第十一届全国“华罗庚金杯”少年数学邀请赛初赛试卷
(初一组)
(时间2006年3月18日10:00~11:00)
一、选择题以下每题的四个选项中,仅有一个是正确的,请将表示正确答案的英文字母写在每题后面的圆括号内。(每小题6分)
1、下面用七巧板组成的六个图形中,有对称轴的图形为()个(不考虑拼接线)
(A)5 (B) 2 (C)3 (D)4
2、有如下四个命题:
①最大的负数是-1;②最小的整数是1;
③最大的负整数是-1;④最小的正整数是1;
其中真命题有()个
(A)1个(B)2 个(C)3个(D)4个
3 、如果a,b,c均为正数,且a(b+c)=152,b(c+a)=162,c(a+b)=170,那么abc 的值是()
(A)672 (B)688 (C)720 (D)750
4、下图给出了一个立体图形的正视图、左视图和右视图,图中单位为厘米。立体图形的体积为()立方厘米。
(A)2π(B)2.5π(C)3π(D)3.5π
俯视图
左视图
正视图
5、甲、乙两轮船在静水中航行的速度分别为是v1,v2,(v1>v2),下游的A港与上游的B港间的水路路程为150千米。若甲船从A港,乙船从B港同时出发相向航行,两船在途中的C点相遇。若乙船从A港,甲船从B港同时出发相向航行,两船在途中D点相遇,已知C、D间的水路路程为21千米。则v1∶v2等于()
(A )4155
(B )4357 (C )4559 (D )4761
6、有一串数:1,22,,33,44,……,20042004,20052005,20062006。大明从左往右依次计算前面1003个数的末位数字之和,并且记为a ,小光计算余下的1003个数的末位数字之和,并且记为b ,则a -b =( )。
(A )-3 (B )3 (C )-5 (D )5
二、A 组填空题(每小题8分)
7、如图,以AB 为直径画一个大半圆。BC =2AC
分别以AC ,CB 为直径在大半圆内部画两个小半圆,那么阴影部分的面积与大半圆面积之比等于___。
8 计算:
(1+311?)?(1+421?)?(1+531?)?(1+641
?)?…?(1+99971?)?(1+100981?)=__ ______
9、加油站A 和商店B 在马路MN 的同一侧,A 到MN 的距离大于B 到MN 的距离,AB =7米,一个行人P 在马路MN 上行走,问:当P 到A 的距离与P 到B 的距离之差最大时,这个差等于___ ___
米。 N
M P 7
B
A
10. 如果y x 43-=42,51≤-x ,,
42≤+y 那么x +y =____ _
三、B 组填空题(每题两个空,每个空4分)
11、列车提速后,某次列车21:00从A 市出发,次日7:00正点到达B 市,运行时间较提速前缩短了2小时,而车速比提速前平均快了20千米/小时,则提速前的速度平均为 千米/小时,两市相距 千米。
12、在算式
第十一届
+华杯赛
2006
中,汉字“第、十、一、届、华、杯、赛”代表1~9中的9个数字,不同的汉字代表不同的数字,恰使得加法算式成立。则不同的填法共有;三位数华杯赛的最大可能值为。
13、在由x、y、z构成的单项式中,挑出满足下列条件的单项式:
1)系数为1;
2)x、y、z的幂次之和小于等于5;
3)交换x和z的幂次,该单项式不变。
那么你能挑出这样的单项式共有个。在挑出的单项式中,将x的幂次最低的两两相乘,又得到一组单项式,将这组单项式相加(同类项要合并)得到一个整式,那么该整式是个不同的单项式之和。
14、下图中有个正方形,有个三角形。
第十一届全国“华罗庚金杯”少年数学邀请赛
初赛,初一组试题答案
一、选择题
1.D ②③⑤ 6
2.B 最大的负整数是-1和最小的正整数是1正确。
3.C ab+ac=152 (1),bc+ab=162 (2),ac+bc=170 (3)
