第03讲 乘法公式和因式分解-2020年中考数学优选知识点题型(解析版)

第3讲 乘法公式和因式分解

一、考点知识梳理

【考点1 平方差公式】

两数和与这两数差的积，等于它们的平方差

(a ＋b)(a －b)＝a 2－b 2

【考点2 完全平方公式】

两数的平方和，加上（或者减去）它们的积的两倍等于它们和（或差）的平方

(a±b)2＝a 2±2ab ＋b 2

【考点3 因式分解】

1．把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式分解因式．

2．分解因式与整式乘法的关系：多项式因式分解整式乘法整式的积．

3. 分解因式的基本方法

（1）．提公因式法：ma ＋mb ＋mc ＝m(a ＋b ＋c)．

（2）．运用公式法：

平方差公式：a 2－b 2＝(a ＋b)(a －b)．

完全平方公式：a 2±2ab ＋b 2＝(a±b)2．

二、考点分析

【考点1 平方差公式】

【解题技巧】能够运用平方差公式进行多项式乘法运算的必须是两个二项式，两项都能写成平方的形式，且符号相反．反之能够运用平方差公式分解因式的多项式必须是二项式且符号相反．

【例1】(2019河北沧州中考模拟)若（a ﹣b ﹣2）2+|a +b +3|＝0，则a 2﹣b 2的值是（ ）

A ．﹣1

B ．1

C ．6

D ．﹣6

【答案】D ．

【分析】由非负数的性质得出a ﹣b ＝2，a +b ＝﹣3，求出a ，b 的值，再代入a 2﹣b 2进行计算即可．

【解答】解：∵（a ﹣b ﹣2）2+|a +b +3|＝0，

∴a ﹣b ＝2，a +b ＝﹣3，

∴a 2﹣b 2＝（a +b ）（a ﹣b ）＝2×（﹣3）＝﹣6；

故选：D ．

【一领三通1-1】(2019 山东青岛模拟)若k 为任意整数，且993﹣99能被k 整除，则k 不可能是（ ）

A．50 B．100 C．98 D．97

【答案】D．

【分析】对题目中的式子分解因式即可解答本题．

【解答】∵993﹣99＝99×（992﹣1）＝99×（99+1）×（99﹣1）＝99×100×98，

∴k可能是99、100、98或50，

故选：D．

【一领三通1-2】(2019辽宁大连模拟)先化简，再求值：

(a＋b)(a－b)＋b(a＋2b)－b2，其中a＝1，b＝－2.

【分析】先利用平方差公式和去括号，然后合并同类项.

【解答】原式＝a2－b2＋ab＋2b2－b2

＝a2＋ab，

当a＝1，b＝－2时，

原式＝12＋1×(－2)＝1－2＝－1.

【一领三通1-3】(2019河北石家庄中考模拟)计算并观察、探究下列式子

①（x﹣1）（x+1）＝x2﹣1

②（x﹣1）（x2+x+1）＝x3﹣1

③（x﹣1）（x3+x2+x+1）＝x4﹣1

④（x﹣1）（x4+x3+x2+x+1）＝x5﹣1

⑤（x﹣1）（x5+x4+x3+x2+x+1）＝x6﹣1

…

由以上规律

（1）填空：（x﹣1）（x n+x n﹣1+…+x+1）＝．

（2）求：22019+22018+22017+…+22+2+1 的值．

【分析】（1）利用多项式乘以多项式法则计算得到结果，规律总结得到一般性结论，写出即可；（2）原式变形后，利用得出的规律计算即可得到结果．

【解答】解：①（x﹣1）（x+1）＝x2﹣1；

②（x﹣1）（x2+x+1）＝x3﹣1；

③（x﹣1）（x3+x2+x+1）＝x4﹣1；

④（x﹣1）（x4+x3+x2+x+1）＝x5﹣1；

⑤（x﹣1）（x5+x4+x3+x2+x+1）＝x6﹣1；

…

由以上规律

（1）（x ﹣1）（x n +x n ﹣1+…+x +1）＝x

n +1﹣1； （2）原式＝（2﹣1）×（2

2019+22018+22017+…+22+2+1）＝22020﹣1， 则22019+22018+22017+…+22+2+1＝2

2020﹣1． 故答案为：（1）x n +1﹣1（2）22020﹣1

【考点2 完全平方公式】

【解题技巧】能运用完全平方公式进行多项式乘法运算的，必须是两个数（或差）的平方和的形式，反之能运用完全平方公式分解因式的多项式必须是三项式，其中有两项能写成两个数（或式）的平方和的形式，另一项是这两个数（或式）的积的2倍．

【例2】(2019辽宁锦州中考模拟)如果二次三项次x 2﹣16x +m 2是一个完全平方式，那么m 的值是（ ）

A ．±8

B ．4

C ．﹣2

D ．±2

【答案】A ．

【分析】先根据乘积二倍项确定出这两个数是8和x ，再根据完全平方公式的平方项列式求解即可．

【解答】解：∵﹣16x ＝﹣2×8?x ，

∴m 2＝82＝64，

解得m ＝±8．

故选：A ．

【一领三通2-1】(2019山东聊城中考模拟)已知a ，b 是△ABC 的两边，且a 2＋b 2＝2ab ，则△ABC 的形状是

( )

A ．等腰三角形

B ．等边三角形

C ．锐角三角形

D ．不确定

【答案】A ．

【分析】运用完全平方公式分解因式

【解答】∵a 2＋b 2＝2ab

∴a 2＋b 2-2ab=0

∴=0 ∴a=b

故选：A ．

2)(b a

【一领三通2-2】(2019沧州九中模拟)当s ＝t ＋12

时，代数式s 2－2st ＋t 2的值为 ． 【分析】运用完全平方公式分解因式

【解答】∵s ＝t ＋12

∴s －t ＝12

∴s 2－2st ＋t 2＝=＝14

故答案是14

【一领三通2-3】（2019?吉林长春中考）先化简，再求值：（2a +1）2﹣4a （a ﹣1），其中a ＝．

【分析】直接利用完全平方公式以及单项式乘以多项式分别化简得出答案．

【解答】解：原式＝4a 2+4a +1﹣4a 2+4a

＝8a +1，

当a ＝时，原式＝8a +1＝2．

【一领三通2-4】（2018，江苏南京模拟）先化简，再求值：2(21)2(21)3a a +-++

，其中a =

【分析】直接运用(a+b)2=a 2+2ab+b 2进行计算、化简.

【解答】原式=4a 2+4a+1-4a-2+3=4a 2+2.

当a=2时,

4a 2+2 =4×(2)2+2

=10.

【考点3 因式分解】

【解题技巧】因式分解的一般步骤：

(1)如果多项式各项有公因式，应先提取公因式；

(2)如果各项没有公因式，可以尝试使用公式法来分解因式，看是否符合平方差公式还是完全平方公式，有时需考虑用十字交乘法；

(3)检查因式分解是否彻底，必须分解到每一个因式不能再分解为止．

【例3】（2019?台湾中考）若多项式5x 2+17x ﹣12可因式分解成（x +a ）（bx +c ），其中a 、b 、c 均为整数，则a +c 之值为何？（ ） 2

)(t s -2)21(

A．1 B．7 C．11 D．13

【答案】A．

【分析】首先利用十字交乘法将5x2+17x﹣12因式分解，继而求得a，c的值．

【解答】解：利用十字交乘法将5x2+17x﹣12因式分解，

可得：5x2+17x﹣12＝（x+4）（5x﹣3）．

∴a＝4，c＝﹣3，

∴a+c＝4﹣3＝1．

故选：A．

【一领三通3-1】（2019 浙江温州中考）分解因式：m2+4m+4＝．

【答案】（m+2）2．

【分析】直接利用完全平方公式分解因式得出答案．

【解答】解：原式＝m2+4m+

=（m+2）2．

故答案为：（m+2）2．

【一领三通3-2】（2019 江苏南京中考）分解因式（a﹣b）2+4ab的结果是．

【答案】（a+b）2．

【分析】直接利用多项式乘法去括号，进而合并同类项，再利用公式法分解因式得出答案．【解答】解：（a﹣b）2+4ab

＝a2﹣2ab+b2+4ab

＝a2+2ab+b2

＝（a+b）2．

故答案为：（a+b）2．

【一领三通3-3】（2019 江西中考）因式分解：x2﹣1＝．

【答案】（x+1）（x﹣1）

【分析】原式利用平方差公式分解即可．

【解答】解：原式＝（x+1）（x﹣1）．

故答案为：（x+1）（x﹣1）．

【一领三通3-4】（2019 江苏徐州中考）若a＝b+2，则代数式a2﹣2ab+b2的值为．【答案】4

【分析】由a ＝b +2，可得a ﹣b ＝2，代入所求代数式即可．

【解答】解：∵a ＝b +2，

∴a ﹣b ＝2，

∴a 2﹣2ab +b 2＝（a ﹣b ）2＝22＝4．

故答案为：4

三、【达标测试】

一、选择题

1.（2019，湖南湘潭中考模拟）下列式子，正确的是（ ）

A. 3+=

B. 1)1=

C. 122-=-

D. 2222()x xy y x y +-=-

【答案】B.

