高中数学复数专题知识点整理和总结人教版

【１】复数的基本概念

(1)形如a + ｂi 的数叫做复数(其中)；复数的单位为ｉ,它的平方等于-1，即.其中a 叫做复数的实部，ｂ叫做虚部

实数:当b = ０时复数a + ｂi 为实数

虚数:当时的复数a + b i 为虚数;

纯虚数：当a = 0且时的复数a ＋ ｂｉ为纯虚数

（2)两个复数相等的定义：

(３)共轭复数:z a bi =+的共轭记作z a bi =-；

（４)复平面：建立直角坐标系来表示复数的平面叫复平面;z a bi =+,对应点坐标为(),p a b ；（象限的复习)

(5)复数的模：对于复数z a bi =+

，把z =

【2】复数的基本运算

设111z a b i =+，222z a b i =+

（1） 加法:()()121212z z a a b b i +=+++;

（2） 减法:()()121212z z a a b b i -=-+-；

（3） 乘法：()()1212122112z z a a b b a b a b i ?=-++ 特别22z z a b ?=+。

(4)幂运算:1i i =21i =-3i i =-41i =5i i =61i =-??????

【3】复数的化简

c di z a bi

+=+（,a b 是均不为0的实数);的化简就是通过分母实数化的方法将分母化为实数:()()22

ac bd ad bc i c di c di a bi z a bi a bi a bi a b ++-++-==?=++-+ 对于()0c di z a b a bi +=

?≠+，当c d a b =时z 为实数;当z 为纯虚数是ｚ可设为c di z xi a bi

+==+进一步建立方程求解 【例4】 若复数()312a i z a R i +=∈-（i 为虚数单位)，

R b a ∈，1i 2-=0≠b 0≠b 00==?=+∈==?+=+b a bi a R d c b a d b c a di c bi a ）特别地，，，，（其中，且

(1)若z 为实数,求a 的值 (2）当ｚ为纯虚，求a 的值．

【变式1】设a 是实数，且112

a i i -++是实数，求a 的值．. 【变式2】若()3,1y i z x y R xi

+=∈+是实数，则实数xy 的值是 ． 【例7】复数cos3sin3z i =+对应的点位于第 象限

【变式1】是虚数单位,等于 ( ） Ａ．i ?B ．-i ?Ｃ.1 ?

D.-1 【变式２】已知

＝2+i,则复数z=(）（A)-1+3i (B)1-3ｉ (Ｃ）3+i (Ｄ)3－ｉ

【变式3】i 是虚数单位,若，则乘积的值是（Ａ）－1５ (Ｂ）－３ (Ｃ)3 (D ）15【例８】(2012年天津）复数73i z i

-=+= ( ) （A)2i + (Ｂ)2i - （C)2i -+ （D ）2i --

【变式4】（20０7年天津）已知i 是虚数单位，3

2i 1i

=- （ ) A 1i + B 1i -+ Ｃ1i - Ｄ．1i --

【变式５】.（201１年天津)已知i 是虚数单位,复数131i i

--＝ （ ) A 2i +B 2i -C 12i -+D 12i --

【变式6】(20１１年天津） 已知i 是虚数单位，复数1312i i

-+=+( ） (A ）１+ｉ (B)5+5i (C)-5-５i (Ｄ)－1-i

【变式７】．(2008年天津）已知i 是虚数单位,则()=-+1

13i i i （ ) (A)1- (B)1 （C ）i - (D)i

i 41i (

)1-i +1i Z ＋17(,)2i a bi a b R i

+=+∈-ab