武汉华师一附中2018-2019学年高一下期中考试数学试题及答案

华中师大一附中2019—2019学年度第二学期期中检测

高一年级数学试题

考试限时：120分钟 卷面满分：150分 命题人：黄倩 审题人：黄进林

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有

一项是满足题目要求的

1．数列

23，45-，87

，16

9-，…的一个通项公式为 A ．n n

n a 2

1

2)1(+?-=

B ．n n n n a 2

1

2)1(+?

-= C ．n n

n n a 212)1(1+?-=+ D ．n n n n a 2

1

2)1(1+?-=+

2．等差数列{a n }中，a 2 + a 8 =16，则{a n }的前9项和为 A ．56 B ．96 C ．80 D ．72

3．下列命题中正确的是

A ．两两相交的三条直线共面

B ．两条相交直线上的三个点可以确定一个平面

C ．梯形是平面图形

D ．一条直线和一个点可以确定一个平面

4．数列{a n }满足a 1=0，24

5

2

1--=

+n n n a a a ，则=2015a

A ．0

B ．

3

4 C ．1 D ．2

5．下列命题中正确的个数是

（1）空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等 （2）若直线l 与平面α平行，则直线l 与平面α内的直线平行或异面 （3）夹在两个平行平面间的平行线段相等 （4）垂直于同一条直线的两条直线平行 A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 6．已知0

A ．)6

,7(a a -

B ．)7

,6(a a -

C ．)7

2,7(a a -

D ．?

7．如右图是正方体的平面展开图，则在这个正方体中 ①BM 与ED 平行

②CN 与BE 是异面直线

③CN 与BM 成?60角 ④DM 与BN 是异面直线 以上四个结论中，正确结论的序号是 A ．①②③

B ．②④

C ．③④

D ．①③④

N M

F E

D

C B A

8．已知0>x ，则x

x y 16

2+=的最小值为 A ．12

B ．16

C ．20

D ．10

9．关于x 的不等式a a x x 3|3||1|2->---的解集为非空数集，则实数a 的取值范围是 A ．21<

2

17

32173+<<-a C ．1a

D ．1≤a 或2≥a

10．)21

41211()41211()211(110+++++++++++ 的值为

A ．9

21

18+

B ．10

2120+

C ．11

2122+

D ．10

2118+

11．正项数列{a n }，a 1=1，前n 项和S n 满足)2(2111≥?=?-?---n S S S S S S n n n n n n ，则=10a A ．72 B ．80

C ．90

D ．82

12．已知正数x , y , z 满足1222=++z y x ，则xyz z

s 21+=的最小值为

A ．3

B ．

2

)

13(3+ C ．4 D ．)12(2+ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分

13．已知实数x , y 满足41≤+≤-y x 且32≤-≤y x ，则y x 32-的取值范围是 ．

14．等差数列{a n }中，||||93a a =，公差0

．

15．已知)2(2

1

>-+

=a a a m ，)0(222≠=-b n b ，则m , n 之间的大小关系为 ． 16．定义“等和数列”：在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和都为同一个常数，那

么这个数列叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和。已知数列{a n }是等和数列，且a 1=2，公和为5，则数列{a n }的前n 项和S n = ．

三、解答题：本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17．（本小题满分10分）

已知a ，∈b R +，12=+b a ，求

b

a 1

1+的最小值． 18．（本小题满分12分）

在正方体1111D C B A ABCD -中，G 是C 1D 1的中点，H 是A 1B 1的中点

（1）求异面直线AH 与BC 1所成角的余弦值； （2）求证：BC 1∥平面B 1DG ．

19．（本小题满分12分）

已知等比数列{a n }满足1243=+a a ，3261=?a a 且公比1>q ，

H

G

D 1

C 1

B 1

A

1

D

C

B

A

（1）求{a n }的通项公式；

（2）若n n a n

b =，求{b n }的前n 项和T n ．

20．（本小题满分12分）

为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑

物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源

消耗费用C (单位：万元)与隔热层厚度x (单位：cm)满足关系：)100(5

3)(≤≤+=x x k

x C ，若不

建隔热层，每年能源消耗费用为8万元．设)(x f 为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和．

（1）求k 的值及)(x f 的表达式；

（2）隔热层修建多厚时，总费用)(x f 达到最小，并求最小值． 21．（本小题满分12分）

数列{a n }满足31=a ，1

2

1+=+n n a a ， （1）求证：}2

1

{

+-n n a a 成等比数列； （2）若02≥--mt t a n 对一切∈n N *及]1,1[-∈m 恒成立，求实数t 的取值范围． 22．（本小题满分12分）

已知数列{a n }的前n 项和S n 满足12

1

-=n n a S ，

（1）求数列{a n }的通项公式；

（2）求证：数列{a n }中的任意三项不可能成等差数列；

（3）设2

)1(-=n n

n a a b ，T n 为{b n }的前n 项和，求证3

华中师大一附中2019—2019学年度下学期高一期中检测

数学试题答案

一． 选择题

DDCBCA CABBAC 二．

填空题

13. []3,8 14. 5或6 15. m n ≥ 16. 5

,2

51,22

n n n S n n ???=??-??为偶数为奇数

三．解答题

17.