(2)-(1)得(b-a)c=10 (4)
(3)÷(4)得(a+b)/(b-a)=17 即a=8b/9 (5)
(3)-(2)得a(c-b)=8 (6)
(1)÷(6)得(b+c)/(c-b)=19 即c=10b/9 (7)
(6)和(7)代入(3)(8b/9)×(10b/9)+b×(10b/9)=170
得b=9,可知a=8,c=10,abc=720
4.A π×(2/2)^2×1+1/2×π×(2/2)^2×2=2π
5.B 150V1/(V1-a+V2+a)-150V2/(V1+a+V2-a)=21,(V1-V2)/(V1+ V2)=7/50
V1:V2=57:43
6.C 第4项至第1003项的末位数字之和和第1004项至第2003项末位数字之和相同
a-b≡1+2^2+3^3-(2004^2004+2005^2005+2006^2006)≡1+4+7-(6+5+6)≡-5(mod10)
二、A组填空题
7.4/9 设AB=2r 则{πr^2/2-[π(r/3)^2/2+π(2r/3)^2/2]}/ (πr^2/2)=1-(1/9+4/9)=4/9
8.1.98 原式=[2^2/(1×3)]×[3^2/(2×4)] ×[4^2/(3×5)] ×[5^2/(4×6)] ×[6^2/(5×7)] ×……×[98^2/(97×99)] ×[99^2/(98×100)]=2×99/100=1.98
9.7 三角形两边之差小于第三边,当P在AB延长线与MN交点的位置时PA-PB=7最大。
10.0 由|x-1|≤5知-4≤x≤6,-12≤3x≤18
由|y+2|≤4知-6≤y≤2,-8≤-4y≤24
由|3x-4y|=42,知3x=18,-4y=24,此时x=6,y=-6,x+y=0
三、B组填空题
11.100,1200(注:组委会提供的标准答案是120,1200,此答案有部分错误)
设提速前的速度平均为V千米/小时,两市相距S千米。
S/(V+20)=10 (1)
S/V=10+2 (2)
由(1)(2)得V=100,S=1200
12.16,659
被加数千位是1,被加数与加数个位分别是7和9,被加数与加数十位数字之和是9,被加数百位与加数百位数字之和是9,有3+6=9与4+5=9。加法算式从右至左选择数字有2×1×4×1×2×1×1=16(种)不同填法。三位数华杯赛最大可以是659
13.12,9
一.⑴1 ⑵y ⑶y^2 ⑷y^3 ⑸y^4 ⑹y^5 ⑺xz ⑻xyz ⑼xy^2z ⑽xy^3z ⑾x^2z^2 ⑿x^2yz^2
二.y,y^2,y^3,y^4,y^5,y^6,y^7,y^8,y^9 共9项
14. 95,155
①边长是1,2,3,4,5,6的正方形有6X6+5X5+4X4+3X3+2X2+1X1=(6×7×13)/6=91(个),对角线长是2的正方形有4个,共95个。
②直角边为1的三角形有36×2=72(个);斜边长是2的三角形,1-6行依次有4+4+4+3+1+4=20(个),1-6列依次3+3+3+2+3+3=17(个),共20+17=37(个);直角边长是2的1-2行8个,2-3行6个,3-4行2个,4-5行8个,5-6行6个,共8+6+2+8+6=30(个);直角边长是3的1-3行4个,3-5行2个,4-6行4个,共4+2+4=10(个);斜边长是4的1-4行1个,2-5行2个,4-5行1个,共1+2+1=4(个);直角边长是4的3-6行2个。共72+37+30+10+4+2=155(个)
第十一届全国"华罗庚金杯"少年数学邀请赛
决赛试卷(初一组) (红色字为参考答案)
(时间2006年4月22日10:00~l l :30〉
一、.填空
1、计算:243331(0.25)(2)3()5(2)168??????
---?-÷?-+÷-=?????????
