高中数学常见题型解法归纳-函数的值域(最值)的常见求法1 (直接法、分离常数法、配方法、反函数法和换元法)
【知识要点】
一、函数值域的定义
函数值的集合叫做函数的值域.
二、函数的值域取决于定义域和对应法则,不论采用什么方法求函数的值域,都要考虑定义域,函数的问题必须遵循“定义域优先”的原则.
三、常见函数的值域
1、一次函数的值域为.
2、二次函数,当时的值域为;时的值域为
.
3、反比例函数的值域为.
4、指数函数的值域为.
5、对数函数的值域为.
6、幂函数的值域为,幂函数的值域为.
7、正弦函数、余弦函数的值域为,正切函数的值域为.
四、求函数的值域常用的方法
求函数的值域常用的方法有直接法、分离常数法、配方法、反函数法、换元法、判别式法、基本不等式法、单调性法、数形结合法、导数法、绝对值不等式法和柯西不等式法等.其中最常用的有“三数(函数、数形结合、导数)”和“三不(基本不等式、绝对值不等式、柯西不等式)”.
五、函数的值域一定要用集合或区间来表示.
六、函数的值域、取值范围和函数的最值实际上是同一范畴的问题,所以求函数值域的方法适用于求函数的最值和取值范围等.
【方法讲评】
【例1】求函数的值域.
【解析】故函数的值域是.
【点评】(1)对于某些特殊的数的性质大家要熟悉,如算术平方根具有双重非负性,即:被开方数的非负性和值的非负性;是非负数;是一个非负数,是一个正数.掌握这些数的性质后,可以很快得到函数的值域.(2)不等式的性质在求函数的值域中经常用到,所以不等式的性质要熟练掌握.
【反馈检测1】求函数的值域.
函数是对称的分式函数.
【例2 】求函数的值域.
【点评】对于对称的分式函数,常利用分式的除法分离成常数和一个分式函数的和,再求函数的值域.
【反馈检测2 】求函数的值域.
【例3】【2017北京,文11】已知,,且,则的取值范围是__________.
【点评】(1)对于二次函数,常用配方法求函数的值域.先配方,再利用二次函数的图像和性质求函数的值域.(2)有时函数的配方计算量比较大,所以可以不配方,直接计算抛物线的对称轴,画出抛物线的草图,截取定义域内的那一段观察,即可得到函数的值域.(3)本题注意不能把函数
的定义域看作是,必须根据求出满足的条件,再和求交集得到函数的定义域.
【反馈检测3】求函数的值域.
【例4】求函数的值域.
【解析】反解得即
因为反函数的定义域为,反函数的定义域即是原函数的值域,所以原函数的值域为.
【点评】(1)当函数是分子、分母只含有一次项的函数(即有理分式一次型),一般可以利用反函数法求函数的值域,当然,其它一些能反解出的函数,也可以选择反函数法求函数的值域.(2)利用反函数
法求函数的值域,利用的知识点是“反函数的定义域是原函数的值域”.
【反馈检测4】求函数值域.
【例5】求函数的值域.
【点评】(1)对形如的函数,可以考虑换元,消掉根式,化成一个二次函数.(2)在任何地方换元,都要注意新元的取值范围,它就是新函数的定义域.(3)本题也有简单一点的方法,由于函数在定义域上增函数,函数在定义域上也是增函数,所以原函数在定义域上是增函数,所以时,函数取最小值.
【例6 】已知满足不等式.
(1)求的取值范围;
(2)求函数的最小值.
【解析】(1)
【点评】(1)当函数中某一个复杂的式子反复出现时,我们可以考虑换元,使书写简单,使函数式子
形式更简单明了.如果后面是指数,也可以换元.(2)换元时一定要注意新元的范围,注意数学等价转化的思想.
【例7】求函数的值域.
【点评】(1)由于,所以当已知中同时有
或者同时有时,可以考虑换元,化成一个二次函数.(2)换元时注意利用三角函数的知识求准新元的范围. (3)本题显示出换元建立新函数转化化归的好处,本来一个函数有两个变量,不好处理,但是通过换元,变成了一个我们熟悉的一元二次函数,大大地提高了解题效率.
【例8】已知是圆上的点,试求的值域.
【解析】由题得,设
则,即故,所以函数的值域为.
【点评】当已知条件可以化为时,可以设,实行三角换元,这样可以优化解题,提高解题效率.
【反馈检测5】若求函数的值域.
函数的值域(最值)的常见求法1
(直接法、分离常数法、配方法、反函数法和换元法)参考答案
【反馈检测1答案】
【反馈检测1详细解析】由题得所以函数的定义域
,,
即函数的值域为
【反馈检测2答案】
【反馈检测3答案】
【反馈检测3详细解析】由题得
,所以函数的定义域为.
所以,所以函数的值域为.
【反馈检测4答案】.
【反馈检测4详细解析】由原函数式可得:则其反函数为,其定义域为,故所求函数的值域为.
