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最新人教版中考数学复习精品练习题中考专题突破

第四部分中考专题突破专题一整体思想

1.(2011年江苏盐城)已知a －b ＝1，则代数式2a －2b －3的值是( A ) A ．－1 B ．1 C ．－5 D ．5

2．(2011年浙江杭州)当x ＝－7时，代数式(2x ＋5)(x ＋1)－(x －3)(x ＋1)的值为－6. 3．(2011年山东威海)分解因式：16－8(x －y )＋(x －y )2＝(x －y －4)2.

4．(2010年湖北鄂州)已知α、β是方程x 2－4x －3＝0的两个实数根，则(α－3)(β－3)＝－6. 5．(2011年山东潍坊)分解因式：a 3＋a 2－a －1＝(a ＋1)2(a －1)．

6．(2010年江苏镇江)分解因式：a 2－3a ＝a (a －3)；化简：(x ＋1)2－x 2＝2x ＋1.

7．若买铅笔4支，日记本3本，圆珠笔2支共需10元，若买铅笔9支，日记本7本，圆珠笔5支共需25元，则购买铅笔、日记本、圆珠笔各一共需5元．

解析：设铅笔每支x 元，日记本y 元，圆珠笔z 元，有：

????

4x ＋3y ＋2z ＝10 ①9x ＋7y ＋5z ＝25 ②， ②－①得：5x ＋4y ＋3z ＝15 ③， ③－①得：x ＋y ＋z ＝5.

8．如图X －1－2，半圆A 和半圆B 均与y 轴相切于点O ，其直径CD 、EF 均和x 轴垂直，以点O 为顶点的两条抛物线分别经过点C 、E 和点D 、F ，则图中阴影部分的面积是π

图X －1－2

9．(2010年重庆)含有同种果蔬汁但浓度不同的A 、B 两种饮料，A 种饮料重40千克，B 种饮料重60千克．现从这两种饮料中各倒出一部分，且倒出部分的重量相同，再将每种饮料所倒出的部分与另一种饮料余下的部分混合，如果混合后的两种饮料所含的果蔬浓度相同，那么从每种饮料中倒出的相同的重量是24千克．

解析：设A 果蔬的浓度为x ，B 果蔬的浓度为y ，且倒出部分的重量为a ，有： (40－a )x ＋ay 40＝(60－a )y ＋ax

60，

3(40－a )x ＋3ay ＝2(60－a )y ＋2ax ， 120x －3ax ＋3ay ＝120y －2ay ＋2ax ， 120x －120y ＝5ax －5ay ， 120(x －y )＝5a (x －y )，解得：a ＝24.

10．(2011年江苏宿迁)已知实数a 、b 满足ab ＝1，a ＋b ＝2，求代数式a 2b ＋ab 2的值．解：原式＝ab (a ＋b )＝1×2＝2.

11．(2010年福建南安)已知y ＋2x ＝1，求代数式(y ＋1)2－(y 2－4x )的值．解：原式＝y 2＋2y ＋1－y 2＋4x ＝2y ＋4x ＋1 ＝2(y ＋2x )＋1 ＝2×1＋1＝3.

12．(2010年江苏苏州)解方程：(x －1)2x 2－x －1

x －2＝0.

解：方法一：去分母，得(x －1)2－x (x －1)－2x 2＝0.

化简，得2x 2＋x －1＝0，解得x 1＝－1，x 2＝1

经检验，x 1＝－1，x 2＝1

是原方程的解．

方法二：令x －1

x ＝t ，则原方程可化为t 2－t －2＝0，

解得t 1＝2，t 2＝－1.

当t ＝2时，x －1

x ＝2，解得x ＝－1.

当t ＝－1时，x －1x ＝－1，解得x ＝1

经检验，x ＝－1，x ＝1

是原方程的解．

13．(2011年四川南充)关于x 的一元二次方程x 2＋2x ＋k ＋1＝0的实数解是x 1和x 2. (1)求k 的取值范围；

(2)如果x 1＋x 2－x 1x 2＜－1且k 为整数，求k 的值．解：(1)∵方程有实数根， ∴Δ＝22－4(k ＋1)≥0，解得：k ≤0，

∴k 的取值范围是k ≤0.

(2)根据一元二次方程根与系数的关系，得 x 1＋x 2＝－2，x 1x 2＝k ＋1， x 1＋x 2－x 1x 2＝－2－(k ＋1)，

由已知，－2－(k ＋1)＜－1，解得k ＞－2，

又由(1)知k≤0，

∴－2＜k≤0，

又∵k为整数，∴k的值为－1和0.

