以是2020(1) -． 故选：D ． 【点睛】 此题考查了零指数幂、绝对值的性质、立方根的性质和实数的运算，理解题意并列出等式是解题关键． 4．实效m ，n 在数轴上的对应点如图所示，则下列各式子正确的是（ ） A ．m n > B ．n m -> C ．m n -> D ．m n < 【答案】C 【解析】 【分析】 从数轴上可以看出m 、n 都是负数，且m ＜n ，由此逐项分析得出结论即可． 【详解】 解：因为m 、n 都是负数，且m ＜n ，|m|＜|n|， A 、m ＞n 是错误的； B 、-n ＞|m|是错误的； C 、-m ＞|n|是正确的； D 、|m|＜|n|是错误的． 故选：C ． 【点睛】 此题考查有理数的大小比较，关键是根据绝对值的意义等知识解答． 5．下列等式一定成立的是( ) 有理数混合运算典型例题讲解 例1.计算= 分析：－1的奇次方为－1，－1的偶次方则为它的相反数1；0的任何次方都为0。 解：原式=1+（－1）+1+0=1 例2.若规定一种运算“*”：，如，， 那么的值等于 解： 例3.根据二十四点算法，现有四个数3，4，－6，10，每个数用且只用一次进行加减乘除，使其结果等于24，则列式为 解：（答案不唯一） 例4.计算① ② 分析：先确定符号。 ①小题有三个负因数相乘积为负。再利用乘法交换律先计算的值。 ②小题把小数转化为假分数，因数一正两负乘积为正，再统一约分。 解：①原式= ②原式= 例5.① ② 分析：利用分配律进行计算。②小题把化为再利用分配律进行计算。 解：①原式= ②原式= 例6.计算：① ② ③ 分析：③小题可以直接计算，也可以把写成24+后利用分配律进行计算。 解：①原式=－1+0+6.5=5.5 ②原式= ③原式= 例7.计算① ② 分析：在有理数的加、减、乘、除、乘方五种运算中，加、减叫作第一级运算，乘、除叫作第二级运算，乘方叫作第三级运算。没有括号时，先做第三级运算，再作第二级运算，最后做第一级运算。在同一级运算中，按照由左到右的顺序进行。有括号时，按照小括号、中括号、大括号的顺序进行运算。在有理数的混合运算中一定要注意有理数的运算顺序。 ①小题还可以逆用乘法分配律，从而简化运算。 解：①原式= = = = = 或：原式= = = = ②原式= = = 例8.计算①② ③④ 分析：绝对值是非负数，所以不论是偶次方还是奇次方，结果都是非负的，但是不要把绝对值或者乘方以外的负号带到运算里面去。 解：①原式= ②原式= ③原式= ④原式= 例9.已知a，b互为相反数，c，d互为倒数，x的绝对值等于2，试求 值。 解：由题意，得a+b=0，cd=1，|x|=2，x=2或－2. 所以= 当x=2时，原式==4－2－1=1； 当x=－2时，原式==4－（－2）－1=5。 例10.半径是10cm，高为30cm的圆柱形水桶中装满水，小明先将桶中的水倒满2个底面半径为3cm高为6cm的圆柱形杯子，再把剩下的水倒入长，宽，高分别为40cm，30cm和20cm 的长方体容器内，长方体容器内水的高度大约是多少?（取3，容器厚度不算）解：水桶内水的体积为×102×30，倒满2个杯子后，剩下的水的体积为： （×102×30－2××32×6） ∴长方体容器内水的高度为： （×102×30－2××32×6）÷（40×30） =（9000－324）÷1200=8676÷1200≈7cm 答：长方体容器内水的高度大约是7cm。 1、下列说法正确的是（） A、正数、0、负数统称为有理数 B、分数和整数统称为有理数 C、正有理数、负有理数统称为有理数 D、以上都不对 2、-a一定是（） A、正数 B、负数 C、正数或负数 D、正数或零或负数 3、在数轴上，点A、B分别表示-5和2，则线段AB的长度是＿＿＿。 4、-（-3）的相反数是＿＿＿。 5、已知数轴上A、B表示的数互为相反数，并且两点间的距离是6，点A 在点B的左边，则点A、B表示的数分别是＿＿＿。 6、下列结论正确的有（） ①任何数都不等于它的相反数；②符号相反的数互为相反数；③表示互为相反数的两个数的点到原点的距离相等；④若有理数a,b互为相反数，那么a+b=0； ⑤若有理数a,b互为相反数，则它们一定异号。 