沪科版-数学-八年级上册-第14章全等三角形单元测试

第14章全等三角形单元测试

一.单选题（共10题；共30分）

1.在如图所示的5×5方格中，每个小方格都是边长为1的正方形，△ABC是格点三角形（即顶点恰好是正方形的顶点），则与△ABC有一条公共边且全等的所有格点三角形的个数是（）

A. 1

B. 2

C. 3

D. 4

2.在△ABC和△A'B'C'中，已知∠A=∠A′，AB=A′B′，则添加下列条件后不能判定两个三角形全等的是（）

A. AC=A′C′

B. BC=B′C′

C. ∠B=∠B′

D. ∠C=∠C′

3.如图，某同学把一块三角形的玻璃打破成了三块，现在他要到玻璃店去配一块完全一样形状的玻璃，那么最省事的办法是带去（）

A. ①

B. ②

C. ③

D. ①和②

4.下面不是三角形稳定性的是（）

A. 三角形的房架

B. 自行车的三角形车架

C. 长方形门框的斜拉条

D. 由四边形组成的伸缩门

5.下列不是利用三角形稳定性的是（）

A. 伸缩晾衣架

B. 三角形房架

C. 自行车的三角形车架

D. 矩形门框的斜拉条

6.如图，要用“HL”判定Rt△ABC和Rt△A′B′C′全等的条件是（）

A. AC=A′C′，BC=B′C′

B. ∠A=∠A′，AB=A′B′

C. AC=A′C′，AB=A′B′

D. ∠B=∠B′，BC=B′C′

7.下列条件中不能使两个直角三角形全等的是（）

A. 两条直角边对应相等

B. 两个锐角对应相等

C. 一条直角边和斜边对应相等

D. 一个锐角和斜边对应相等

8.如图，已知AB=AC，AE=AF，BE与CF交于点D，则对于下列结论：①△ABE≌△ACF；②△BDF≌△CDE；③D在∠BAC的平分线上．其中正确的是（）

A. ①

B. ②

C. ①和②

D. ①②③

9.如图所示，AC=CD，∠B=∠E=90°，AC⊥CD，则不正确的结论是（）

A. AC=BC+CE

B. ∠A=∠2

C. △ABC≌△CED

D. ∠A与∠D互余

10.如图，已知点A，D，C，F在同一条直线上，AB=DE，BC=EF，要使△ABC≌△DEF，还需要添加一个条件是（）

A. ∠BCA=∠F

B. ∠B=∠E

C. BC∥EF

D. ∠A=∠EDF

二.填空题（共8题；共24分）

11.如图，生活中都把自行车的几根梁做成三角形的支架，这是因为三角形具有________ 性．

12.如图，有一个与地面成30°角的斜坡，现要在斜坡上竖一电线杆，当电线杆与地面垂直时，它与斜坡所成的角α=________°．

13.如图，在Rt△ABC中，AC⊥BC，CD⊥AB，∠1=∠2，有下列结论：（1）AC∥DE；（2）∠A=∠3；（3）∠B=∠1；（4）∠B与∠2互余；（5）∠A=∠2．其中正确的有________ （填写所有正确的序号）．

14.如图，已知△ABC≌△ADE，若AB=7，AC=3，则BE的值为 ________

15.如图，已知BD=AC，那么添加一个 ________条件后，能得到△ABC≌△BAD（只填一个即可）．

16.如图，已知BC=DC，需要再添加一个条件________可得△ABC≌△ADC．

17.如图，已知B、E、F、C在同一直线上，BF=CE，AF=DE，则添加条件________，可以判断△ABF ≌△DCE．

18.如图所示，AD=AE，要使△ABE≌△ACD，应添加一个条件，可以是________．

三.解答题（共6题；共36分）

19.如图已知，AB∥DC，AB=DC，AE=CF．求证：△ABF≌△CDE．

20.如图，BD，CE分别是△ABC的高，且BE=CD，求证：Rt△BEC≌Rt△CDB．

21.如图，在直角三角形ABC中，∠C=90°，AC=20，BC=10，PQ=AB，P，Q两点分别在线段AC和过点A且垂直于AC的射线AM上运动，且点P不与点A，C重合，那么当点P运动到什么位置时，才能使△ABC与△APQ全等？

22.已知：如图，△ABC和△DBE均为等腰直角三角形．

（1）求证：AD=CE；

（2）求证：AD和CE垂直．

23.如图，已知：点B、F、C、E在一条直线上，FB=CE，AC=DF．能否由上面的已知条件证明AB∥ED？如果能，请给出证明；如果不能，请从下列四个条件中选择一个合适的条件，添加到已知条件中，使AB∥ED成立，并给出证明．