14．阅读材料，解答问题．

为了解方程(x2－1)2－5(x2－1)＋4＝0.我们可以将x2－1视为一个整体，然后设x2－1＝y，则原方程可化为y2－5y＋4＝0①.解得y1＝1，y2＝4.当y＝1时，x2－1＝1，x2＝2，x＝±2；当y＝4时，x2－1＝4，x2＝5，∴x＝±5.∴x1＝2，x2＝－2，x3＝5，x4＝－ 5.

解答问题：

(1)填空：在由原方程得到方程①的过程中，利用换元法达到了降次的目的，体现了整体思想的数学思想；

(2)用上述方法解方程：x4－x2－6＝0.

解：(2)设x2＝y，

则原方程化为：y2－y－6＝0.

解得：y1＝3，y2＝－2.

当y＝3时，x2＝3，解得x＝±3；

当y＝－2时，x2＝－2，无解．

∴x1＝3，x2＝－ 3.

专题二分类讨论思想

1.已知⊙O 1与⊙O 2相切，⊙O 1的半径为9 cm ，⊙O 2的半径为2 cm ，则O 1O 2的长是( C ) A ．11 cm B ．7 cm C ．11 cm 或7 cm D ．5 cm 或7 cm

2．已知一个等腰三角形腰上的高与腰长之比为1∶2，则这个等腰三角形顶角的度数为( D ) A ．30° B ．150° C ．60°或120° D ．30°或150° 3．(2011年贵州贵阳)如图X －2－1，反比例函数y 1＝k 1

x 和正比例函数y 2＝k 2x 的图象交于A (－

1，－3)，B (1,3)两点，若k 1

＞k 2x ，则x 的取值范围是( C )

图X －2－1

A ．－1＜x ＜0

B ．－1＜x ＜1

C ．x ＜－1或0＜x ＜1

D ．－1＜x ＜0或x ＞1 4．(2011年甘肃兰州)如图X －2－2，矩形ABCD 的对角线BD 经过坐标原点，矩形的边分别平行于坐标轴，点C 在反比例函数y ＝k 2＋2k ＋1

x 的图象上．若点A 的坐标为(－2，－2)，则k 的值

为( D )

图X －2－2

A ．1

B ．－3

C ．4

D ．1或－3

5．(2011年山东枣庄)如图X －2－3，函数y 1＝|x |和y 2＝13x ＋4

3的图象相交于(－1,1)，(2,2)两点．当

y 1>y 2时，x 的取值范围是( D )

图X －2－3

A ．x ＜－1

B ．－1＜x ＜2

C ．x ＞2

D ．x ＜－1或x ＞2

6．(2011年山东济宁)如果一个等腰三角形的两边长分别是5 cm 和6 cm ，那么此三角形的周长是( D )

A ．15 cm

B ．16 cm

C ．17 cm

D ．16 cm 或17 cm

7．(2011年四川南充)过反比例函数y ＝k

x (k ≠0)图象上一点A ，分别作x 轴、y 轴的垂线，垂足

分别为B 、C ，如果△ABC 的面积为3.则k 的值为6或－6.

8．(2010年贵州毕节)三角形的每条边的长都是方程x 2－6x ＋8＝0的根，则三角形的周长是6或10或12.

9．(2011年浙江杭州)在等腰Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝1，过点C 作直线l ∥AB ，F 是l 上的一点，且AB ＝AF ，则点F 到直线BC 的距离为

3＋12或3－1

. 10．一次函数y ＝kx ＋k 过点(1,4)，且分别与x 轴、y 轴交于A 、B 点，点P (a,0)在x 轴正半轴

上运动，点Q (0，b )在y 轴正半轴上运动，且PQ ⊥AB .

(1)求k 的值，并在直角坐标系中(图X －2－4)画出一次函数的图象； (2)求a 、b 满足的等量关系式；

(3)若△APQ 是等腰三角形，求△APQ 的面积．

图X －2－4

解：(1)∵ 一次函数y ＝kx ＋k 的图象经过点(1,4)， ∴ 4＝k ×1＋k ，即k ＝2.∴ y ＝2x ＋2. 当x ＝0时，y ＝2；当y ＝0时，x ＝－1. 即A (－1,0)，B (0,2)．

如图D56，直线AB 是一次函数y ＝2x ＋2的图象.

图D56

(2)∵ PQ ⊥AB ，∴ ∠QPO ＝90°－∠BAO . 又∵∠ABO ＝90°－∠BAO ，∴ ∠ABO ＝∠QPO .