【分析】二次根式的运算，整式中的法则，公式可以灵活运用.(a+b)(a-b)=a 2-b 2,a 2±2ab+b 2=(a±b)2.

【解答】A 选项不能合并；

C 选项=12

; D 选项错用完全平方公式因式分解；

B 计算正确；

故选B.

（2019，安徽蚌埠中考模拟） 下列多项式中，能用公式法分解因式的是（ ）

A.x 2－xy

B. x 2＋xy

C. x 2－y 2

D. x 2＋y 2

【答案】 C.

【分析】平方差公式因式分解为a 2-b 2=(a+b)(a-b)

【解答】A 、B 能用提公因式因式分解，D 在实数范围内，不能因式分解，只有C 符合平方差公式特征. 故选 C.

3.（2019?河北石家庄中考模拟）若要使4x 2+mx +

成为一个两数差的完全平方式，则m 的值应为（ ） A ． B ． C ． D ．

【答案】A ．

【分析】这里首末两项是±2x 和±这两个数的平方，那么中间一项为减去±2x 和±积的2倍，故m ＝±． 12-

【解答】解：∵（2x﹣）2＝4x2﹣x+，或[2x﹣（﹣）]2＝4x2+x+，

∴m＝﹣或．

故选：A．

4.（2019?山东青岛中考模拟）如果自然数a是一个完全平方数，那么与a之差最小且比a大的一个完全平方数是（）

A．a+1 B．a2+1 C．a2+2a+1 D．a+2+1

【答案】D．

【分析】当两个完全平方数是自然数时，其算术平方根是连续的话，这两个完全平方数的差最小．

【解答】解：∵自然数a是一个完全平方数，

∴a的算术平方根是，

∴比a的算术平方根大1的数是+1，

∴这个平方数为：（+1）2＝a+2+1．

故选：D．

5.（2019?辽宁本溪中考模拟）有一个长方形内部剪掉了一个小长方形，它们的尺寸如图所示，则余下的部分（阴影部分）的面积（）

A．4a2B．4a2﹣ab C．4a2+ab D．4a2﹣ab﹣2b2

【答案】D．

【分析】根据阴影部分面积＝大长方形的面积﹣小长方形的面积列出算式，再根据整式的混合运算顺序和运算法则计算可得．

【解答】解：余下的部分的面积为（2a+b）（2a﹣b）﹣b（a﹣b）

＝4a2﹣b2﹣ab+b2

＝4a2﹣ab，

故选：D．

二、填空题

1.（2019?呼和浩特中考）因式分解：x2y﹣4y3＝．

【答案】y（x﹣2y）（x+2y）．

【分析】首先提公因式y，再利用平方差进行分解即可．

【解答】解：原式＝y（x2﹣4y2）＝y（x﹣2y）（x+2y）．

故答案为：y（x﹣2y）（x+2y）．

2.（2019?辽宁沈阳中考）因式分解：﹣x2﹣4y2+4xy＝．

【答案】﹣（x﹣2y）2．

【分析】先提取公因式﹣1，再套用公式完全平方公式进行二次因式分解．

【解答】解：﹣x2﹣4y2+4xy，

＝﹣（x2+4y2﹣4xy），

＝﹣（x﹣2y）2．

3.（2019?甘肃兰州中考）因式分解：a3+2a2+a＝．

【答案】a（a+1）2．

【分析】先提取公因式a，再对余下的项利用完全平方公式继续分解因式．完全平方公式：a2±2ab+b2＝（a±b）2．

【解答】解：a3+2a2+a，

＝a（a2+2a+1），…（提取公因式）

＝a（a+1）2．…（完全平方公式）

故答案为：a（a+1）2．

4.（2019?山东威海中考）分解因式：2x2﹣2x+＝．

【答案】2（x﹣）2．

【分析】直接提取公因式2，再利用公式法分解因式即可．

【解答】解：原式＝2（x2﹣x+）

＝2（x﹣）2．

故答案为：2（x﹣）2．

5.（2019，江苏省连云港中考模拟）当

1

2

s t=+时，代数式22

2

s st t

-+的值为．

【答案】1 4

【分析】 代数式求值，一般先化简，后代入，求值时要灵活运用乘法公式，可使运算简便.

【解答】 因为s 2-2st+t 2=(s-t)2,再把s=t+12代入，得s 2-2st+t 2=(t+12-t)2=14

. 6. (2019,山西省太原中考模拟)分解因式(4)4x x ++的结果是 ．

【答案】 (x+2)2

【分析】若一个三项式，其中两项分别是两个数的平方第三项是这两个数的积的2倍，就可以用

a 2±2ab+

b 2=(a±b)2来因式分解.

【解答】(4)4x x ++

=x 2+4x+4=

x 2+2·2x+22

=(x+2)2.

7.（2019，山东潍坊中考模拟）分解因式：32627x x x +-= ．

【答案】x(x+9)(x-3)

【分析】先提取公因式x,再运用“十字交叉法”因式分解,或者用配方法后，再运用平方差公式因式分解.

【解答】 方法一：

x 3+6x 2-27x

=x(x 2+6x-27

=x(x+9)(x-3)

方法二：

x 3+6x 2-27x

=x(x 2+6x+9-36)

=x[(x+3)2-62]

=x(x+3+6)(x+3-6)

=x(x+9)(x-3)

8. （2019，河北沧州中考模拟）有许多代数恒等式可以用图形的面积来表示，如图①，它表示了（2m +n ）（m +n ）＝2m 2+3mn +n 2

（1）图②是将一个长2m 、宽2n 的长方形，沿图中虚线平均分为四块小长方形，然后再拼成一个正方形（图③），则图③中的阴影部分的正方形的边长等于 （用含m 、n 的代数式表示）

（2）请用两种不同的方法列代数式表示图③中阴影部分的面积．

方法① 方法②

（3）请你观察图形③，写出三个代数式（m+n）2、（m﹣n）2、mn关系的等式：；

（4）根据（3）题中的等量关系，解决如下问题：若已知x+y＝7，xy＝10，则（x﹣y）2＝；

（5）小明用8个一样大的长方形（长acm，宽bcm）拼图，拼出了如图甲、乙的两种图案，图案甲是一个正方形，图案乙是一个大的长方形，图案甲的中间留下了边长是2cm的正方形小洞．则（a+2b）2﹣8ab 的值为．

【答案】（1）m﹣n

（2）（m+n）2﹣4mn；（m﹣n）2

（3）（m﹣n）2＝（m+n）2﹣4mn

（4）9．

（5）4.

【分析】（1）阴影部分的正方形的边长为m﹣n；

（2）方法①：阴影部分的面积＝大正方形的面积﹣4个小长方形的面积；方法②：表示出小正方形的边长为m ﹣n，即可解答；

（3）大正方形的面积减去4个小长方形的面积即可得出阴影部分的面积，也可得出三个代数式（m+n）2、（m ﹣n）2、mn之间的等量关系；

（4）（4）根据（3）所得出的关系式，可求出（x﹣y）2的值；

（5）利用图形面积之间关系得出（a+2b）2﹣8ab＝（a﹣2b）2即可求出．

【解答】解：（1）阴影部分的正方形的边长为m﹣n；

故答案为：m﹣n．

（2）方法①：阴影部分的面积＝大正方形的面积﹣4个小长方形的面积，

所以阴影部分的面积为：（m+n）2﹣4mn；

方法②：表示出小正方形的边长为m﹣n，

所以阴影部分的面积＝（m﹣n）2．

故答案为：（m+n）2﹣4mn；（m﹣n）2．

（3）（m﹣n）2＝（m+n）2﹣4mn；

故答案为：（m﹣n）2＝（m+n）2﹣4mn．

（4）（x﹣y）2＝（x+y）2﹣4xy＝72﹣4×10＝9；

故答案为：9．

（5）∵（a+2b）2﹣8ab＝（a﹣2b）2＝22＝4，

∴（a+2b）2﹣8ab的值为4．

故答案为：4．

三、解答题

1.(2019湖南怀化中考模拟)先化简，再求值：(2a－1)2－2(a＋1)(a－1)－a(a－2)，其中a＝2＋1.

