本讲分成三个板块:一、函数的奇偶性(二);二、函数的对称性;三、函数的周期性;其中板块
一只有一道例题,引出板块二——函数的一般对称性;板块三只有目标班出现.本讲尖子班建议课时2小时,目标班建议课时3小时.
考点1:函数的奇偶性
<教师备案> 本板块复习一下上一讲的函数的奇偶性,从图象平移的角度与奇偶函数的本质角度理解一
般的奇偶性,并由此引出一般的对称性. 如(1)f x -是偶函数,
从图象平移角度来说:意味着函数()f x 的图象向右平移一个单位后,有对称轴0x =,故函数()f x 的图象有对称轴1x =-.
从偶函数本质角度来说,偶函数意味着自变量取相反数时,函数值相等,(1)f x -的自变量为x ,故意味着(1)(1)f x f x --=-.
这说明:(1)(1)f x f x --=-与()f x 关于1x =-对称是等价的命题.
满分晋级
4.1函数奇偶性(二)
第4讲 函数的奇偶性㈡
与对称性
函数12级 函数的单调性 与奇偶性(一)
函数13级 函数的奇偶性(二)
与对称性
函数14级 指数函数与相关
复合函数
【例1】
⑴ ① 若()1f x +是偶函数,下列结论正确的有 .(写出所有正确的选项) ② 若()f x 是偶函数,下列结论正确的有 .(写出所有正确的选项) A .()()11f x f x --=+ B .()()11f x f x -+=+
C .()()11f x f x -=--
D .()()
11f x f x -=+ E .(1)(1)f x f x --=-+ F .()()11f x f x -=-+
⑵ ①若(2)f x -是偶函数,则函数()f x 图象的对称轴为_______.
②若(2)f x -是奇函数,则函数()f x 图象的对称中心为_________. ⑶ ①若(1)1f x +-是偶函数,则函数(1)f x -图象的对称轴为_______.
②若(1)1f x +-是奇函数,则函数(1)f x -图象的对称中心为_________.
⑷ 若()3f x +的对称中心为()21,,则函数()21f x -+图象的对称中心为 .
【解析】 ⑴ ①B ;②A 、F ;
⑵ ①2x =-;②(20)-,; ⑶ ①2x =;②(21),
. ⑷ ()72,;
偶函数与奇函数代表着最基本的轴对称与中心对称,这两种最基本的对称可以拓展到一般的结论.首先说明的是这里所说的函数对称性指的是一个函数自身的对称性,而不是两个函数之间的对称.
一、轴对称
这里我们要讲的是研究方法:
先来看偶函数,偶函数的图形是关于y
()()f x f x =-,如何从
图象的对称性得到这个代数形式呢?若有两个互为相反数的自变量x 和x -,由于图象是关于y 轴对称的,所以在x 与x -处的函数值是相等的,但在这个过程中我们隐藏了一些想法:为什么要取互为相反数的两个自变量呢?因为对称轴是0x =,所以在对称轴左右两边找两个对称的东西,x 和x -可以理解为一个是0x +,一个是0x -,也可以理解为x 与x -中点为0.
由此角度可以想想,若将对称轴换成x a =呢?此时若想构造轴对称该如何构造?该取什么样的自变量?
())
x=
x a =①()()f a x f a x +=-
4.2函数的对称性
②若122x x a +=,则12()()f x f x =,一定要写成12x x +的形式,只需两个括号中的和为2a 即可. 第1种思考方式:若关于x a =对称,则关于x a =对称的两自变量所对应的函数值相等; 第2种思考方式:因为轴对称图形上对称两点连线的中点在对称轴上,所以若()()22x f x ,和
()()1
1
x f x ,两点关于y 轴对称()()1
2
f x f x =,则两自变量满足12
0x x
+=(∵中点在对称轴上).
如:()()42f x f x -=+,括号中的和为6,∴()f x 的图象关于3x =对称.