A 、2个B、3个C、4个D、5个 7、下列结论中，正确的有（） ①符号相反且绝对值相等的数互为相反数；②一个数的绝对值越大，表示它的点在数轴上离原点越远；③两个负数，绝对值大的它本身反而小；④正数大于一切负数；⑤在数轴上，右边的数总大于左边的数。 A、2个 B、3个 C、4个 D、5个 8、下列各式可以写成a－b＋c的是（） A、a－(＋b)－(＋c) B、a－(＋b)－(－c) C、a＋(－b)＋(－c) D、a＋(－b)－(＋c) 9、下列结论不正确的是（） A、若a＞0，b＜0，则a－b＞0 B、若a＜0，b＞0，则a－b＜0 C、若a＜0，b＜0，则a－(－b)＞0 D、若a＜0，b＜0，且，则a－b＞0. 1.如果两个有理数的积是正的,那么这两个因数的符号一定______. 2.如果两个有理数的积是负的,那么这两个因数的符号一定_______. 3.奇数个负数相乘,结果的符号是_______. 4.偶数个负数相乘,结果的符号是_______. 5.如果41 0,0 a b >> ,那么 a b_____0. 6.如果5a>0,0.3b<0,0.7c<0,那么b ac____0. 7.-0.125的相反数的倒数是________. 8.若a>0,则a a=_____;若a<0,则 a a=____. 1.如果两个有理数在数轴上的对应点在原点的同侧,那么这两个有理数的积( ) A.一定为正 B.一定为负 C.为零 D. 可能为正,也可能为负 2.若干个不等于0的有理数相乘,积的符号( ) 有理数经典测试题含答案解析 一、选择题 1．如果||a a =-，下列成立的是（ ） A ．0a > B ．0a < C ．0a ≥ D ．0a ≤ 【答案】D 【解析】 【分析】 绝对值的性质：正数的绝对值等于它本身，负数的绝对值等于它的相反数，0的绝对值是0． 【详解】 如果||a a =-，即一个数的绝对值等于它的相反数，则0a ≤． 故选D ． 【点睛】 本题考查绝对值，熟练掌握绝对值的性质是解题关键. 2．下列说法中，正确的是（ ） A ．在数轴上表示-a 的点一定在原点的左边 B ．有理数a 的倒数是1a C ．一个数的相反数一定小于或等于这个数 D ．如果a a =-，那么a 是负数或零 【答案】D 【解析】 【分析】 根据实数与数轴的对应关系、倒数、相反数、绝对值的定义来解答. 【详解】 解：A 、如果a<0，那么在数轴上表示-a 的点在原点的右边，故选项错误； B 、只有当a≠0时，有理数a 才有倒数，故选项错误； C 、负数的相反数大于这个数，故选项错误； D 、如果a a =-，那么a 是负数或零是正确. 故选D. 【点睛】 本题考查了数轴、倒数、相反数、绝对值准确理解实数与数轴的定义及其之间的对应关系.倒数的定义：两个数的乘积是1，则它们互为倒数；相反数的定义：只有符号不同的两个数互为相反数；绝对值的性质：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0. 3．在实数－3、0、5、3中，最小的实数是（ ） A ．－3 B ．0 C ．5 D ．3 【答案】A 【解析】 试题分析：本题考查了有理数的大小比较法则的应用，注意：正数都大于0，负数都小于0，正数都大于一切负数，两个负数比较大小，其绝对值大的反而小．根据有理数大小比较的法则比较即可． 解：在实数-3、0、5、3中，最小的实数是-3； 故选A ． 考点：有理数的大小比较． 4．已知实数a ，b ，c ，d ，e ，f ，且a ，b 互为倒数，c ，d 互为相反数，e 的绝对值为 ，f 的算术平方根是8，求2125 c d ab e ++++( ) A ． 92 B ．92 C ．92+92- D ．132 【答案】D 【解析】 【分析】 根据相反数，倒数，以及绝对值的意义求出c+d ，ab 及e 的值，代入计算即可． 【详解】 由题意可知：ab=1，c+d=0，=e f=64， ∴222e =±=（4=， ∴ 2125 c d ab e ++++=11024622 +++=； 故答案为：D 【点睛】 此题考查了实数的运算，算术平方根，绝对值，相反数以及倒数和立方根，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 5．和数轴上的点一一对应的是（ ） A ．