【反馈检测5答案】
高中数学常见题型解法归纳-函数的值域(最值)的常见求法2 (判别式法、基本不等式法、单调性法、数形结合法和导数法)
【知识要点】
一、函数值域的定义
函数值的集合叫做函数的值域.
二、函数的值域取决于定义域和对应法则,不论采用什么方法求函数的值域,都要考虑定义域,函数的问题必须遵循“定义域优先”的原则.
三、常见函数的值域
1、一次函数的值域为.
2、二次函数,当时的值域为,时的值域为
.
3、反比例函数的值域为.
4、指数函数的值域为.
5、对数函数的值域为.
6、幂函数的值域为,幂函数的值域为.
7、正弦函数、余弦函数的值域为,正切函数的值域为.
四、求函数的值域常用的方法
求函数的值域常用的方法有观察法、分离常数法、配方法、反函数法、换元法、判别式法、基本不等式法、单调性法、数形结合法、导数法、绝对值不等式法和柯西不等式法等.其中最常用的有“三数(函数、数形结合、导数)”和“三不(基本不等式、绝对值不等式、柯西不等式)”.
五、函数的值域一定要用集合或区间来表示.
六、函数的值域、取值范围和函数的最值实际上是同一范畴的问题,所以求函数值域的方法适用于求函数的最值和取值范围等.
【方法讲评】
形如的函数.
【例1】求函数的值域.
【点评】(1)分子、分母中含有二次项的函数类型,此函数经过变形后可以化为
的形式,再利用判别式加以判断.(2)函数经过变形后可以化为
的形式后,要注意对是否为零进行分类讨论,因为它不一定是一元二次方
程.(3)判别式法解出值域后一定要将端点值(本题是)代回方程检验,把不满足题意的舍去.
【反馈检测1】求函数的值域.
【例2】已知,求函数的最小值.
【解析】.=
当且仅当,即时,上式等号成立.
因为在定义域内,所以最小值为.
【点评】(1)本题不能直接使用基本不等式,本题在利用基本不等式前,要对函数化简,要用到分离函数的方法对函数进行化简,再使用基本不等式.(2)很多函数在使用基本不等式之前都要进行化简和配凑,所以要注意观察函数的结构,再进行变形,再使用基本不等式.(3)利用基本不等式求最值时,要注意“一正二定三相等”,三个条件缺一不可.
【例3】已知,求函数的最大值.
【点评】(1)基本不等式有二元基本不等式(和三元不等式.(2)基本不等式不仅适用于一般函数,也适用三角函数和其它所有函数,只要满足条件,就可以利用“一正二定三相等”来分析解答.
【反馈检测2 】已知,,且,则的最小值为.
【反馈检测3】【2017浙江,17】已知αR,函数在区间[1,4]上的最大值是5,则的取值范围是___________.
【例 4】求函数的值域.
【点评】(1)本题先利用复合函数的单调性确定了函数的单调区间,从而得到函数的最大值和最小值,得到函数的值域.(2)判定函数的单调性常用的有定义法、图像法、复合函数分析法和导数法,注意灵活使用.
【例5】求函数的值域.
【解析】令,
则在上都是增函数,所以在上是增函数
当时,
当时,
故所求函数的值域为。
【点评】(1)如果能确定函数的单调性时,可以使用函数的单调性求函数的值域.(2)本题中利用了这样一个性质:增(减)函数+增(减)函数=增(减)函数.(3)本题,都是增函数,利用到了复合函数的单调性,所以要对函数单调性的判定方法比较熟练,才能做到游刃有余.
【反馈检测4】求函数的值域.
【例6】求函数的值域.
【点评】(1)画函数的图像,要先化简解析式,再画出函数的图像.(2)本题也可以利用重要的绝对值不等式得到函数的最值,,所以函数的最小值为5.(3)对于绝对值函数,一般利用零点讨论法把函数化成分段函数,再作图.
【例7】如果函数定义在区间上,求的最小值.
图1
如图2所示,若顶点横坐标在区间上时,有,即.当时,函数取得最小值.
图2
如图3所示,若顶点横坐标在区间右侧时,有,即.当时,函数取得最小值
图3
综上讨论,
【点评】二次函数在闭区间上的最值问题,是一种较典型的问题.如果对称轴和区间的位置关系不能确定,常利用分类讨论和数形结合分析解答.
【例8】求函数的值域.
因为直线和圆相切,所以
所以函数的值域为
【点评】(1)对于某些具有明显几何意义的函数,我们可以利用数形结合的方法求该函数的值域.先找
到函数对应的形态特征,再求该函数的值域.(2)由于对应着两点之间的斜率(差之比对应直线的斜率),所以本题可以利用斜率分析解答.
【例9】设是上的偶函数,对任意,都有且当时,
内关于的方程恰有3个不同的实数根,则的取值范围是()
A.(1,2)B.C.D.
若在区间内关于的方程恰有3个不同的实数解
所以恰有3个不同的实数解.
则解得:<a<2. 故选D
【点评】(1) 本题涉及到函数的奇偶性、周期性和零点问题,利用数形结合再好不过了. 所以要先根据已知条件作出函数的图像,再作出函数的图像,数形结合分析解答. (2)对于函数的问题,大家要比较敏感,随时想到利用函数的图像来分析.