【分析】利用完全平方公式、平方差公式以及单项式乘以多项式法则计算，去括号合并得到最简结果，把a 的值代入计算即可求出值．

【解答】原式＝4a2－4a＋1－2a2＋2－a2＋2a

＝a2－2a＋3，

当a＝2＋1时，原式＝3＋22－22－2＋3＝4.

2.(2019浙江宁波中考模拟)化简：(a＋b)2＋(a－b)(a＋b)－2ab.

【分析】先利用完全平方公式、平方差公式计算，去括号合并同类项得到结果.

【解答】原式＝a2＋2ab＋b2＋a2－b2－2ab

＝2a2.

2.(2019浙江金华中考模拟)先化简，再求值：(x＋5)(x－1)＋(x－2)2，其中x＝－2.

【分析】利用完全平方公式以及多项式乘以多项式法则计算，去括号合并得到最简结果，把x的值代入计算即可求出值．

【解答】原式＝x2＋4x－5＋x2－4x＋4

＝2x2－1，

当x＝－2时

原式＝7.

4.（2019江苏省淮安中考模拟）先化简，再求值：[]21

其中x

-，

+

-

x

x

x

y

x

y

y

+

)

,

1

y

÷

)(

=

(

-

(2=

)

【分析】本题既可按乘法公式展开,再合并化简后求值,也可运用提公因式法因式分解来化

简,后求值.

【解答】方法一:

原式=(x2-2xy+y2+x2-y2)÷x =(2x2-2xy)÷x

=2x-2y

当x=-1,y=1

2时,原式=2×(-1)-2×

1

2=-3.

方法二:

原式=(x-y)(x-y+x+y)÷x =2(x-y)

当x=-1,y=1

2时,原式=2(-1-

1

2)=-3

5. 已知a+b＝3，ab＝﹣10．求：

（1）a2+b2的值；

（2）（a﹣b）2的值．

【分析】（1）将a+b＝3两边平方，利用完全平方公式展开，把ab的值代入计算即可求出所求式子的值；（2）利用完全平方公式变形，将a+b与ab的值代入计算即可求出值．

【解答】解：（1）将a+b＝3两边平方得：（a+b）2＝a2+b2+2ab＝9，

把ab＝﹣10代入得：a2+b2＝29；

（2）（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab＝29+20＝49．

6.下面是某同学对多项式（x2﹣4x+2）（x2﹣4x+6）+4进行因式分解的过程．

解：设x2﹣4x＝y，

原式＝（y+2）（y+6）+4 （第一步）

＝y2+8y+16 （第二步）

＝（y+4）2（第三步）

＝（x2﹣4x+4）2（第四步）

（1）该同学第二步到第三步运用了因式分解的．

A．提取公因式

B．平方差公式

C．两数和的完全平方公式

D．两数差的完全平方公式

（2）该同学因式分解的结果是否彻底？．（填“彻底”或“不彻底”）若不彻底，请直接写出因式分解的最后结果．

（3）请你模仿以上方法尝试对多项式（x2﹣2x）（x2﹣2x+2）+1进行因式分解．

【分析】（1）根据分解因式的过程直接得出答案；

（2）该同学因式分解的结果不彻底，进而再次分解因式得出即可；

（3）将（x2﹣2x）看作整体进而分解因式即可．

【解答】解：（1）该同学第二步到第三步运用了因式分解的两数和的完全平方公式；

故选：C；

（2）该同学因式分解的结果不彻底，

原式＝（x2﹣4x+4）2＝（x﹣2）4；

故答案为：不彻底，（x﹣2）4；

（3）（x2﹣2x）（x2﹣2x+2）+1

＝（x2﹣2x）2+2（x2﹣2x）+1

＝（x2﹣2x+1）2

＝（x﹣1）4．

7.正方形Ⅰ的周长比正方形Ⅱ的周长长96cm，它们的面积相差960cm2，求这两个正方形的边长．

【分析】先设小正方形的边长是xcm，于是可知大正方形的周长是4xcm，则大正方形的周长是（4x+96）cm，即可求出大正方形的边长（x+24）cm，再根据面积之差即可得出答案．

【解答】解：设小正方形的边长是xcm，则大正方形的边长是（x+24）cm，根据题意得：

（x+24）2﹣x2＝960，

即48x+576＝960，

解得x＝8，

∴x+24＝32（cm），

答：Ⅱ正方形的边长为8cm，Ⅰ正方形的边长为32cm．

8.如图，在长方形ACDF中，AC＝DF，点B在CD上，点E在DF上，BC＝DE＝a，AC＝BD＝b，AB＝BE＝c，且AB⊥BE．

（1）用两种不同的方法表示长方形ACDF的面积S．

方法一：S＝．

方法二：S＝．

（2）求a，b，c之间的等量关系（需要化简）．

（3）请直接运用（2）中的结论，求当c＝10，a＝6，S的值．

【分析】（1）方法一，根据矩形的面积公式就可以直接表示出S；方法二，根据矩形的面积等于四个三角形的面积之和求出结论即可；

（2）根据方法一与方法二的S相等建立等式就可以表示出a，b，c之间的等量关系；

（3）先由（2）的结论求出b的值，然后代入S的解析式就可以求出结论．

【解答】解：（1）由题意，得

方法一：S1＝b（a+b）＝ab+b2

方法二：S2＝ab+ab+（b﹣a）（b+a）+c2＝ab+b2﹣a2+c2．

故答案为：ab+b2；ab+b2﹣a2+c2．

（2）∵S1＝S2，

∴ab+b2＝ab+b2﹣a2+c2，

∴2ab+2b2＝2ab+b2﹣a2+c2，

∴a2+b2＝c2．

（3）∵a2+b2＝c2，且c＝10，a＝6，

∴b＝8，

∴S＝ab+b2＝6×8+64＝112．

答：S的值为112．

典中点整式的乘除与因式分解专训3 活用乘法公式进行计算的六种技巧

典中点整式的乘除与因式分解专训3 活用乘法公式进行计算的六种技巧 ?名师点金? 乘法公式是指平方差公式和完全平方公式,公式可以正用,也可以逆用.在使用公式时,要注意以下几点：(1)公式中的字母a,b 可以是任意一个式子;(2)公式可以连续使用;(3)要掌握好公式中各项的关系及整个公式的结构特点;(4)在运用公式时要学会运用一些变形技巧。 技巧1：巧用乘法公式求式子的值 1.已知(a+b)2=7,(a-b)2=4.求a 2+b 2和ab 的值 2.已知x x 1+ ,求441x x +的值 技巧2：巧用乘法公式进行简便运算 3.计算 (1)1982 (2)20172-2016×2018; (3)1002-992+982-972+…+42-32+22-1

技巧3：巧用乘法公式解决整除问题 4.对任意正整数n,整式(3n+1)(3n-1)-(3-n)(3+n)是不是10的倍数?为什么? 技巧4：应用乘法公式巧定个位数字 5.试求(2+1)(22+1)(24+1)…(232+1)+1的个位数字。 技巧5：巧用乘法公式解决复杂问题(换元法) 6.计算2 201820182018201620182017222 -+的值。 技巧6：巧用乘法公式解决实际问题(分类讨论思想） 7.王老师在一次团体操队列队形设计中,先让全体队员排成一方阵(行与列的人数一样多的队形,且总人数 不少于25人),人数正好够用,然后再进行各种队形变化，其中有一个队形需分为5人一组,手执彩带进行队形变换,在讨论分组方案时,有人说现在的队员人数按5人一组分将多出3人,你说这可能吗?

