高一数学必修3知识点总结及典型例题解析
概率部分
1、事件：随机事件、确定性事件、必然事件和不可能事件
2、随机事件的概率(统计定义)：一般的，如果随机事件A在n次实验中发了
m次，当实验的次数n很大时，我们称事件A发生的概率为
()
n
m A
P≈
说明：①一个随机事件发生于具有随机性，但又存在统计的规律性，在进行大量的重复事件时某个事件是否发生，具有频率的稳定性，而频率的稳定性又是必然的，因此偶然性和必然性对立统一
②不可能事件和确定事件可以看成随机事件的极端情况
③随机事件的频率是指事件发生的次数和总的试验次数的比值，它具有一定的稳定性，总在某个常数附近摆动，且随着试验次数的不断增多，这个摆动的幅度越来越小，而这个接近的某个常数，我们称之为概事件发生的概率
④概率是有巨大的数据统计后得出的结果，讲的是一种大的整体的趋势，而频率是具体的统计的结果
⑤概率是频率的稳定值，频率是概率的近似值
3、概率必须满足三个基本要求：
对任意的一个随机事件A，有
()1
0≤
≤A
P
()()0
,1
,=
Φ
=
Ω
Φ
ΩP
P
则有
可能事件
分别表示必然事件和不
和
用
如果事件
()()()B
P
A
P
B
A
P
B
A+
=
+
:
,则有
互斥
和
4、古典概率
①所有基本事件有限个
②每个基本事件发生的可能性都相等满足这两个条件的概率模型成为古典概型
如果一次试验的等可能的基本事件的个数为个n，则每一个基本事件发生
的概率都是n 1
，如果某个事件A 包含了其中的m 个等可能的基本事件，则事件A 发生的概率为
()n m A P =
5、几何概型 一般地，一个几何区域D 中随机地取一点，记事件“改点落在其内部的一个区域d 内”为事件A ，则事件A 发生的概率为
()的侧度的侧度
D d A P = （ 这里要求D 的侧度不为0，其中侧度的意义由D 确定，一般地，线段的侧度为该线段的长度；平面多变形的侧度为该图形的面积；立体图像的侧度为其体积 ）
几何概型的基本特点
① 基本事件等可性
② 基本事件无限多
说明：为了便于研究互斥事件，我们所研究的区域都是指的开区域，即不含边界，在区域D 内随机地取点，指的是该点落在区域D 内任何一处都是等可能的，落在任何部分的可能性大小只与该部分的侧度成正比，而与其形状无关。
6、互斥事件：不能同时发生的两个事件称为互斥事件
7、对立事件
两个互斥事件中必有一个发生,则称两个事件为对立事件 ，事件A 的对立事件记为：A 独立事件的概率：()()()B P A P A =AB P , B , 则为相互独立的事件事件若， 若()()()()n 21n 2121A ...A A ...A A A P , , ... , , P P P A A A n =则为两两独立的事件
说明：① 若, B , , B , 中最多有一个发生则为互斥事件A A 可能都不发生，但不可能同时发生 ，从集合的关来看两个事件互斥，即指两个事件的集合的交集是空集
② 对立事件是指的两个事件，而且必须有一个发生，而互斥事件可
能指的很多事件，但最多只有一个发生，可能都不发生对立事件一定是互斥事件
从集合论来看：表示互斥事件和对立事件的集合的交集都是空集，但两个对立事件的并集是全集 ，而两个互斥事件的并集不一定是全集
⑤ 两个对立事件的概率之和一定是 1 ，而两个互斥事件的概率之和小于或者等于1
⑥ 若事件B A ,是互斥事件，则有()()()B P A P B A P +=+
⑦ 一般地，如果 n A A A ,...,,21 两两互斥，则有()()()()n n A P A P A P A A A P +++=+++ (2121)
⑧()()A P A P -=1
⑨ 在本教材中
n A A A +++...21 指的是n A A A ,...,,21 中至少发生一个
例1． 在大小相同的6个球中，2个是红球，4 个是白球，若从中任意选取3个，求至少有1个是红球的概率？
解法1：（互斥事件）设事件 A 为“选取3个球至少有1个是红球”，则其互斥事件为A ， 意义为“选取3个球都是白球”
()()()
54 51 - 1A P - 1 A P 51425364 123)456(123234A P 3634===∴=??=????????==C C 解法2：（古典概型）由题意知，所有的基本事件有2012345636=????=C 种情况，设事件 A 为“选取3个球至少有1个是红球” ，而事件A 所含有的基本
事件数有
16234241224=??=?+?C ， 所以
()542016==A P . 解法3：（独立事件概率）设事件 A 为“选取3个球至少有1个是红球” ，则事件A 的情况如下：
红 白 白
51435462=?? 1红2白 白 白 红 51425364=??
白 红 白
51435264=?? 红 红 白 151445162=??
2红1白 红 白 红
151415462=?? 白 红 红
151415264=?? 所以
()541513513=?+?=A P .
例2. 盒中有6只灯泡，其中2只次品，4只正品，有放回的从中任抽2次，每次抽取1只，试求下列事件的概率：
（1）第1次抽到的是次品
（2）抽到的2次中，正品、次品各一次
解：设事件A 为“第1次抽到的是次品”， 事件B 为“抽到的2次中，正品、次品各一次”
则
()3162==A P ，()94664224=??+?=B P （或者()9462646462=?+?=B P ）