一定是函数值相等才有轴对称这一说法,若两自变量和为常数且函数值相等,则可表达轴对称:
()()f a x f b x +=-,则()f x 关于2
a b
x +=轴对称. 再如:若()()4222f x f x -=+,此时()f x 是否有对称轴?有,仍然为3x =. 当讨论轴对称时,只要看括号内的和是否为常数就行,不要受其它因素的干扰.
例:若()2f x +是偶函数,则()f x 的对称轴为_____.
在上一个板块,我们已经从图象平移角度得到过对称轴,这里我们从函数方程角度出发,由()()()22f x f x f x -+=+?关于2x =对称.
上面的说法只是针对平常出现的,更变态的情况一般不可能出现,如若有1142f f x x ?
??
?-=
+ ? ??
??
?,
则()f x 的图象否有对称性?不一定有,因为()4f 和()2f 的关系不能确定,但严格意义上还是关于
3x =对称,因为()4f 与()2f 可通过1
2
x =
去解决. 若()()
2242f x f x -=+,则()f x 的图象否有对称性?有,关于3x =对应.
有限制时,不一定对称,如()()
2242f x f x +=-,因为x ∈(24),时,()f x 的情况无法确定.当然,这些问题本身就非常变态了,不必深究.
本质上来说,当24x -与22x +的值域的并集为R 时,可以得到对称,否则得不到.
一般的轴对称:
⑴ 函数()y f x =的图象关于直线x a =对称?()(2)f x f a x =-()()f a x f a x ?-=+;
⑵ 若函数()y f x =满足()()f a x f b x +=-,则()y f x =的图象关于直线2
a b
x +=成轴对称.
【练习1】⑴若函数()f x 满足:(1)(1)0f x f x +--=,则()f x 的图象的对称轴为________;
⑵若函数()f x 满足:()(4)f x f x -=-,则()f x 的图象的对称轴为________;
⑶若函数()f x 满足:(22)(22)0f x f x +--=,则()f x 的图象的对称轴为________. 【解析】 ⑴1x =;⑵2x =-;⑶2x =.
考点2:二次函数的对称性
知识点睛
经典精讲
<教师备案> 二次函数是一类很特殊的轴对称函数,对于二次函数来说,只需要两个特殊点的函数值相
等就可得到它的对称轴,这是因为它的对称性+单调性决定的.对于一般的轴对称函数,并没有这样的性质.
【铺垫】函数()2f x x px q =++对任意的x 均有()()11f x f x +=-,那么()0f 、()1f -、()1f 的大小
关系是( )
A .()()()110f f f <-<
B .()()()011f f f <-<
C .()()()101f f f <<-
D .()()()101f f f -<<
【解析】 C
【例2】 ⑴
二次函数()()20f x ax bx c a =++≠,若1212()()()f x f x x x =≠,则122
x x f +??
??
?
等于( )
A .2b a -
B . b a -
C .c
D .244ac b a
-
⑵二次函数()()20f x ax bx c a =++≠,若1212()()()f x f x x x =≠,则()12f x x +等于( )
A .2b a -
B .b
a - C .c D .244ac
b a
-
⑶设()2
f x x bx c =++且()()02f f =,则( )
A .()322f c f ??-<< ???
B .()
322f c f ??
<<- ???
C .()322f f c ??<-< ???
D .()
322c f f ??
<<- ???
【解析】 ⑴ D
⑵ C ⑶ B
考点3:轴对称函数的性质
【铺垫】若函数()f x 在(4)+∞,
上为减函数,且对任意的x ∈R ,有(4)(4)f x f x +=-,则( ) A .(2)(3)f f > B .(2)(5)f f > C .(3)(5)f f > D .(3)(6)f f >
【解析】 D
【例3】 ⑴
已知函数()f x ,当4x >时,()2013f x x =-,且()()44f x f x -=+恒成立,则当4x < 时,()f x = .
⑵已知()f x 为定义在R 上的函数,且(1)f x +为偶函数,且当1x ≥时,2()f x x =,则当1x <
时,()f x =__________.
