2020年高中数学必修三第二章《统计》单元测试卷及答案解析
2020年高中数学必修三第二章《统计》单元测试卷
(时间：120分钟 满分：150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)
1．某市电视台为调查节目收视率，想从全市3个区按人口数用分层抽样的方法抽取一个容量为n 的样本，已知3个区人口数之比为2∶3∶5，如果人口最多的一个区抽出60人，那么这个样本的容量等于( )
A ．96
B ．120
C ．180
D ．240 答案 B
解析 由题意3个区人口数之比为2∶3∶5，得第三个区所抽取的人口数最多，所占比例为50%.又因为此区抽取60人，所以三个区所抽取的总人口数为60÷50%＝120，即这个样本的容量等于120.
2．某中学从高三甲、乙两个班中各选出7名学生参加数学竞赛，他们取得的成绩(满分100分)的茎叶图如图(单位：分)，其中甲班学生成绩的众数是85，乙班学生成绩的中位数是83，则x ＋y 的值为( )
A ．7
B ．8
C ．9
D ．10 答案 B
解析 由茎叶图及甲班学生成绩的众数是85，可知x ＝5，而乙班学生成绩的中位数是83，所以y ＝3，所以x ＋y ＝5＋3＝8.故选B.
3．在样本频率分布直方图中，共有9个小长方形．若中间一个小长方形的面积等于其他8个小长方形面积和的2
5，且样本容量为140，则中间一组的频数为( )
A ．28
B ．40
C ．56
D ．60 答案 B
解析 频率分布直方图中，所有小长方形的面积和为1.设中间小长方形的面积为x ，则有x ＋52x ＝1，解得x ＝27.因为样本容量为140，所以中间一组的频数为140×2
7
＝40.故选B.
4．在抽查产品的尺寸过程中，将其尺寸分成若干组，[a ，b )是其中的一组，抽查出的个体在该组上的频率为m ，直方图中该组对应的小长方形的高为h ，则|a －b |等于( ) A ．hm B.m
h C.h m D ．h ＋m
答案 B 解析
频率组距
＝h ，∴|a －b |＝组距＝频率h ＝m
h .
5．若某校高一年级8个班参加合唱比赛的得分如茎叶图所示，则这组数据的中位数和平均数分别是( )
A ．91.5和91.5
B ．91.5和92
C ．91和91.5
D ．92和92
答案 A
解析 将这组数据从小到大排列，得87,89,90,91,92,93,94,96.故中位数为91＋922＝91.5.平均数
为x ＝91＋－4－2－1＋0＋1＋2＋3＋5
8
＝91.5.
6．如图为某个容量为100的样本的频率分布直方图，分组为[96,98)，[98,100)，[100,102)，[102,104)，[104,106]，则在区间[98,100)上的频数为( )
A ．0.100
B ．0.200
C ．20
D ．0.010
答案 C
解析 区间[98,100)上小矩形的面积为0.100×2＝0.200，所以区间[98,100)上的频数为100×0.200＝20，故选C.
7．一个容量为80的样本中，数据的最大值是140，最小值是50，组距是10，则应该将样本
数据分为( ) A ．10组 B ．9组 C ．8组 D ．7组
答案 B
解析 组数＝极差组距
＝140－50
10＝9.
8．若数据x 1，x 2，…，x n 的平均数为x ，方差为s 2，则3x 1＋5,3x 2＋5，…，3x n ＋5的平均数和标准差分别为( ) A.x ，s B ．3x ＋5，s
C ．3x ＋5,3s
D ．3x ＋5，9s 2＋30s ＋25 答案 C
解析 ∵x 1，x 2，…，x n 的平均数为x ，
∴3x 1＋5,3x 2＋5，…，3x n ＋5的平均数为3x ＋5， s ′2＝1
n [(3x 1＋5－3x －5)2＋…＋(3x n ＋5－3x －5)2]
＝1
n ×32[(x 1－x )2＋…＋(x n －x )2]＝9s 2. ∴s ′＝3s .
9．甲、乙两名同学在5次数学考试中，成绩统计图用茎叶图表示如图所示，若甲、乙两人的平均成绩分别用x 甲、x 乙表示，则下列结论正确的是( )
A.x 甲＞x 乙，且甲比乙成绩稳定
B.x 甲＞x 乙，且乙比甲成绩稳定
C.x 甲＜x 乙，且甲比乙成绩稳定
D.x 甲＜x 乙，且乙比甲成绩稳定 答案 A
解析 x 甲＝90，x 乙＝88，∴x 甲＞x 乙，甲的成绩的方差是1
5
×(4＋1＋0＋1＋4)＝2，乙的
成绩的方差是1
5×(25＋0＋1＋1＋9)＝7.2，故甲成绩稳定．
10．一个容量为200的样本，其数据的分组与各组的频数如下表：
则样本数据落在[20,60)上的频率为( ) A ．0.11 B ．0.5 C ．0.45 D ．0.55
答案 D
解析 由题中表格可知样本数据落在[20,60)上的频数为20＋30＋35＋25＝110，故其频率为110
200
＝0.55. 11．现有10个数，其平均数是4，且这10个数的平方和是200，那么这组数的标准差是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 答案 B
解析 设这10个数为a 1，a 2，…，a 10，则有a 21＋a 22＋…＋a 210＝200，
且a 1＋a 2＋…＋a 10＝40，则这10个数的方差为(a 1－4)2＋(a 2－4)2＋…＋(a 10－4)210
＝a 21＋a 22＋…＋a 2
10－8(a 1＋a 2＋…＋a 10)＋16010
＝
200－8×40＋160
10
＝4，∴标准差为4＝2.
