南京师大附中2019-2020学年度第1学期答案
南京师大附中2019－2020学年度第1学期
高二年级期中考试数学试卷答案
一、选择题
1.B
2.C
3.B
4.A
5.A
6.D
7.B
8.C
9.B 10.D
11.ABC 12.AC
二、填空题
13.52 14.2 15.310 16.814
三、解答题
17． 解：记4名男生分别是B 1、B 2、B 3、B 4，2名女生分别为G 1、G 2，从中选取2人，有如下基本事件：
(B 1，B 2)，(B 1，B 3)，(B 1，B 4)，(B 1，G 1)，(B 1，G 2)，
(B 2，B 3)，(B 2，B 4)，(B 2，G 1)，(B 2，G 2)，(B 3，B 4)，
(B 3，G 1)，(B 3，G 2)，(B 4，G 1)，(B 4，G 2)，(G 1，G 2)，
共15个基本事件，它们是等可能的． ..............2分
（1）从中选2人恰有1名男生的基本事件有(B 1，G 1)，(B 1，G 2)，(B 2，G 1)，(B 2，G 2)，(B 3，G 1)，(B 3，G 2)，(B 4，G 1)，(B 4，G 2)，共8个基本事件．
记从中选2人恰有1名男生为事件A ，
则P (A )＝815
． ..............4分 （2）由题意，选2人中至少有1名女生和选2人中没有女生是对立事件，
记选2人中至少有1名女生为事件B ，选2人中没有女生为事件C ，
则P (B )＝1－P (C )．
选2人中没有女生的基本事件有(B 1，B 2)，(B 1，B 3)，(B 1，B 4)，(B 2，B 3)，(B 2，B 4)，(B 3，B 4)，
共6个基本事件，则P (C )＝615＝25
, 故P (B )＝1－P (C )＝1－25＝35
． ..............8分
18.解：（1）以A 1为坐标原点，{A 1B 1→，A 1D 1→，A 1A →}为正交基底，建立如图所示的空间直角坐
标系A 1-xyz .
设直线EC 1与A 1B 所成角为θ，??
? ??∈20πθ，，EC 1→与A 1B →所成角为α. 则各点坐标为A 1(0，0，0)， D (0，1，2)，E (0，12
，1)，C 1( 3 ，1，0)，B (3，0，2)， 所以，EC 1→＝( 3 ，12
，－1)，A 1B →＝(3，0，2)． 所以，cos θ＝|EC 1→·A 1B →|EC 1→||A 1B →||＝1 172
×7＝2119119． ..............3分 所以，直线EC 1与A 1B 所成角的余弦值为2119119
． ..............4分 （2）由题意，B (3，0，2)，C (3，1，2)，D 1(0，1，0)，则A 1D 1→＝(0，1，0)，
因为F 位BC 中点，所以F (3，12，2)，则A 1F →＝(3，12
，2)． 设平面F A 1D 1的法向量为n →＝(x ，y ，z )，
则?????n →·A 1F →＝0n →·A 1D 1→＝0，即?
????3x ＋12 y ＋2z ＝0 y ＝0， 令x ＝2，则y ＝0，z ＝－3，
所以n →＝(2，0，－3)是平面F A 1D 1的一个法向量． ............6分
由题（1）知，EC 1→＝(3， 12
，－1)， 所以cos
＝6357119． ............8分 设直线EC 1与平面F A 1D 1所成角为θ，??
????∈20πθ，，
则sin θ＝| cos
． ..............10分 说明：不建系扣1分，不设角扣一分.
19． 解：（1）因为椭圆离心率为12
，且a 2＝b 2＋c 2，所以a ＝3b ， 又因为椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)经过点(1，32
)，所以1a 2＋49b 2＝1， 解得a ＝2，b ＝3． ..............4分
（2）当直线AB 斜率为0时，AB ＝2a ＝4，不符合题意．
所以可设直线AB 的方程为x ＝my ＋1，
与椭圆方程联立得：(3m 2＋4)y 2＋6my －9＝0，△＝36m 2＋36(3m 2＋4)＞0，
则y A ＋y B ＝－6m 3m 2＋4，y A ·y B ＝－93m 2＋4
， ..............6分 AB ＝1＋m 2·|y A －y B |＝1＋m 2·(y A ＋y B )2－4y A ·y B ＝12m 2＋123m 2＋4
＝72， 所以m 2＝43，m ＝±233
， 故直线AB 的方程为x ±233
y －1＝0． ..............10分 说明：少一个解扣1分.
