函数的值域题型总结.

求函数的值域

在函数的三要素中，定义域和值域起决定作用，而值域是由定义域和对应法则共同确定，确定函数的值域是研究函数不可缺少的重要一环。函数的值域，就是已知函数的定义域，求函数值最值问题，或取值范围的过程。研究函数的值域，不但要重视对应法则的作用，而且还要特别重视定义域对值域的制约作用。对于如何求函数的值域，它所涉及到的知识面广，方法灵活多样，是高考中每年必考知识，而且试题占比很大，若方法运用适当，就能起到简化运算过程，避繁就简，事半功倍的作用。本文就函数值域求法归纳如下。

一、观察法求函数的值域

1 1+=x y 23+=x y 3 42-=x y 42sin +=θy 5 32-=x y 6 1

1+=x y 7 3cos 2+=θy 提示：（1）一次函数R y b kx y ∈+=,。 （2）二次函数0,2≥=y x y 。

（3）幂函数0,≥=y x y 。 （4）指数函数0,>=y a y x 。

（5）反比例函数0,≠=

y x k y 。 （6）三角函数]1,1[,cos ,sin -∈==y y y θθ 二、利用函数的单调性求值域

1已知[0,1]x ∈

，则函数y =

的值域是

. 2函数4()([3,6])2

f x x x =∈-的值域为______[]1,4______。 3 已知函数]2,1[,42)(∈-=x x

x x f 的值域 ]2,2[- 4 已知函数),1[,22+∞∈-=-x y x x 的值域 ),2

3[+∞ 5求函数]10,2[,1log 225∈-+=-x x y x 的值域。]33,8

1[ 提示：（1）利用函数的单调性，将定义域的取值带入函数求值。

三、分离常数法求函数的值域

1求函数x

x y -+=

132的值域2-≠y 2求函数2323--=x x y 的值域 32-≠y 3求函数2

5422----=x x x x y 的值域 R y ∈{2≠y 且1≠y } 提示：（1）函数a c y b ax d cx y ≠++=,。（2）函数e f a b e f

c

d y a c y f ex b ax f ex d cx y --≠≠++++=且,,))(())(( 四、二次函数的值域问题

1函数22)(2+-=x x x f 在区间]4,0(的值域为（ ]10,1[ ）

2函数2

1,(12)y x x =-+-≤<的值域是（ (]3,1- ） 3函数1422-+=x x y 的值域 ),3[+∞-

4函数6822++-=x x y 的值域 ),3[+∞-

提示：（1）二次函数c bx ax y ++=2，当]44,(,0);,44[,02

2a b ac y a a b ac y a --∞∈<+∞-∈>。 （2）函数]4,1[,322∈++=x ax x y 的最值，动轴定区间的值域问题，需要讨论对称轴与区间的关系。

（3）函数],1[,342a x x x y -∈+-=的最值，定轴动区间的值域问题，需要讨论对称轴与区间的关系。

五、判别式求函数的值域

1求函数2

212+++=x x x y 1求函数1

32222+-+-=x x x x y 的值域.]310,2( 2求函数12322++--=x x x x y 的值域]3

2123,3()3,32123[+- 提示：（1）函数)0(11211

1212222≠++++++=c x b x a c x b x a c x b x a y ，不能求值域，需要转化为关于x 的一元二次方程0)()()(2121221=-+-+-c y c x b y b x a ya ，然后042≥-ac b ,解关于y 的一元二次不等式。

六、反解法求函数的值域

1 求函数2

2

11x x y +-=的值域 ]1,1(- 2求函数1

32222+-+-=x x x x y 的值域.]310,2( 提示：（1）把2x 看作一个整体，反解x ，得到2

x 的表达式，然后根据分离常数的思路解y 的取值范围。

六、换元法求函数的值域 （三角换元和根式换元）

1 求函数x x y 21-+=的值域；]1,(-∞

2 已知P 为椭圆22:139x y C +=上一点,求P 到直线l 033=+-y x 的距离的最小值。2

6 3 已知函数21x x y -+=的值域是 ]2,1[-

提示：（1）上述1中，将根式令为021≥=-t x ，然后转化为2

122-+-=t t y ，利用二次函数的思路求值域。 （2）三角函数换元，就是利用椭圆的参数方程解决最值问题，上述椭圆的参数方程为??