12．在某地区某高传染性病毒流行期间，为了建立指标显示疫情已受控制，以便向该地区居民显示可以过正常生活，有公共卫生专家建议的指标是“连续7天每天新增感染人数不超过5人”，根据连续7天的新增病例数计算，下列各项中，一定符合上述指标的是( ) ①平均数x ≤3；②标准差s ≤2；③平均数x ≤3且标准差s ≤2；④平均数x ≤3且极差小于或等于2；⑤众数等于1且极差小于或等于1. A ．①② B ．③④ C ．③④⑤ D ．④⑤ 答案 D
解析 ①②③不符合，④符合，若极差等于0或1，在x ≤3的条件下，显然符合指标；若极差等于2且x ≤3，则每天新增感染人数的最小值与最大值有下列可能：(1)0,2，(2)1,3，(3)2,4，符合指标．⑤符合，若众数等于1且极差小于或等于4，则最大值不超过5，符合指标，故选D.
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13．某学校三个兴趣小组的学生人数分布如下表(每名同学只参加一个小组)(单位：人)：
学校要对这三个小组的活动效果进行抽样调查，按小组分层抽样，从参加这三个兴趣小组的学生中抽取30人，结果篮球组被抽出12人，则a 的值为________． 答案 30
解析 由题意知，1245＋15＝30120＋a
，解得a ＝30.
14．一个容量为n 的样本分成若干个小组，已知某组的频数和频率分别是50和0.4，则n ＝________. 答案 125
解析 由50n ＝0.4，得n ＝50
0.4
＝125.
15．从一堆苹果中任取20个，并得到它们的质量(单位：克)数据分布如下：
则这堆苹果中，质量不少于．．．120克的苹果数约占苹果总数的________%. 答案 70
解析 ∵质量不少于120克的频数为14， ∴频率为14
20
×100%＝70%.
16．某产品的广告费用x (万元)与销售额y (万元)的统计数据如下表：
根据上表可得线性回归方程y ^
＝b ^
x ＋a ^
中的b ^
为7.据此模型预测广告费用为10万元时销售额为________万元． 答案 73.5
解析 由题表可知，x ＝4.5，y ＝35，代入线性回归方程y ^
＝7x ＋a ^
，得a ^
＝3.5，所以线性回归方程为y ^
＝7x ＋3.5，所以当x ＝10时，y ^
＝7×10＋3.5＝73.5(万元)． 三、解答题(本大题共6小题，共70分)
17．(10分)有关部门要了解甲型H1N1流感预防知识在学校的普及情况，特制了一份有10道题的问卷到各学校进行问卷调查．某中学A 、B 两个班各被随机抽取了5名学生接受问卷调查．A 班5名学生得分为：5,8,9,9,9； B 班5名学生得分为：6,7,8,9,10(单位：分)．
请你估计A 、B 两个班中哪个班的问卷得分要稳定一些． 解 A 班的5名学生的平均得分为(5＋8＋9＋9＋9)÷5＝8， 方差s 21
＝15×[(5－8)2＋(8－8)2＋(9－8)2＋(9－8)2＋(9－8)2
]＝2.4； B 班的5名学生的平均得分为(6＋7＋8＋9＋10)÷5＝8， 方差s 22＝15
×[(6－8)2＋(7－8)2＋(8－8)2＋(9－8)2＋(10－8)2
]＝2. ∴s 21＞s 22，
∴B 班的预防知识的问卷得分要稳定一些．
18．(12分)某地政府调查了工薪阶层1 000人的月工资，并根据调查结果画出如图所示的频率分布直方图，为了了解工薪阶层对月工资的满意程度，要用分层抽样的方法从调查的1 000人中抽出100人做电话询访，则[30,35)(百元)月工资段应抽出多少人？
解 月工资落在[30,35)(百元)内的频率为1－(0.02＋0.04＋0.05＋0.05＋0.01)×5＝1－0.85＝
0.15，而0.15÷5＝0.03，所以各组的频率比为0.02∶0.04∶0.05∶0.05∶0.03∶0.01＝
2∶4∶5∶5∶3∶1，所以[30,35)(百元)月工资段应抽出3
20×100＝15(人)．
19．(12分)抽样调查30个工人家庭的人均月收入，得到如下数据(单位：元)：404444556430380420500430420384 420404424340424412388472358476 376396428444366436364438330426
(1)取组距为60，起点为320，列出样本的频率分布表；
(2)画出频率分布直方图；
(3)根据频率分布直方图估计人均月收入在[440,560]上的家庭所占的百分比．
解(1)频率分布表如下：
(2)频率分布直方图如图．
(3)人均月收入落在[440,560]上的家庭所占的频率为0.13＋0.07＝0.2＝20%.所以估计人均月收入在[440,560]上的家庭所占的百分比为20%.