供选择的四个条件（请从其中选择一个）：

①AB=ED；②∠A=∠D=90°；

③∠ACB=∠DFE；④∠A=∠D．

24.如图，已知点B，E，C，F在一条直线上，AB=DF，AC=DE，BC=FE．求证：AC∥DE．

四.综合题（共1题；共10分）

25.如图，在四边形ABCD中，AD=BC，AB=CD．

(1)求证：∠BAD=∠DCB；

(2)求证：AB∥CD．

答案解析

一.单选题

1.【答案】D

【考点】全等三角形的判定

【解析】【分析】根据全等三角形的判定分别求出以BC为公共边的三角形，以AB为公共边的三角形，以AC为公共边的三角形的个数，相加即可。

【解答】

以BC为公共边的三角形有3个，以AB为公共边的三角形有0个，以AC为公共边的三角形有1个。共3+0+1=4个，故选D.

【点评】本题考查了全等三角形的判定的应用，找出符合条件的所有三角形是解此题的关键。

2.【答案】B

【考点】全等三角形的判定

【解析】【分析】本题要判定△ABC≌△A'B'C'，已知∠A=∠A′，AB=A′B′，故添加AC=A′C′，∠B=∠B′，∠C=∠C′后可分别根据SAS，ASA，AAS能判定两三角形全等．

【解答】添加选项A后可根据SAS判定两三角形全等；

添加选项B后不能根据SSA判定两三角形全等；

添加选项C后可根据ASA判定两三角形全等；

添加选项D后可根据AAS判定两三角形全等．

故选B．

【点评】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．

注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．

3.【答案】C

【考点】全等三角形的应用

【解析】【分析】根据全等三角形的判定方法，在打碎的三块中可以采用排除法进行分析从而确定最后的答案。【解答】第一块，仅保留了原三角形的一个角和部分边，不符合全等三角形的判定方法；

第二块，仅保留了原三角形的一部分边，所以此块玻璃也不行；

第三块，不但保留了原三角形的两个角还保留了其中一个边，所以符合ASA判定，所以应该拿这块去．

故选C．

【点评】解答本题的关键是掌握判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA 不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角。

4.【答案】D

【考点】三角形的稳定性

【解析】【解答】A、三角形的房架具有稳定性，故本选项错误；B、自行车的三角形车架具有稳定性，故本选项错误；C、长方形门框的斜拉条具有稳定性，故本选项错误；D、由四边形组成的伸缩门不具有稳定性，故本选项正确．故选D．