⑶
设函数()f x 对于一切实数x 都有(2)(2)f x f x +=-,如果方程()0f x =有且只有三个不相等的实数根,那么这三根之和等于 . 【解析】 ⑴ 2005x --
⑵ 2(2)x -.
⑶ 6.
【拓展】已知函数()()y f x x =∈R 满足①()()11f x f x +=-;②[)1x ∈+∞,时,()f x 为增函数;
③10x <,21x > 且122x x +<-,则()1f x -与()2f x -的大小关系是 .
【解析】 12()()f x f x ->-.
二、中心对称
())
f x f x -=- 2f a x f a x b ++-=
对称中心:每个点绕着对称中心旋转180?后还在图象上.
奇函数中两自变量的中点是中间的0,两函数值中点是0,有()()0f x f x +-=.
若将对称中心移到点()a b ,,可同理,从a 出发,向左向右距离相等,使其自变量对称,则它们对应的函数值的中点应为b ,所以()()2f a x f a x b ++-=.当自变量关于a 对称时,函数值关于b 对称. 例:()()312f x f x ++-=,则()f x 关于()21,中心对称.
当描述对称性时一定要注意,自变量的和是一个常数时,所表达的一定是对称性,因为对称性就是往两边走.
例:(1)1()f x f x -=-,则()f x 是中心对称的,对称中心为1122?? ???,.
()(8)2f x f x -++=-,则
()f x 关于(41)-,中心对称.
一般的中心对称:
⑴ 函数()y f x =的图象关于点()a b ,
对称?()()2f a x f a x b ++-=?2()(2)b f x f a x -=-. ⑵ 若函数()y f x =满足()()f a x f b x c ++-=,则()y f x =的图象关于点2
2a b c +??
???,成中心对称.
【练习2】⑴若函数()f x 满足:(1)(1)0f x f x ++-=,则()f x 的图象的对称中心为________;
⑵若函数()f x 满足:()(4)f x f x -=--,则()f x 的图象的对称中心为________; ⑶若函数()f x 满足:(2)(2)2f x f x ++-=,则()f x 的图象的对称中心为________. 【解析】 ⑴(10),;⑵(20)-,;⑶(21),
.
知识点睛
经典精讲
考点4:中心对称函数的性质 【例4】 ⑴
已知函数()f x 当4x >时,()2013f x x =-,且()()
440f x f x -++=恒成立,
则当4x < 时,()f x = .
⑵已知当4x >时,()2013f x x =-,且()()442013f x f x -++=恒成立,则当4x <时, ()f x =________.
⑶
已知()f x 是定义在R 上的函数且()1f x +为奇函数,则下列说法不正确的是( ) A .函数()f x 不是奇函数 B .()()20f x f x +-+=
C .函数()f x 的图象关于点(01)-,对称
D .函数()f x 的图象关于点(01),
对称 ⑷
已知()f x 为定义在R 上的函数,若函数(1)f x +为奇函数,则下列说法不正确的是( )
A .(1)(1)f x f x -+=-+
B .函数()f x 的图象关于点(10),对称
C .(2012)(2010)0f f +-=
D .函数()f x 为奇函数
【解析】
⑴ 2005x +; ⑵ 4018x +; ⑶ D ; ⑷ D
【拓展】若定义在R 上的函数()f x 满足:对任意12x x ∈R ,,有1212()()()1f x x f x f x +=++,则下列
说法一定的是( )
A .()f x 是奇函数
B .()f x 是偶函数
C .()1f x +是奇函数
D .()1f x +是偶函数 【解析】 C ;
考点5:含绝对值的函数的对称性
这里研究三种常见的含绝对值的函数:()f x x a =-,()f x x a x b =-+-,()f x x a x b =---: 绝对值a b -的几何意义是数轴上坐标为a b ,
的两点之间的距离,从这个角度去理解(
f x
12--,,()f x 表示x 到这两个零点12--,的距离之和,两零点应
关于对称轴对称,故函数的对称轴为3
2
x =-.且此函数的最小值为2(1)1---=.
同样的,对()12f x x x =+-+,表示的是距离之差,当2x <-时,函数值一直为1,且为最大值;当1x >-时,函数值一直为1-,且为最小值,在21x -<<-时,函数单调递减.