第十四章 整式的乘除与因式分解教材分析

第十四章 整式的乘除与因式分解教材分析 1、教学内容及地位 本章属于《课程标准》中的 “数与代数”领域，其核心知识是：整式的乘除运算和因式分解。这些知识是在学习了有理数的运算、列代数式、整式加减和解一元一次方程及不等式的基础引入的。也是进一步学习分式和根式运算、一元二次方程以及函数等知识的基础，同时又是学习物理、化学等学科及其他科学技术不可缺少的数学工具，因此，本章在初中学段占有重要地位。 2、本章教学内容 在学习上各部分知识之间的联系如下： 从 上 面 可 以 看出，本章内容的突出的特点是：内容联系紧密、以运算为主。全章紧紧围绕整式的乘除运算，分层递进，层层深入。在整式的乘除中，单项式的乘除是关键，这是因为其他乘除都要转化为单项式除法。实际上，单项式的乘除进行的是幂的运算与有理数的运算，因此幂的运算是学好整式乘除的基础。 3 、教学目标

⑴解析每个目标 ①目标1中《课标》对整式乘法运算的要求——其中的多项式相乘仅指一次式相乘，是对多项式与多项式相乘的难度作一个要求。 ②目标2中对乘法公式的要求不仅是能利用公式进行（简单）的乘法运算，更要引起老师们注意的是，目标要求会“推导”乘法公式，因此在教学中要从代数、几何多个角度出发推导公式。 ③目标3中，《课标》要求：会用提公因式法、公式法（直接用公式不超过二次）分解因式（指数是正整数）。首先初中阶段对分解因式只要求掌握两种方法，而对于分组分解法和十字相乘法则不做要求；其次，直接用公式不超过二次，如把多项式a8-1分解因式则是超课标了；最后，多项式中的字母指数仅限于正整数的情况，不考虑指数是负数，分数或字母的情况。而在学习过程中比克标的要求要高一些，通过教学我们要让学生理解因式分解的意义，了解因式分解与整式乘法的互逆关系，从中体会事物之间相互转化的辨证思想。通过学生的自主探索，发现和掌握因式分解的基本方法——提公因式法和公式法（数学书P172选学部分中提到了“十字相乘法”），渗透特殊到一般，逆向思维，换元等思想，培养学生认真观察、深入分析问题的良好习惯和能力。通过因式分解的应用与实践，发展学生的数学思维能力，使他们获得一些研究问题、解决问题的经验与方法。显然教材比课标中的目标高很多，建议老师们根据自己学生的情况进行分层目标要求。 ⑵《课标》总目标与人教材具体目标整体要求偏低,建议从两个方面把握： ③《课标》是由国家教育部制订的，教材的版本可以不同，但《课标》是同一个，从中考角度讲，中考内容一定不能超出《课标》要求的范围，因此应以《课标》为准绳把握教学目标。 ④《课标》是国家对义务教育阶段数学课程的基本规范和要求，它只规定了学生在相应学段应该达到的最低、最基本的要求，因此又要根据学生的具体情况和教材编写的特点，提出不同层次的教学目标。 4、本章教学重点、难点 本章教学重点是整式的乘除运算和因式分解的两种基本方法，教学难点乘法公式的灵活应用，熟练掌握因式分解的两种方法和变形技巧。 5、课时安排 本章教学时间约13课时，具体分配如下（仅供参考）： 15.1整式的乘法 4课时 15.2乘法公式 2课时 15.3整式的除法 2课时 15.4因式分解 3课时 数学活动 小结 2课时

因式分解公式大全

公式及方法大全 待定系数法(因式分解) 待定系数法是数学中的一种重要的解题方法，应用很广泛，这里介绍它在因式分解中的应用． 在因式分解时，一些多项式经过分析，可以断定它能分解成某几个因式，但这几个因式中的某些系数尚未确定，这时可以用一些字母来表示待定的系数．由于该多项式等于这几个因式的乘积，根据多项式恒等的性质，两边对应项系数应该相等，或取多项式中原有字母的几个特殊值，列出关于待定系数的方程(或方程组)，解出待定字母系数的值，这种因式分解的方法叫作待定系数法． 常用的因式分解公式：

例1 分解因式：x2+3xy+2y2+4x+5y+3． 分析由于 (x2+3xy+2y2)=(x+2y)(x+y)， 若原式可以分解因式，那么它的两个一次项一定是 x+2y+m和x+y+n的形式，应用待定系数法即可求出m和n，使问题得到解决． 解设 x2+3xy+2y2+4x+5y+3 =(x+2y+m)(x+y+n) =x2+3xy+2y2+(m+n)x+(m+2n)y+mn，

比较两边对应项的系数，则有 解之得m=3，n=1．所以 原式=(x+2y+3)(x+y+1)． 说明本题也可用双十字相乘法，请同学们自己解一下．例2 分解因式：x4-2x3-27x2-44x+7． 分析本题所给的是一元整系数多项式，根据前面讲过的求根法，若原式有有理根，则只可能是±1，±7(7的约数)，经检验，它们都不是原式的根，所以，在有理数集内，原式没有一次因式．如果原式能分解，只能分解为 (x2+ax+b)(x2+cx+d)的形式． 解设 原式=(x2+ax+b)(x2+cx+d) =x4+(a+c)x3+(b+d+ac)x2+(ad+bc)x+bd， 所以有 由bd=7，先考虑b=1，d=7有 所以 原式=(x2-7x+1)(x2+5x+7)．

乘法公式和因式分解练习题(汇编)

乘法公式和因式分解练习题 一、选择题 1.已知2264b Nab a +-是一个完全平方式，则N 等于 ( ) A 、8 B 、±8 C 、±16 D 、±32 2.如果22)()(y x M y x +=+-，那么M 等于 ( ) A 、 2xy B 、－2xy C 、4xy D 、－4xy 3.下列可以用平方差公式计算的是( ) A 、(x －y) (x + y) B 、(x －y) (y －x) C 、(x －y)(－y + x) D 、(x －y)(－x + y) 4.下列各式中，运算结果是22169b a -的是( ) A 、)43)(43(b a b a --+- B 、)34)(34(a b a b --+- C 、)34)(34(a b a b -+ D 、)83)(23(b a b a -+ 5、下列各式中,能运用平方差分式分解因式的是（ ） A 、21x +- B 、22y x + C 、42--x D 、()22b a --- 6、若m x x +-82是完全平方式, 则m 的值为（ ） A 、4 B 、8 C 、16 D 、32 7.计算（x +2）2的结果为x 2+□x +4,则“□”中的数为（ ） A ．－2 B ．2 C ．－4 D ．4 8、把多项式1222+--y x xy 分解因式的结果是（ ） A ．)1)(1(+-+-x y y x B.)1)(1(---+x y y x C.)1)(1+--+y x y x D..)1)(1(--+-y x y x 8.已知x 2＋16x ＋k 是完全平方式，则常数k 等于（ ） A ．64 B ．48 C ．32 D ．16 9.若949)7(22+-=-bx x a x ，则b a +之值为何？ A ．18 B ．24 C ．39 D ． 45 10.已知8)(2=-n m ，2)(2=+n m ，则=+22n m （ ）

乘法公式与因式分解

A ．))((22b a b a b a -+=- B ．2222)(b ab a b a +-=- C ．222()2a b a ab b +=++ D ．2() a ab a a b +=+ 8、下列分解因式正确的是 （ ）

A.)1(23-=-x x x x B.)2)(3(62-+=-+m m m m C.16)4)(4(2-=-+a a a D.))((22y x y x y x -+=+ 9、若a 为整数，则a a +2一定能被（ ）整除 A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 10、无论x,y 取何值，x 2+y 2-2x+12y+40的值都是 ( ) A 、正数 B 、负数 C 、零 D 、非负数 11、下列判断两角相等的叙述中，错误的是 （ ） A 、对顶角相等 B 、 两条直线被第三条直线所截，内错角相等 C 、两直线平行，同位角相等 D 、∵∠1=∠2，,∠2=∠3∴∠1=∠3 12、下列计算中，正确的是 （ ） A 、22 25 =210 B 、a+a=a 2 C 、a 2 a 3 = a -1 D 、(a+b)2 =a 2+b 2 选择题答案书写处1-5 6-10 11-12 二、填空（每小题3分，共24分） 11、计算（31a+3b ）2-（3 1a-3b ）2=________________. 12、分解因式：2294b a -＝________________. 13、如果（2a ＋2b ＋1）(2a ＋2b －1)=63，那么a ＋b 的值为 ． 14、多项式4x 2+1加上一个单项式后能成为一个整式的完全平方，?请你写出符合条件的这个单项式是___________． 15、若5,6x y xy -==则22x y xy -=_________，2222x y +=__________。 16、甲、乙两个同学分解因式2x ax b ++时，甲看错了b ，分解结果为()()24x x ++；乙看错了a ，分解结果为()()19x x ++，则a =________，b =________。 17、已知a － a 1 =3，则a 2+a 12的值等于 ·。 18、CD 是△ABC 中∠ACB 的平分线，∠A=80°，∠ACB=60°，那么∠BDC= ·。