【例10】点为抛物线:上一动点,定点,则与到轴的距离之和的最小值为()
A.9
B.10
C.8
D.5
【解析】如图所示,焦点过点作垂直于准线交轴与点,到轴的距离,当三点共线时,取最小值,,所以
与到轴的距离之和的最小值.
【点评】圆锥曲线中,涉及到焦半径时,要想到圆锥曲线的定义,把问题转化,优化解题.
【例11】已知x,y满足约束条件
(1)求目标函数的最大值和最小值;
(2)若目标函数取得最大值的最优解有无穷多个,求的值;
(3)求的取值范围.
【解析】(1)作出不等式组表示的可行域如图:
作直线:,并平行移动使它过可行域内的点,此时有最大值;过可行域内的点,此时有最小值,
解,得.解,得.解,得.
∴,.
(2)一般情况下,当取得最大值时,直线所经过的点都是唯一的,但若直线平行于边界直线,即直线
平行于直线时,线段上的任意一点均使取得最大值,此时满足条件的点即最优解,有无数个.
又,∴.
【点评】线性规划的问题,就是数形结合研究问题的典型.线性规划解答问题的一般步骤是(1)根据题意,设出变量;(2)列出线性约束条件;(3)确定线性目标函数;(4)画出可行域(即各约束条件所示区域的公共区域);(5)利用线性目标函数作平行直线系;(6)观察图形,找到直线在可行域上使取得欲求最值的位置,以确定最优解,给出答案.
【反馈检测5】若点的坐标为(3,2),为抛物线的焦点,点是抛物线上的一动点,则取得最小值时,点的坐标是.
【例12】如图,圆锥的底面直径,母线长,点在母线上,且,有一只蚂蚁沿圆锥的侧面从点到达点,则这只蚂蚁爬行的最短距离是()
A.B.
C.D.
【点评】(1)由于蚂蚁在沿着曲面爬行,所以蚂蚁走过的路线时曲线,要直接求,比较困难,怎么办?我们这时可以把曲面展开,变成平面,再利用解三角形的知识来分析解答,问题迎刃而解.(2)本题利用了转化化归的思想,把空间的问题化成平面的问题,问题迎刃而解.
【反馈检测6】如图,圆锥的底面圆直径为2,母线长为4,若小虫从点开始绕着圆锥表面爬行一圈到的中点,则小虫爬行的最短距离为______.
【例12】已知函数,
(1)当时,求函数在处的切线方程;
(2)求在区间上的最小值.
【解析】(1)当时,又故切线的斜率为所以切线方程为:即
(2)函数的定义域为当x变化时,的变化情况如下表:
【点评】对于结构较复杂或高次的函数,一般利用导数法来研究函数的值域.先利用导数研究函数的单调性,再利用该函数的单调性画出函数的草图分析函数的值域.
【例13】两县城和相距20,现计划在两县城外以为直径的半圆弧上选择一点建造垃圾处理厂,其对城市的影响度与所选地点到城市的的距离有关,对城和城的总影响度为城与城
的影响度之和,记点到城的距离为,建在处的垃圾处理厂对城和城的总影响度为,统计调查表明:垃圾处理厂对城的影响度与所选地点到城的距离的平方成反比,比例系数为4;对城的影响度与所选地点到城的距离的平方成反比,比例系数为k,当垃圾处理厂建在的中点时,对城和城的总影响度为0.065.
(1)将表示成的函数;
(11)讨论(1)中函数的单调性,并判断弧上是否存在一点,使建在此处的垃圾处理厂对城和城的总影响度最小?若存在,求出该点到城的距离;若不存在,说明理由.
【解析】(1)如图,由题意知,,
其中当时,,所以.
所以表示成的函数为
【点评】对于应用题,先要建立函数的模型,通过函数的模型,把一个实际问题转化成一个数学问题,再利用导数来研究函数的最值,最后再回到实际问题中去.
【反馈检测7】已知函数,求函数在上的最大值.