【分析】根据三角形具有稳定性对各选项分析判断后利用排除法求解．

5.【答案】A

【考点】三角形的稳定性

【解析】【解答】伸缩晾衣架是利用了四边形的不稳定性，B、C、D都是利用了三角形的稳定性，故选：A．

【分析】利用三角形的稳定性进行解答．

6.【答案】C

【考点】直角三角形全等的判定

【解析】【解答】解：∵在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，

如果AC=A′C′，AB=A′B′，那么BC一定等于B′C′，

Rt△ABC和Rt△A′B′C′一定全等，

故选C．

【分析】根据直角三角形全等的判定方法（HL）即可直接得出答案．

7.【答案】B

【考点】直角三角形全等的判定

【解析】【解答】解：A、可以利用边角边判定两三角形全等，故本选项不符合题意；

B、全等三角形的判定必须有边的参与，三个角对应相等不能判定两三角形全等，故本选项符合题意；

C、根据斜边直角边定理判定两三角形全等，故本选项不符合题意；

D、可以利用角角边判定两三角形全等，故本选项不符合题意．

故选B．

【分析】根据三角形全等的判定对各选项分析判断后利用排除法求解．

8.【答案】D

【考点】全等三角形的判定与性质

【解析】【解答】解：如图，连接AD；

在△ABE与△ACF中，

∴△ABE≌△ACF（SAS）；

∴∠B=∠C；

∵AB=AC，AE=AF，

∴BF=CE；

在△CDE与△BDF中，

∴△CDE≌△BDF（AAS），

∴DC=DB；

在△ADC与△ADB中，

∴△ADC≌△ADB（SAS），

∴∠CAD=∠BAD；

综上所述，①②③均正确，

故选D

【分析】如图，证明△ABE≌△ACF，得到∠B=∠C；证明△CDE≌△BDF；证明△ADC≌△ADB，得到

∠CAD=∠BAD；即可解决问题．

9.【答案】A

【考点】全等三角形的判定与性质

【解析】【解答】解：∵∠B=∠E=90°，∴∠A+∠1=90°，∠D+∠2=90°，

∵AC⊥CD，

∴∠1+∠2=90°，

∴∠A=∠2，故B正确；

∴∠A+∠D=90°，故D正确；

在△ABC和△CED中，

，

∴△ABC≌△CED（AAS），故C正确；

∴AB=CE，DE=BC，

∴BE=AB+DE，故A错误．

故选：A．

【分析】利用同角的余角相等求出∠A=∠2，再利用“角角边”证明△ABC和△CDE全等，根据全等三角形对应边相等，对应角相等，即可解答．

10.【答案】B

【考点】全等三角形的判定

【解析】【解答】解：A.根据AB=DE，BC=EF和∠BCA=∠F不能推出△ABC≌△DEF，故本选项错误；

B.∵在△ABC和△DEF中

，

∴△ABC≌△DEF（SAS），故本选项正确；

C.∵BC∥EF，

∴∠F=∠BCA，根据AB=DE，BC=EF和∠F=∠BCA不能推出△ABC≌△DEF，故本选项错误；

D.根据AB=DE，BC=EF和∠A=∠EDF不能推出△ABC≌△DEF，故本选项错误．

故选B．

【分析】全等三角形的判定方法SAS是指有两边对应相等，且这两边的夹角相等的两三角形全等，已知AB=DE，BC=EF，其两边的夹角是∠B和∠E，只要求出∠B=∠E即可．

二.填空题

11.【答案】稳定

【考点】三角形的稳定性

【解析】【解答】解：生活中都把自行车的几根梁做成三角形的支架，这是因为三角形具有稳定性．故答案为：稳定．

【分析】根据三角形具有稳定性解答．

12.【答案】60

【考点】直角三角形全等的判定

【解析】【解答】解：如图，延长电线杆与地面相交，

∵电线杆与地面垂直，

∴∠1=90°﹣30°=60°，

由对顶角相等，∠α=∠1=60°．

故答案为：60．

【分析】延长电线杆与地面相交构成直角三角形，然后根据直角三角形两锐角互余求出∠1，再根据对顶角相等解答．

13.【答案】（1）（2）（3）

【考点】直角三角形全等的判定

【解析】【解答】解：∵AC⊥BC，CD⊥AB，

∴△ACD与△ACB都为直角三角形，

∴∠A+∠1=90°，∠A+∠B=90°，

∴∠1=∠B，选项（3）正确；

∵∠1=∠2，

∴AC∥DE，选项（1）正确；

∴∠A=∠3，选项（2）正确；

∵∠1=∠B，∠1=∠2，

∴∠2=∠B，即∠2与∠B不互余，选项（4）错误；

∠2不一定等于∠A，选项（5）错误；

则正确的选项有（1）（2）（3），

故答案为：（1）（2）（3）．

【分析】由同角的余角相等得到∠1=∠B，由已知内错角相等得到AC与DE平行，由两直线平行同位角相等得到∠A=∠3，再利用等量代换得到∠2与∠B相等，∠2不一定等于∠A．