乘法公式与因式分解知识点经典题例

戴氏教育中高考学校教育中心 【教师寄语：请你相信，有志者事竟成，破釜沉舟，百二秦关终属楚;苦心人天 不负，卧薪尝胆，三千越甲可吞吴！】 乘法公式与因式分解 考点一：完全平方公式 1．（2014?南充）下列运算正确的是（） A．a3?a2=a5B．（a2）3=a5C．a3+a3=a6D．（a+b）2=a2+b2 2．（2014?莆田）下列运算正确的是（） A．a3?a2=a6B．（2a）3=6a3C．（a﹣b）2=a2﹣b2D．3a2﹣a2=2a2 3．（2014?贵港）下列运算正确的是（） A．2a﹣a=1 B．（a﹣1）2=a2﹣1 C．a?a2=a3D．（2a）2=2a2 考点二：平方差公式 4．（2014?句容市一模）下列运算正确的是（） A．3a+2a=a5B．a2?a3=a6C．（a+b）（a﹣b）=a2﹣b2D．（a+b）2=a2+b2 5．（2014?锡山区一模）计算（x﹣2）（2+x）的结果是（） A．x2﹣4 B．4﹣x2C．x2+4x+4 D．x2﹣4x+4 6．（2013?益阳）下列运算正确的是（） A．2a3÷a=6 B．（ab2）2=ab4C．（a+b）（a﹣b）=a2﹣b2D．（a+b）2=a2+b2 考点三：因式分解的意义 7．（2014?海南）下列式子从左到右变形是因式分解的是（） A．a2+4a﹣21=a（a+4）﹣21 B．a2+4a﹣21=（a﹣3）（a+7） C．（a﹣3）（a+7）=a2+4a﹣21 D．a2+4a﹣21=（a+2）2﹣25 考点四：公因式 8．观察下列各式：①2a+b和a+b；②5m（a﹣b）和﹣a+b；③3（a+b）和﹣a﹣b；④x2﹣y2和x2+y2；其中 有公因式的是（） A．①②B．②③C．③④D．①④ 考点五：因式分解—提取公因式 9．（2014?威海）将下列多项式分解因式，结果中不含因式x﹣1的是（） A．x2﹣1 B．x（x﹣2）+（2﹣x）C．x2﹣2x+1 D．x2+2x+1 10．（2013?槐荫区一模）把多项式mx2﹣2mx分解因式，结果正确的是（） A．m（x2﹣2x）B．m2（x﹣2）C．m x（x﹣2）D．m x（x+2） 考点六：因式分解—公式法 11．（2014?衡阳）下列因式分解中，正确的个数为（） ①x3+2xy+x=x（x2+2y）；②x2+4x+4=（x+2）2；③﹣x2+y2=（x+y）（x﹣y） A．3个B．2个C．1个D．0个 12．（2014?常德）下面分解因式正确的是（） A．x2+2x+1=x（x+2）+1 B．（x2﹣4）x=x3﹣4x C．ax+bx=（a+b）x D．m2﹣2mn+n2=（m+n）2 考点七：因式分解—分组分解 13．（2010?自贡）把x2﹣y2﹣2y﹣1分解因式结果正确的是（）

因式分解 乘法公式

乘法公式—因式分解(二) 【基础演练】 一、填空题 1. 因式分解：2 44x x ++= ． 2. 利用因式分解计算： 2 2248 25210000 -＝ . 3. 分解因式：33 416m n mn -= _______________________． 4. 一个长方形的面积是（x 2－9）平方米，其长为（x ＋3）米，用含有x 的整式表示它的宽为__________米． 5. 若442-+x x 的值为0，则51232 -+x x 的值是___ _____. 6. 如果x ＋y ＝－4，x －y ＝8，那么代数式x 2－y 2的值是________． 二、选择题 7. 下列分解因式正确的是（ ） A ．)1(222 --=--y x x x xy x B.)32(322 ---=-+-x xy y y xy xy C ．2 )()()(y x y x y y x x -=--- D.3)1(32 --=--x x x x 8. 下列多项式中，能用公式法分解因式的是（ ） A ．x 2－xy B ．x 2＋xy C ．x 2－y 2 D ．x 2＋y 2 9. 下列各式是完全平方式的是（ ） A.4 12 + -x x B.21x + C.1++xy x D.122 -+x x 10. 多项式x 2＋y 2、－x 2＋y 2、－x 2－y 2、x 2＋（－y 2）、8x 2－y 2、（y －x ）3＋（x －y ）、2x 2－1 2 y 2 中，能在有理数范围内用平方差公式分解的有（ ） A. 3个 B. 4个 C. 5个 D. 6个 11. 若(2x)n －81＝(4x 2＋9)(2x ＋3)(2x －3)，则n 的值是( ) A.2 B.4 C.6 D.8 12.把2 16a +-分解因式，结果是（ ） A ．)8)(8(+-a a B.)4)(4(-+a a C.)2)(2(+-a a D.2 )4.(-a

乘法公式与因式分解

乘法公式、多項式與因式分解 主題一：乘法公式的判別與求值 1. 乘法公式 1.2222)(b ab a b a ++=+（和的平方） 2.2222)(b ab a b a +-=-（差的平方） 3.22))((b a b a b a -=-+ （平方差） 4.(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd （乘法分配律） 5. ac bc ab c b a c b a 222)(2222+++++=++（三項和的平方） 6.3223333)(b ab b a a b a +++=+（和的立方） 7.3223333)(b ab b a a b a -+-=-（差的立方） 8.3322))((b a b ab a b a +=+-+（立方和） 9.3322))((b a b ab a b a -=++-（立方差） 10.42242222))((b b a a b ab a b ab a ++=+-++ 2. 求值公式： （1） a 2＋b 2＝（a ＋b ）2－2ab ＝（a －b ）2＋2ab 【若已知a ＋b 及ab ，欲求a －b 時，須先算出（a －b ）2，再用平方根來求】 （2） x 2＋x 21＝（x ＋x 1）2－2＝（x －x 1）2＋2 （3） a 2＋b 2＋c 2＋ab ＋bc ＋ca ＝ 2 1〔（a ＋b ）2＋（b ＋c ）2＋（c ＋a ）2〕 （4） （a ＋b ）2＝（a －b ）2＋4ab （5） （a －b ）2＝（a ＋b ）2－4ab 3.乘法公式的應用與式子的展開： （1）（ax ＋b ）（cx ＋d ）＝acx 2＋＋ad x ＋bcx ＋bd （2）（ax ＋b ）2＝（ax ）2＋2×ax ×b ＋b 2＝a 2x 2＋2abx ＋b 2 （3）（ax －b ）2＝（ax ）2－2×ax ×b ＋b 2＝a 2x 2－2abx ＋b 2 （4）（ax ＋b ）（ax －b ）＝（ax ）2－b 2＝a 2x 2－b 2 （5）（-ax ＋b ）2＝（ax －b ）2；（-ax －b ）2＝（ax ＋b ）2 主題二：多項式 1. 多項式的定義：由數和文字符號x 進行加法和乘法運算所構成的式子。多項式的文字x 不可在分母、指數、根號內與絕對值內，且須為有限項。 例：231 +X ，22-X ，5-X ，.....12+++X X 不是X 的多項式。 2.多項式的次數： （1） 只含一個文字的多項式，以文字的最高次數為此多項式之次數。 （2） 含二個或二個以上文字的多項式，以各項中文字的次數總和的最高次數為此多項式之次數。 （3） 常數多項式，包含零次多項式（只有常數項，且不為0）及零多項式（就是0）。