高中数学常见题型解法归纳-函数的值域(最值)的常见求法2 (判别式法、基本不等式法、单调性法、数形结合法和导数法)
参考答案
【反馈检测1答案】
【反馈检测2答案】
2009届高考数学快速提升成绩题型训练——抽象函数 D
7. 已知定义在R 上的偶函数y=f(x)的一个递增区间为(2,6),试判断(4,8)是y=f(2-x)的递增区间还是递减区间? 8. 设f (x )是定义在R 上的奇函数,且对任意a ,b ,当a+b ≠0,都有b a b f a f ++)()(>0 (1).若a >b ,试比较f (a )与f (b )的大小; (2).若f (k )293()3--+?x x x f <0对x ∈[-1,1]恒成立,求实数k 的取值范围。 9.已知函数()f x 是定义在(-∞,3]上的减函数,已知 22(sin )(1cos )f a x f a x -≤++对x R ∈恒成立,求实数a 的取值范围。 10.已知函数(),f x 当,x y R ∈时,恒有()()()f x y f x f y +=+. (1)求证: ()f x 是奇函数; (2)若(3),(24)f a a f -=试用表示. 11.已知()f x 是定义在R 上的不恒为零的函数,且对于任意的,,a b R ∈都满足:
()()()f a b af b bf a ?=+. (1)求(0),(1)f f 的值; (2)判断()f x 的奇偶性,并证明你的结论; (3)若(2)2f =,*(2) ()n n f u n N n -=∈,求数列{n u }的前n 项和n s . 12.已知定义域为R 的函数()f x 满足22(()))()f f x x x f x x x -+=-+. (1)若(2)3,(1);(0),();f f f a f a ==求又求 (2)设有且仅有一个实数0x ,使得00()f x x =,求函数()f x 的解析表达式. 13.已知函数()f x 的定义域为R,对任意实数,m n 都有1 ()()()2 f m n f m f n +=++, 且1()02f =,当1 2 x >时, ()f x >0. (1)求(1)f ; (2)求和(1)(2)(3)...()f f f f n ++++*()n N ∈; (3)判断函数()f x 的单调性,并证明. 14.函数()f x 的定义域为R,并满足以下条件:①对任意x R ∈,有()f x >0;②对任
第一章 集合与简易逻辑 第一节 集 合 ? 基础知识 1. 集合的有关概念 1.1.集合元素的三个特性:确定性、无序性、互异性. 1. 2.集合的三种表示方法:列举法、描述法、图示法. 1.3.元素与集合的两种关系:属于,记为∈;不属于,记为?. 1.4.五个特定的集合及其关系图: N *或N +表示正整数集,N 表示自然数集,Z 表示整数集,Q 表示有理数集,R 表示实数集. 2. 集合间的基本关系 2.1.子集:一般地,对于两个集合A ,B ,如果集合A 中任意一个元素都是集合B 中的元素,则称A 是B 的子集,记作A ?B(或B ?A). 2.2.真子集:如果集合A 是集合B 的子集,但集合B 中至少有一个元素不属于A ,则称A 是B 的真子集,记作AB 或B A. A B ?? ???? A ? B ,A≠B.既要说明A 中任何一个元素都属于B ,也要说明B 中存在一个元素不属于A. 2.3.集合相等:如果A ?B ,并且B ?A ,则A =B. 两集合相等:A =B ?? ??? ? A ? B ,A ?B.A 中任意一个元素都符合B 中元素的特性,B 中任意一个元素也符合A 中元素的特性. 2.4.空集:不含任何元素的集合.空集是任何集合A 的子集,是任何非空集合B 的真子集.记作?. ?∈{?},??{?},0??,0?{?},0∈{0},??{0}.
3. 集合间的基本运算 (1)交集:一般地,由属于集合A 且属于集合B 的所有元素组成的集合,称为A 与B 的交集,记作A∩B ,即A∩B ={x|x ∈A ,且x ∈B}. (2)并集:一般地,由所有属于集合A 或属于集合B 的元素组成的集合,称为A 与B 的并集,记作A ∪B ,即A ∪B ={x|x ∈A ,或x ∈B}. (3)补集:对于一个集合A ,由全集U 中不属于集合A 的所有元素组成的集合称为集合A 相对于全集U 的补集,简称为集合A 的补集,记作?U A ,即?U A ={x |x ∈U ,且x ?A }. 求集合A 的补集的前提是“A 是全集U 的子集”,集合A 其实是给定的条件.从全集U 中取出集合A 的全部元素,剩下的元素构成的集合即为?U A . ? 常用结论 (1)子集的性质:A ?A ,??A ,A ∩B ?A ,A ∩B ?B . (2)交集的性质:A ∩A =A ,A ∩?=?,A ∩B =B ∩A . (3)并集的性质:A ∪B =B ∪A ,A ∪B ?A ,A ∪B ?B ,A ∪A =A ,A ∪?=?∪A =A . (4)补集的性质:A ∪?U A =U ,A ∩?U A =?,?U (?U A )=A ,?A A =?,?A ?=A . (5)含有n 个元素的集合共有2n 个子集,其中有2n -1个真子集,2n -1个非空子集. (6)等价关系:A ∩B =A ?A ?B ;A ∪B =A ?A ?B . 考点一 集合的基本概念 [典例] 1. (2017·全国卷Ⅲ)已知集合A ={(x ,y )|x 2+y 2=1},B ={(x ,y )|y =x },则A ∩B 中元素的个数为( ) A .3 B .2 C .1 D .0 2. 