知识点睛
⑴()f x x a =-的图象关于直线x a =对称,且函数的最小值为0;
⑵()f x x a x b =-+-的图象关于直线2
a b
x +=
对称,且函数的最小值为b a -; ⑶()f x x a x b =---的图象关于点02a b +??
???
,对称,且函数的值域为a b a b ?---???,.
<教师备案> 对上面结论的证明: 方法一:可以由函数图象的对称性获得.
x=a
x=
a+b 2
b a x=a+b 2b
a
()f x x a =- ()f x x a x b =-+-(a b <) ()f x x a x b =---(a b <)
方法二:代数证明.
⑴ ()(2)2f a x a x a a x f x -=--=-=;
⑵ ()()f a b x a b x a a b x b b x a x f x +-=+--++--=-+-=; ⑶ ()()f a b x a b x a a b x b b x a x f x +-=+---+--=---=-.
【例5】 ⑴
设函数()1f x x x a =++-的图象关于直线1x =
对称,则a 的值为( )
A .3
B .2
C .1
D .1- ⑵设函数()f x x a x b =---的图象关于点(10),对称,且函数的最大值为2,则
a =_______.
⑶用{}min a b ,
表示a ,b 两数中的最小值.若函数(){}min f x x x t =+,的图象关于直线1
2
x =-对称,则t 的值为( )
A .2-
B .2
C .1-
D .1
【解析】 ⑴ A
⑵ 0或2; ⑶ D
【
拓展】要使得函数123y x x x x a =-+-+-+-的图象有对称轴,a 的值为_____.
【解析】
0a =或2或4.
若()y f x =的图象的对称轴为8x =,则
经典精讲
①()y f x =-的图象的对称轴为______;②(1)y f x =-的图象的对称轴为_______; ③(2)y f x =的图象的对称轴为______.
【解析】 ①8x =-;②7x =-;③4x =.
()y f x =-与()y f x =是关于y 轴对称的,故()y f x =-有对称轴8x =-;
()y f x =-向右平移一个单位得到(1)y f x =-+,故(1)y f x =-的对称轴为7x =-.
因为(8)(8)f x f x -=+,从而(82)(82)f x f x -=+,故[2(4)][2(4)]f x f x -=+,
记()(2)g x f x =,则有(4)(4)g x g x -=+,即()g x 有对称轴4x =,即(2)f x 有对称轴4x =.
【演练1】对于二次函数()2
2f x x x m =-+,及任意的x ∈R 有( )
A .()()11f x f x --=-+
B .()()
11f x f x -=+
C .()()11f x f x -=+
D .()()22f x f x -=+
【解析】 B
【演练2】若二次函数()2f x ax bx c =++的对称轴为1x =且其图象过点()20,,
则()
()
11f f -的值为( ) A .3- B .3 C .2 D .1
【解析】 A
【演练3】若函数()f x 满足()()2f x f x =-,且1x >时,()245f x x x =-+,则1x <时,()f x =______. 【解析】 21x -+;
【演练4】 若函数()f x 满足()()24f x f x +-=,1x >时,()245f x x x =-+,则1x <时,()f x =______. 【解析】
23x -+;
【演练5】 已知定义域为R 的函数()f x 在()8+∞,上为减函数,且函数()8y f x =+为偶函数,则( )
A .()()67f f >
B .()()69f f >
C .()()79f f >
D .()()710f f >
【解析】 D
(2009年全国Ⅰ理11)函数()f x 的定义域为R ,若(1)f x +与(1)f x -都是奇函数,则( ).
A .()f x 是偶函数
B .()f x 是奇函数
C .()(2)f x f x =+
D .(3)f x +是奇函数
【解析】 D
实战演练
大千世界
∵(1)f x +与(1)f x -都是奇函数,∴(1)(1)f x f x -+=-+,(1)(1)f x f x --=--,
∴函数()f x 关于点()10,及点()10-,对称,函数()f x 是周期2[1(1)]4T =--=的周期函数. ∴(14)(14)f x f x --+=--+,(3)(3)f x f x -+=-+, 即(3)f x +是奇函数.故选D .