初一数学乘法公式、因式分解拓展题

初一数学乘法公式、因式分解拓展题1．已知（x﹣2015)2+（x﹣２0１7)2=３4,则(x﹣２01６)２的值是( ) A．4?B.8 C.１2?D.16 2.已知:a=2014x+２０15，ｂ=2０14x+201６，c＝2014x+2０1７,则ａ2+b2+c2﹣aｂ﹣ac﹣ｂc的值是（) Ａ．０?Ｂ.1?Ｃ．2?D．3 3.已知甲、乙、丙均为ｘ的一次多项式，且其一次项的系数皆为正整数．若甲与乙相乘为x2﹣4，乙与丙相乘为ｘ2+15ｘ﹣34，则甲与丙相加的结果与下列哪一个式子相同?(） A.2x＋19?B．2x﹣19?C．2x+15?Ｄ．２ｘ﹣1５ ４.若x２+ｍx＋k是一个完全平方式，则k等于（） A.m2?Ｂ．m2 C.m2?D．m2 ５．ｎ是整数，式子[1﹣（﹣1）n］（n2﹣１）计算的结果（) Ａ．是0? B.总是奇数 C.总是偶数?D.可能是奇数也可能是偶数 6.已知ａ+b=３，ab=﹣2，则a2＋b2的值是． 7．分解因式:a3﹣4ａ2b+4ab2＝. ８.分解因式：x3﹣xy2＝. 9．如果(x2＋p)（x2+7)的展开式中不含有x2项,则p= . 10．已知a＋ｂ=８,a2b2=4，则﹣ab= ． 11.观察下列各式的规律: (ａ﹣ｂ）（ａ+b)＝a2﹣b２ （ａ﹣ｂ)（ａ2+aｂ+b2)=a3﹣b3 （a﹣b)（a3+a2ｂ＋ab2＋b3)＝ａ4﹣b４ …可得到(a﹣b)（ａ２016+a2０15ｂ＋…+aｂ2０１5+ｂ２016）=_____＿___＿＿____＿．１2．我国南宋数学家杨辉用三角形解释二项和的乘方规律，称之为“杨辉三角”.这个三角形给出了（a+b）n(n＝1，2，3，4…)的展开式的系数规律(按ａ的次数由大到小的顺序)： 请依据上述规律，写出(x﹣)2016展开式中含x2014项的系数是________＿. 13．观察下列等式： 1+2+3+4+…+ｎ＝n(ｎ+1); 1+3+６+10＋…+n(ｎ+1)=n（ｎ＋１）(n+２);

12章乘法公式和因式分解练习题

12乘法公式和因式分解练习题 一、选择题 1.已知2264b Nab a +-是一个完全平方式，则N 等于 ( ) A 、8 B 、±8 C 、±16 D 、±32 2.如果22)()(y x M y x +=+-，那么M 等于 ( ) A 、 2xy B 、－2xy C 、4xy D 、－4xy 3.下列可以用平方差公式计算的是( ) A 、(x －y) (x + y) B 、(x －y) (y －x) C 、(x －y)(－y + x) D 、(x －y)(－x + y) 4.下列各式中，运算结果是22169b a -的是( ) A 、)43)(43(b a b a --+- B 、)34)(34(a b a b --+- C 、)34)(34(a b a b -+ D 、)83)(23(b a b a -+ 5、下列各式中,能运用平方差分式分解因式的是（ ） A 、21x +- B 、22y x + C 、42--x D 、()22b a --- 6、若m x x +-82是完全平方式, 则m 的值为（ ） A 、4 B 、8 C 、16 D 、32 7.计算（x +2）2的结果为x 2+□x +4,则“□”中的数为（ ） A ．－2 B ．2 C ．－4 D ．4 8、把多项式1222+--y x xy 分解因式的结果是（ ） A ．)1)(1(+-+-x y y x B.)1)(1(---+x y y x C.)1)(1+--+y x y x D..)1)(1(--+-y x y x 8.已知x 2＋16x ＋k 是完全平方式，则常数k 等于（ ） A ．64 B ．48 C ．32 D ．16 9.若949)7(22+-=-bx x a x ，则b a +之值为何？ A ．18 B ．24 C ．39 D ． 45 10.已知8)(2=-n m ，2)(2=+n m ，则=+22n m （ ） A ．10 B ．6 C ．5 D ．3 11.把多项式a 2－4a 分解因式，结果正确的是( ) A ．a (a －4) B ．(a +2)(a －2) C ．a (a +2) (a －2) D ．(a －2)2－4

青岛版第12章乘法公式和因式分解测试题

第12章 乘法公式和因式分解 姓名----------成绩------ 一、选择（每题3分 共30分） 1.已知x 2＋16x ＋k 是完全平方式，则常数k 等于（ ） A ．64 B ．48 C ．32 D ．16 2..把多项式a 2－4a 分解因式，结果正确的是( ) A ．a (a －4) B ．(a +2)(a －2) C ．a (a +2) (a －2) D ．(a －2)2－4 3.化简)23(4)325x x -+-（ 的结果为（ ） A ．32-x B ．92+x C ．38-x D ．318-x 4.下列计算正确的是 Ａ．()222x y x y +=+ B ．()2222x y x xy y -=-- C ．()()22222x y x y x y +-=- D ．()2222x y x xy y -+=-+ 5.下列各因式分解正确的是（ ） A.)2)(2()2(22+-=-+-x x x B.22)1(12-=-+x x x C.22)12(144-=+-x x x D.)2)(2(42-+=-x x x x x 6.下列各式能用完全平方式进行分解因式的是（ ） A ．x 2 +1 B .x 2+2x －1 C .x 2+x +1 D .x 2+4x +4 7.下面的多项式中，能因式分解的是（ ） A ．m 2+n B ．m 2﹣m+1 C ．m 2﹣n D ．m 2﹣2m+1 8.分解因式(x －1)2 －2(x －1)+1的结果是 ( ) A ．(x －1)(x －2) B ． x 2 C ．(x +1)2 D ． (x －2)2 9.下列多项式能分解因式的是（ ） A ． x 2+y 2 B ． ﹣x 2+y 2 C ． ﹣x 2+2xy D ． x 2﹣xy+y 2 10.已知a - b =1，则代数式2a -2b -3的值是 A ．-1 B ．1 C ．-5 D ．5

因式分解乘法公式

乘法公式 知识点：平方差公式：(a+b)(a-b)=a 2-b 2 完全平方公式：(a+b)2=a 2+2ab+b 2 (a-b)2=a 2-2ab+b 2 立方公式：(a+b)(a 2-ab+b 2)=a 3+b 3 (a-b)(a 2+ab+b 2)=a 3－b 3 例1．计算 （1）)3121)(312 1(b a b a +- （2）(2x+3)（3-2x ） （3）(-y+2x)(-y-2x) （4）)3)(3(22-+m m 例2．计算 （1）2)(b a - （2） 2)2(y x + （3）2)3221(y x +- （4） 2)(c b a ++ 例3．计算22)2()2)(2(2)2(n m n m n m n m -+-+-+ 例4．计算 （1）(3x+4y-2z)(3x-4y+2z) （2）)23)(32()1(42 x x x x x -++-

例5．计算 （1）)12)(12)(12)(12)(12(16842+++++ （2）298.99 例6．已知a+b=1， 21-=ab 、求（1）22b a + （2）2)(b a - 基础练习 1．计算 （1）49.8×50.2 （2）89×91 （3） 31493250? （4）2995 2．运用乘法公式计算 （1）2 )]12)(21[(+-a a （2）))((z y x z y x +-++ （3）)2131)(3121(x y y x +-

（4）)4)(2)(2(2--+x x x （5）22)12()12(--+x x 3．计算 （1）(x-1)(x+2)-(x+3)(x-3) （2）(3x+4y)(-4y-3x)+9x(x+y) （3）)(8)2(22b a b b a +-- （4）22)221()221)(221(2)22 1(b a b a b a b a ++-++- 4．解方程 )1)(1()12(2)31(22y y y y +-=--- 5．已知5)( , 4)(22=-=+b a b a 、求22b a +及ab 。 提高题 1. （一题多变题）利用平方差公式计算：2009×2007－20082． （1）一变：利用平方差公式计算： 22007200720082006 -?．

