重庆市中考数学题型复习 题型八 二次函数综合题 类型一 线段、周长最值问题练习
类型一线段、周长最值问题
1. 如图，抛物线y＝－x2－2x＋3交x轴于A，C两点(点A在C的左边)，抛物线交y轴于点B，点D是抛物线的顶点．
(1)求线段AB的长；
(2)点P是直线AB上方的抛物线上一点(不与A，B重合)，过点P作x轴的垂线，交x轴于点H，交直线AB于点F，作PG⊥AB于点G，求出△PFG周长的最大值；
2. 已知二次函数y＝x2－x－2的图象和x轴相交于点A、B，与y轴交于点C，过直线BC
的下方抛物线上一动点P作PQ∥AC交线段BC于点Q，再过P作PE⊥x轴于点E，交BC于点D.
(1)求直线AC的解析式；
(2)求△PQD周长的最大值；
(3)当△PQD的周长最大值时，在y轴上有两个动点M、N(M在N的上方)，若MN＝1，求PN ＋MN＋AM的最小值．
第2题图
3. (2017重庆大渡口二模)如图，抛物线y＝x2－2x－3与x轴交于A、B两点(点A在点B
的左侧)，与y轴交于点C，该抛物线的顶点为D，对称轴交x轴于H.
(1)求A、B两点的坐标；
(2)设点P在x轴下方的抛物线上，当∠ABP＝∠CDB时，求出点P的坐标；
(3)以OB为边在第四象限内作等边△OBM，设点E为x轴正半轴上一动点(OE>OH)，连接ME，把线段ME绕点M旋转60°得MF，求线段DF的长的最小值．
第3题图
4. (2017遵义改编)如图，抛物线y＝ax2＋bx－a－b(a<0，a、b为常数)与x轴交于A、C
两点，与y 轴交于B 点，直线AB 的函数关系式为y ＝89x ＋16
3.
(1)求该抛物线的函数关系式与C 点坐标；
(2)已知点M (m ，0)是线段OA 上的一个动点，过点M 作x 轴的垂线l 分别与直线AB 和抛物线交于D 、E 两点．当△BDE 恰好是以DE 为底边的等腰三角形时，动点M 相应位置记为点M ′，将OM ′绕原点O 顺时针旋转得到ON (旋转角在0°到90°之间)；
ⅰ：探究：线段OB 上是否存在定点P (P 不与O 、B 重合)，无论ON 如何旋转，NP
NB
始终保持
不变，若存在，试求出P 点坐标；若不存在，请说明理由； ⅱ：试求出此旋转过程中，(NA ＋3
4
NB )的最小值．
第4题图
5. (2016重庆渝中区校级二模)如图①，在平面直角坐标系中，已知抛物线y ＝－
33
x 2
－3
x ＋
43
3
交x 轴于A ，B 两点，交y 轴于点C ，抛物线上一点D 的横坐标为－5. (1)求直线BD 的解析式；
(2)点E 是线段BD 上的动点，过点E 作x 轴的垂线交抛物线于点F ，当折线EF ＋BE 最大时，在对称轴上找一点P ，在y 轴上找一点Q ，连接QE 、OP 、PQ ，求OP ＋PQ ＋QE 的最小值； (3)如图②，连接BC ，把△OBC 沿x 轴翻折，翻折后的△OBC 记为△OBC ′，现将△OBC ′沿着x 轴平移，平移后△OBC ′记为△O ′B ′C ″，连接DO ′、C ″B ，记C ″B 与x 轴形成较小的夹角度数为α，当∠O ′DB ＝α时，求出此时C ″的坐标．
第5题图
6. (2017重庆西大附中月考)如图①，在平面直角坐标系中，抛物线y ＝ax 2
＋bx ＋43与x 轴交于A ，B 两点(点A 在点B 左侧)，与y 轴交于点C ，抛物线的顶点为点D ，且B (33，0)，对称轴为直线x ＝3，点E (23，0)，连接CE 交对称轴于点F ，连接AF 交抛物线于
点G .