教学过程 一、课堂导入 我们生活在美的世界中,有过许多对美的感受,请想一下有哪些美? 对于对称美,请想一下哪些事物给过你对称美的感觉呢? 生活中的美引入我们的数学领域中,它又是怎样的情况呢?若给它适当地建立直角坐标系,那么会发现什么特点? 数学中对称的形式也很多,这节课我们就来复习在坐标系中对称的函数
二、复习预习 1、复习单调性的概念 2、复习初中的轴对称和中心对称 3、预习奇偶性的概念 4、预习奇偶性的应用
三、知识讲解 考点1 函数的奇偶性 [探究] 1. 提示:定义域关于原点对称,必要不充分条件. 2.若f(x)是奇函数且在x=0处有定义,是否有f(0)=0?如果是偶函数呢? 提示:如果f(x)是奇函数时,f(0)=-f(0),则f(0)=0;如果f(x)是偶函数时,f(0)不一定为0,如f(x)=x2+1. 3.是否存在既是奇函数又是偶函数的函数?若有,有多少个? 提示:存在,如f(x)=0,定义域是关于原点对称的任意一个数集,这样的函数有无穷多个.
考点2 周期性 (1)周期函数: 对于函数y=f(x),如果存在一个非零常数T,使得当x取定义域内的任何值时,都有f(x+T)=f(x),那么就称函数y =f(x)为周期函数,称T为这个函数的周期. (2)最小正周期: 如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数,那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期.
四、例题精析 【例题1】 【题干】判断下列函数的奇偶性 (1)f(x)=lg 1-x 1+x ;(2)f(x)= ? ? ?x2+x(x>0), x2-x(x<0); (3)f(x)= lg(1-x2) |x2-2|-2 .
函数的奇偶性与周期性 1.奇函数f (x )的定义域为R ,若f (x +2)为偶函数,则f (1)=1,则f (8)+f (9)= ( ) A. -2 B.-1 C. 0 D. 1 2.在函数①|2|cos x y =,②|cos |x y = ,③)62cos(π +=x y ,④)42tan(π -=x y 中,最小正周期为π的所有函数为 A.①②③ B. ①③④ C. ②④ D. ①③ 3.设函数)(),(x g x f 的定义域为R ,且)(x f 是奇函数,)(x g 是偶函数,则下列结论中正确的是 A. )()(x g x f 是偶函数 B. )(|)(|x g x f 是奇函数 C. |)(|)(x g x f 是奇函数 D. |)()(|x g x f 是奇函数 4.已知()f x 是定义在R 上的奇函数,且是以2为周期的周期函数,若当(]0,1x ∈时 2()1f x x =-,则7()2 f 的值为 A 34- B 34 C 12- D 12 5.下列函数为偶函数的是 A. sin y x = B. 3y x = C. x y e = D. y = 6.设()f x 是周期为2的奇函数,当0≤x ≤1时,()f x =2(1)x x -,则5 ()2f -= (A) -12 (B)1 4- (C)14 (D)12 7.下列函数中,既是偶函数又在()0,+∞单调递增的函数是 (A )3y x = (B) 1y x =+ (C )21y x =-+ (D) 2x y -= 8.下列函数为偶函数的是() A.()1f x x =- B.()2f x x x =+ C.()22x x f x -=- D.()22x x f x -=+ 9.偶函数y=f(x)的图像关于直线x=2对称,f(3)=3,则f(-1)=_______. 10.函数)4)(()(-+=x a x x f 为偶函数,则实数a = . 11.已知()f x 为奇函数,()()9,(2)3,(2)g x f x g f =+-==则 .