整式的乘除与因式分解集体备课

第十四章整式的乘除与因式分解 1、教学内容及地位 本章属于《课程标准》中的“数与代数”领域，其核心知识是：整式的乘除运算和因 式分解。这些知识是在学习了有理数的运算、列代数式、整式加减和解一元一次方程及不等 式的基础引入的。也是进一步学习分式和根式运算、一元二次方程以及函数等知识的基础， 同时又是学习物理、化学等学科及其他科学技术不可缺少的数学工具，因此，本章在初中学 段占有重要地位。 2、本章教学内容 在学习上各部分知识之间的联系如下： 从 上 面 可 以 看出，本章内容的突出的特点是：内容联系紧密、以运算为主。全章紧紧围绕整式的乘除运算，分层递进，层层深入。在整式的乘除中，单项式的乘除是关键，这是因为其他乘除都要 转化为单项式除法。实际上，单项式的乘除进行的是幂的运算与有理数的运算，因此幂的运 算是学好整式乘除的基础。 3、教学目标 《课程标准》目标人教材具体目标

⑴解析每个目标 ①目标1中《课标》对整式乘法运算的要求——其中的多项式相乘仅指一次式相乘，是对多项式与多项式相乘的难度作一个要求。 ②目标2中对乘法公式的要求不仅是能利用公式进行（简单）的乘法运算，更要引起老师们注意的是，目标要求会“推导”乘法公式，因此在教学中要从代数、几何多个角度出发推导公式。 ③目标3中，《课标》要求：会用提公因式法、公式法（直接用公式不超过二次）分解因式（指数是正整数）。首先初中阶段对分解因式只要求掌握两种方法，而对于分组分解法和十 字相乘法则不做要求；其次，直接用公式不超过二次，如把多项式a 8-1分解因式则是超课标 了；最后，多项式中的字母指数仅限于正整数的情况，不考虑指数是负数，分数或字母的情况。而在学习过程中比克标的要求要高一些，通过教学我们要让学生理解因式分解的意义，了解因式分解与整式乘法的互逆关系，从中体会事物之间相互转化的辨证思想。通过学生的自主探索，发现和掌握因式分解的基本方法——提公因式法和公式法（数学书P172选学部分中提到了“十字相乘法”），渗透特殊到一般，逆向思维，换元等思想，培养学生认真观察、深入分析问题的良好习惯和能力。通过因式分解的应用与实践，发展学生的数学思维能力，使他们获得一些研究问题、解决问题的经验与方法。显然教材比课标中的目标高很多，建议老师们根据自己学生的情况进行分层目标要求。 ⑵ 《课标》总目标与人教材具体目标整体要求偏低,建议从两个方面把握： ③《课标》是由国家教育部制订的，教材的版本可以不同，但《课标》是同一个，从中考角度讲，中考内容一定不能超出《课标》要求的范围，因此应以《课标》为准绳把握教学目标。 ④《课标》是国家对义务教育阶段数学课程的基本规范和要求，它只规定了学生在相应学段应该达到的最低、最基本的要求，因此又要根据学生的具体情况和教材编写的特点，提出不同层次的教学目标。 4.本章教学重点、难点 本章教学重点是整式的乘除运算和因式分解的两种基本方法，教学难点乘法公式的灵活应用，熟练掌握因式分解的两种方法和变形技巧。 5.课时安排 本章教学时间约11课时，具体分配如下（仅供参考）： 14.1整式的乘法 4课时 14.2乘法公式 2课时 14.3因式分解 3课时 数学活动 小结 2课时 6、教学要求 基本要求---会识别、能计算： 经历幂的运算性质、整式的乘法法则、乘法公式的探索过程，能够进行简单的整式乘法 运算（特别是利用乘法公式进行计算）. 掌握三个对象以内的数字指数的幂的运算，如：223()a a a ?? 掌握可转化为幂的运算的数字简单问题，如：24273?

乘法公式与因式分解专项训练题

整式乘法与因式分解 1.下列计算中，运算正确的是（ ） A. （a ﹣b ）（a ﹣b ）=a 2﹣b 2 B. （x+2）（x ﹣2）=x 2﹣2 C. （2x+1）（2x ﹣1）=2x 2﹣1 D. （﹣3x+2）（﹣3x ﹣2）=9x 2﹣4 2、下列各式中，能用平方差公式计算的是（ ） A (x+y)(-x-y) B (2x+3y)(2x-3y) C (-a-b)(a-b) D (m-n)(n-m) 3、下列各式中计算正确的是（ ） A (a+b)2=a 2+b 2 B (2a-b)2=4a 2-2ab+b 2 C (a+2b)2=a 2+4b 2 D (a 21+3)2=4 1a 2+3a+9 4.下列从左到右的变形，属于因式分解的是（ ） A. B. C. D. 5. 把多项式3a 2﹣9ab 分解因式，正确的是（ ） A. 3（a 2﹣3ab ） B. 3a （a ﹣3b ） C. a （3a ﹣9b ） D. a （9b ﹣3a ） 6.已知9x 2﹣mxy+16y 2能运用完全平方公式分解因式，则m 的值为（ ） A. 12 B. ±12 C. 24 D. ±24 7、下列各式不能用平方差公式分解的是（ ） A 4 1a 2b 2-1 B 4-0.25m 2 C 1+a 2 D -a 4+1 8若多项式﹣6ab+18abc+24ab 2的一个因式是﹣6ab ，则其余的因式是（ ） A. 1﹣3c ﹣4b B. ﹣1﹣3c+4b C. 1+3c ﹣4b D. ﹣1﹣3c ﹣4b 9.下列因式分解中，是利用提公因式法分解的是（ ） A. a 2﹣b 2=（a+b ）（a ﹣b ） B. a 2﹣2ab+b 2=（a ﹣b ）2 C. ab+ac=a （b+c ） D. a 2+2ab+b 2=（a+b ）2 10.计算（x+3）?（x ﹣3）正确的是（ ） A. x 2+9 B. 2x C. x 2﹣9 D. x 2﹣6 11.多项式5mx 3+25mx 2﹣10mxy 各项的公因式是（ ） A. 5mx 2 B. 5mxy C. mx D. 5mx 12.若（a+b ）2=（a ﹣b ）2+A ，则A 为（ ） A. 2ab B. ﹣2ab C. 4ab D. ﹣4ab

乘法公式与因式分解测试题

第二章乘法公式与因式分解单元测试（青岛版） （满分100分，时间：60分钟） 一、填空题（每空2分，共46分） 1．(5a＋1)( )＝25a2－1；(2x－3)( )＝4x2－9 2．(－3a＋)(－3a－)＝9a2－4b2 3．(x－1)( )＝1－x2；(a＋b)( )＝b2－a2 4．(x＋1)(x－1)(1＋x2)＝ 5．(4m＋1 )(4m－1)＝ 6．4x2y3z－12x3y4的公因式是 7．－4m(m＋n)2和－12mn(n＋m)2的公因式是 8．(a－b)5 －3(a－b)3的公因式是 9．2mn＋2mx＝(n＋x) 10．2xy2＋xz2＝(2y2＋z2) 11．8m2n－2mn＝2mn( ) 12．81x2＝( )2，y4＝( )2 13．x2－4x＋( )＝( )2；( )＋2ay＋1＝( )2 14．－( )＋a2y2＝( )2 15．分解因式：x3－x＝ 16．如果x＋y＝10，xy＝7，则x2y＋xy2＝ 17．计算：－5652×0.13＋4352×0.13＝ 18．若mx2－ny2＝(x＋3y)(x－3y)，则m＝，n＝ 19．用边长为12．75的的正方形铁皮剪一个边长为7．25的正方形，则浪费的铁皮面积为

20．如果x2＋mx－45＝(x＋n)(x＋5)，则m＝，n＝ 二、对下列多项式进行因式分解(每题3分，共24分) 21．－9x2y＋3xyz 22．x(y－z)－y(z－y) 23．81x 4－y 4 24 a2—a4 25．(x＋y)2－4(x＋y－1) 26．121(a－b)2－169(a＋b)2 27．(x＋1)(x＋3)＋1 28．(x＋y)2＋2(y＋x)＋1 三、计算（每题4分，共20分） 29．4－(a＋2)(a－2) 30．(x2＋y)(x2－y)－(－x2)·(－x2) 31．(a＋1)(4a－1)－(2a＋1)(2a－1) 32．(a－2)(a＋2)(a2＋4) 33．(3m2＋5)(－3m2＋5)－m2(7m＋4)(7m－4)－16m2 四、先化简再求值(每题5分，共10分) 34．(2a－b)( b＋2a)( b2＋4a2)，其中a＝－1，b＝－2 35．已知（a+b）2=9，(a-b)2=49，求a2+b2和ab的值。

沪科版七年级数学下册第八章乘法公式与因式分解专题—考点重难点复习(解析版)