14.【答案】4

【考点】全等三角形的性质

【解析】【解答】解：∵△ABC≌△ADE，

∴AE=AC，

∵AB=7，AC=3，

∴BE=AB﹣AE=AB﹣AC=7﹣3=4．

故答案为：4．

【分析】根据△ABC≌△ADE，得到AE=AC，由AB=7，AC=3，根据BE=AB﹣AE即可解答．

15.【答案】BC=AD

【考点】全等三角形的判定

【解析】【解答】解：添加BC=AD，

∵在△ABC和△BAD中

∴△ABC≌△BAD（SSS），

故答案为：BC=AD．

【分析】添加BC=AD可利用SSS定理判定△ABC≌△BAD．

16.【答案】∠ACB=∠ACD或AB=AD

【考点】全等三角形的判定

【解析】【解答】解：当添加∠ACB=∠ACD时，在△ABC与△ADC中，{BC=DC∠ACB=∠ACDAC=AC ，则△ABC≌△ADC（SAS）；

当添加AB=AD时，在△ABC与△ADC中，{BC=DCAB=ADAC=AC ，则△ABC≌△ADC（SSS）；

故答案是：∠ACB=∠ACD或AB=AD．

【分析】在这两个三角形中，有两组边对应相等，所以由全等三角形的判定定理SSS或SAS进行填

空即可．

17.【答案】AB=DC（或∠AFB=∠DEC）

【考点】全等三角形的判定

【解析】【解答】解：由条件可再添加AB=DC，

在△ABF和△DCE中，

，

∴△ABF≌△DCE（SSS），

也可添加∠AFB=∠DEC，

在△ABF和△DCE中，

，

∴△ABF≌△DCE（SAS），

故答案为：AB=DC（或∠AFB=∠DEC）．

【分析】已知两组边对应相等，可再加第三组边相等或已知两组边的夹角相等都可以．18.【答案】∠C=∠B（答案不唯一）

【考点】全等三角形的判定

【解析】【解答】解：可添加∠C=∠B，在△ABE与△ACD中，

，

∴△ABE≌△ACD（AAS），

故答案为：∠C=∠B（答案不唯一）．

【分析】由图可知∠A=∠A，且AE=AD，故只需要添加一组边相等或一组角相等即可．

三.解答题

19.【答案】解：∵AB∥DC，

∴∠C=∠A，

∵AE=CF，

∴AE+EF=CF+EF，

在△ABF和△CDE中，

∴△ABF≌△CDE（SAS）．

【考点】全等三角形的判定

【解析】【分析】根据AB∥DC，可得∠C=∠A，然后由AE=CF，得AE+EF=CF+EF，最后利用SAS判定△ABF≌△CDE．

20.【答案】证明：∵BD，CE分别是△ABC的高，

∴∠BEC=∠CDB=90°，

在Rt△BEC和Rt△CDB中，

∴Rt△BEC≌Rt△CDB（HL）．

【考点】直角三角形全等的判定

【解析】【分析】根据高的定义求出∠BEC=∠CDB=90°，根据全等三角形的判定定理HL推出即可．

21.【答案】解：根据三角形全等的判定方法HL可知：

①当P运动到AP=BC时，

∵∠C=∠QAP=90°，

在Rt△ABC与Rt△QPA中，

∴Rt△ABC≌Rt△QPA（HL），

即AP=BC=10；

②当P运动到与C点重合时，AP=AC，不合题意．

综上所述，当点P运动到距离点A为10时，△ABC与△APQ全等．

【考点】直角三角形全等的判定

【解析】【分析】本题要分情况讨论：①Rt△APQ≌Rt△CBA，此时AP=BC=10，可据此求出P点的位置．

②Rt△QAP≌Rt△BCA，此时AP=AC，P、C重合，不合题意．

22.【答案】证明：（1）∵△ABC和△DBE是等腰直角三角形，

∴AB=BC，BD=BE，∠ABC=∠DBE=90°，

∴∠ABC﹣∠DBC=∠DBE﹣∠DBC，

即∠ABD=CBE，

在△ABD和△CBE中，

AB=BC∠ABD=∠CBEBD=BE，

∴△ABD≌△CBE（SAS），

∴AD=CE；

（2）延长AD分别交BC和CE于G和F，如图所示：

∵△ABD≌△CBE，

∴∠BAD=∠BCE，

∵∠BAD+∠ABC∠∠BGA=∠BCE+∠AFC+∠CGF=180°，

又∵∠BGA=∠CGF，

∵∠BAD+∠ABC+∠BGA=∠BCE+∠AFC+∠CGF=180°，

∴∠AFC=∠ABC=90°，

∴AD⊥CE．

【考点】全等三角形的判定与性质

【解析】【分析】（1）由等腰直角三角形的性质得出AB=BC，BD=BE，∠ABC=∠DBE=90°，得出∠ABD=CBE，证出△ABD≌△CBE（SAS），得出AD=CE；

（2）△ABD≌△CBE得出∠BAD=∠BCE，再由∠BAD+∠ABC∠∠BGA=∠BCE+∠AFC+∠CGF=180°，得出∠AFC=∠ABC=90°，证出结论．

23.【答案】解：不能；

选择条件①AE=BE．

∵FB=CE，

∴FB+FC=CE+FC，

即BC=EF，

在△ABC和△DEF中

AB=DFBC=EFAC=FD，

∴△ABC≌△DEF（SSS），

∴∠B=∠E，

∴AB∥ED．

【考点】全等三角形的判定与性质

【解析】【分析】只有FB=CE，AC=DF．不能证明AB∥ED；可添加：AB=ED，可用SSS证明△ABC≌△DEF．

24.【答案】证明：在△ABC和△DFE中，，

∴△ABC≌△DFE（SSS），

∴∠ACB=∠DEF，

∴AC∥DE

【考点】全等三角形的判定与性质

【解析】【分析】在△ABC和△DFE中，根据AB=DF、AC=DE、BC=FE，利用全等三角形的判定定理SSS即可证出△ABC≌△DFE，进而得出∠ACB=∠DEF，再以及“内错角相等，两直线平行”即可证出结论．

四.综合题

25.【答案】（1）证明：连接BD，如图所示：

在△ABD和△CDB中，，

∴△ABD≌△CDB（SSS），

∴∠BAD=∠DCB

（2）证明：∵△ABD≌△CDB，∴∠ABD=∠CDB，

∴AB∥CD

【考点】全等三角形的判定与性质

【解析】【分析】（1）由SSS证明△ABD≌△CDB，得出对应角相等即可；（2）由全等三角形的性

质得出∠ABD=∠CDB，即可得出结论．