函数的奇偶性及周期性 1. 已知定义在 R 上的奇函数 f(x) 满足 f(x+2)= -f(x) f(6) 的值为 ( ) A.-1 B.0 C.1 D.2 【答案】 B 【解析】 ∵ f(x+2)=-f(x), ∴ f(6)=f(4+2)=-f(4)=f(2)= -f(0) 又 f(x) 为R 上的奇函数 , ∴ f(0)=0. ∴ f(6)=0. 2. 函数 f ( x) x 3 sin x 1( x R), 若 f(a)=2, 则 f(-a) 的值为 ( ) A.3 B.0 C.-1 D.-2 【答案】 B 【解析】 设 g ( x) 3 sinx, 很明显 g(x) 是一个奇函数 . x ∴ f(x)=g(x)+1. ∵ f(a)=g(a)+1=2, ∴ g(a)=1. ∴ g(-a)=-1. ∴ f(-a)=g(-a)+1=-1+1=0. 3. 已知 f(x) 是定义在 R 上的偶函数 , 并满足 f(x+2)= 1 1 x 2 时 ,f(x)=x-2, 则 f ( x) f(6.5) 等于?? ( ) A.4.5 B.-4.5 C.0.5 D.-0.5 【答案】 D 【 解 析 】 由 f(x 2) 1 得 f(x 4) 1 f ( x ) f ( x 2) f(6.5)=f(2.5). 因为 f(x) 是偶函数 , 得 f(2.5)=f(-2.5)=f(1.5), 而 1 x 2 时 ,f(x)=x-2, 所以 f(1.5)=-0.5. 综上 , 知f(6.5)=-0.5. 4. 已知函数 f(x) 是定义在 R 上的奇函数 , 当 x>0时 ,f(x)= - 是 ( ) A. ( 1) B. ( 1] C. (1 ) D. [1 ) 【答案】 A 【解析】 当 x>0时 f ( x ) 1 2 x 1 1 x 2 当 x<0时,-x>0, ∴ f( x ) 1 2 x . 又∵ f(x) 为 R 上的奇函数 , ∴ f(-x)=-f(x). ∴ f ( x ) 1 2 x . ∴ f ( x ) 2 x 1 . ∴ f ( x) 2 1 1 即 2 x 1 . x ∴ x<-1. 2 2 ∴不等式 f ( x ) 1 的解集是 ( 1) . 2 5. 设 g(x) 是定义在 R 上、以 1为周期的函数 . 若函数 f(x)=x+g(x) 则f(x) 在区间 [0,3] . f ( x) 那 么 f(x) 的 周 期 是 4, 得 2 x 则不等式 f ( x) 1 的解集 2 1 2 在区间 [0,1] 上的值域为 [-2,5],
1.3.2《函数的奇偶性》教学设计 一、教材分析 “奇偶性”是人教A版必修1第一章“集合与函数概念”的第3节“函数的基本性质”的第2小节。奇偶性是函数的一条重要性质,教材从学生熟悉的函数入手,从特殊到一般,从具体到抽象,注重信息技术的应用,比较系统地介绍了函数的奇偶性.从知识结构看,它既是函数概念的拓展和深化,又为后续研究指数函数、对数函数、幂函数、三角函数的基础。因此,本节课起着承上启下的重要作用。学习奇偶性,能使学生再次体会到数形结合思想,初步学会用数学的眼光看待事物,感受数学的对称美。 二、学情分析 从学生的认知基础看,学生在初中已经学习了轴对称图形和中心对称图形,并且有了一定数量的简单函数的储备。同时,刚刚学习了函数单调性,积累了研究函数的基本方法与初步经验。从学生的思维发展看,高一学生思维能力正在由形象经验型向抽象理论型转变,能够用假设、推理来思考和解决问题。但是,学生看待问题还是静止的、片面的,抽象概括能力比较薄弱,这对建构奇偶性的概念造成了一定的困难。 三、教学目标 【知识与技能】1.能判断一些简单函数的奇偶性。2.能运用函数奇偶性的代数特征和几何意义解决一些简单的问题。 【过程与方法】经历奇偶性概念的形成过程,提高观察抽象能力以及从特殊到一般的归纳概括能力。 【情感、态度与价值观】通过自主探索,体会数形结合的思想,感受数学的对称美。
四、教学重点和难点 重点:函数奇偶性的概念和几何意义。难点:判断函数奇偶性的方法和格式。 五、教学方法 引导发现法为主,直观演示法、类比法为辅。 六、教学手段 PPT课件 七、教学过程 (一)设疑导入、观图激趣:出示一组轴对称和中心对称的图片。 设计意图:通过图片引起学生的兴趣,培养学生的审美观,激发学习兴趣。