已知a ,b ∈R ,若? ?? ? ??a ,b a ,1={a 2,a +b,0},则a 2 019+b 2 019的值为( ) A .1 B .0 C .-1 D .±1 [解析] (1)因为A 表示圆x 2+y 2=1上的点的集合,B 表示直线y =x 上的点的集合,直线y =x 与圆x 2+y 2=1有两个交点,所以A ∩B 中元素的个数为2. (2)由已知得a ≠0,则b a =0,所以 b =0,于是a 2=1,即a =1或a =-1.又根据集合中元素的互异性可 知a =1应舍去,因此a =-1,故a 2 019+b 2 019=(-1)2 019+02 019=-1. [答案] (1)B (2)C [提醒] 集合中元素的互异性常常容易忽略,求解问题时要特别注意. [题组训练]
第五节 函数的图象 ? 基础知识 1.利用描点法作函数图象 其基本步骤是列表、描点、连线. 首先:(1)确定函数的定义域; (2)化简函数解析式; (3)讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周期性、对称性等);其次,列表,描点,连线. 2.函数图象的变换 (1)平移变换 ①y =f (x )的图象――――――――→a >0,右移a 个单位 a <0,左移|a |个单位y =f (x -a )的图象; ②y =f (x )的图象――――――――→ b >0,上移b 个单位b <0,下移|b |个单位 y =f (x )+b 的图象. “左加右减,上加下减”,左加右减只针对x 本身,与x 的系数,无关,上加下减指的是在f (x )整体上加减. (2)对称变换 ①y =f (x )的图象―――――→关于x 轴对称 y =-f (x )的图象; ②y =f (x )的图象―――――→关于y 轴对称 y =f (-x )的图象; ③y =f (x )的图象――――――→关于原点对称 y =-f (-x )的图象; ④y =a x (a >0且a ≠1)的图象―――――――→关于直线y =x 对称 y =log a x (a >0且a ≠1)的图象. (3)伸缩变换 ①y =f (x )的图象―――――――――――――――――――→a >1,横坐标缩短为原来的1 a 纵坐标不变 01,纵坐标伸长为原来的a 倍,横坐标不变 0 函数值域的求法 1、(观察法)求下列函数的值域 (1)求函数y1=121 1x +的值域 (]1,0 (2)求函数y1=2-x 的值域。 (]2-,∞ 2、(配方法)求下列函数的值域 (1)求函数225,[1,2]y x x x =-+∈-的值域 ][84, (2)求函数y =的值域: ][20, (3),x y 是关于m 的方程2260m am a -++=的根,则()()2211x y -+-的最小值是( ) C A.-1241 B.18 C.8 D.43 3、(换元法)求下列函数的值域 (1)21y x =+[)∞+,3 (2)4y x =++ ][234,1+ (3)求函数y=32 ++x x 的值域 ??????21,0 (4)求函数y = ][2,1 (5)求函数 y=12243++-x x x x 的值域 ??????41,41- 4、(分离常数法)求下列函数的值域 (1)求值域(1)1 (4)2x y x x -=≥-+ ()??? ???∞+∞,,251- (2)求函数122+--=x x x x y 的值域。 ?????? 131 -, 5、(判别式法)求下列函数的值域 (1)求函数的值域2222 1x x y x x -+=++ ][51, (2)求函数3274222++-+=x x x x y 的值域。 ?????? 229 -, (3)已知函数12)(22 +++=x b ax x f x 的值域是[1,3 ],求实数a , b 的值. a=2或-2,b=2 6、(单调性法)求下列函数的值域 (1)求函数32()2440f x x x x =+-,[3,3]x ∈-的最小值。 (2)-48f = (2)设函数f(x)=ln(2x +3)+x 2.求f(x)在区间???? ??-34,14上的最大值和最小值. max 171()=ln +4216()f f x = min 11(-)=ln 2+24()f f x = 7、(数形结合法)求下列函数的值域 (1)求函数y=4 1362+-x x 4-542++x x 的值域 (]265-, (2)求函数y=4 12++x x 4-1 - 2 +x x 的值域 ()1,1- 抽象函数常见题型解法综述 抽象函数是指没有给出函数的具体解析式,只给出了一些体现函数特征的式子的一类函数。由于抽象函数表现形式的抽象性,使得这类问题成为函数内容的难点之一。本文就抽象函数常见题型及解法评析如下: 一、定义域问题 例1. 已知函数)(2x f 的定义域是[1,2],求f (x )的定义域。 解:)(2x f 的定义域是[1,2],是指21≤≤x ,所以)(2x f 中的2x 满足412≤≤x 从而函数f (x )的定义域是[1,4] 例2. 已知函数)(x f 的定义域是]21[,-,求函数)]3([log 2 1x f -的定义域。 解:)(x f 的定义域是]21[,-,意思是凡被f 作用的对象都在]21[,-中,由此可得 4111)21(3)21(2)3(log 1122 1≤≤?≤-≤?