乘法公式与因式分解专题 一、乘法公式 1、平方差公式 平方差公式： 两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差. 要点诠释：在这里，既可以是具体数字，也可以是单项式或多项式. 2、完全平方公式 完全平方公式： 两数和 (差)的平方等于这两数的平方和加上（减去）这两数乘积的两倍. 常见的变形： 22()()4a b a b ab -=+- 1、计算： （1）； （2）； （3）． 解：（1）原式．（2）原式． 22 ()()a b a b a b +-=-b a ,()2222a b a ab b +=++2222)(b ab a b a +-=-()2222a b a b ab +=+-()2 2a b ab =-+()()22 4a b a b ab +=-+332222 x x y y ????+- ???????(2)(2)x x -+--(32)(23)x y y x ---2222392244x x y y ????=-=- ? ????? 222(2)4x x =--=-

（3）原式 2、计算： (1)59.9×60.1； (2)102×98 解：(1)59.9×60.1＝(60－0.1)×(60＋0.1)＝＝3600－0.01＝3599.99 (2)102×98＝(100＋2)(100－2)＝＝10000－4＝9996 3、计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 解：(1) ． (2) ． (3) ． (4) 4、已知m ﹣n ＝3，mn ＝2，求： （1）（m +n ）2的值； （2）m 2﹣5mn +n 2的值． 解：∵m ﹣n ＝3，mn ＝2， ∴（1）（m +n ）2＝m 2+n 2+2mn ＝（m ﹣n ）2+4mn ＝9+8＝17； （2）m 2﹣5mn +n 2＝（m +n ）2﹣7mn ＝9﹣14＝﹣5． 5、已知有理数m ，n 满足（m +n ）2＝9，（m ﹣n ）2＝1，求下列各式的值． （1）mn ； 22(32)(23)(32)(32)94x y y x x y x y x y =-+-=+-=-22600.1-221002-()23a b +()232a -+()22x y -()223x y --()()22222332396a b a a b b a ab b +=+??+=++()()()222 223223222334129a a a a a a -+=-=-??+=-+()()22 222222244x y x x y y x xy y -=-??+=-+()()()()2222 222323222334129x y x y x x y y x xy y --=+=+??+=++

乘法公式与因式分解练习题

乘法公式与因式分解练习题 第I卷（选择题） 一．选择题（32分） 1、若x+y=7 xy= －11，则x2＋y2的值是（） A．49 B．27 C．38 D．71 2、若(x＋a)(x＋b)＝x2－kx＋ab，则k的值为( ) A．a＋b B．－a－b C．a－b D．b－a 3、若4x2+12xy+m是一个完全平方式，则m的值为（） A..y2 B..3y2 C．9y2 D．36y2 4、若4x2＋axy＋25y2是一个完全平方式，则a= ( ) A．20 B．－20 C．±20 D．±10 5、下列各式中从左到右的变形，是因式分解的是（） 6、下列多项式乘法，不能用平方差公式计算的是( ) A.(－a－b)(－b+a) B.(xy+z)(xy－z) C.(－2a－b)(2a+b) D.(0.5x－y)(－y－0.5x) 7．若x+y=7 xy= －11，则x2＋y2的值是（） A．49 B．27 C．38 D．71 8、下列多项式中，能用公式法进行因式分解的是（） A．x2-4y B．x2+2x+4 C．x2+4 D．x2-x+ 4 1 9．若4x2＋axy＋25y2是一个完全平方式，则a= ( ) A．20 B．－20 C．±20 D．±10 5、下列计算题中，能用公式（a+b）(a-b)=a2-b2的是 （） (A)(x-2y)(x+y)(B)(n+m)(-m-n) (C)(2x+3)(3x-2)(D)(-a-2b)(-a+2b) 6、下列各式从左到右的变形中，是因式分解的是 （） (A)3x+2x－1=5x－1(B)(3a+2b)(3a—2b)=9a2－4b2 (C)x2+x=x2(1+1/x)(D)2x2—8y2=2(x+2y)(x－2y) 7、（1－4x）(x+3y)是下列哪个多项式分解因式的结果 （） (A)4x2+12xy－x－3y(B)4x2－12xy+x－3y (C)4x2+12xy－x－3y(D)x+3y－4x2－12xy 8、多项式a2+b2—2a+4b+6的值总是 (A)负数(B)0C正数D非负数 A、6x2y+12xy2-24y3 B、x4y3-3x3y4+2x2y5 C、6x4y3+12x3y4-24x2y5 D、x2y-3xy2+2y3 10、下列各多项式中:① x2-y2；②x2+1；③x2+4x；④x2-10x+25其中能直接运用公式法分解因式的个数是（） A、1个 B、2个 C、3个 D、4个 11．20072－2006×2008的计算结果是（） A．1 B．－1 C．2 D．－2 第II卷（选择题） 二．填空题（8分） 12.分解因式：x3－x＝ 七年级数学（第1页，共2页）

乘法公式和因式分解练习题资料

乘法公式和因式分解 练习题

乘法公式和因式分解练习题 一、选择题 1.已知2264b Nab a +-是一个完全平方式，则N 等于 ( ) A 、8 B 、±8 C 、±16 D 、±32 2.如果22)()(y x M y x +=+-，那么M 等于 ( ) A 、 2xy B 、－2xy C 、4xy D 、－4xy 3.下列可以用平方差公式计算的是( ) A 、(x －y) (x + y) B 、(x －y) (y －x) C 、(x －y)(－y + x) D 、(x －y)(－x + y) 4.下列各式中，运算结果是22169b a -的是( ) A 、)43)(43(b a b a --+- B 、)34)(34(a b a b --+- C 、)34)(34(a b a b -+ D 、)83)(23(b a b a -+ 5、下列各式中,能运用平方差分式分解因式的是（ ） A 、21x +- B 、22y x + C 、42--x D 、()22b a --- 6、若m x x +-82是完全平方式, 则m 的值为（ ） A 、4 B 、8 C 、16 D 、32 7.计算（x +2）2的结果为x 2+□x +4,则“□”中的数为（ ） A ．－2 B ．2 C ．－4 D ．4 8、把多项式1222+--y x xy 分解因式的结果是（ ） A ．)1)(1(+-+-x y y x B.)1)(1(---+x y y x C.)1)(1+--+y x y x D..)1)(1(--+-y x y x 8.已知x 2＋16x ＋k 是完全平方式，则常数k 等于（ ） A ．64 B ．48 C ．32 D ．16

第03讲 乘法公式和因式分解-2020年中考数学优选知识点题型(解析版)

第3讲 乘法公式和因式分解 一、考点知识梳理 【考点1 平方差公式】 两数和与这两数差的积，等于它们的平方差 (a ＋b)(a －b)＝a 2－b 2 【考点2 完全平方公式】 两数的平方和，加上（或者减去）它们的积的两倍等于它们和（或差）的平方 (a±b)2＝a 2±2ab ＋b 2 【考点3 因式分解】 1．把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式分解因式． 2．分解因式与整式乘法的关系：多项式因式分解整式乘法整式的积． 3. 分解因式的基本方法 （1）．提公因式法：ma ＋mb ＋mc ＝m(a ＋b ＋c)． （2）．运用公式法： 平方差公式：a 2－b 2＝(a ＋b)(a －b)． 完全平方公式：a 2±2ab ＋b 2＝(a±b)2． 二、考点分析 【考点1 平方差公式】 【解题技巧】能够运用平方差公式进行多项式乘法运算的必须是两个二项式，两项都能写成平方的形式，且符号相反．反之能够运用平方差公式分解因式的多项式必须是二项式且符号相反． 【例1】(2019河北沧州中考模拟)若（a ﹣b ﹣2）2+|a +b +3|＝0，则a 2﹣b 2的值是（ ） A ．﹣1 B ．1 C ．6 D ．﹣6 【答案】D ． 【分析】由非负数的性质得出a ﹣b ＝2，a +b ＝﹣3，求出a ，b 的值，再代入a 2﹣b 2进行计算即可． 【解答】解：∵（a ﹣b ﹣2）2+|a +b +3|＝0， ∴a ﹣b ＝2，a +b ＝﹣3， ∴a 2﹣b 2＝（a +b ）（a ﹣b ）＝2×（﹣3）＝﹣6； 故选：D ． 【一领三通1-1】(2019 山东青岛模拟)若k 为任意整数，且993﹣99能被k 整除，则k 不可能是（ ）