1.结合具体函数,了解函数奇偶性的含义. 2.会运用函数的图象理解和研究函数的奇偶性. 3.了解函数周期性、最小正周期的含义,会判断、应用简单函数的周期性. ★备考知考情 1.对函数奇偶性的考查,主要涉及函数奇偶性的判断,利用奇偶函数图象的特点解决相关问题,利用函数奇偶性求函数值,根据函数奇偶性求参数值等. 2.常与函数的求值及其图象、单调性、对称性、零点等知识交汇命题. 3.多以选择题、填空题的形式出现. 一、知识梳理《名师一号》P18 注意: 研究函数奇偶性必须先求函数的定义域 知识点一函数的奇偶性的概念与图象特征 1.一般地,如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x, 都有f(-x)=f(x),那么函数f(x)就叫做偶函数. 2.一般地,如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x, 都有f(-x)=-f(x),那么函数f(x)就叫做奇函数. 1
2 3.奇函数的图象关于原点对称; 偶函数的图象关于y 轴对称. 知识点二 奇函数、偶函数的性质 1.奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同, 偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反. 2. 若f (x )是奇函数,且在x =0处有定义,则(0)0=f . 3. 若f (x )为偶函数,则()()(||)f x f x f x =-=. 《名师一号》P19 问题探究 问题1 奇函数与偶函数的定义域有什么特点? (1)判断函数的奇偶性,易忽视判断函数定义域是否关于原点对称.定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件. (2)判断函数f (x )的奇偶性时,必须对定义域内的 每一个x , 均有f (-x )=-f (x )、f (-x )=f (x ), 而不能说存在x 0使f (-x 0)=-f (x 0)、f (-x 0)=f (x 0). (补充) 1、若奇函数()f x 的定义域包含0,则(0)0=f . (0)0=f 是()f x 为奇函数的 既不充分也不必要条件 2.判断函数的奇偶性的方法 (1)定义法: 1)首先要研究函数的定义域,
1.3《函数的单调性与奇偶性》教学设计 【教学目标】 1. 理解增函数、减函数、单调区间、单调性等概念;掌握增(减)函数的证明和判别;学会运用函数图象理解和研究函数的性质; 2. 理解函数单调性的概念及证明方法、判别方法,理解函数的最大(小)值及其几何意义; 3. 理解奇函数、偶函数的概念及图象的特征,能熟练判别函数的奇偶性. 【导入新课】 1.通过对函数x y 2=、x y 3-=、x y 1=及2x y =的观察提出有关函数单调性的问题. 2.阅读教材明确单调递增、单调递减和单调区间的概念. 3.实践活动:取一张纸,在其上画出平面直角坐标系,并在第一象限任画一可作为函数图象的图形,然后按如下操作并回答相应问题: ① 以y 轴为折痕将纸对折,并在纸的背面(即第二象限)画出第一象限内图形的痕迹,然后将纸展开,观察坐标系中的图形; 问题:将第一象限和第二象限的图形看成一个整体,则这个图形可否作为某个函数y=f(x)的图象,若能请说出该图象具有什么特殊的性质?函数图象上相应的点的坐标有什么特殊的关系? 答案:(1)可以作为某个函数y=f(x)的图象,并且它的图象关于y 轴对称; (2)若点(x ,f(x))在函数图象上,则相应的点(-x ,f(x))也在函数图象上,即函数图象上横坐标互为相反数的点,它们的纵坐标一定相等. ② 以y 轴为折痕将纸对折,然后以x 轴为折痕将纸对折,在纸的背面(即第三象限)画出第一象限内图形的痕迹,然后将纸展开,观察坐标系中的图形: 问题:将第一象限和第三象限的图形看成一个整体,则这个图形可否作为某个函数y=f(x)的图象,若能请说出该图象具有什么特殊的性质?函数图象上相应的点的坐标有什么特殊的关系? 答案:(1)可以作为某个函数y=f(x)的图象,并且它的图象关于原点对称; (2)若点(x ,f(x))在函数图象上,则相应的点(-x ,-f(x))也在函数图象上,即