≤-≤--x x x 所以函数)]3([log 2 1x f -的定义域是]4111[, 二、求值问题 例3. 已知定义域为+R 的函数f (x ),同时满足下列条件:①5 1)6(1)2(==f f ,;②)()()(y f x f y x f +=?,求f (3),f (9)的值。 解:取32==y x ,,得)3()2()6(f f f += 因为5 1)6(1)2(= =f f ,,所以54)3(-=f 又取3==y x 得5 8)3()3()9(-=+=f f f 三、值域问题 例4. 设函数f (x )定义于实数集上,对于任意实数x 、y ,)()()(y f x f y x f =+总成立,且存在21x x ≠,使得)()(21x f x f ≠,求函数)(x f 的值域。 解:令0==y x ,得2)]0([)0(f f =,即有0)0(=f 或1)0(=f 。 若0)0(=f ,则0)0()()0()(==+=f x f x f x f ,对任意R x ∈均成立,这与存在实数21x x ≠,使得)()(21x f x f ≠成立矛盾,故0)0(≠f ,必有1)0(=f 。 由于)()()(y f x f y x f =+对任意R y x ∈、均成立,因此,对任意R x ∈,有 0)]2 ([)2()2()22()(2≥==+=x f x f x f x x f x f 下面来证明,对任意0)(≠∈x f R x , 设存在R x ∈0,使得0)(0=x f ,则0)()()()0(0000=-=-=x f x f x x f f 这与上面已证的0)0(≠f 矛盾,因此,对任意0)(≠∈x f R x , 所以0)(>x f 四、解析式问题 例5. 设对满足10≠≠x x ,的所有实数x ,函数)(x f 满足x x x f x f +=-+1)1( )(, 1.集合基本运算,数轴应用 已知全集,{|0},{|1}U R A x x B x x ==≤=≥,则集合()U C A B = A .{|0}x x ≥ B .{|1}x x ≤ C .{|01}x x ≤≤ D .{|01}x x << 2.集合基本运算,二次函数应用 已知集合{} {}22|,032|2<≤-=≥--=x x B x x x A ,则=B A ( ) A .]1,2[-- B . )2,1[- C..]1,1[- D .)2,1[ 3.集合基本运算,绝对值运算,指数运算 设集合{}{} ]2,0[,2|,2|1||∈==<-=x y y B x x A x ,则=B A ( ) A.]2,0[ B. )3,1( C. )3,1[ D. )4,1( 4.集合基本性质,分类讨论法 已知集合A= {} 22,25,12a a a -+,且-3 ∈A ,求a 的值 5.集合基本性质,数组,子集数量公式n 2 .集合A={(x,y)|2x+y=5,x ∈N,y ∈N },则A 的非空真子集的个数为( ) A 4 B 5 C 6 D 7 6.集合基本性质,空集意识 已知集合A={x|2a-1≤x≤a+2},集合B={x|1≤x≤5},若A∩B=A,求实数a 的取值范围. 7.函数解析式,定义域,换元法,复合函数,单调性,根式和二次函数应用,数形结合法 已知x x x f 2)1(+=+,定义域为:x>0 (1)求f(x)的解析式,定义域及单调递增区间 (2)求(-1)f x 解析式,定义域及最小值 8.函数基本性质,整体思想,解方程组 设1()满足2()()2,f x f x f x x -=求)(x f 9.函数基本性质,一次函数,多层函数,对应系数法 若f [ f (x )]=2x +3,求一次函数f (x )的解析式 10.不等式计算,穿针引线法 (1-x)(21)0(1)x x x +≥- 求x 取值范围 11.函数值域,反表示法,判别式法,二次函数应用,换元法,不等式法 求函数2241x y x +=-的值域 求函数2122 x y x x +=++的值域 求函数x x y 41332-+-=的值域 93(0)4y x x x =+> 12.函数值域,分类讨论,分段函数,数形结合,数轴应用 若函数a x x x f +++=21)(的最小值为3,则实数a 的值为 (A )5或8 (B )1-或5 (C )1-或4- (D )4-或8 13.函数单调性,对数函数性质,复合函数单调性(同增异减) 函数212 ()log (4)f x x =-的单调递增区间为 A.(0,)+∞ B.(-∞,0) C.(2,)+∞ D.(-∞,2)- 下列函数中,在区间(0,)+∞上为增函数的是( ) .A y 2.(1)B y x =- .2x C y -= 0.5.log (1)D y x =+ 这份资料是全部内容已经完成的一部分, 写中。此资料是必修一函数部分的总结, 同学有所帮助。 路。部分题目仅仅是题目。 的题目,总结这一类题目的思路与方法。活学活用。 第一部分典型例题解析 一、函数部分 一、函数的值域:求函数值域的常用方法有 方法、判别式、换元、分离常数法、方程法)。 1、函数y=的值域是()。A、[0,+ B、[0,4) C[0,4] D(0,4) 解析:本题是指数函数与幂函数复合, 各自的取值范围。所以本题我们用直接分析法。 [) 40160 0160,4 x x x x ∴∴≥ ≤ Q>16-4<;要根号有意义,16-4 综上可知:16-4< 2、若函数() y f x =的值域是 1 ,3 2 ?? ?? ?? ,则函 1 ()() () F x f x f x =+的值域是()。 