20．(12分)从全校参加科技知识竞赛的学生试卷中，抽取一个样本，考察竞赛的成绩分布．将样本分成5组，绘成频率分布直方图(如图)，图中从左到右各小组的小长方形的高的比是1∶3∶6∶4∶2，最后一组的频数是6.
请结合频率分布直方图提供的信息，解答下列问题： (1)样本的容量是多少？ (2)列出频率分布表；
(3)成绩落在哪个范围内的人数最多？并求该小组的频数、频率； (4)估计这次竞赛中，成绩不低于60分的学生占总人数的百分比．
解 (1)由于各组的组距相等，所以各组的频率与各小长方形的高成正比且各组频率的和等于1，那么各组的频率分别为116，316，616，416，216.设该样本容量为n ，则6n ＝2
16，所以样本容量
n ＝48.
(2)由(1)及已知得频率分布表如下：
(3)成绩落在[70.5,80.5)之间的人数最多，该组的频数和频率分别是18和3
8.
(4)不低于60分的学生占总人数的百分比约为???
?1－1
16×100%＝93.75%. 21．(12分)为了比较两种治疗失眠症的药(分别称为A 药、B 药)的疗效，随机地选取20位患者服用A 药，20位患者服用B 药，这40位患者在服用一段时间后，记录他们日平均增加的睡眠时间(单位：h)．试验的观测结果如下： 服用A 药的20位患者日平均增加的睡眠时间： 0．6 1.2 2.7 1.5 2.8 1.8 2.2 2.3 3.2
3．5 2.5 2.6 1.2 2.7 1.5 2.9 3.0 3.1
2．3 2.4
服用B药的20位患者日平均增加的睡眠时间：
3．2 1.7 1.90.80.9 2.4 1.2 2.6 1.3
1．4 1.60.5 1.80.6 2.1 1.1 2.5 1.2
2．70.5
(1)分别计算两组数据的平均数，从计算结果看，哪种药的疗效更好？
(2)根据两组数据完成如图所示的茎叶图，从茎叶图看，哪种药的疗效更好？
解(1)设A药观测数据的平均数为x，B药观测数据的平均数为y.
由观测结果可得：
x＝1
20×(0.6＋1.2＋1.2＋1.5＋1.5＋1.8＋2.2＋2.3＋2.3＋2.4＋2.5＋2.6＋2.7＋2.7＋2.8＋2.9
＋3.0＋3.1＋3.2＋3.5)＝2.3，
y＝1
20×(0.5＋0.5＋0.6＋0.8＋0.9＋1.1＋1.2＋1.2＋1.3＋1.4＋1.6＋1.7＋1.8＋1.9＋2.1＋2.4
＋2.5＋2.6＋2.7＋3.2)＝1.6，
由以上计算结果可得x＞y，因此可看出A药的疗效更好．(2)由观测结果可绘制茎叶图如图．
从以上茎叶图可以看出，A药疗效的试验结果有7
10的叶集中在茎“2.”，“3.”上，而B药疗
效的试验结果有7
10的叶集中在茎“0.”，“1.”上，由此可看出A药的疗效更好．22．(12分)下表数据是退水温度x(单位：℃)对黄酮延长性y(单位：%)效应的试验结果，y是以延长度计算的.
(1)画出散点图；
(2)指出x ，y 是否线性相关；
(3)若线性相关，求y 关于x 的线性回归方程； (4)估计当退水温度是1 000℃时，黄酮延长性的情况． 解 (1)散点图如图．
(2)由散点图可以看出样本点分布在一条直线附近，可见y 与x 线性相关． (3)列出下表并用科学计算器进行有关计算.
设线性回归方程为y ^
＝b ^
x ＋a ^
，于是可得，
b ^
＝
∑i ＝1
6
x i y i －6x y
∑i ＝1
6
x 2i －6x
2
＝198 400－6×550×57
1 990 000－6×5502
≈0.058 86， a ^
＝y －b ^
x ≈57－0.058 86×550＝24.627. 因此所求线性回归方程为y ^
＝0.058 86x ＋24.627. (4)将x ＝1 000代入线性回归方程得， y ^
＝0.058 86×1 000＋24.627＝83.487，
即当退水温度是1 000℃时，黄酮延长性大约是83.487%.