?==θθsin 3cos 3y x ，（θ为参

数），然后利用点到直线的距离即可。

七、线性规划中的最值问题

1 若,x y 满足约束条件1030330x y x y x y -+≥??+-≤??+-≥?

，则3z x y =-的最小值为_____-1_____。

2设,x y 满足约束条件：,013x y x y x y ≥??-≥-??+≤?

；则2z x y =-的取值范围为 [3,3]-

提示：（1）已知约束条件围成一个区域，然后根据区域的顶点带入目标函数求最值。

八、切线的斜率法

1求函数2cos sin -=θθy 的值域.]3

3,33[- 2求函数x x y cos 24sin 3++=

的值域 ]333,333[+- 提示：（1）先根据参数方程三角换元，然后在利用斜率公式求取值范围。

九、三角函数中的值域问题

1

函数2()sin cos f x x x x =在区间,42ππ???

???上的最大值是( 32 ) 2 函数)6cos(sin )(π+

-=x x x f 的值域为]3,3[- 3

已知函数2π()sin sin 2f x x x x ωωω??=+ ???（0ω>）的最小正周期为π，求函数()f x 在区间2π03??

????，上的取值范围。302??????

，

提示：（1）这是三角函数b x A y ++=)sin(??在某区间上的取值问题。

十、基本不等式求最值问题 1已知1log log 22=+y x ，则y x +

2 已知正数x y 、满足3xy x y =++，则xy 的范围是 ),9[+∞ 。

3若实数,x y 满足221x y xy ++=，则x y +的最大值是______332_______。 提示：（1）基本不等式形式中主要有：)0,0(,2>>≥+b a ab b a ，)0,0(,2<<-≤+b a ab b a 。

（2）222)2

(,2b a ab ab b a +≤≥+ 十一、双绝对值中的取值范围

1 求函数31---=x x y 的值域 ]2,2[-

2 已知函数52---=x x y 的值域 ]3,3[-

3 若不等式a x a x ≥-+-2对任意的R x ∈恒成立，则a 的取值范围]3,(-∞

提示：（1）双绝对值是分段函数的另一种形式，],[,b a b a y b x a x y +--∈---=。

（2）三角不等式b a b x a x b x a x -≥+-+≥+++)()(

十二、构造法求函数的值域

1求函数5413622++++-=x x x x y 的值域 ),43[+∞

2函数()f x =的值域为 (),0-∞ .

3 函数 11--+=x x y 的值域 ]2,0(

提示：第1,2题将构造成两点间的距离；第3题构造成双曲线。

十三、利用导数求函数的最值

1求函数()32362f x x x x =-+-,[]1,1x ∈-的最大值和最小值。2和-12

2 已知函数x x x f -=ln )(的最大值 -1

3设函数ln ()ln ln(1)1x f x x x x

=-+++，求)(x f 的最大值2ln 提示：上述用导数研究函数的单调性，先求导，再求极值点，然后通过函数的单调性求最值。

习题

一、求下列函数的值域

1 ]2,1[,1)(∈+=x x x f

2 ]2,1[,2)(∈=x x f x

3 ]2,1[,log )(2∈=x x x f

4 ]4,0[,c o s s i n )(π∈+=x x x x f

5 ]2,0[,cos sin 3)(π

∈+=x x x x f 6 ]1,1[),3(log )(2-∈+=x x x f 7 ]4,1[,32)(2-∈--=x x x x f 8 ]2,1[,2log )(2∈+=x x x x f 9 ]2,1[,log )(2∈=x x x f

二、有关函数的值域问题

1 已知函数]4,1[,12∈+=x x y 的值域为 ]9,3[

2已知函数12+=x y 的值域为 R

3已知函数x

y 2=

的值域为 0≠y 4已知函数14+-=x y 的值域为 1≠y 5函数322+--=x x y 的值域为（ ]4,(-∞ ）