???( 47 )
2、当2m π=时,多项式31am bm ++的值是0,则多项式31
452
a b ππ++=( 5 )
3、将若干本书分给几名小朋友,如果每人分4本书,就还余下20本书,如果每人分8本书,就剩有1名小朋友虽然分到了一些书,但是不足8本,则共有( 6 )名小朋友
4、图l 中的长方形ABCD 是由四个等腰直角三角形和一 个正方形EFGH 拼成.己知长方形ABCD 的面积为120
平方厘米,则正方形EFGH 的面积等于( 10 )平方厘米
5、满足方程|||x-2006|-1|+8|=2006的所有x 的和为( 4012 )
6、一个存有一些水的水池,有一个进水口和若干个口径相同的山水口,进水口每分钟进水3立方米.若同时打开进水口和三个出水口,池中水16分钟放完;若同时 打开进水口与五个出水口,池中水9分钟放完.池中原有水( 288 )立方米
7、已知120052006123420052006
(1)24816222
k k k S +=-+-++-++-L L ,则小于S 的最大的整数是( 0 )
8.如图2,数轴上标有2n+1个点,它们对应的整数是: ,(1),,2,1,0,1,2,,1,n n n n ------L L
为了确保从这些点中可以取出2006个,其中任何两个点之间的距离都不等于4,则n 的最小值是( 2005 )
二.解答下列各题,要求写出简要过程
图1图2n n-10-1-2-(n-1)-n
9、如图3,ABCD 是矩形,BC=6cm,AB =10cm,AC 和 BD 是对角线.图中的阴影部分以CD 为轴旋转一周,则阴影 部分扫过的立体的体积是多少立方厘米?(z 取3.14) 解: ①设三角形BCO 以CD 为轴旋转一周所得到的立 体的体积是S,S 等于高为10厘米,底面半径是6厘米的 圆锥的体积减去2个高为5厘米,底面半径是3厘米的圆
锥的体积.
②即:
S=13×26×10×π-2×1
3
×23×5×π=90π, 2S=180π=565.2(立方厘米).
答:体积是565.2立方厘米.
10、将21个整数10,9,8,,3,2,1,0,1,2,3,,8,9,10------L L
分为个数不相等的六组数,分别计算各组的平均值,那么这六个平均值的和最大是多少? 解:①分为个数不相等的6组,整数的个数分别为1、2、3、4、5、6. ②应当将数值大的分在整数个数少的组中.所以,可以如下分组:
第一组 10 第二组 9
8 第三组 7
6 5 第四组 4
3 2 1 第五组 0
-1 -2 -3 -4 第六组 -5 -6 -7 -8 -9 -10
③计算它们的平均值的和:
109876543210123456789101171234562
++++++----------+++++= 答:最大的和是1
172
。
11、当m =-5,-4,-3,-1,0,1,3,23,124,1000时,从等式(2m+1)x+(23M)y+1-5m =0 可以得到10个关于x 和y 的二元一次方程,问这10个方程有没有公共解?如果 有,求出这些公共解. 解:①分别取m =0和m =1,得到两个方程:
210
340
x y x y ++=??
--=? 先求两个方程的公共解,把它们看作二元一次方程组,解得:x =1,y =-1.
②把x=1,y =-1代入(2m+l)x+(2-3m)y+1-5m,值恒为0.此即意味着: 当m =-5,一4,一3,一1,0,1,3,23,124,1000时,(2m+l)x+(2-3m)y+l-5m=0成立所以, x=1,y =-1是对应的10个方程的的公共解.
答:这些方程的公共解是x=1,y =-1.
图3
12、平面上有5条直线,其中任意两条都不平行,那么在这5条直线两两相交所成的角中,至少有
一个角不超过36度,请说明理由. 解:①在平面上任取一点。,过O 点作已知的5条直线的平行线123
45,,,,l l l l l
②将O 为中心的周角分为10个彼此依次相邻的小的角,这10个小角的 和恰等于3600,所以,至少有一个小角不超过360。
三.解答下列各题,要求写出详细过程
13.如图4,A 、B 和C 是圆周的三等分点,甲、乙、丙 三只蚂蚁分别从A 、B 、C 三个点同时出发,甲和乙 沿圆周逆时针爬行,丙顺时针爬行.己知甲、乙、 丙三只蚂蚁爬行的速度之比是8:6:5,求出三只蚂蚁 所有的会合地点.