∴Rt △ABO ∽Rt △QPO .∴

AO QO ＝OB OP ，即1b ＝2a

. ∴a ＝2b .

(3)由(2)知a ＝2b .

∴AP ＝AO ＋OP ＝1＋a ＝1＋2b ， AQ 2＝OA 2＋OQ 2＝1＋b 2，

PQ 2＝OP 2＋OQ 2＝a 2＋b 2＝(2b )2＋b 2＝5b 2.

若AP ＝AQ ，即AP 2＝AQ 2，则(1＋2b )2＝1＋b 2，即b ＝0或－4

3，这与b >0矛盾，故舍去；

若AQ ＝PQ ，即AQ 2＝PQ 2，则1＋b 2＝5b 2，即b ＝12或－1

2(舍去)，

此时，AP ＝2，OQ ＝12

，

S △A PQ ＝12×AP ×OQ ＝12×2×12＝1

若AP ＝PQ ，则1＋2b ＝5b ，即b ＝2＋ 5.

此时AP ＝1＋2b ＝5＋2 5，OQ ＝2＋ 5. S △APQ ＝12×AP ×OQ ＝1

2×(5＋2 5)×(2＋5)

＝10＋9

∴ △APQ 的面积为12或10＋9

11．(2011年浙江绍兴)在平面直角坐标系中，过一点分别作坐标轴的垂线，若与坐标轴围成矩形的周长与面积相等，则这个点叫做和谐点．例如，图X －2－5中过点P 分别作x 轴、y 轴的垂线，

与坐标轴围成矩形OAPB 的周长与面积相等，则点P 是和谐点．

(1)判断点M (1,2)，N (4,4)是否为和谐点，并说明理由；

(2)若和谐点P (a,3)在直线y ＝－x ＋b (b 为常数)上，求点a 、b 的值．

图X －2－5

解：(1)∵1×2≠2×(1＋2)，4×4＝2×(4＋4)， ∴点M 不是和谐点，点N 是和谐点． (2)由题意得，

当a >0时，(a ＋3)×2＝3a ，

∴a ＝6，点P (a,3)在直线y ＝－x ＋b 上，代入得b ＝9；当a <0时，(－a ＋3)×2＝－3a ，

∴a ＝－6，点P (a,3)在直线y ＝－x ＋b 上，代入得b ＝－3.

∴a ＝6，b ＝9或a ＝－6，b ＝－3.

12．(2011年湖北襄阳)为发展旅游经济，我市某景区对门票采用灵活的售票方法吸引游客．门票定价为50元/人，非节假日打a 折售票，节假日按团队人数分段定价售票，即m 人以下(含m 人)的团队按原价售票；超过m 人的团队，其中m 人仍按原价售票，超过m 人部分的游客打b 折售票．设某旅游团人数为x 人，非节假日购票款为y 1(元)，节假日购票款为y 2(元)．y 1、y 2与x 之间的函数图象如图X －2－6所示．

(1)观察图象可知：a ＝6；b ＝8；m ＝10； (2)直接写出y 1、y 2与x 之间的函数关系式；

(3)某旅行社导游王娜于5月1日带A 团，5月20日(非节假日)带B 团都到该景区旅游，共付门票款1 900元，A 、B 两个团合计50人，求A 、B 两个团队各有多少人？

图X －2－6

解：(2)y 1＝30x ；

y 2＝?

????

50x (0≤x ≤10)40x ＋100(x >10).

(3)设A 团有n 人，则B 团有(50－n )人．当0≤n ≤10时，50n ＋30(50－n )＝1 900，解之，得n ＝20，这与n ≤10矛盾．

当n ＞10时，40n ＋100＋30(50－n )＝1 900，解之，得n ＝30， ∴50－30＝20.

答：A 团有30人，B 团有20人．

专题三数形结合思想

1.(2011年安徽)如图X－3－1，P是菱形ABCD的对角线AC上一动点，过P垂直于AC的直

线交菱形ABCD的边于M、N两点，设AC＝2，BD＝1，AP＝x，△AMN的面积为y，则y关于x 的函数图象的大致形状是( C )

图X－3－1

2．(2011年山东威海)如图X－3－2，在正方形ABCD中，AB＝3 cm，动点M自A点出发沿

AB方向以每秒1 cm的速度运动，同时动点N自A点出发沿折线AD—DC—CB以每秒3 cm的速度运动，到达B点时运动同时停止，设△AMN的面积为y(cm2)，运动时间为x(秒)，则下列图象中能大致反映y与x之间的函数关系的是( B )