20.解：因为正方形ABCD 的边长为2，所以AB ⊥AD ，CB ⊥CD ，AB ＝AD ＝CD ＝BC ＝2.
又AE ⊥平面ABD ，AB ，AD ?平面ABD ，所以AE ⊥AB ，AE ⊥AD ，
以点A 为原点，AB ，AD ，AE 所在直线为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系A －xyz .
作CF ⊥BD ，垂足为F .
因为平面ABD ⊥平面CBD ，CF ?平面CBD ，平面ABD ∩平面CBD ＝BD ，
所以CF ⊥平面ABD .
因为CB ＝CD ＝2，所以点F 为BD 的中点，CF ＝ 2. ..............2分 （1）因为AE ＝2，所以E (0，0，2)，F (2，0，0)，D (0，2，0)，F (1，1，0)， C (1，1，2)，
所以DE →=(0，－2，2)，BC →=(－1，1，2)，DE →·BC →=0，
所以DE →⊥BC →，所以直线DE 与直线BC 所成角为π2
. ..............6分 （2）设AE 的长度为a （a >0），则E （0，0，a ）.
由AD ⊥AE ，AD ⊥AB ，AE ，AB ?平面ABE ，且AE ∩AB =A ，得AD ⊥平面ABE ，
所以平面ABE 得一个法向量为n 1=（0，1，0）.
设平面BDE 的法向量n 2=（x 1，y 1，z 1），又BE →=（-2，0，a ），BD →=（-2，2，0），
所以n 2⊥BE →，n 2⊥BD →，所以?????n 2·BE →＝-2x 1+az 1＝0， n 2·BD →＝-2x 1+2y 1＝0．
解得 ?
????x 1＝a 2z 1， x 1＝y 1．取z 1＝2，则x 1＝y 1＝a
所以平面BDE 的一个法向量为n 2=（a ，a ，2）， ..............8分
所以|cos
, 因为二面角A －BE －D 的大小为π3，所以a 2a 2+4=12
，解得a =2，所以AE 的长度为 2. ..............12分
21. 解：（1）设抛物线上任意一点的坐标(t 2，2t )，
则它到直线l ：x －y ＋3＝0的距离d ＝|t 2－2t ＋3|2＝(t －1)2＋22
, 当t ＝1时，d 有最小值2．
故点A 的坐标为(1，2)． ..............2分
（2）设点B 的坐标为(m 2，2m )(m ≠2)．
则l AB ：y －2＝2m －2m 2－1(x －1)，即y ＝2m ＋1
(x －1)＋2， 与y ＝x ＋3联立解得点P (m ＋31－m ，6－2m 1－m )． 于是，C ((3－m 1－m )2，6－2m 1－m
)． Ⅰ．当m 2≠3时，m 2≠(3－m 1－m )2，l BC ：y －2m ＝6－2m 1－m －2m (3－m 1－m
)2－m 2(x －m 2)， y －2m ＝2m 3－6m 2＋10m －6m 4－2m 3＋6m －9
(x －m 2)， y －2m ＝(2m －2)(m 2－2m ＋3)(m 2－3)(m 2－2m ＋3)
(x －m 2)， y －2m ＝(2m －2)(m 2－3)
(x －m 2)， 所以(m 2－3)(y －2m )＝(2m －2)(x －m 2)，
整理得：m 2(y －2)+m (6－2x )－(3y －2x )＝0(*)．
当x ＝3，y ＝2时，对于任意实数m (m ≠±3)，方程(*)恒成立，
直线l BC 过定点Q (3，2)．
Ⅱ．当m 2＝3时，B (3，2m )，C (3，6－2m 1－m
)，直线l BC 过定点(3，2)． 综上所述直线l BC 过定点(3，2)． ..............8分
（3）由（2）可设l BC ：x －3＝k (y －2)．
抛物线方程联立得：y 2－4ky ＋4(2k －3)＝0．
△＝16k 2－16(2k －3)＝16[(k －1)2＋2]＞0，
则y B ＋y C ＝4k ，y B ·y C ＝4(2k －3)，
S △ABC ＝12
AQ·|y B －y C |＝|y B －y C |＝(y B ＋y C )2－4 y B ·y C ＝4(k －1)2＋2， 当k ＝1时，△ABC 的面积得最小值为42． ..............12分