1.10基本初等函数奇偶性和周期性 姓名___________ 本节重点:①能够正确判断函数的奇偶性和周期性;②运用基本初等函数的性质解题。 一.基础练习 1. 写出下列函数中,奇函数是________;偶函数是________;非奇非偶函数是________ ①sin 2y x = ②2cos y x = ③4221y x x =++ ④2(1)y x =- ⑤()x x f x e e -=- ⑥1()1 x f x x -=+ ⑦1()lg 1 x f x x -=+ ⑧23 ()f x x -= 2. 已知多项式函数32()f x ax bx cx d =+++,系数,,,a b c d 满足__________时,()f x 是奇函数; 满足___________时,它是偶函数. 3. 定义在R 上的奇函数()f x 满足(2)()f x f x +=-,则(2)f =________. 4. 函数sin 2y x =的周期是________;tan y x π=的周期是________. 5. 已知函数()f x 是定义在(-3,3)上的奇函数,当03x << ()f x 图象如右,则不等式 ()0f x x >的解集是____________. 二、例题讲解 例1:判断下列函数的奇偶性 (1)2 ()2||3f x x x =-- (2)22 2,0 ()2,0 x x x f x x x x ?-≥?=?--? (3)()|3|f x x x =+- 例2:含有字母的函数性质问题. (1)设函数()(),()x x f x x e ae x R -=+∈是偶函数,则实数a=____________. (2)函数2 ()(2)3f x ax b x =+-+是定义在[,34]a a --上的偶函数,则log a b =__________. (3)定义在(1,1)-上的奇函数()f x ,满足在(1,1)-上单调递减,若2 (1)(1)0f a f a -+-<,则实数a 的范围是____________. (4)若函数2 ()cos ,[, ]22f x x x x ππ =-∈- ,且(2)()63 f a f ππ ->,实数a 的范围是____________.
精锐教育学科教师辅导讲义 讲义编号11sh11sx00 学员编号: 年级:高二课时数:3 学员姓名:辅导科目:数学学科教师: 课题函数的奇偶性和周期性 授课日期及时段 教学目标 1、理解函数的周期性与奇偶性的概念 2、能根据函数的周期性求函数值或在相关区间上的函数解析式 3、会判断函数的奇偶性,并会结合周期性与奇偶性解决相关问题 教学内容 一、知识点梳理及运用 知识点一、函数的奇偶性 1、定义:设() y f x =,x A ∈,如果对于任意x A ∈,都有,则称函数() y f x =为奇函数;如果对于任意x A ∈,都有,则称函数() y f x =为偶函数 2、函数具有奇偶性的必要条件是其定义域关于对称 3、() f x是偶函数?() f x的图象关于y轴对称 () f x是奇函数?() f x的图象关于原点对称 4、若奇函数() f x的定义域包含0,则(0)0 f= 5、判断函数奇偶性的方法: ①定义法:首先判断其定义域是否关于原点对称 若不对称,则为非奇非偶函数 若对称,则再判断()() f x f x =-或()() f x f x =-是否成立 ②性质法:设() f x,() g x的定义域分别是 12 , D D,那么在它们的公共定义域 12 D D D =?上: 奇±奇=奇,偶±偶=偶,奇?奇=偶,偶?偶=偶,奇?偶=奇 典型例题 例1、(判断奇偶性)判断下列函数的奇偶性 (1)35 ()35 f x x x =+(2)2 ()3||1 f x x x =-+(3) 2 2 (0) () (0) x x x f x x x x ?+< ? =? -+> ?? (4)()|1||1| f x x x =+--