整数 B ．实数 C ．有理数 D ．无理数 【答案】B 【解析】 ∵实数与数轴上的点是一一对应的， ∴和数轴上的点一一对应的是实数． 故选B. “第一章 有理数”单元测试卷 班级： 姓名： 学号： 得分： 说明：本测试卷需考查你的基本运算能力，不含复杂繁琐的运算，故不能使用计算器。若使用计算器者，从总分中扣除20分计算得分。 一、速算填空：（本大题共20小题，共10分，但每错一题扣1 分，直到扣完为止。） （1）、___)9()6(=-++ ， （2）、___)9()6(=--+， （3）、___)9()6(=-?+， （4）、___)14()56(=-÷-， （5）、___4716=-， （6）、___46=+-， （7）、____)3(3 =-， （8）、____)2(4 =-， （9）、____24 =-， （10）、____)1(2008 =-， （11）、____)2(3 =--， （12）、___565=--， （13）、 ___2131=-， （14） 、___)103()65(=-?-， （15）、___8 3 25.0=÷-， （16）、____5.04 =， （17）、___55=+-， （18）、___1020=--， （19）、___)1.6()9.5(=---， （20）、___)13(0)56()7(=-÷?-?-。 二、填空题：（每小题3分，共30分） 1、如果节约10吨水记作+10吨，那么浪费8吨水记作 。 2、最小的自然数是 ，最大的负整数是 ，最小的非负数是 。 3、既不是正数，也不是负数的数是 。 4、相反数等于本身的数是 ，倒数等于本身的数是 ，绝对值等于本身的数是 。 5、绝对值等于5的数是 。 6、比较大小： 218- 7 3- 7、地球上的陆地面积约为149 000 000km 2，用科学记数法表示为 。 8、由四舍五入得到的近似数0.0060，精确到 位，有 个有效数字，它们是 。 9、若0)4(32 =-+-y x ，则___=-y x 。 10、绝对值小于2007的所有整数的和等于 。 三、选择题：（每小题3分，共21分） 1、一个数加上-12得-5，则这个数是（ ） A 、17 B 、7 C 、-17 D 、-7 2、下列各对数中，不是互为相反数的是（ ） 有理数经典测试题及答案 一、选择题 1．在数轴上，点A，B在原点O的两侧，分别表示数a和3，将点A向左平移1个单位 =，则a的值为（）． 长度，得到点C．若OC OB A．3-B．2-C．1-D．2 【答案】B 【解析】 【分析】 先用含a的式子表示出点C,根据CO=BO列出方程,求解即可． 【详解】 解:由题意知:A点表示的数为a,B点表示的数为3, C点表示的数为a-1． 因为CO=BO, 所以|a-1| =3, 解得a=-2或4, ∵a＜0, ∴a=-2． 故选B． 【点睛】 本题主要考查了数轴和绝对值方程的解法,用含a的式子表示出点C,是解决本题的关键．2．如图，a、b在数轴上的位置如图，则下列各式正确的是（） A．ab＞0 B．a﹣b＞0 C．a+b＞0 D．﹣b＜a 【答案】B 【解析】 解：A、由图可得：a＞0，b＜0，且﹣b＞a，a＞b ∴ab＜0，故本选项错误； B、由图可得：a＞0，b＜0，a﹣b＞0，且a＞b ∴a+b＜0，故本选项正确； C、由图可得：a＞0，b＜0，a﹣b＞0，且﹣b＞a ∴a+b＜0； D、由图可得：﹣b＞a，故本选项错误． 故选B． 3．若a为有理数，且|a|＝2，那么a是（） A．2 B．﹣2 C．2或﹣2 D．4 【答案】C 【解析】 【分析】 利用绝对值的代数意义求出a 的值即可． 【详解】 若a 为有理数，且|a|＝2，那么a 是2或﹣2， 故选C ． 【点睛】 此题考查了绝对值，熟练掌握绝对值的代数意义是解本题的关键． 4．已知实数a ，b ，c ，d ，e ，f ，且a ，b 互为倒数，c ，d 互为相反数，e 的绝对值为 ，f 的算术平方根是8，求2125 c d ab e ++++( ) A ． 92 B ．92 C ．92+92- D ．132 【答案】D 【解析】 【分析】 根据相反数，倒数，以及绝对值的意义求出c+d ，ab 及e 的值，代入计算即可． 