11051010 .,3.2,.,.3, 23223 A B C D ???????? ???????? ???????? 解析:本题是复合函数求值域,可变 11 (),()(),,3 2 f x t F x F t t t t ?? ===+∈?? ?? 。 方法一:定义求单调区间 21 212121 2112 212112 12 12 12 1212 12 12 11 (),()(),,3,, 2 111 ()()()()(1). 1 011 1 11(1)0 1 1111 1 (1)0 f x t F x g t t t t t t g t g t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t ?? ===+∈?? ?? ∴-=+-+=-- -∴? - ? - Q 令> >,∴>。当>时,求得< <,<。此时<,函数递减。 当<时,求得>>,>。 此时>,函数递增 [] 1 ,1,1,3.. 2 151010 (),(1)2,(3).()2,. 2233 x x g g g F x ?? ∴∈∈ ?? ?? ?? ∴===∴∈?? ?? 。 时函数递减.时函数递增 学了不等式的话,我们可以由基本不等式求单调 11 0,2, 1. 1 1 ,3 2 t t t t t t t ∴+≥=?= = = 此时 时,函数取得最小值。然后判断 时的函数值即可。 2 34 x y x = - 的值域是() 44 ,)(,) 33 -∞+∞ U B. 22 (,)(,) 33 -∞+∞ U C.R 24 ,)(,) 33 -∞+∞ U 分离常数法。希望同学自己探究分离常数的方法。 22882 .0,. 3439129123 22 ,, 33 x y x x x =+≠∴≠ --- ???? ∈-∞+∞ ? ? ???? Q U 24 .(34)2.. 3432 2 320. 3 22 ,, 33 x y y x x x x y y y ?∴-=?= -- ∴-≠?≠ ???? ∈-∞+∞ ? ? ???? U 2 1 22 x y x x + = ++ 的值域是()。 11 (,) 22 - B.(11 ,,) 22 ?? -∞-+∞ ?? ?? U C. 11 , 22 ?? -?? ?? ]1,1 - () 2 2 2 2 2 (21)210. 22110, , (21)210 11 =40.,. 22 ) yx y x y x x R y x y b a c y ?+-+-= ++=++≠ ∈ +-+-= ?? -≥∈-?? ?? 方程有意义。 在R上有根。 解得 讨论一元一次方程情况 1 1 (1) 1 y x x = ++ + ,参考例题2两个方法。 R的函数() y f x =的值域为[],a b,则函数 求函数值域方法 求函数的值域或最值是高中数学基本问题之一,也是考试的热点和难点之一。遗憾的是教材中仅有少量求定义域的例题、习题,而求值域或最值的例题、习题则是少得屈指可数。原因可能是求函数的值域往往需要综合用到众多的知识内容,技巧性强,有很高的难度,因此求函数的值域或最值的方法需要我们在后续的学习中逐步强化。本文谈一些求函数值域的方法,仅作抛砖引玉吧。 一、基本知识 1. 定义:因变量y 的取值范围叫做函数的值域(或函数值的集合)。 2. 函数值域常见的求解思路: ⑴.划归为几类常见函数,利用这些函数的图象和性质求解。 ⑵.反解函数,将自变量x 用函数y 的代数式形式表示出来,利用定义域建立函数y 的不等式,解不等式即可获解。 ⑶.可以从方程的角度理解函数的值域,如果我们将函数()y f x =看作是关于自变量x 的方程,在值域中任取一个值0y ,0y 对应的自变量0x 一定为方程()y f x =在定义域中的一个解,即方程()y f x =在定义域内有解;另一方面,若y 取某值0y ,方程()y f x =在定义域内有解0x ,则0y 一定为0x 对应的函数值。从方程的角度讲,函数的值域即为使关于x 的方程()y f x =在定义域内有解的y 得取值范围。 特别地,若函数可看成关于x 的一元二次方程,则可通过一元二次方程在函数定义域内有解的条件,利用判别式求出函数的值域。 ⑷.可以用函数的单调性求值域。 ⑸.其他。 3. 函数值域的求法 (1)、直接法:从自变量x 的范围出发,推出()y f x =的取值范围。或由函数的定义域结合图象,或直观观察,准确判断函数值域的方法。 例1:求函数()1y x =≥的值域。 ) +∞ 例2:求函数y = [)1,+∞ 例3:求函数1y = 的值域。 0≥11≥, ∴函数1y = 的值域为[1,) +∞。 (2)、配方法:配方法式求“二次函数类”值域的基本方法。形如2 ()()()F x a f x b f x c =++的函数的值域问题,均可使用配方法。 例1:求函数2 42y x x =-++([1,1]x ∈-)的值域。 解:2 2 42(2)6y x x x =-++=--+, 冷世平之高考复习专题资料 第 1 页 共 7 页 抽象函数解题策略 抽象函数是指没有给出函数的具体解析式,只给出了一些体现函数特征的式子的一类函数。由于抽象函数表现形式的抽象性,使得这类问题成为函数内容的难点之一.抽象性较强,灵活性大,解抽象函数重要的一点要抓住函数中的某些性质,通过局部性质或图象的局部特征,利用常规数学思想方法(如化归法、数形结合法等),这样就能突破“抽象”带来的困难,做到胸有成竹.