解: ①设圆周周长为3L,甲、乙、丙的速度分别为8ν、6ν、5ν;
②甲第一次追上乙时爬行的时间=862L L
v v v =
-, 甲第一次追上乙时爬行的路程=842L
v L v
=
甲第k+1次追上乙时爬行的时间=322L kL v v +,
甲第k+1次追上乙时爬行的路程=3()83(14)22L kL v L k L v v
+?=+?+
因为3×(l+4k)L 是圆周周长的整数倍,所以,甲总在B 点追上乙
③在时刻322L kL v v +,丙爬行的路程=331
()536()2222
L kL k v L kL L v v +?=++-
当k=1时,上式是3()5922L kL
v L L v v
+?=+。因为丙是从C 出发顺时针爬行,所以
丙爬行至B 处,意味甲、乙、丙能够在B 点会合. 答:甲、乙、丙仅仅在B 处或合.
14、己知m ,n 都是正整数,并且
111111
(1)(1)(1)(1)(1)(1)2233A m m =-+-+-+L ,
111111
(1)(1)(1)(1)(1)(1)2233B n n
=-+-+-+L
①证明:12m A m +=,1
2
n B n +=
②若1
26A B -=,求m 和n 的值.
解:①111111
(1)(1)(1)(1)(1)(1)2233A m m =-+-+-+L
111111(1)(1)(1)(1)(1)(1)2323m m
=---+++L L
图4
θ10θ9θ8
θ7θ6
θ5θ4
θ3θ2θ1
l 5
l 4l 3l 2
l 1
1213411
23232m m m m m m -++=???????=
L L 同样,1
2n B n
+=
②由题设,
11111222226m n A B m n m n ++-=-=-=
,11113m n -=,111131313n
m n n +=+= 所以,1313n
m n
=+,
1313(1313)1313
13131313n n m n n n +-?===-
+++
即13+n 是13×13的因数,
13×13只有3个因数:1,13,132所以,
13+n=132, n=132-13=156, m=12.
求出正整数m,n 另一方法:使
11111222226m n A B m n m n ++-=-=-=
,111
13
m n -= 设m =K α, n=Kb, (α,b)=1, 代入上式, 11132b a Ka Kb Kab
--== (b 一α)和α,b 都互质,一定整除K. 记K
d b a
=-是正整数, b a >则有
1113
dab = 由上式和b >α,b=13, α=1,d=l 所以,K=12,m 和n 有唯一解 m=13 n =156.
答:m=13n =156.
特别说明: 因给各题的解答未必唯一,上述解答仅供参考.
第十二届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛初赛试题及参考答案(初一组)
第十七届华罗庚金杯少年数学邀请赛初赛试卷(初一组笔试版)
第十二届全国“华罗庚金杯”少年数学邀请赛
复赛试卷(初一组)
(时间2007年4月21日10:00~11:30)
一、填空(每题10分,共80分) 1、计算:=??
?
??-???? ??--?
-3553134217685.17 。 2、“b 的相反数与a 的差的一半的平方”的代数表达式为 。
3、规定符号“⊕”为选择两数中较大者,规定符号“⊙”为选择两数中较小者,
例如:3⊕5=5,3⊙5=3,则
1322=+n m ,那么 4、已知 5-=-n m ,
44n m += 。
5、用一些棱长是1的小正方体码放成一个立体,从上向下看这个立体,如图1,从正面看这个立体,如图2,则这个立体的表面积最多是 。
图1(从上向下看)
图2(从正面看)
6、满足不等式|13|22|1|3+>--n n n 的整数n 的个数是 。
7、某年级原有学生280人,被分为人数相同的若干个班。新学年时,该年级人数增加到585人,仍被分为人数相同的若干个班,但是多了6个班,则这个年级原有 个班。 8、如果锐角三角形的三个内角的度数均为整数,并且最大角是最小角的5倍,那么这个三角形的最大角的度数是 。 二、简答下列各题(每题10分,共40分,要求写出简要过程) 9、已知a ,b ,c 都是整数,当代数式 c b a 327++ 的值能被13整除时,那么代数式 c b a 2275-+的值是否一定能被13整除,为什么? 10、如图3所示,在四边形ABCD 中,ND MN AM ==,
FC EF BE ==,四边形ABEM ,MEFN ,NFCD 的
面积分别记为1S ,2S 和3S ,求 312
S S S +=?