【详解】 由题意可知：ab=1，c+d=0，=e f=64， ∴222e =±=（4=， ∴ 2125 c d ab e ++++=11024622 +++=； 故答案为：D 【点睛】 此题考查了实数的运算，算术平方根，绝对值，相反数以及倒数和立方根，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 5．下列等式一定成立的是( ) A = B ．11= C 3=± D ．6=- 【答案】B 【解析】 【分析】 根据算术平方根、立方根、绝对值的性质逐项判断即可. 【详解】 321-=，故错误； B. 11=，故正确； 有理数 一、学习目标： ●理解正负数的意义，掌握有理数的概念和分类； ●理解并会用有理数的加、减、乘、除和乘方五种运算法则进行有理数的运算； ●通过熟练运用法则进行计算的同时，能根据各种运算定律进行简便运算； ●通过本章的学习，还要学会借助数轴来理解绝对值，有理数比较大小等相关知识。 二、重点难点： ●有理数的相关概念，如：绝对值、相反数、有效数字、科学记数法等,有理数的运算； ●有理数运算法则尤其是加法法则的理解；有理数运算的准确性和如何选择简便方法进行简便运 算。 三、学习策略： ●先通过知识要点的小结与典型例题练习，然后进行检测，找出漏洞，再进行针对性练习，从而达 到内容系统化和应用的灵活性。 四、知识框架： 五、知识梳理 1、知识点一：有理数的概念 （一）有理数： （1）整数与分数统称__________________ 按定义分类： _______ ____ ____ ??? ??? ?? ? ?? ?? ? ? ?? ?? ? _ _ _ _ _ _ _ _ _ 有理数 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 按符号分类： _____ _____ ?? ? ? ? ? ? ? ?? ?? ?? ? _ _ _ _ _ _ _ _ 有理数零 _ _ _ _ _ _ _ _ 注：①正数和零统称为_______________；②负数和零统称为_______________③正整数和零统称为_______________；④负整数和零统称为_______________. （2）认识正数与负数： ，2008等大于_______________的数，叫做_______________. ①正数：像1，1.1，17 5 ，-2008等在正数前面加上“－”（读作负）号的数，叫__________注意：_________ ②负数：像-1，-1.1，-17 5 都大于零，___________都小于零.“0”即不是_________，也不是__________. （3）用正数、负数表示相反意义的量： 如果用正数表示某种意义的量，那么负数表示其___________意义的量，如果负数表示某种意义的量，则正数表示其___________意义的量.如：若-5米表示向东走5米，则+3米表示向____________走3米；若+6米表示上升6米，则-2米表示____________；+7C表示零上7C，-7C则表示____________ . （4）有理数“0”的作用： （二）数轴 （1）概念：规定了______________ 、______________和______________的直线 注：①______________、______________、______________称为数轴的三要素，三者缺一不可. ②单位长度和长度单位是两个不同的概念，前者指所取度量单位的，后者指所取度量单位的，即是一条人为规定的代表“1’的线段，这条线段，按实际情况来规定，同一数轴上的单位长度一旦确定，则不能再改变. （2）数轴的画法及常见错误分析 ①画一条水平的______________； ②在这条直线上适当位置取一实心点作为______________： ③确定向右的方向为______________，用______________表示； ④选取适当的长度作单位长度，用细短线画出，并对应标注各数，同时要注意同一数轴的要一致. ⑤数轴画法的常见错误举例：有理数应用题经典30题(教师版)
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