另外还要通过对题目的特征进行观察、分析、类比和联想,寻找具体的函数模型,再由具体函数模型的图象和性 【题型1】定义域问题 --------多为简单函数与复合函数的定义域互求。 【例1】⑴若函数(21)f x -的定义域为{}|13x x ≤<,则函数()f x 的定义域为 ⑵若函数()f x 的定义域为{}|13x x ≤<,则函数(21)f x -的定义域为 【题型2】求值问题-----抽象函数的性质是用条件恒等式给出的,可通过赋特殊值法使问题得以解决。怎样赋值?需要明确目标,细心研究,反复试验。紧扣已知条件进行迭代变换,经有限次迭代可直接求出结果,或者在迭代过程中发现函数具有周期性,利用周期性使问题巧妙获解。 【例2】已知()f x 的定义域为R +,且()()()f x y f x f y +=+对一切正实数,x y 都成立,若(8)4f =,则(2)_____f = 【分析】在条件()()()f x y f x f y +=+中,令4x y ==,得(8)(4)(4)2(4)4f f f f =+==,(4)2f ∴=,又令2x y ==,得(4)(2)(2)2,(2)1f f f f =+=∴=。 1.()f x 的定义域为(0,)+∞,对任意正实数,x y 都有()()()f xy f x f y =+且(4)2f =,则 _____ f =12 2.若()()()f x y f x f y +=且(1)2f =,则 (2)(4)(6)(2000) ______(1)(3)(5)(1999) f f f f f f f f ++++= 20002222(1)(2)(2)(4)(3)(6)(4)(8) ______(1)(3)(5)(7) f f f f f f f f f f f f +++++++=16【提示】()2n f n = 高中函数值域的12种求法 一.观察法 通过对函数定义域、性质的观察,结合函数的解析式,求得函数的值域。 例1求函数y=3+√(2-3x)的值域。 点拨:根据算术平方根的性质,先求出√(2-3x)的值域。解:由算术平方根的性质,知√(2-3x)≥0, 故3+√(2-3x)≥3。 ∴函数的知域为. 点评:算术平方根具有双重非负性,即:(1)被开方数的非负性,(2)值的非负性。 本题通过直接观察算术平方根的性质而获解,这种方法对于一类函数的值域的求法,简捷明了,不失为一种巧法。 练习:求函数y=[x](0≤x≤5)的值域。(答案:值域为:{0,1,2,3,4,5}) 二.反函数法 当函数的反函数存在时,则其反函数的定义域就是原函数的值域。 例2求函数y=(x+1)/(x+2)的值域。 点拨:先求出原函数的反函数,再求出其定义域。 解:显然函数y=(x+1)/(x+2)的反函数为:x=(1-2y)/(y-1),其定义域为y≠1的实数,故函数y的值域为{y∣y≠1,y∈R}。 点评:利用反函数法求原函数的定义域的前提条件是原函数存在反函数。这种方法体现逆向思维的思想,是数学解题的重要方法之一。 练习:求函数y=(10x+10-x)/(10x-10-x)的值域。(答案:函数的值域为{y∣y-1或y1}) 三.配方法 当所给函数是二次函数或可化为二次函数的复合函数时,可以利用配方法求函数值域 例3:求函数y=√(-x2+x+2)的值域。 点拨:将被开方数配方成完全平方数,利用二次函数的最值求。 解:由-x2+x+2≥0,可知函数的定义域为x∈[-1,2]。此时-x2+x+2=-(x-1/2)2+9/4∈[0,9/4] ∴0≤√-x2+x+2≤3/2,函数的值域是[0,3/2] 点评:求函数的值域不但要重视对应关系的应用,而且要特别注意定义域对值域的制约作用。配方法是数学的一种重要的思想方法。 练习:求函数y=2x-5+√15-4x的值域.(答案:值域为 {y∣y≤3}) 四.判别式法 若可化为关于某变量的二次方程的分式函数或无理函数,可用判别式法求函数的值域。 高考数学总复习:抽象函数题型 抽象函数是指没有明确给出具体的函数表达式,只是给出一些特殊关系式的函数,它是中学数学中的一个难点,因为抽象,学生解题时思维常常受阻,思路难以展开,教师对教材也难以处理,而高考中又出现过这一题型,有鉴于此,本文对这一问题进行了初步整理、归类,大概有以下几种题型: 一. 求某些特殊值 这类抽象函数一般给出定义域,某些性质及运算式而求特殊值。其解法常用“特殊值法”,即在其定义域内令变量取某特殊值而获解,关键是抽象问题具体化。 例1 定义在R 上的函数f x ()满足:f x f x ()()=-4且f x f x ()()220-+-=,求 f ()2000的值。 解:由f x f x ()()220-+-=, 以t x =-2代入,有f t f t ()()-=, ∴f x ()为奇函数且有f ()00= 又由f x f x ()[()]+=--44 =-=-∴+=-+=f x f x f x f x f x ()() ()()() 84 故f x ()是周期为8的周期函数, ∴==f f ()()200000 例2 已知函数f x ()对任意实数x y ,都有f x y f x f y ()()()+=+,且当x >0时, f x f ()()>-=-012,,求f x ()在[]-21,上的值域。 解:设x x 12< 且x x R 12,∈, 则x x 210->,函数值域的求法(精选例题)
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