(提示:连接AE 、EN 、NC 和AC )
11、图4是一个9×9的方格图,由粗线隔为9个横竖
各有3个格的“小九宫”格,其中,有一些方格填有1至9的数字,小鸣在第九行的空格中各填入了一个不大于9的正整数,使每行、每列和每个“小九宫”格内的数字都不重复,然后小鸣将第九行的数字从左向右写成一个9位数。请写出这个9位数,简单说明理由。
12、平面上有6个点,其中任何3个点都不在同一条直线上,以这6个点为顶点可以构造多少个不同的三角形?从这些三角形中选出一些,如果要求其中任何两个三角形没有
公共顶点,
∶∶∶∶∶∶∶∶∶装
∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶订
∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶线
∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶
最多可以选出多少个三角形?如果要求其中任何两个三角形没有公共边,最多可以选出多少个三角形?(前两问不要求说明理由)
三、详答下列各题(每题15分,共30分,要求写出详细过程)
13、壮壮、菲菲、路路出生时,他们的妈妈都是27岁,某天三位妈妈王雪、刘芳和李薇闲谈时,王雪说:“菲菲比刘芳小29岁”;李薇说:“路路和刘芳的年龄的和是36岁”,刘芳说:“路路和王雪的年龄的和是35岁”。已知壮壮、菲菲、路路和他们的妈妈6个人年龄的总和是105岁。请回答:谁是路路的妈妈?壮壮、菲菲和路路的年龄各是多少岁? 14、请回答:81
能否表示为3个互异的正整数的倒数的和?8
1能否表示为3个互异的完全平方数的倒数的和?如果能,请给出一个例子;如果不能,请说明理由。
第十二届全国“华罗庚金杯”少年数学邀请赛
复赛试题参考答案(初一组)
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案
130
99
8- 2
2
22??
? ??+??? ??--a b a b 或
13
1212
97
48
5
7
85°
9、解:设x ,y ,z ,t 是整数,并且假设
)(13)327(2275tc zb ya c b a x c b a +++++=-+ (1) 比较上式a ,b ,c 的系数,应当有 5137=+y x
7132=+z x (2) 22133-=+t x
取 3-=x ,可以得到 2=y ,1=z ,1-=t ,则有
c b a c b a c b a 2275)327(3)2(13-+=++--+ (3)
既然 )327(3c b a ++和)2(13c b a -+都能被13整除,c b a 2275-+就能被13整除。 【说明】 c b a 2275-+表式为均能被13整除的两个代数式的代数和,表达方式不唯一,例如:取10=x ,则有 5-=y ,1-=z ,4-=t ,则有
)45(13)327(102275c b a c b a c b a ++-++=-+ 实际上,(2)是一组二元整系数不定方程,我们先解第一个,得到 k x 133+-=,k y 72-=,这里k 是任意整数, 将 k x 133+-=代入其余方程,解得
k z 21-=,k t 31--=,这里k 是任意整数, 则可以有
])31()21()72[(13)327)(133(2275c k b k a k c b a k c b a --+-+-++++-=-+ 评分参考:有类似于(3)的代数表达式,给10分。 10、解:如图3a ,连接AE 、EN 和NC ,易知 由 MEN AEM S S ??=, EFN CNF S S ??=, 上面两个式子相加得
2S S S CNF AEM =+?? (1)
并且四边形AECN 的面积=22S 。 连接AC ,如图3b ,由三角形面积公式,易知 AEC ABE S S ??=21, CNA CDN S S ??=2
1 上面两个式子相加得 2
1
=
+??CDN ABE S S 四边形AECN 的面积=2S (2) 将(1)式和(2)相加,得到
22S S S S S CDN ABE CNF AEM =+++????, 既然