解：11112(2)()33a b

a b a b a b b a

+=++=++

≥+ ……………….7分

当且仅当a =且21a b +=

即11b a ==时取“=”……………..9分 所以

11

a b

+

的最小值为3+ ……………………………………………10分 (说明:若没有求出,a b 的具体值，本题最多给8分)

18.解：(1)连结1AD ，1HD ，

∵AB ∥C 1D 1 AB =C 1D 1

∴四边形11ABC D 为平行四边形， ∴AD 1∥BC 1，

∴1D AH ∠为异面直线AH 与1BC 所成的角,…….….2分 设正方体棱长为1，

在1AD H ?

中，1AD =

12

AH D H ==

，

∴2221111cos 2D A AH D H D AH D A AH +-∠==? ……………..….5分

∴异面直线AH 与1BC

…………….6分 (2)连结1BD 交1B D 于点O ， 连结OG ，易知O 为1BD 的中点，

A

C

D

A 1

B 1

C 1

D 1

G

H

O H

G

D 1

C 1

B 1

A 1

D

C

B

A

在11BC D ?中，OG 为中位线，∴OG ∥BC 1 又OG ?平面1B DG 且1BC ?平面1B DG ∴BC 1∥平面1B DG ………………….12分 19.解：（1）

16343232a a a a ?=∴?=又343412,14,8a a q a a +=>∴==

31*322,n n n q a a q n N --∴=∴=?=∈ ………………………………………5分 （2）由（1）知1

2n n n

b -=

0121123(1)2222n n n

T -=+++???+

12n T = 121121(2)2222

n n n n

--++???++

(1)(2)-得

211111122222n n n n T -=+++???+-1

1()22212212

n

n n

n n -+=-=-- 12

42

n n n T -+∴=- ……………………………12分

（说明：第（2）问如果结果错误不给分）

20.解：（1）设隔热层厚度为x cm ， 再由(0)8C =，得40k =， ………………..2分 因此40

()35

C x x =

+. 隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和为 140800

()20()()2066(010)3535

f x C x C x x x x x x =+=?

+=+≤≤++……….6分 （2

）8001600

()6(610)10107035610

f x x x x x =

+=++-≥=++ 当且仅当2

(610)1600x +=即5x =时取""= ……………….11分 所以当隔热层修建5cm 厚时， 总费用达到最小值为70万元 ………………..12分

21.解：（1）证明：11112

11111

122242222111

n

n n n n n n n

n n n n n n a a a a a a a a a a a a a a +++-+--+++-===-?++++++++

1

{

}2

n n a a -∴+是等比数列，首项为25，公比为12-……………………….5分

（2）由1）知

1121

()252

n n n a a --=?-+得1

321()52

n n a -=--?- …………………..6分

当n 为奇数时，3

2411()52

n n a =

--? 单减 13n a ∴<≤

当n 为偶数时，3

2411()52

n n

a =-+? 单增112n a ∴≤<

所以1

2

n a ≥（当2n =时取等号） …………………………9分

由题2

12

t mt +≤对[1,1]m ∈-恒成立

记2(),[1,1]g m tm t m =+∈-，要使1

()2

g m ≤

需 1(1)2

1(1)2

g g ?

-≤????≤

??

t ≤≤

……………………………..12分 （说明：第（2）问中如果不讨论n 的奇偶性，即使最终答案正确，最多给9分）

22. 解：（1）

1111

1(1)1(2)22

n n n n S a S a --=-=-， (1)(2)-得

1

2(2)n

n a n a -=≥又12a = {}n a ∴为等比数列，首项为2，公比为2，*2,n n a n N ∴=∈……………..3分 （2）假设{}n a 中存在三项,,()r s t a a a r s t <<按某种顺序成等差数列

2n n a =单增 r s t a a a ∴<<2s r t a a a ∴=+即2222s r t ?=+

同除以2r

得22

12s r

t r --?=+

1,1s r t r -≥-≥∴左端为偶数，右端为奇数，矛盾

所以任意三项不可能成等差数列 ……………………7分

（3）2

2(21)

n

n n b =- 当1n =时，1123T b ==<，不等式成立 ………………………8分

当2n ≥时，1

1222(21)(21)(21)(22)(21)(21)

n n n n n n n n n n b --=<=

------ 11

1

2121

n n

-=

-

-- 12231111111

2[()()()]212121212121

n n n T -∴<+-+-+???+-------

11

21332121

n

n =+-=-<-- 综上 ，对于一切*n N ∈有3n T <成立 …………………………12分