图X－3－2

3．(2011年甘肃兰州)如图X －3－3，正方形ABCD 的边长为1，E 、F 、G 、H 分别为各边上的点，且AE ＝BF ＝CG ＝DH ，设小正方形EFGH 的面积为S ，AE 为x ，则S 关于x 的函数图象大致是( B )

图X －3－3

4．(2010年福建德化)已知：如图X －3－4，点P 是正方形ABCD 的对角线AC 上的一个动点(A 、C 除外)，作PE ⊥AB 于点E ，作PF ⊥BC 于点F ，设正方形ABCD 的边长为x ，矩形PEBF 的周长为y ，在下列图象中，大致表示y 与x 之间的函数关系的是( A )

图X －3－4

5．如图X －3－5，直线l 1∥l 2，⊙O 与l 1和l 2分别相切于点A 和点B .点M 和点N 分别是l 1和l 2上的动点，MN 沿l 1和l 2平移．⊙O 的半径为1，∠1＝60°.下列结论错误的是( B )

图X －3－5

A ．MN ＝4 33

B ．若MN 与⊙O 相切，则AM ＝3

C ．若∠MON ＝90°，则MN 与⊙O 相切

D ．l 1和l 2的距离为2

6．如图X －3－6，四边形OABC 为正方形，边长为6，点A 、C 分别在x 轴，y 轴的正半轴上，点D 在OA 上，且D 点的坐标为(2,0)，P 是OB 上的一个动点，试求PD ＋P A 和的最小值是( A )

图X －3－6

A ．210 B.10 C ．4 D ．6

7．如图X －3－7，在圆心角为90°的扇形MNK 中，动点P 从点M 出发，沿MN →NK →KM 运动，最后回到点M 的位置．设点P 运动的路程为x ，P 与M 两点之间的距离为y ，其图象可能是( B )

图X －3－7

8．(2011年江苏扬州)如图X －3－8，已知函数y ＝－3

x 与y ＝ax 2＋bx (a >0，b >0)的图象交于点P ，

点P 的纵坐标为1，则关于x 的方程ax 2＋bx ＋3

＝0的解为－3.

图X －3－8

9．(2011年山东菏泽)如图X －3－9，抛物线y ＝1

2x 2＋bx －2与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交

于C 点，且A (－1,0)．

图X －3－9

(1)求抛物线的解析式及顶点D 的坐标； (2)判断△ABC 的形状，证明你的结论；

(3)点M (m,0)是x 轴上的一个动点，当MC ＋MD 的值最小时，求m 的值．解：(1)把点A (－1,0)的坐标代入抛物线的解析式y ＝1

2x 2＋bx －2，

整理后解得b ＝－3

，

所以抛物线的解析式为y ＝12x 2－3

2x －2.

顶点D ????32

，－25

8. (2)∵AB ＝5，AC 2＝OA 2＋OC 2＝5，BC 2＝OC 2＋OB 2＝20，

∴AC 2＋BC 2＝AB 2.∴△ABC 是直角三角形． (3)作出点C 关于x 轴的对称点C ′，则C ′ (0,2)，OC ′＝2. 连接C ′D 交x 轴于点M ，

根据轴对称性及两点之间线段最短可知，MC ＋MD 的值最小．设抛物线的对称轴交x 轴于点E . △C ′OM ∽△DEM .

∴OM EM ＝OC ′ED .∴m 32－m ＝2258

.∴m ＝2441

. 10．(2011年湖南邵阳)如图X －3－10，在平面直角坐标系Oxy 中，已知点A ????－9

4，0，点C (0,3)，点B 是x 轴上的点(位于点A 右侧)，以AB 为直径的圆恰好经过点C .

图X －3－10

(1)求∠ACB 的度数；

(2)已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋3经过A 、B 两点，求抛物线的解析式；

(3)线段BC 上是否存在点D ，使△BOD 为等腰三角形？若存在，则求出所有符合条件的点D 的坐标；若不存在，请说明理由．

解：如图D57，(1)90°

图D57

(2)∵△AOC ∽△COB ， ∴

AO CO ＝CO OB

，又∵A (－9

4，0)，点C (0,3)，

∴ AO ＝9

，OC ＝3，

∴所以解得：OB ＝4，

∴B (4,0)，把 A 、B 两点坐标代入解得： y ＝－13x 2＋7

x ＋3.