1S S S ABE AEM =+??, 3S S S ABE CNF =+?? 因此 图3b 2312S S S =+, 2
1
312=+S S S 。 答:
2
1
312=+S S S 评分参考:①能利用三角形面积公式导出结果(1),
给4分;②能利用三角形面积公式导出结果(2),给4分;③正确给出答案,给2分。
11、解答:填数的方法是排除法,用(m ,n )表示位于第m 行和第n 列的方格。
第七行、第八行和第3列有9,所以,原题图4左下角的“小九宫”格中的9应当填在(9,2)格 图4a 子中;第1列、第2列和第七行有数字5,所以,在图4右下角的“小九宫”格
中的数字5只能填在(9,3)中;第七行、第八行有数字6,图4中下部的“小九宫”格的数字6应当填在(9,6);此时,在第九行尚缺数字7和3,由于第9列有数字7,所以,7应当填在(9,8);3自然就填在(9,9)了,填法见图4a 。 九位数是 495186273。
评分参考:①正确给出答案,给5分;②对图4左边中间的“小九宫”格的5个空格的填法,能说明理由,给5分,每个空格给1分;③即使最后答案不正确,对于推理正确的空格填法,要适当给分; 12、解答:
(1)先从6个点中选取1个做三角形的一个顶点,有6种取法;再从余下的5个点中选取1个做三角形的第二个顶点,有5种取法;再从余下的4个点中选取1个做三角形的第三个顶点,有4种取法。因为任何3个点不在同一条直线上,所以,这样选出的三个点可以做出1个三角形。但是,如果选出的三个点相同的话,则做出的三角形相同,三个点相同的取法有3×2×1=6种,所以,以这6个点为顶点可以构造
201
234
56=????个不同的三角形。
(2)每个三角形有3个顶点,所以,6个点最多只能构造2个没有公共顶点的三角形。 (3)用英文大写字母A 、B 、C 、D 、E 、F 记这6个点,假设可以选出两两没有公共边的5个三角形,它们共有15个顶点,需要15个英文大写字母。这里不同的英文大写字母仅有6
个。因此,这5个三角形中至少有3个三角形有同一个顶点,无妨设为A 。根据假设,这3个三角形两两没有公共边,即除去公共顶点A 之外,其余6个顶点互不相同,即表示这6个顶点的字母不相同。但是,除A 之外,我们仅有5个不同的字母。所以,不可能存在5个三角形,它们两两没有公共边。
又显然ABC ?,ADE ?,BDF ?和CEF ?这4个三角形两两没有公共边。所以,最多可以选出4个三角形,其中任何两个三角形都没有公共边。
评分参考:①回答第一问正确给3分;②回答第二问正确给2分;③第三问,回答正确给2分,能解释理由再给2分。
三、解答下列各题(每题15分,共30分,要求写出详细过程) 13、解:设刘芳的年龄为x 岁。
① 刘芳和路路的年龄和是36岁,是个偶数,他们的年龄差也是一个偶数,而路路和妈妈的年龄的差是奇数,因此路路的妈妈不是刘芳。注意到菲菲比刘芳小29岁,菲菲的妈妈不是刘芳,所以,壮壮的妈妈是刘芳。
②壮壮和妈妈刘芳的年龄的和为()272-x
路路)36(x -岁,他的妈妈应当是 )2736(+-x 岁,和为 )299(x - 菲菲)29(-x 岁,她的妈妈应当是 )2729(+-x 岁,和为 )312(-x 由于6个人共105岁,所以,
105)312()299()272(=-+-+-x x x 。
③解出x =32,菲菲比刘芳小29岁,所以菲菲3岁;路路和刘芳的年龄的和是36,路路4岁;路路和王雪的年龄的和是35岁,所以王雪31岁。
答:王雪是路路的妈妈;壮壮5岁、菲菲3岁和路路4岁。
评分参考:①第一步,能判断出壮壮的妈妈是刘芳,给5分;②能正确回答谁是路路的妈妈,给5分;③能正确回答3个孩子的年龄,给5分。 14、解:
(1)由于1613
12
1=+
+,故有 4812411616131218181++
=??? ??++?=。所以,8
1
能表示为3个互异的正整数的倒数的和(表示法不唯一)。
(2)不妨设c b a <<,现在的问题就是寻找整a ,b ,c ,满足
22211181c
b a ++= 由
c b a <<,则有
222111a b c <<,从而 22223
11181a
c b a <++=,