(1)求抛物线的解析式和直线CE 的解析式；
(2)如图②，过E 作EP ⊥x 轴交抛物线于点P ，点Q 是线段BC 上一动点，当QG ＋4
5
QB 最小
时，线段MN 在线段CE 上移动，点M 在点N 上方，且MN ＝
15
2
，请求出四边形PQMN 周长最小时点N 的横坐标．
第6题图
答案
1. 解：(1)抛物线y ＝－x 2
－2x ＋3， 令y ＝0，则－x 2
－2x ＋3＝0，
(x －1)(x ＋3)＝0，
x 1＝1，x 2＝－3，
∵点A 在点C 的左边， ∴A (－3，0)，C (1，0)， 令x ＝0，得y ＝3，∴B (0，3)， ∴AB ＝32
＋32
＝32， ∴线段AB 长为3 2.
(2)由题意可知△PFG 是等腰直角三角形，设P (m ，－m 2
－2m ＋3)， ∴F (m ，m ＋3)，
∴PF ＝－m 2
－2m ＋3－m －3＝－m 2
－3m ，
∴PG ＝FG ＝
2
2
PF ， △PFG 周长为：PG ＝FG ＋PF ＝PF ＋2PF ＝－m 2－3m ＋2(－m 2
－3m )＝－(2＋1)(m ＋32
)2＋
9（2＋1）
4
， ∴△PFG 周长的最大值为9（2＋1）
4.
2. 解：(1)令y ＝0，x 2
－x －2＝0 ∴x 1＝－1，x 2＝2， ∴A (－1，0)，B (2，0)， 令x ＝0，y ＝－2， ∴C (0，－2)，
设直线AC 的解析式为y ＝kx ＋b (k ≠0)， ∵直线过点A 、C ，
∴?????0＝－k ＋b b ＝－2，解得?
????k ＝－2b ＝－2， ∴直线AC 解析式为y ＝－2x －2； (2)∵BO ＝CO ，∠BOC ＝90°， ∴∠ABC ＝45°，∠ACO ＝∠EPQ ， ∴tan ∠ACO ＝tan ∠EPQ ＝12，
过Q 作PE 的垂线QH ，垂足是H .
设QH ＝a ，PH ＝2a ，DH ＝a ，a ＋2a ＝PD ，a ＝1
3PD ，
设P (m ，m 2
－m －2)，D (m ，m －2)，
C △PQ
D ＝PQ ＋QD ＋PD ＝(5＋2＋3)a ＝
5＋2＋3
3
PD ， C △PQD ＝
5＋2＋33PD ＝5＋2＋33(－m 2＋2m )＝－5＋2＋33(m －1)2
＋5＋2＋33
， ∴当m ＝1时，C △PQD 最大＝
5＋2＋3
3
，此时P (1，－2)； (3)把点A 向下平移1个单位到点A ′，则A ′(－1，－1)连接A ′P ， ∴AM ＋MN ＋PN 最小值＝A ′P ＋MN ＝5＋1.
第2题解图① 第2题解图②
3. 解：(1)y ＝x 2
－2x －3＝(x －3)(x ＋1)，令y ＝0，解得x 1＝－1，x 2＝3，
则A (－1，0)，B (3，0)；
(2)过点P 作PQ ⊥x 轴于Q ，过点D 作DK ⊥y 轴于K ，如解图①，
由C (0，－3)，D (1，－4)，得OC ＝OB ＝3，CK ＝DK ＝1，∴∠BCO ＝∠DCK ＝45°， ∵BC ＝32，CD ＝2，BD ＝25，∴BC 2
＋CD 2
＝BD 2
，∴∠BCD ＝90°， 当∠ABP ＝∠CDB 时， 有Rt △PQB ∽Rt △BCD ，
故PQ BQ ＝BC CD ＝322
＝3，即PQ ＝3BQ . 设P (x ，x 2
－2x －3)，则BQ ＝||3－x ，PQ ＝||x 2
－2x －3.
∵P 点在x 轴下方时， ∴－x 2
＋2x ＋3＝3(3－x )，
整理得x 2－5x ＋6＝0，解得x 1＝2，x 2＝3(不合题意，舍去)． 此时点P 的坐标为(2，－3)．
∴当∠ABP ＝∠CDB 时，P 的坐标为(2，－3)．
第3题解图①
(3)易证△OME ≌△BMF ，故∠MBF ＝∠MOE ＝60°. 连接FB 并延长交抛物线对称轴于点G ，如解图②， ∴当DF ⊥BG 时，DF 取得最小值． ∵∠GBH ＝60°，∴∠G ＝30°， ∴HG ＝3BH ＝2 3.DF ＝1
2
DG ＝2＋3，