(3)存在．

直线BC 的方程为3x ＋4y ＝12，设点D (x ，y )．

①若BD ＝OD ，则点D 在OB 的中垂线上，点D 横坐标为2，纵坐标为32，即D 1(2，3

2)为所求．

②若OB ＝BD ＝4，则y CO ＝BD BC ，x BO ＝CD BC ，得y ＝125，x ＝45，点D 2(45，12

)为所求．

11．(2011年广东汕头)如图X －3－11，抛物线y ＝－54x 2＋17

4x ＋1与y 轴交于点A ，过点A 的

直线与抛物线交于另一点B ，过点B 作BC ⊥x 轴，垂足为点C (3,0)．

图X －3－11

(1)求直线AB 的函数关系式；

(2)动点P 在线段OC 上，从原点O 出发以每秒一个单位的速度向C 移动，过点P 作垂直于x 轴，交直线AB 于点M ，交抛物线于点N .设点P 移动的时间为t 秒，MN 的长为s 个单位，求s 与t 的函数关系式，并写出t 的取值范围；

(3)设(2)的条件下(不考虑点P 与点O ，点C 重合的情况)，连接CM 、BN ，当t 为何值时，四边形BCMN 为平行四边形？问对于所求的t 的值，平行四边形BCMN 是否为菱形？说明理由．

解：(1)把x ＝0代入y ＝－54x 2＋17

4x ＋1，

得y ＝1，

把x ＝3代入y ＝－54x 2＋174x ＋1，得y ＝5

，

∴A 、B 两点的坐标分别(0,1)，???

?3，5

2，设直线AB 的解析式为y ＝kx ＋b ，代入A 、B 的坐标，得： ????? b ＝13k ＋b ＝52，解得????

b ＝1k ＝12， ∴y ＝1

2x ＋1.

(2)把x ＝t 分别代入到y ＝12x ＋1和y ＝－54x 2＋17

4x ＋1，

分别得到点M 、N 的纵坐标为12t ＋1和－54t 2＋17

4t ＋1，

∴MN ＝－54t 2＋174t ＋1－(12t ＋1)＝－54t 2＋15

4t ，

即s ＝－54t 2＋15

t ，

∵点P 在线段OC 上移动，

∴0≤t ≤3.

(3)在四边形BCMN 中，∵BC ∥MN ，

∴当BC ＝MN 时，四边形BCMN 即为平行四边形，由－54t 2＋154t ＝5

，得t 1＝1，t 2＝2，

即当t ＝1或2时，四边形BCMN 为平行四边形当t ＝1时，PC ＝2，PM ＝32，

由勾股定理求得CM ＝5

，

此时BC ＝CM ＝MN ＝BN ，平行四边形BCMN 为菱形；当t ＝2时，PC ＝1，PM ＝2，由勾股定理求得CM ＝5，此时BC ≠CM ，平行四边形BCMN 不是菱形． ∴当t ＝1时，平行四边形BCMN 为菱形．

专题四归纳与猜想

1.(2011年浙江)如图X －4－1，下面是按照一定规律画出的“数形图”，经观察可以发现：图A 2比图A 1多出2个“树枝”，图A 3比图A 2多出4个“树枝”，图A 4比图A 3多出8个“树枝”……，照此规律，图A 6比图A 2多出“树枝”的个数为( C )

图X －4－1

A ．28

B ．56

C ．60

D ．124

2．(2010年山东日照)古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数，例如：他们研究过如图X －4－2(1)中的1,3,6,10，…，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；类似地，称如图X －4－2(2)中的1,4,9,16，…，这样的数为正方形数．下列数中既是三角形数又是正方形数的是( D )

图X －4－2

A ．15

B ．25

C ．55

D ．1 225

3．(2011年内蒙古乌兰察布)将一些半径相同的小圆按如图X －4－3所示的规律摆放，请仔细观察，第n 个图形有n (n ＋1)＋4或n 2＋n ＋4个小圆(用含n 的代数式表示)．

图X －4－3

4．(2011年湖南常德)先找规律，再填数：

11＋12－1＝12，13＋14－12＝112，15＋16－13＝130，17＋18－14＝156， …… 则

12 011＋12 012－11 006＝1

2 011×2 012

. 5．(2010年辽宁丹东)如图X －4－4，已知△ABC 是边长为1的等腰直角三角形，以Rt △ABC 的斜边AC 为直角边，画第二个等腰Rt △ACD ，再以Rt △ACD 的斜边AD 为直角边，画第三个等腰Rt △ADE ，…，依此类推，第n 个等腰直角三角形的斜边长是(2)n .